圆锥曲线与方程知识点
1.椭圆
椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(
的距离叫作椭圆的焦距.
)，这个动点
的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点
椭圆的标准方程: 1．当焦点在
轴上时，椭圆的标准方程：中
；
，其
2．当焦点在轴上时，
椭圆的标准方程：，其中；
椭圆的简单几何性质:
椭圆的的简单几何性质
（1）对称性
椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心
对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。。
（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为
A1（―a，0）， A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。 （4）离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作
。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a
此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当
a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆
椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系: 见下图
2.双曲线
双曲线的定义：
在平面内，到两个定点
）的动点
离叫作双曲线的焦距.
、
的距离之差的绝对值等于常数
、
（
大于0且
的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距
双曲线的标准方程： 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，
其中其中
；2．当焦点在.
轴上时，双曲线的标准方程：，
双曲线的简单几何性质：
（1）对称性：双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，
且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （3）顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐
标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
（4）离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率
，
决定双曲线的开口大小，
。 越大，
e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 ③等轴双曲线
，所以离心率
。
（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是 我们把直线
叫做双曲线的渐近线。
。
双曲线
与的区别和联系 见下图：
3.抛物线
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L（L不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线． 抛物线的标准方程：抛物线标准方程的四种形式：，，，
。
抛物线标准方程的几何性质： 1、范围：，，
抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 2、对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 3、顶点：坐标原点
抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 4、离心率：e=1.
抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。
注意：与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一焦点、一顶点、一条对称轴，一条准线
圆锥曲线与方程知识点
1.椭圆
椭圆的定义：平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(
的距离叫作椭圆的焦距.
)，这个动点
的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点
椭圆的标准方程: 1．当焦点在
轴上时，椭圆的标准方程：中
；
，其
2．当焦点在轴上时，
椭圆的标准方程：，其中；
椭圆的简单几何性质:
椭圆的的简单几何性质
（1）对称性
椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心
对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围
椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。。
（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为
A1（―a，0）， A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长 和短半轴长。 （4）离心率
①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作
。
②因为a＞c＞0，所以e的取值范围是0＜e＜1。e越接近1，则c就越接近a
此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当
a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆
椭圆与（a＞b＞0）的区别和联系: 见下图
2.双曲线
双曲线的定义：
在平面内，到两个定点
）的动点
离叫作双曲线的焦距.
、
的距离之差的绝对值等于常数
、
（
大于0且
的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距
双曲线的标准方程： 1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，
其中其中
；2．当焦点在.
轴上时，双曲线的标准方程：，
双曲线的简单几何性质：
（1）对称性：双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，
且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。 （3）顶点
①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐
标分别为A1（―a，0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。 ③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。
（4）离心率①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作 ②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率
，
决定双曲线的开口大小，
。 越大，
e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。 ③等轴双曲线
，所以离心率
。
（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是 我们把直线
叫做双曲线的渐近线。
。
双曲线
与的区别和联系 见下图：
3.抛物线
抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线L（L不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线． 抛物线的标准方程：抛物线标准方程的四种形式：，，，
。
抛物线标准方程的几何性质： 1、范围：，，
抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。 2、对称性：关于x轴对称
抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。 3、顶点：坐标原点
抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0）。 4、离心率：e=1.
抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。用e 表示，e=1。
注意：与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一焦点、一顶点、一条对称轴，一条准线