导数题型专题总结
教学目标 对重点、难点专题整合，纵向比较横向延伸，点拨解题技巧、优化解题思路、规范答题标准，
集中突破解题
难点重点 纵向比较横向延伸，点拨解题技巧、优化解题思路、规范答题标准，集中突破解题
教学过程
考向一：讨论参变量求解单调区间、极值
例题1：已知函数f (x )=x -2
x
+a (2-ln x )，(a >0) 讨论f (x )的单调性。
变式1：已知函数f (x )=2x -b
(x -1)
2
，求导函数f ' (x )，并确定f (x )的单调区间。
变式2：设函数f (x )=x 3
-3ax +b (a ≠0)
（1）若曲线y =f (x )在点(2, f (2))
处与直线y =8相切，求a , b 的值。 （2）求函数f (x )的单调区间与极值点。
变式3：设函数f (x )=13
x 3
+ax 2+bx ，且f ' (-1)=0。 （1）试用含a 的代数式表示b ；
（2）求函数f (x )的单调区间
变式4：已知函数f (x )=(
x 2
+ax -2a 2
+3a )e
x
(x ∈R ), a ≠23
，求函数f (x )的单调区间与极值
考向二：已知区间单调或不单调，求解参变量的范围
例题2设函数f (x )=xe
kx
(k ≠0).
（1）求曲线y =f (x )在点(0, f (0))
处的切线方程；
（2）求函数f (x )的单调区间
（3）若函数f (x )在区间(-1,1)内单调递增，求k 的取值范围。
变式1：已知函数f (x )=x 3+ax 2+x +1(a ∈R ) （1）讨论f (x )的单调区间； （2）若函数f (x )在区间 ⎛⎝
-23, -1⎫
3⎪⎭内单调递减，求a 的取值范围。
变式2：已知函数f (x )=
m 3
3
x +x 2-x (m ∈R )，函数f (x )在区间(2, +∞)内存在单调递增区间，求m 的取值范围。
变式3：已知函数f (x )=x 3-(k 2-k +1)
x 2+5x -2, g (x )=k 2x 2
+kx +1, (k ∈R )，
设函数p (x )=f (x )+g (x )，若p (x )在区间(0,3)上不单调，求k 的取值范围。
考向三：零点问题
例题3. 已知二次函数y =g (x )的导函数图像与直线y =2x 平行，且y =g (x )在x =-1处取得极小值
m -1(m ≠0)，设f (x )=g (x )
x
(k ∈R )。如何取值函数y =f (x )-kx 存在零点，并求出零点。
变式1：已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2
+2x -3-a 。如果函数y =f (x )在区间[-1,1]上有零点，求a 的
取值范围。
变式2：已知函数f (x )=x 3
-3ax -1若f (x )在x =-1处取得极值，直线y =m 与y =f (x )的图像有3
个不同的交点，求m 的取值范围。
变式3：已知函数f (x )=a ln (x +1)+x 2-10x 若f (x )在x =3处取得极值。 （1）求a 的值；
（2）求函数f (x )的单调区间
（3）直线y =b 与y =f (x )的图像有3个不同的交点，求b 的取值范围。
考向四：不等式恒成立问题
例题4. 已知函数f (x )=x 4
+ax 3
+2x 2
+b (x ∈R ), a ∈R , b ∈R ，若对任意的a ∈[-2,2]，不等式f (x )≤1
在[-1,1]上恒成立，求b 的取值范围。
变式1：设函数f (x )=e x
-e -x
，若对所有的x ≥0都有f (x )≥ax ，求a 的取值范围。
变式2：设函数f (x )=
1
x ln x
(x >0, x ≠1) （1）求函数f (x )的单调区间；
1（2）已知2x
>x a
对任意x ∈(0,1)成立，求a 的取值范围。
变式3：设函数f (x )=(x +1)ln (x +1)，若对所有的x ≥0都有f (x )≥ax ，求a 的取值范围。
例题5. 设x =3是函数f (x )=(x 2
+ax +b )
e
3-x
(x ∈R )的一个极值点。
（1）求a 与b 的关系式(用a 表示b )
，并求函数f (x )的单调区间； （2）设a >0, g (x )= ⎛a 2
+
25⎫⎝4⎪⎭
e x
，若存在ξ1, ξ2∈[0,4]使得f (ξ1)-g (ξ2)
n
k
变式1：是否存在a ∈N ，使得an
1+1⎫
k ⎪⎭
若不存在，请说明理由。
：已知函数f (x )=ln 2
(1+x )-x 2
变式21+x
（1）求函数f (x )的单调区间；
n +a
（2）若不等式⎛ ⎝1+1⎫
n ⎪
⎭
≤e 对任意的n ∈N *都成立，求a 的最大值。
考向五：利用导数证明不等式
例题6 已知函数f (x )=ln (1+x )-
x
1+x
（1）求f (x )的极小值；
（2）若a , b >0, 求证:ln a -ln b ≥1-b a
.
例题7 已知函数f (x )=ln x （1）求g (x )=f (x +1)-x 的最大值； （2）当0
2a (b -a )
a 2+b
2
变式1：已知函数f (x )=ln (1+x )-x , g (x )=x ln x ,0
0
⎝2⎪⎭
变式2：已知函数f (x )=ln x -1
x
(x ≥2)，求证：f (x -1)≤2x -5
变式3：已知函数f (x )=1
(1-x )
n
+ln (x -1), n ∈N *，求证：对任意正整数n ，当x ≥2时，有f (x )≤x -1
ln 22
2
2
变式4：，求证：
22+ln332+... +ln n
(n -1)(2n +1)n 2
变式5：，求证： ⎛1+
1⎫⎛⎝2⎪⎭⎝1+1⎫⎛4⎭⎝1+1⎫8⎪⎭... ⎛ ⎝1+1⎫
22n ⎪⎭
变式6：已知函数f (x )=ln x , g (x )=x +a
x
(a ∈R )，
（1）若x ≥1时，f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）求证：
ln 2ln 334... ln n n +1
n
(n ≥2, n ∈N *)
变式7：已知函数f (x )=
ln x
x +1
-ln x +ln (x +1) （1）求函数f (x )的单调区间与极值。
（2）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式f (x )≥a 的解集为(0, +∞)？若存在，求a 的取值范围，若不存在，试说明理由。
变式8：已知函数f (x )=⎛ 1⎫
x
f (2x )+f (2)⎝1+n ⎪⎭
(n ∈N *, x ∈R )，证明
2>f ' (x )
变式9：已知函数f (x )=x 2
-ln (x +1)
（1）当x >0时，求证：f (x )
;
（2）当n ∈N *
时，求证：
∑n
f ⎛1⎫
⎝k ⎪⎭2333+... +n 3
≤4-2n n +1例题8 求证：n
n +1
>(n +1)n
(n ∈N *, n ≥3)
11变式1：求证：n n
>(n +1)
n +1
(n ∈N *, n ≥3)
11变式2：求证：1
>⎛n
⎛1⎫
n +⎝n +1⎪⎭
1⎫*
⎝n ⎪⎭
(n ∈N , n ≥3)
变式3：求证：m n >n m (m , n ∈N *
,3≤m
11变式4：求证：m m
>n
n
(m , n ∈N *
,3≤m
1
1变式5：求证：n
m
⎛1⎫⎝n ⎪⎭>⎛ 1⎫
⎝m ⎪⎭
(m , n ∈N *
,3≤m
例题9 求证：sin π
2
n +1
≥
n +1
(n
∈N *
)
变式1：
例题10. 已知函数f (x )=x -sin x 数列{a n }满足：0
（2）a 1n +1
6
a 3n
变式1：已知函数f (x )=
12
x 2
-ax +(a -1)ln x , a >1，求证：若a
1, x 2∈(0, +∞), x 1≠x 2, 有
x -x >-1
12
预测一：已知函数f (x )=
1+x 1-x
e -ax
（1）设a >0，讨论f (x )的单调性；
（2）若对∀x ∈(0,1), f (x )>1，求a 的取值范围。
预测二：已知函数f (x )=x +a ln x , 其中a 为常数，且a ≤-1 （1）当a =-1时，求f (x )在⎡⎣e , e 2
⎤⎦(e ≈2.71828)上的值域；
（2）若f (x )≤e -1对任意x ∈⎡⎣e , e 2⎤⎦恒成立，求实数a 的取值范围。
预测三：已知函数f (x )= ⎛1+a ⎫⎝x ⎪⎭
e x
, 其中a>0 （1） 求函数f (x )的零点；
（2） 讨论y =f (x )在区间(-∞,0)上的单调性；
（3） 在区间⎛
⎝
-∞, -a ⎤2⎥⎦上，f (x )是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。
预测四：已知函数f (x )=a ln x -
1
x
, 其中a ∈R （1）若曲线y =f (x )在点(1, f (1))
处的切线与直线x +2y =0垂直，求a 的值； （2）求函数f (x )的单调区间；
（3）当a =1, x ≥2时，证明：f (x -1)≤2x -5。
预测五：已知函数f (x )=ln x +
a x
（1） 设a
2
，求a 的值
预测六：已知函数f (x )=px -
p
x
-2ln x （1） 若p =2，求曲线y =f (x )在点(1, f (1))
处的切线方程； （2） 若函数f (x )在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （3） 设函数g (x )=
2e
x
, 若在[1, e ]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)>g (x 0)成立，求实数p 的取值范围。
预测七：已知函数f (x )=x 3
-x
（1）求f (x )的单调区间；
（2）设a >0，如果过点(a , b )可作曲线y =f (x )的三条切线，证明：-a
预测八：已知函数f (x )=ax 2
-x (a ∈R , a ≠0), g (x )=ln x
（1）当a =1时，判断f (x )-g (x )在定义域上的单调性；
（2）若函数y =f (x )与y =g (x )的图像有两个不同的交点M , N ，求a 的取值范围；
（3）设点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)(x 1
预测九：已知函数f (x )=x -a -ln x (a >0) （1）若a =1，求f (x )的单调区间及f (x )的最小值； （2）若a >0，求f (x )的单调区间；
（3）试比较ln 22ln3223+ln n 2(n -1)(2n +1)2+2+... n 2与2n +1(n ≥2, n ∈N *)的大小，并证明你结论。
预测十：已知函数f (x )=
1+ln (x +1)
x
, g (x )=x -1-ln (x +1) （1）讨论f (x )在(0, +∞)上的单调性；
（2）求证：函数y =g (x )在区间(2,3)上有唯一零点；
（3）当x >0时，不等式xf (x )>kg '
(x )恒成立，求k 的最大值。
预测十一：已知函数f (x )=
1-x
ax
+ln x 在[1, +∞)上是增函数。 （1）求正实数a 的取值范围； （2）设b >0, a >1，求证：1a +b
b
预测十二：已知函数f (x )=ln x -
12
ax 2
-2x (a
12且关于x 的方程f (x )=-1
2
x +b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）设各项为正的数列{a n }满足a 1=1, a n +1=ln a n +a n +2, n ∈N *。求证：a n ≤2n -1
预测十三：已知函数f (x )=
ln x x +1
x
（1）若函数f (x )在 ⎛
m , m +1⎪⎫⎝3⎭
(m >0)上存在极值，求实数m 的取值范围； （2）如果当x ≥1时，不等式f (x )≥k
x +1
恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：⎡⎣(n +1)! ⎤2
⎦>(n +1)⋅e
n -2
(n ∈N *)
预测十四：已知函数f (x )=ln x -ax (a ∈R )
(1)判断函数f (x )的单调性；
（2）当ln x
n
（3）证明：⎛ ⎝1+1⎫
n ⎪⎭
预测十五：已知函数f (x )=ln x +x 2
-ax
(1)若函数f (x )在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； (2)设a n =1+
1(n ∈N *)，求证：3(a 21+a 2+... +a 2n
n )-a 1-a 2
-... -a 2
n
导数题型专题总结
教学目标 对重点、难点专题整合，纵向比较横向延伸，点拨解题技巧、优化解题思路、规范答题标准，
集中突破解题
难点重点 纵向比较横向延伸，点拨解题技巧、优化解题思路、规范答题标准，集中突破解题
教学过程
考向一：讨论参变量求解单调区间、极值
例题1：已知函数f (x )=x -2
x
+a (2-ln x )，(a >0) 讨论f (x )的单调性。
变式1：已知函数f (x )=2x -b
(x -1)
2
，求导函数f ' (x )，并确定f (x )的单调区间。
变式2：设函数f (x )=x 3
-3ax +b (a ≠0)
（1）若曲线y =f (x )在点(2, f (2))
处与直线y =8相切，求a , b 的值。 （2）求函数f (x )的单调区间与极值点。
变式3：设函数f (x )=13
x 3
+ax 2+bx ，且f ' (-1)=0。 （1）试用含a 的代数式表示b ；
（2）求函数f (x )的单调区间
变式4：已知函数f (x )=(
x 2
+ax -2a 2
+3a )e
x
(x ∈R ), a ≠23
，求函数f (x )的单调区间与极值
考向二：已知区间单调或不单调，求解参变量的范围
例题2设函数f (x )=xe
kx
(k ≠0).
（1）求曲线y =f (x )在点(0, f (0))
处的切线方程；
（2）求函数f (x )的单调区间
（3）若函数f (x )在区间(-1,1)内单调递增，求k 的取值范围。
变式1：已知函数f (x )=x 3+ax 2+x +1(a ∈R ) （1）讨论f (x )的单调区间； （2）若函数f (x )在区间 ⎛⎝
-23, -1⎫
3⎪⎭内单调递减，求a 的取值范围。
变式2：已知函数f (x )=
m 3
3
x +x 2-x (m ∈R )，函数f (x )在区间(2, +∞)内存在单调递增区间，求m 的取值范围。
变式3：已知函数f (x )=x 3-(k 2-k +1)
x 2+5x -2, g (x )=k 2x 2
+kx +1, (k ∈R )，
设函数p (x )=f (x )+g (x )，若p (x )在区间(0,3)上不单调，求k 的取值范围。
考向三：零点问题
例题3. 已知二次函数y =g (x )的导函数图像与直线y =2x 平行，且y =g (x )在x =-1处取得极小值
m -1(m ≠0)，设f (x )=g (x )
x
(k ∈R )。如何取值函数y =f (x )-kx 存在零点，并求出零点。
变式1：已知a 是实数，函数f (x )=2ax 2
+2x -3-a 。如果函数y =f (x )在区间[-1,1]上有零点，求a 的
取值范围。
变式2：已知函数f (x )=x 3
-3ax -1若f (x )在x =-1处取得极值，直线y =m 与y =f (x )的图像有3
个不同的交点，求m 的取值范围。
变式3：已知函数f (x )=a ln (x +1)+x 2-10x 若f (x )在x =3处取得极值。 （1）求a 的值；
（2）求函数f (x )的单调区间
（3）直线y =b 与y =f (x )的图像有3个不同的交点，求b 的取值范围。
考向四：不等式恒成立问题
例题4. 已知函数f (x )=x 4
+ax 3
+2x 2
+b (x ∈R ), a ∈R , b ∈R ，若对任意的a ∈[-2,2]，不等式f (x )≤1
在[-1,1]上恒成立，求b 的取值范围。
变式1：设函数f (x )=e x
-e -x
，若对所有的x ≥0都有f (x )≥ax ，求a 的取值范围。
变式2：设函数f (x )=
1
x ln x
(x >0, x ≠1) （1）求函数f (x )的单调区间；
1（2）已知2x
>x a
对任意x ∈(0,1)成立，求a 的取值范围。
变式3：设函数f (x )=(x +1)ln (x +1)，若对所有的x ≥0都有f (x )≥ax ，求a 的取值范围。
例题5. 设x =3是函数f (x )=(x 2
+ax +b )
e
3-x
(x ∈R )的一个极值点。
（1）求a 与b 的关系式(用a 表示b )
，并求函数f (x )的单调区间； （2）设a >0, g (x )= ⎛a 2
+
25⎫⎝4⎪⎭
e x
，若存在ξ1, ξ2∈[0,4]使得f (ξ1)-g (ξ2)
n
k
变式1：是否存在a ∈N ，使得an
1+1⎫
k ⎪⎭
若不存在，请说明理由。
：已知函数f (x )=ln 2
(1+x )-x 2
变式21+x
（1）求函数f (x )的单调区间；
n +a
（2）若不等式⎛ ⎝1+1⎫
n ⎪
⎭
≤e 对任意的n ∈N *都成立，求a 的最大值。
考向五：利用导数证明不等式
例题6 已知函数f (x )=ln (1+x )-
x
1+x
（1）求f (x )的极小值；
（2）若a , b >0, 求证:ln a -ln b ≥1-b a
.
例题7 已知函数f (x )=ln x （1）求g (x )=f (x +1)-x 的最大值； （2）当0
2a (b -a )
a 2+b
2
变式1：已知函数f (x )=ln (1+x )-x , g (x )=x ln x ,0
0
⎝2⎪⎭
变式2：已知函数f (x )=ln x -1
x
(x ≥2)，求证：f (x -1)≤2x -5
变式3：已知函数f (x )=1
(1-x )
n
+ln (x -1), n ∈N *，求证：对任意正整数n ，当x ≥2时，有f (x )≤x -1
ln 22
2
2
变式4：，求证：
22+ln332+... +ln n
(n -1)(2n +1)n 2
变式5：，求证： ⎛1+
1⎫⎛⎝2⎪⎭⎝1+1⎫⎛4⎭⎝1+1⎫8⎪⎭... ⎛ ⎝1+1⎫
22n ⎪⎭
变式6：已知函数f (x )=ln x , g (x )=x +a
x
(a ∈R )，
（1）若x ≥1时，f (x )≤g (x )恒成立，求实数a 的取值范围。
（2）求证：
ln 2ln 334... ln n n +1
n
(n ≥2, n ∈N *)
变式7：已知函数f (x )=
ln x
x +1
-ln x +ln (x +1) （1）求函数f (x )的单调区间与极值。
（2）是否存在实数a ，使得关于x 的不等式f (x )≥a 的解集为(0, +∞)？若存在，求a 的取值范围，若不存在，试说明理由。
变式8：已知函数f (x )=⎛ 1⎫
x
f (2x )+f (2)⎝1+n ⎪⎭
(n ∈N *, x ∈R )，证明
2>f ' (x )
变式9：已知函数f (x )=x 2
-ln (x +1)
（1）当x >0时，求证：f (x )
;
（2）当n ∈N *
时，求证：
∑n
f ⎛1⎫
⎝k ⎪⎭2333+... +n 3
≤4-2n n +1例题8 求证：n
n +1
>(n +1)n
(n ∈N *, n ≥3)
11变式1：求证：n n
>(n +1)
n +1
(n ∈N *, n ≥3)
11变式2：求证：1
>⎛n
⎛1⎫
n +⎝n +1⎪⎭
1⎫*
⎝n ⎪⎭
(n ∈N , n ≥3)
变式3：求证：m n >n m (m , n ∈N *
,3≤m
11变式4：求证：m m
>n
n
(m , n ∈N *
,3≤m
1
1变式5：求证：n
m
⎛1⎫⎝n ⎪⎭>⎛ 1⎫
⎝m ⎪⎭
(m , n ∈N *
,3≤m
例题9 求证：sin π
2
n +1
≥
n +1
(n
∈N *
)
变式1：
例题10. 已知函数f (x )=x -sin x 数列{a n }满足：0
（2）a 1n +1
6
a 3n
变式1：已知函数f (x )=
12
x 2
-ax +(a -1)ln x , a >1，求证：若a
1, x 2∈(0, +∞), x 1≠x 2, 有
x -x >-1
12
预测一：已知函数f (x )=
1+x 1-x
e -ax
（1）设a >0，讨论f (x )的单调性；
（2）若对∀x ∈(0,1), f (x )>1，求a 的取值范围。
预测二：已知函数f (x )=x +a ln x , 其中a 为常数，且a ≤-1 （1）当a =-1时，求f (x )在⎡⎣e , e 2
⎤⎦(e ≈2.71828)上的值域；
（2）若f (x )≤e -1对任意x ∈⎡⎣e , e 2⎤⎦恒成立，求实数a 的取值范围。
预测三：已知函数f (x )= ⎛1+a ⎫⎝x ⎪⎭
e x
, 其中a>0 （1） 求函数f (x )的零点；
（2） 讨论y =f (x )在区间(-∞,0)上的单调性；
（3） 在区间⎛
⎝
-∞, -a ⎤2⎥⎦上，f (x )是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由。
预测四：已知函数f (x )=a ln x -
1
x
, 其中a ∈R （1）若曲线y =f (x )在点(1, f (1))
处的切线与直线x +2y =0垂直，求a 的值； （2）求函数f (x )的单调区间；
（3）当a =1, x ≥2时，证明：f (x -1)≤2x -5。
预测五：已知函数f (x )=ln x +
a x
（1） 设a
2
，求a 的值
预测六：已知函数f (x )=px -
p
x
-2ln x （1） 若p =2，求曲线y =f (x )在点(1, f (1))
处的切线方程； （2） 若函数f (x )在其定义域内为增函数，求正实数p 的取值范围； （3） 设函数g (x )=
2e
x
, 若在[1, e ]上至少存在一点x 0，使得f (x 0)>g (x 0)成立，求实数p 的取值范围。
预测七：已知函数f (x )=x 3
-x
（1）求f (x )的单调区间；
（2）设a >0，如果过点(a , b )可作曲线y =f (x )的三条切线，证明：-a
预测八：已知函数f (x )=ax 2
-x (a ∈R , a ≠0), g (x )=ln x
（1）当a =1时，判断f (x )-g (x )在定义域上的单调性；
（2）若函数y =f (x )与y =g (x )的图像有两个不同的交点M , N ，求a 的取值范围；
（3）设点A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)(x 1
预测九：已知函数f (x )=x -a -ln x (a >0) （1）若a =1，求f (x )的单调区间及f (x )的最小值； （2）若a >0，求f (x )的单调区间；
（3）试比较ln 22ln3223+ln n 2(n -1)(2n +1)2+2+... n 2与2n +1(n ≥2, n ∈N *)的大小，并证明你结论。
预测十：已知函数f (x )=
1+ln (x +1)
x
, g (x )=x -1-ln (x +1) （1）讨论f (x )在(0, +∞)上的单调性；
（2）求证：函数y =g (x )在区间(2,3)上有唯一零点；
（3）当x >0时，不等式xf (x )>kg '
(x )恒成立，求k 的最大值。
预测十一：已知函数f (x )=
1-x
ax
+ln x 在[1, +∞)上是增函数。 （1）求正实数a 的取值范围； （2）设b >0, a >1，求证：1a +b
b
预测十二：已知函数f (x )=ln x -
12
ax 2
-2x (a
12且关于x 的方程f (x )=-1
2
x +b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；（3）设各项为正的数列{a n }满足a 1=1, a n +1=ln a n +a n +2, n ∈N *。求证：a n ≤2n -1
预测十三：已知函数f (x )=
ln x x +1
x
（1）若函数f (x )在 ⎛
m , m +1⎪⎫⎝3⎭
(m >0)上存在极值，求实数m 的取值范围； （2）如果当x ≥1时，不等式f (x )≥k
x +1
恒成立，求实数k 的取值范围； （3）求证：⎡⎣(n +1)! ⎤2
⎦>(n +1)⋅e
n -2
(n ∈N *)
预测十四：已知函数f (x )=ln x -ax (a ∈R )
(1)判断函数f (x )的单调性；
（2）当ln x
n
（3）证明：⎛ ⎝1+1⎫
n ⎪⎭
预测十五：已知函数f (x )=ln x +x 2
-ax
(1)若函数f (x )在其定义域上为增函数，求a 的取值范围； (2)设a n =1+
1(n ∈N *)，求证：3(a 21+a 2+... +a 2n
n )-a 1-a 2
-... -a 2
n