空泡溃灭的Bjerknes效应

DOI:10.16076/j.cnki.cjhd.2000.03.010

　A辑第15卷第3期　　　　　水动力学研究与进展　　　Ser.A,Vol.15,No.3　　2000年9月　　　　　　　JOURNALOFHYDRODYNAMICS　　　　　Sep.,2000文章编号:1000-4874(2000)03-0337-05

空泡溃灭的Bjerknes效应

何国庚,　　罗军,　　黄素逸

(华中理工大学动力工程系,湖北武汉430074)⒇

　　摘　要:　根据Bjerknes力的基本理论和空泡动力学方程,推导出了空泡运动时Bjerknes力的表达式。在此基础上,对空泡溃灭时的Bjerknes力进行了计算和分析。

关　键　词:　空泡溃灭;空化噪声;声压;Bjerknes力

中图分类号:　O352　　　文献标识码:A

1　前言

一百多年前,C.A.Bjerknes和他的儿子V.F.K.Bjerknes发现当流体中脉动的物体同相振荡时彼此吸引,而当它们反相振荡时又相互排斥。当时他们试图利用这一发现来解释电磁机理[1]。后来这种在流体中脉动物体之间的相互作用力就被称为Bjerknes力。

从本世纪四十年代开始对物体间的这种Bjerknes力的研究,在振荡空化和超声空化的空泡研究中得到了高度重视。M.Kornfeld和L.Suvorov利用振动圆柱形容器观察了由于外压变化造成靠近固体表面的气泡的形成以及随后发生的气泡径向振荡现象[2];F.G.Blake和L.A.

[3][4],并提出了主Bjerknes力Crum等对驻波声场中气泡间的Bjerknes力作了较深入的研究

和二阶Bjerknes力的概念;近年来关于Bjerknes力的研究开始涉及到气泡的非线性振荡,N.A.Pelekasis和J.A.Tsamopoulos采用数值方法,相继对在外场压力发生阶跃性变化和在振荡

[6]压力场中两种情况下两个气泡间的Bjerknes力进入了深入的研究[5]。所有这些研究主要集

中在有外界声场激励的气泡之间的Bjerknes力,而且气泡的振荡幅度通常都不是很大。事实上对于流体动力空化而言,虽然没有外界声场的作用,即没有主Bjerknes力产生,但空化过程中空泡的发育和溃灭都会产生强烈的空化噪声,尤其是在空泡的溃灭阶段,它所辐射出的声压可达数十甚至数百个大气压力,从而对附近的空泡产生很大Bjerknes力,进而影响周围空泡的运动。本文从Bjerknes的基本理论出发,根据空泡动力学方程及声学理论,导出空泡运动的Bjerknes力的表达式,并对空泡溃灭时的Bjerknes力进行计算与分析。

⒇收稿日期:　1998-08-26

基金项目:　国防预研基金资助项目(96J14.3.1.JWO512):　(～),男。

338水　动　力　学　研　究　与　进　展　　　　　　　　　2000年第3期2　Bjerknes力的基本理论[4]

Bjerknes′s认为:任何物体在随加速运动的流体作平移运动时都会受到一种运动学浮力的作用,这个浮力等于流体平移运动的加速度与该物体排开流体质量的乘积。根据这种思想可以推导出Bjerknes力的表达式。

假设振荡流体中的一个微粒的位置可以下式表示:

a(t)=a0+a1sin(kt)(1)

0为平衡位置,a1为流体振荡的最大振幅,k式中:a为流体振荡角频率。

若微粒的体积为Vb,则该微粒所排开的流体的质量为:

M=dVb(2)

d为流体密度。

则根据Bjerknes力的定义,Bjerknes力可写为:

FB=M×a(t)=dVb×　 t

u为微粒的速度。

=-5P(r,t) t

P为声压。

因此当用声压梯度来表达Bjerknes力时,式(3)可写为:

FB=-Vb×5P(r,t)

其时间平均力为:

FB=-

视微元为球形,则表示同时在球面上和在一个振荡周期内的空间、时间的平均为:

=F(θ,t)sinθdθdt1-cosθ∫00c-θ0¨(3)(4)(5)(6)Tc(7)

3　空泡运动过程中Bjerknes力

考虑理想、不可压流体中的一球形空气-蒸汽空泡,设任意时刻空泡的半径为R,则可写出Bayleigh空泡运动方程:

¨ 2∞RR+R=(8)　2d

式中P∞为无穷远处的液体压力,P为空泡内压力,可表示为:

P=PV+Pg-R

PV=PV(T)为空泡内的饱和蒸汽压力,T为液体温度,e为液体的表面张力,Pg为瞬时空泡内空气分压。若将空泡内空气的变化过程视为绝热过程,则:

13VPg=P1()R0

P1为初始时刻空泡内的空气分压力,R0为空泡的初始半径,V为绝热指数。将以上两式代入式

(8)得到:¨103V 2∞VRR+R=()--(9)2(P-P)

何国庚等:空泡溃灭的Bjerknes效应339

积分式(9)可以得到空泡径向运动速度的表达式[7]:

2P1R03R03VR021/2 ={(P∞-PV)[(R0)3-1]-R[()-()]+[()-1]}3dR3(1-V)dRRdRR

(10)

3　　若空泡1的初始半径为R01,瞬时半径为R1,则其瞬时体积可写为:V1=cR1。于是:3

¨¨2 2V1=4c(R1R1+2R1R1)(11)　　

　　液体中空泡的体积脉动是一种重要的单极子辐射源,根据声学理论,离辐射源距离为r处

[8]的由于空泡体积变化而辐射的声压可由下式表示:¨

P(r,t)=dV1(t′)　

4cr

¨式中:t′为延迟时间,t′=t-c0,c0为液体声速。如忽略c0的影响,则上式简化为:

P(r,t)=dV1(t)　

4cr(12)

联立(9)、(10)、(11)、(12)即可得出空泡瞬时半径为R1、径向距离r处的声压为:

012∞11013P(r,t)=[()-3]+[()-4]rR13rR1

3P1R1R013R013V[(1)-(4-3V)(1)]3(1-V)rRR式中R01为空泡1的初始半径。-(13)

若另有一空泡2正位于距离空泡1为r的位置,其瞬时半径为R2,则其瞬时体积为:

3V2=3cR2(14)

于是可得空泡1对空泡2所产生的Bjerknes力:

FB12=-(012∞11013)-+()-R13R1

(15) 1101301332)()-3(1-V()-(4-3V)()×(cR)R1R13r

　　同理,可以推得空泡21所产生的Bjerknes力:

022∞12023FB21=-()-+()-R23R2

120230233 -()-(4-3V)()×(cR1)(3)3(1-V)R2R23r

式中R02为空泡2的初始半径。(16)

4　结果与分析

上面导出了空泡运动时Bjerknes力的表达式。从(15)、(16)两式的分析中可以发现,空1

340水　动　力　学　研　究　与　进　展　　　　　　　　　2000年第3期泡2对空泡1的Bjerknes力不是一对作用力和反作用力,它们在数值上不一定相等,方向不一定相反,只有在两个空泡完全相同并同时处于完全相同的运动状态时才具有作用力与反作用力的性质。这是因为Bjerknes力既与空泡1(或2)所辐射的声压强度有关,又与空泡2(或

1)的体积有关,空化噪声越大,空泡辐射的声压就越强,它所能产生的Bjerknes力也就越大。同样,空泡的体积越大,它所受到的Bjerknes力也就越大,通常,对于空化过程而言,空泡的发育阶段所辐射的声压值较小,此时的空化噪声也比较小,而在空泡的溃灭阶段,将产生强烈的空化噪声,此时辐射出的声压值可达数十甚至数百个大气压力[8],因此,空泡溃灭阶段的Bjerknes力将具有相当的数量值(如图3中的FB21和FB43),对空泡的运动产生一定的影响

。

图1　　　　　　　　　　　　　　　　图2

　

图3

图1显示的是两对初始尺寸相同的空泡在相同的条件下同时溃灭时所产生的Bjerknes力的计算结果。在这种情况下,两个相同尺寸的空泡相互产生的Bjerknes力完全相等,因而在图中用一条曲线表示。从图中可以看出,在空泡开始溃灭时,所产生的Bjerknes力均为正值,但随空泡的溃灭而逐渐减小,表明在这个阶段,两个空泡将相互排斥;而在溃灭后期,Bjerknes

何国庚等:空泡溃灭的Bjerknes效应341

力变为负值,表明此时的空泡又有相互靠拢的趋势,但在这一阶段Bjerknes力比溃灭初期小约一个数量级,这是因为虽然空泡在溃灭末期辐射的声压很大,但此时的空泡也已接近消失。从图中还可看出,空泡初始尺寸大一倍,其Bjerknes力将大约一个数量级。

图2所示为相同初始尺寸(空泡半径均为0.001m)、不同空泡间距的两对空泡溃灭时所产生的Bjerknes力的计算结果。如前所述,此时每对空泡之间所产生的Bjerknes力大小是相等的,在图中也是用一条曲线来表示。从图中可以看出,空泡之间的间距大小对Bjerknes力大小的影响是显著的。

图3是两对不同初始尺寸的空泡同时溃灭时的计算结果。从图中可以看出大空泡对小空泡所产生的Bjerknes力在整个溃灭阶段的变化均比较平稳,而且此时大空泡初始尺寸的大小影响并不明显;但小空泡对大空泡所产生的Bjerknes力则对大空泡初始尺寸的大小很敏感,大空泡越大,则它所受到的Bjerknes力越大,并且由于小空泡先于大空泡溃灭终了,因此在小气泡的溃灭终了时,所辐射的巨大的声压,将产生一个很大的负的Bjerknes力。这表明在小气泡溃灭终了时,将使尚未完全溃灭的大气泡以较大的加速度向小气泡的位置移动,并且使继续溃灭的大空泡所辐射的声压得以加强,从而产生比单个大空泡溃灭时的声压更大的声压值,即声压叠加,这为进一步研究空化噪声的峰值及空泡群的噪声提供了理论基础。

参　考　文　献:

[1]VFKBJERKNES.FieldsofForce[M].ColumbiaUniversityPress,1966.

[2]MKORNFELDandLSUVOROV.Onthedestructiveactionofcavitation[J].JournalofApplied

Physics,1944,15:495-506.

[3]FGBLAKE.Bjerknesforcesinstationarysoundfields[J].J.A.S.A,1949,21(5):551.

[4]LACRUM.Bjerknesforcesonbubblesinastationarysoundfields[J].J.A.S.A,1975,57(6,Part1):

1363-1370.

[5]NAPELEKASISandJATSANOPOULOS.Bjerknesforcesbetweentwobubbles.partI.responsetoastepchangeinpressure[J].J.FluidMech.,1993,254:467-499.

[6]NAPELEKASISandJATSANOPOULOS.Bjerknesforcesbetweentwobubbles.partII.responseto

:501-527.anoscillatorypressurefield[J].FluidMech.,1993,254

[7]黄景泉.空化起始条件的确定[J].应用数学和力学,1989,10(2):155-160.

[8]D罗斯.水下噪声原理[M].北京:海洋出版社,1983.

Bjerknesforceduringbubblescollapse

HEGuo-geng,　　LUOJun,　　HUANGSu-yi

(HuazhongUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430074)

:　AformulafortheBjerknesforceinbubblemotionisdrivedonthebasisoftheBjerknesforceAbstract

theoryandbubbledynamics,andtheBjerknesforcesduringbubblescollapsearecalculatedandanalyzed.

:　bubblecollapse;cavitationnoise;soundpressure;BjerknesforceKeywords

DOI:10.16076/j.cnki.cjhd.2000.03.010

　A辑第15卷第3期　　　　　水动力学研究与进展　　　Ser.A,Vol.15,No.3　　2000年9月　　　　　　　JOURNALOFHYDRODYNAMICS　　　　　Sep.,2000文章编号:1000-4874(2000)03-0337-05

空泡溃灭的Bjerknes效应

何国庚,　　罗军,　　黄素逸

(华中理工大学动力工程系,湖北武汉430074)⒇

　　摘　要:　根据Bjerknes力的基本理论和空泡动力学方程,推导出了空泡运动时Bjerknes力的表达式。在此基础上,对空泡溃灭时的Bjerknes力进行了计算和分析。

关　键　词:　空泡溃灭;空化噪声;声压;Bjerknes力

中图分类号:　O352　　　文献标识码:A

1　前言

一百多年前,C.A.Bjerknes和他的儿子V.F.K.Bjerknes发现当流体中脉动的物体同相振荡时彼此吸引,而当它们反相振荡时又相互排斥。当时他们试图利用这一发现来解释电磁机理[1]。后来这种在流体中脉动物体之间的相互作用力就被称为Bjerknes力。

从本世纪四十年代开始对物体间的这种Bjerknes力的研究,在振荡空化和超声空化的空泡研究中得到了高度重视。M.Kornfeld和L.Suvorov利用振动圆柱形容器观察了由于外压变化造成靠近固体表面的气泡的形成以及随后发生的气泡径向振荡现象[2];F.G.Blake和L.A.

[3][4],并提出了主Bjerknes力Crum等对驻波声场中气泡间的Bjerknes力作了较深入的研究

和二阶Bjerknes力的概念;近年来关于Bjerknes力的研究开始涉及到气泡的非线性振荡,N.A.Pelekasis和J.A.Tsamopoulos采用数值方法,相继对在外场压力发生阶跃性变化和在振荡

[6]压力场中两种情况下两个气泡间的Bjerknes力进入了深入的研究[5]。所有这些研究主要集

中在有外界声场激励的气泡之间的Bjerknes力,而且气泡的振荡幅度通常都不是很大。事实上对于流体动力空化而言,虽然没有外界声场的作用,即没有主Bjerknes力产生,但空化过程中空泡的发育和溃灭都会产生强烈的空化噪声,尤其是在空泡的溃灭阶段,它所辐射出的声压可达数十甚至数百个大气压力,从而对附近的空泡产生很大Bjerknes力,进而影响周围空泡的运动。本文从Bjerknes的基本理论出发,根据空泡动力学方程及声学理论,导出空泡运动的Bjerknes力的表达式,并对空泡溃灭时的Bjerknes力进行计算与分析。

⒇收稿日期:　1998-08-26

基金项目:　国防预研基金资助项目(96J14.3.1.JWO512):　(～),男。

338水　动　力　学　研　究　与　进　展　　　　　　　　　2000年第3期2　Bjerknes力的基本理论[4]

Bjerknes′s认为:任何物体在随加速运动的流体作平移运动时都会受到一种运动学浮力的作用,这个浮力等于流体平移运动的加速度与该物体排开流体质量的乘积。根据这种思想可以推导出Bjerknes力的表达式。

假设振荡流体中的一个微粒的位置可以下式表示:

a(t)=a0+a1sin(kt)(1)

0为平衡位置,a1为流体振荡的最大振幅,k式中:a为流体振荡角频率。

若微粒的体积为Vb,则该微粒所排开的流体的质量为:

M=dVb(2)

d为流体密度。

则根据Bjerknes力的定义,Bjerknes力可写为:

FB=M×a(t)=dVb×　 t

u为微粒的速度。

=-5P(r,t) t

P为声压。

因此当用声压梯度来表达Bjerknes力时,式(3)可写为:

FB=-Vb×5P(r,t)

其时间平均力为:

FB=-

视微元为球形,则表示同时在球面上和在一个振荡周期内的空间、时间的平均为:

=F(θ,t)sinθdθdt1-cosθ∫00c-θ0¨(3)(4)(5)(6)Tc(7)

3　空泡运动过程中Bjerknes力

考虑理想、不可压流体中的一球形空气-蒸汽空泡,设任意时刻空泡的半径为R,则可写出Bayleigh空泡运动方程:

¨ 2∞RR+R=(8)　2d

式中P∞为无穷远处的液体压力,P为空泡内压力,可表示为:

P=PV+Pg-R

PV=PV(T)为空泡内的饱和蒸汽压力,T为液体温度,e为液体的表面张力,Pg为瞬时空泡内空气分压。若将空泡内空气的变化过程视为绝热过程,则:

13VPg=P1()R0

P1为初始时刻空泡内的空气分压力,R0为空泡的初始半径,V为绝热指数。将以上两式代入式

(8)得到:¨103V 2∞VRR+R=()--(9)2(P-P)

何国庚等:空泡溃灭的Bjerknes效应339

积分式(9)可以得到空泡径向运动速度的表达式[7]:

2P1R03R03VR021/2 ={(P∞-PV)[(R0)3-1]-R[()-()]+[()-1]}3dR3(1-V)dRRdRR

(10)

3　　若空泡1的初始半径为R01,瞬时半径为R1,则其瞬时体积可写为:V1=cR1。于是:3

¨¨2 2V1=4c(R1R1+2R1R1)(11)　　

　　液体中空泡的体积脉动是一种重要的单极子辐射源,根据声学理论,离辐射源距离为r处

[8]的由于空泡体积变化而辐射的声压可由下式表示:¨

P(r,t)=dV1(t′)　

4cr

¨式中:t′为延迟时间,t′=t-c0,c0为液体声速。如忽略c0的影响,则上式简化为:

P(r,t)=dV1(t)　

4cr(12)

联立(9)、(10)、(11)、(12)即可得出空泡瞬时半径为R1、径向距离r处的声压为:

012∞11013P(r,t)=[()-3]+[()-4]rR13rR1

3P1R1R013R013V[(1)-(4-3V)(1)]3(1-V)rRR式中R01为空泡1的初始半径。-(13)

若另有一空泡2正位于距离空泡1为r的位置,其瞬时半径为R2,则其瞬时体积为:

3V2=3cR2(14)

于是可得空泡1对空泡2所产生的Bjerknes力:

FB12=-(012∞11013)-+()-R13R1

(15) 1101301332)()-3(1-V()-(4-3V)()×(cR)R1R13r

　　同理,可以推得空泡21所产生的Bjerknes力:

022∞12023FB21=-()-+()-R23R2

120230233 -()-(4-3V)()×(cR1)(3)3(1-V)R2R23r

式中R02为空泡2的初始半径。(16)

4　结果与分析

上面导出了空泡运动时Bjerknes力的表达式。从(15)、(16)两式的分析中可以发现,空1

340水　动　力　学　研　究　与　进　展　　　　　　　　　2000年第3期泡2对空泡1的Bjerknes力不是一对作用力和反作用力,它们在数值上不一定相等,方向不一定相反,只有在两个空泡完全相同并同时处于完全相同的运动状态时才具有作用力与反作用力的性质。这是因为Bjerknes力既与空泡1(或2)所辐射的声压强度有关,又与空泡2(或

1)的体积有关,空化噪声越大,空泡辐射的声压就越强,它所能产生的Bjerknes力也就越大。同样,空泡的体积越大,它所受到的Bjerknes力也就越大,通常,对于空化过程而言,空泡的发育阶段所辐射的声压值较小,此时的空化噪声也比较小,而在空泡的溃灭阶段,将产生强烈的空化噪声,此时辐射出的声压值可达数十甚至数百个大气压力[8],因此,空泡溃灭阶段的Bjerknes力将具有相当的数量值(如图3中的FB21和FB43),对空泡的运动产生一定的影响

。

图1　　　　　　　　　　　　　　　　图2

　

图3

图1显示的是两对初始尺寸相同的空泡在相同的条件下同时溃灭时所产生的Bjerknes力的计算结果。在这种情况下,两个相同尺寸的空泡相互产生的Bjerknes力完全相等,因而在图中用一条曲线表示。从图中可以看出,在空泡开始溃灭时,所产生的Bjerknes力均为正值,但随空泡的溃灭而逐渐减小,表明在这个阶段,两个空泡将相互排斥;而在溃灭后期,Bjerknes

何国庚等:空泡溃灭的Bjerknes效应341

力变为负值,表明此时的空泡又有相互靠拢的趋势,但在这一阶段Bjerknes力比溃灭初期小约一个数量级,这是因为虽然空泡在溃灭末期辐射的声压很大,但此时的空泡也已接近消失。从图中还可看出,空泡初始尺寸大一倍,其Bjerknes力将大约一个数量级。

图2所示为相同初始尺寸(空泡半径均为0.001m)、不同空泡间距的两对空泡溃灭时所产生的Bjerknes力的计算结果。如前所述,此时每对空泡之间所产生的Bjerknes力大小是相等的,在图中也是用一条曲线来表示。从图中可以看出,空泡之间的间距大小对Bjerknes力大小的影响是显著的。

图3是两对不同初始尺寸的空泡同时溃灭时的计算结果。从图中可以看出大空泡对小空泡所产生的Bjerknes力在整个溃灭阶段的变化均比较平稳,而且此时大空泡初始尺寸的大小影响并不明显;但小空泡对大空泡所产生的Bjerknes力则对大空泡初始尺寸的大小很敏感,大空泡越大,则它所受到的Bjerknes力越大,并且由于小空泡先于大空泡溃灭终了,因此在小气泡的溃灭终了时,所辐射的巨大的声压,将产生一个很大的负的Bjerknes力。这表明在小气泡溃灭终了时,将使尚未完全溃灭的大气泡以较大的加速度向小气泡的位置移动,并且使继续溃灭的大空泡所辐射的声压得以加强,从而产生比单个大空泡溃灭时的声压更大的声压值,即声压叠加,这为进一步研究空化噪声的峰值及空泡群的噪声提供了理论基础。

参　考　文　献:

[1]VFKBJERKNES.FieldsofForce[M].ColumbiaUniversityPress,1966.

[2]MKORNFELDandLSUVOROV.Onthedestructiveactionofcavitation[J].JournalofApplied

Physics,1944,15:495-506.

[3]FGBLAKE.Bjerknesforcesinstationarysoundfields[J].J.A.S.A,1949,21(5):551.

[4]LACRUM.Bjerknesforcesonbubblesinastationarysoundfields[J].J.A.S.A,1975,57(6,Part1):

1363-1370.

[5]NAPELEKASISandJATSANOPOULOS.Bjerknesforcesbetweentwobubbles.partI.responsetoastepchangeinpressure[J].J.FluidMech.,1993,254:467-499.

[6]NAPELEKASISandJATSANOPOULOS.Bjerknesforcesbetweentwobubbles.partII.responseto

:501-527.anoscillatorypressurefield[J].FluidMech.,1993,254

[7]黄景泉.空化起始条件的确定[J].应用数学和力学,1989,10(2):155-160.

[8]D罗斯.水下噪声原理[M].北京:海洋出版社,1983.

Bjerknesforceduringbubblescollapse

HEGuo-geng,　　LUOJun,　　HUANGSu-yi

(HuazhongUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430074)

:　AformulafortheBjerknesforceinbubblemotionisdrivedonthebasisoftheBjerknesforceAbstract

theoryandbubbledynamics,andtheBjerknesforcesduringbubblescollapsearecalculatedandanalyzed.

:　bubblecollapse;cavitationnoise;soundpressure;BjerknesforceKeywords