2015 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试
上海•数学试卷（文史类）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数f (x )=1-3sin 2x 的最小正周期为【答案】π
2. 设全集U =R ，若集合A ={1,2,3,4}, B ={x |2≤x ≤3}，则A ðU B =【答案】{1,4}
3. 若复数z 满足3z +z =1+i ，其中i 为虚数单位，则z = . 【答案】
11+i 42
4. 若f -1(x )为f (x )=2
【答案】-
3
x
的反函数，则f -1(2)=2x +1
⎛23c 1⎫⎧x =3
5. 若线性方程组的增广矩阵为 ，解为，则c 1-c 2=⎨⎪
01c y =5⎩⎝2⎭
【答案】16
6. 若正三棱柱的所有棱长均为a
，且其体积为，则a = . 【答案】4
7. 抛物线y 2=2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =【答案】2
8. 方程log 29x -1-5=log 23x -1-2+2的解为【答案】2
⎧x -y ≥0
⎪
9. 若x , y 满足⎨x +y ≤2，则目标函数f =x +2y 的最大值为 .
⎪y ≥0⎩
()()
【答案】3
10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 .（结果用数值表示） 【答案】120
1⎫⎛
11. 在 2x +2⎪的二项展开式中，常数项等于 .（结果用数值表示）
x ⎭⎝
6
【答案】240
x 2
12. 已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为-y 2=1. 若C 2的一条渐近线的斜率是
4
C 1放入一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为x 2y 2
【答案】-=1
44
3则a
+b +c 的最大值13. 已知平面向量a , b , c 满足a ⊥b ，且a , b c ={1, 2}, ，
{}
是 . 【答案】314. 已知函数f
(x )=s i n x ，若
x 1, x 2, , x m 存在满足0≤x 1
f (x 1)-f (x
2
+)+f (x )2-f (x )3
+f (x m -)-1f (x m )=12m , ∈N *)，则m 的最小值(m ≥2
为 .
【答案】8；
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分.
15. 设z 1, z 2∈C ，则“z 1、z 2均为实数”是“z 1-z 2是实数”的（ ） A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】A ；
16. 下列不等式中，与不等式A. (x +8)x 2+2x +3
x +8
x 2+2x +3
B. x +8
()
()
12
C. 2
x +2x +3x +8【答案】B
x 2+2x +31
D. >
x +82
17. 已知点A 的坐标为，将OA 绕坐标原点O
逆时针转（ ）
()
π
至OB ，则B 的纵坐标为3
B.
C.
11 2
D.
13 2
【答案】D
18. 设P n (x n , y n )是直线2x -y =lim
y n -1
=（ ） x n -1
n
n ∈N *)与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限(n +1
n →∞
A. -1
1
B. -
2
C.1 D.2
【答案】A
三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）
如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中OA =1. 求三棱锥P -AOC 的体积，点，并求异面直线PA E 为劣弧CB 的中点. 已知PO =2，
与OE 所成的角的大小.
1
【答案】V P -AOC =，异面直线PA 与OE
所成的角为
3
【解析】
（1）∵C 为半圆弧AB 的中点， ∴∠AOC =90， ∴S ∆AOC
A
B 11111=，∴V P -AOC =S ∆AOC ⋅PO =⋅⋅2=； 23323
（2）由题意可知∠OAC =∠BOE =45，∴OE AC ，
∴∠PAC 的大小即为异面直线PA 与OE 所成的角或其补角的大小，
易知PA =
，PC ，
AC =
在∆PAC 中，由余弦定理可得：
cos ∠PAC =
PA +AC -PC ==，
2PA ⋅AC 2
2
2
A
B E
即异面直线PA 与OE
所成的角为
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数f (x )=ax 2+
1
，其中a 为常数. x
（1）根据a 的不同取值，判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； （2）若a ∈(1,3)，判断函数f (x )在[1,2]上的单调性，并说明理由.
【答案】（1）当a =0时，f (x )为奇函数；当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数. （2）增函数.
【解析】
（1）由题意可知x ∈(-∞,0)⋃(0, +∞)，关于原点对称. ①f (x )为偶函数⇔f (x )=f (-x )⇔ax 2+x ∈(-∞,0)⋃(0, +∞)恒成立，
1112
=a (-x )-⇔=0对任意 x x x
显然
1
≠0，∴f (x )不可能为偶函数； x
②f (x )为奇函数⇔f (-x )=-f (x )
⇔a (-x )-
2
11⎫⎛
=- ax 2+⎪⇔ax 2=0对任意x ∈(-∞,0)⋃(0, +∞)恒成立， x x ⎭⎝
显然有a =0时，ax 2=0对任意x ∈(-∞,0)⋃(0, +∞)恒成立， ∴当a =0时，f (x )为奇函数；
综上可知，当a =0时，f (x )为奇函数；当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数. （2）f (x )在[1,2]上为增函数，理由如下：
任取1≤x 1
ax x (x +x 2)-11⎛21⎫
， - ax 2+⎪=(x 1-x 2)121
x 1⎝x 2⎭x 1x 2
由a ∈(1,3)和1≤x 1x 12≥1，x 1+x 2>2x 1≥2 ∴ax 1x 2(x 1+x 2)-1>2ax 13-1≥2a -1>2⋅1-1=1>0，又x 1-x 2
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，O , P , Q 三地有直道相通，OP =3千米，PQ =4千米，OQ =5千米. 现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为f (t ) （单位：千米），甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待，设t =t 1时，乙到达P 地；t =t 2时，乙到达Q 地. （1）求t 1与f (t 1) 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t 1≤t ≤t 2时，
O
Q
P
求f (t ) 的表达式，并判断f (t ) 在[t 1, t 2]上的最大值是否超过3？说明理由. 【答案】（1）t 1=超过3. 【解析】 （1）t 1=
OP 3
=， V 乙8
3⎡37⎤
，f (
t 1)=；（2）f (
t )t ∈⎢⎥；最大值没有
8⎣88⎦
Q
A
15
，如图所示 8
此时，设甲所在位置为A ，则OA =t 1⋅V 甲=
O P
∴ f (
t 1)=AP ==（2）f (t ) 在[t 1, t 2]上的最大值不超过3，理由如下： 设甲、乙所在位置分别为A 、B . 易知t 1=
Q
3OP +PQ 7
=. ，t 2=
V 乙88
A
B
⎛3⎫
如图所示：QA =5-5t ，QB =4-8 t -⎪=7-8t ，
⎝8⎭
⎡37⎤
当t ∈[t 1, t 2]即t ∈⎢, ⎥时，
⎣88⎦
O P
242222
f t ⎡⎤()⎣⎦=AB =(7-8t )+(5-5t )-2⋅(7-8t )⋅(5-5t )⋅5=25t -42t +18，
即f (
t )
而函数y =25t 2-42t +18的对称轴t =
21⎡37⎤321721
∈⎢, ⎥，且->-， 25⎣88⎦825825
∴当t =
3⎛3⎫
t )max =f ⎪=
88⎝⎭
∴所以f (t )在[t 1, t 2]上的最大值没有超过3.
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分.
已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记
AOC 的面积为S .
（1）设A (x (x )，用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明1, y 1), C 2, y 2S =
1
x 1y 2-x 2y 1； 2
1
（2）设l 1:y =
kx ，C ，，求k 的值； S =3⎝⎭
（3）设l 1与l 2的斜率之积为m ，求m 的值，并使得无论l 1与l 2如何变动，面积S 保持不变.
【答案】（1）C 到直线l
1
11
（2）k =-1或k =-；（3）m =-
时，此时面积为定值S =.
52
【解析】
（1）由题意可知OA =(x 1, y 1)，l 1的一个法向量n 1=(y 1, -x 1)，∴l 1:y 1x -x 1y =0，
∴点C (x 2, y 2)C 到直线l 1的距离d =
故S =
y x -x y 1OA ⋅d ==1212. 221（2）由（1）可得：=x 1-y 1)，即x 1-y 1=，又x 12+2y 12=1
3∴(x 1-y 1)=
2
42
x 1+2y 12)， (3
2
⎛y ⎫y
由此可得5 1⎪+61+1=0，即5k 2+6k +1=0，
x 1⎝x 1⎭1
解之k =-1或k =-；
5
（3）易知两直线的斜率分别为：k l 1=y 1y 2=mx 1x 2，又y 12=
y 1y
，k l 2=2，由l 1与l 2的斜率之积为m 可得： x 1x 2
11
1-x 12)，y 22=(1-x 22)， (2211
所以y 12y 22=m 2x 12x 22=(1-x 12)(1-x 22)=(1-x 12-x 22+x 12x 22)，
44
即x 12+x 22=1+1-4m 2x 12x 22，
1⎛1⎫
而S = x 1y 2-x 2y 1⎪=(x 12y 22+x 22y 12-2x 1x 2y 1y 2)
4⎝2⎭
2
2
()
=
1⎡12122222⎤x 1-x +x 1-x -2mx x ()()211212⎥ 4⎢22⎣⎦
化简得S 2=
122m +122
x 1+x 22)-x 1x 2， (84
1⎛1-4m 22m +1⎫221(2m +1)22
将x +x 2=1+1-4m x x 代入得：S =+ -x 1x 2 ⎪x 1x 2=-
8⎝84⎭88
2
1
2
(
2
)
2
2212
2
1
欲使面积S 为定值，只需m =-
即可，此时面积S =.
2
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知数列{a n }与{b n }满足a n +1-a n =2(b n +1-b n ), n ∈N *. （1）若b n =3n +5，且a 1=1，求{a n }的通项公式；
（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a n 0≥a n n ∈N *，求证：{b n }的第n 0项是最大项；
*
（3）设a 1=3λ
()
()
a m ⎛1⎫
∈ ,6⎪. a n ⎝6⎭
⎛1⎫
【答案】（1）a n =6n -5n ∈N *；（2）证明见解析；（3） -,0⎪；
⎝4⎭
【解析】
()
（1）由b n =3n +5可得：a n +1-a n =2(b n +1-b n )=6n ∈N *，又a 1=1，
所以数列{a n }为以1为首项，6为公差的等差数列， 即有a n =6n -5n ∈N *. （2）
【法一】由a n +1-a n =2(b n +1-b n ), n ∈N *可得：
()
()
a 2-a 1=2(b 2-b 1) a 3-a 2=2(b 3-b 2)
a n -a n -1=2(b n -b n -1)(n ≥2)
将上述式子累加可得：a n -a 1=2(b n -b 1)(n ≥2)，当n =1时，左式也成立，
所以a n -a 1=2(b n -b 1)n ∈N *， 11
由此可得b n =a n +b 1-a 1，
221
由于b 1-a 1为常数，
2
()
11
所以当{a n }的第n 0项是最大项时，a n +b 1-a 1最大，
22
即{b n }的第n 0项是最大项；
【法二】任取m ∈N *，不妨设n 0>m ，
由a n 0≥a n 可得a n 0-a m =(a n 0-a n 0-1)+(a n 0-1-a n 0-2)+即2(b n 0-b n 0-1)+2(b n 0-1-b n 0-2)+∴b n 0≥b m ，
同理可证当n 0
所以故对任意的m ∈N *，可得对任意的n ∈N *都有b n 0≥b n ， 故{b n }的第n 0项是其最大项.
（3）由a n +1-a n =2(b n +1-b n )和累加法可得a n -a 1=2(b n -b 1)n ∈N *， 即a n =2b n +a 1-2b 1，
结合a 1=3λ, b n =λn 可得a n =2⋅λn +λ， 若对任意m , n ∈N *, a n ≠0，且
a m ⎛1⎫
∈ ,6⎪，则要求数列{a n }各项符号相同，且{a n }的最大a n ⎝6⎭
+(a m +1-a m )≥0
+2(b m +1-b m )≥0⇒b n 0-b m ≥0，
()
⎛1⎫
项与最小项之比属于 ,6⎪，分三种情况进行讨论：
⎝6⎭
①当λ=-1时，则n 为偶数时a n =1，n 为奇数时a n =-3，此情况不满足条件“数列{a n }各项符号相同”；
②当λ
此时n 为奇数时，a n 为负，据题意要求n 为偶数时的a n 也要恒为负，
⎛1⎫
由于a n 中偶数项单调递减，所以只需最大项a 2=2λ2+λ
⎝2⎭
又a n +2-a n =2λn +2+λ-2λn +λ=2λ2-1λn ， 当n 为奇数时，上式为正；当n 为偶数时，上式为负， 即{a n }中数项递增，偶数项递减，
又a 2n -1=2λ2n -1+λλ可得：a 2n -1∈ ,6⎪， ∴{a n }的最大项与最小项之比为=
a 13λ⎝6⎭
()()
⎛1⎫
解之λ∈ -,0⎪，
⎝4⎭
⎛1⎫
综上可得符合条件的λ∈ -,0⎪.
⎝4⎭
2015 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试
上海•数学试卷（文史类）
一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 函数f (x )=1-3sin 2x 的最小正周期为【答案】π
2. 设全集U =R ，若集合A ={1,2,3,4}, B ={x |2≤x ≤3}，则A ðU B =【答案】{1,4}
3. 若复数z 满足3z +z =1+i ，其中i 为虚数单位，则z = . 【答案】
11+i 42
4. 若f -1(x )为f (x )=2
【答案】-
3
x
的反函数，则f -1(2)=2x +1
⎛23c 1⎫⎧x =3
5. 若线性方程组的增广矩阵为 ，解为，则c 1-c 2=⎨⎪
01c y =5⎩⎝2⎭
【答案】16
6. 若正三棱柱的所有棱长均为a
，且其体积为，则a = . 【答案】4
7. 抛物线y 2=2px (p >0)上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =【答案】2
8. 方程log 29x -1-5=log 23x -1-2+2的解为【答案】2
⎧x -y ≥0
⎪
9. 若x , y 满足⎨x +y ≤2，则目标函数f =x +2y 的最大值为 .
⎪y ≥0⎩
()()
【答案】3
10. 在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 .（结果用数值表示） 【答案】120
1⎫⎛
11. 在 2x +2⎪的二项展开式中，常数项等于 .（结果用数值表示）
x ⎭⎝
6
【答案】240
x 2
12. 已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为-y 2=1. 若C 2的一条渐近线的斜率是
4
C 1放入一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为x 2y 2
【答案】-=1
44
3则a
+b +c 的最大值13. 已知平面向量a , b , c 满足a ⊥b ，且a , b c ={1, 2}, ，
{}
是 . 【答案】314. 已知函数f
(x )=s i n x ，若
x 1, x 2, , x m 存在满足0≤x 1
f (x 1)-f (x
2
+)+f (x )2-f (x )3
+f (x m -)-1f (x m )=12m , ∈N *)，则m 的最小值(m ≥2
为 .
【答案】8；
二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分.
15. 设z 1, z 2∈C ，则“z 1、z 2均为实数”是“z 1-z 2是实数”的（ ） A. 充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】A ；
16. 下列不等式中，与不等式A. (x +8)x 2+2x +3
x +8
x 2+2x +3
B. x +8
()
()
12
C. 2
x +2x +3x +8【答案】B
x 2+2x +31
D. >
x +82
17. 已知点A 的坐标为，将OA 绕坐标原点O
逆时针转（ ）
()
π
至OB ，则B 的纵坐标为3
B.
C.
11 2
D.
13 2
【答案】D
18. 设P n (x n , y n )是直线2x -y =lim
y n -1
=（ ） x n -1
n
n ∈N *)与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限(n +1
n →∞
A. -1
1
B. -
2
C.1 D.2
【答案】A
三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19. （本题满分12分）
如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中OA =1. 求三棱锥P -AOC 的体积，点，并求异面直线PA E 为劣弧CB 的中点. 已知PO =2，
与OE 所成的角的大小.
1
【答案】V P -AOC =，异面直线PA 与OE
所成的角为
3
【解析】
（1）∵C 为半圆弧AB 的中点， ∴∠AOC =90， ∴S ∆AOC
A
B 11111=，∴V P -AOC =S ∆AOC ⋅PO =⋅⋅2=； 23323
（2）由题意可知∠OAC =∠BOE =45，∴OE AC ，
∴∠PAC 的大小即为异面直线PA 与OE 所成的角或其补角的大小，
易知PA =
，PC ，
AC =
在∆PAC 中，由余弦定理可得：
cos ∠PAC =
PA +AC -PC ==，
2PA ⋅AC 2
2
2
A
B E
即异面直线PA 与OE
所成的角为
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
已知函数f (x )=ax 2+
1
，其中a 为常数. x
（1）根据a 的不同取值，判断函数f (x )的奇偶性，并说明理由； （2）若a ∈(1,3)，判断函数f (x )在[1,2]上的单调性，并说明理由.
【答案】（1）当a =0时，f (x )为奇函数；当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数. （2）增函数.
【解析】
（1）由题意可知x ∈(-∞,0)⋃(0, +∞)，关于原点对称. ①f (x )为偶函数⇔f (x )=f (-x )⇔ax 2+x ∈(-∞,0)⋃(0, +∞)恒成立，
1112
=a (-x )-⇔=0对任意 x x x
显然
1
≠0，∴f (x )不可能为偶函数； x
②f (x )为奇函数⇔f (-x )=-f (x )
⇔a (-x )-
2
11⎫⎛
=- ax 2+⎪⇔ax 2=0对任意x ∈(-∞,0)⋃(0, +∞)恒成立， x x ⎭⎝
显然有a =0时，ax 2=0对任意x ∈(-∞,0)⋃(0, +∞)恒成立， ∴当a =0时，f (x )为奇函数；
综上可知，当a =0时，f (x )为奇函数；当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数. （2）f (x )在[1,2]上为增函数，理由如下：
任取1≤x 1
ax x (x +x 2)-11⎛21⎫
， - ax 2+⎪=(x 1-x 2)121
x 1⎝x 2⎭x 1x 2
由a ∈(1,3)和1≤x 1x 12≥1，x 1+x 2>2x 1≥2 ∴ax 1x 2(x 1+x 2)-1>2ax 13-1≥2a -1>2⋅1-1=1>0，又x 1-x 2
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
如图，O , P , Q 三地有直道相通，OP =3千米，PQ =4千米，OQ =5千米. 现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为f (t ) （单位：千米），甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待，设t =t 1时，乙到达P 地；t =t 2时，乙到达Q 地. （1）求t 1与f (t 1) 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t 1≤t ≤t 2时，
O
Q
P
求f (t ) 的表达式，并判断f (t ) 在[t 1, t 2]上的最大值是否超过3？说明理由. 【答案】（1）t 1=超过3. 【解析】 （1）t 1=
OP 3
=， V 乙8
3⎡37⎤
，f (
t 1)=；（2）f (
t )t ∈⎢⎥；最大值没有
8⎣88⎦
Q
A
15
，如图所示 8
此时，设甲所在位置为A ，则OA =t 1⋅V 甲=
O P
∴ f (
t 1)=AP ==（2）f (t ) 在[t 1, t 2]上的最大值不超过3，理由如下： 设甲、乙所在位置分别为A 、B . 易知t 1=
Q
3OP +PQ 7
=. ，t 2=
V 乙88
A
B
⎛3⎫
如图所示：QA =5-5t ，QB =4-8 t -⎪=7-8t ，
⎝8⎭
⎡37⎤
当t ∈[t 1, t 2]即t ∈⎢, ⎥时，
⎣88⎦
O P
242222
f t ⎡⎤()⎣⎦=AB =(7-8t )+(5-5t )-2⋅(7-8t )⋅(5-5t )⋅5=25t -42t +18，
即f (
t )
而函数y =25t 2-42t +18的对称轴t =
21⎡37⎤321721
∈⎢, ⎥，且->-， 25⎣88⎦825825
∴当t =
3⎛3⎫
t )max =f ⎪=
88⎝⎭
∴所以f (t )在[t 1, t 2]上的最大值没有超过3.
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分6分.
已知椭圆x 2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记
AOC 的面积为S .
（1）设A (x (x )，用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明1, y 1), C 2, y 2S =
1
x 1y 2-x 2y 1； 2
1
（2）设l 1:y =
kx ，C ，，求k 的值； S =3⎝⎭
（3）设l 1与l 2的斜率之积为m ，求m 的值，并使得无论l 1与l 2如何变动，面积S 保持不变.
【答案】（1）C 到直线l
1
11
（2）k =-1或k =-；（3）m =-
时，此时面积为定值S =.
52
【解析】
（1）由题意可知OA =(x 1, y 1)，l 1的一个法向量n 1=(y 1, -x 1)，∴l 1:y 1x -x 1y =0，
∴点C (x 2, y 2)C 到直线l 1的距离d =
故S =
y x -x y 1OA ⋅d ==1212. 221（2）由（1）可得：=x 1-y 1)，即x 1-y 1=，又x 12+2y 12=1
3∴(x 1-y 1)=
2
42
x 1+2y 12)， (3
2
⎛y ⎫y
由此可得5 1⎪+61+1=0，即5k 2+6k +1=0，
x 1⎝x 1⎭1
解之k =-1或k =-；
5
（3）易知两直线的斜率分别为：k l 1=y 1y 2=mx 1x 2，又y 12=
y 1y
，k l 2=2，由l 1与l 2的斜率之积为m 可得： x 1x 2
11
1-x 12)，y 22=(1-x 22)， (2211
所以y 12y 22=m 2x 12x 22=(1-x 12)(1-x 22)=(1-x 12-x 22+x 12x 22)，
44
即x 12+x 22=1+1-4m 2x 12x 22，
1⎛1⎫
而S = x 1y 2-x 2y 1⎪=(x 12y 22+x 22y 12-2x 1x 2y 1y 2)
4⎝2⎭
2
2
()
=
1⎡12122222⎤x 1-x +x 1-x -2mx x ()()211212⎥ 4⎢22⎣⎦
化简得S 2=
122m +122
x 1+x 22)-x 1x 2， (84
1⎛1-4m 22m +1⎫221(2m +1)22
将x +x 2=1+1-4m x x 代入得：S =+ -x 1x 2 ⎪x 1x 2=-
8⎝84⎭88
2
1
2
(
2
)
2
2212
2
1
欲使面积S 为定值，只需m =-
即可，此时面积S =.
2
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
已知数列{a n }与{b n }满足a n +1-a n =2(b n +1-b n ), n ∈N *. （1）若b n =3n +5，且a 1=1，求{a n }的通项公式；
（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a n 0≥a n n ∈N *，求证：{b n }的第n 0项是最大项；
*
（3）设a 1=3λ
()
()
a m ⎛1⎫
∈ ,6⎪. a n ⎝6⎭
⎛1⎫
【答案】（1）a n =6n -5n ∈N *；（2）证明见解析；（3） -,0⎪；
⎝4⎭
【解析】
()
（1）由b n =3n +5可得：a n +1-a n =2(b n +1-b n )=6n ∈N *，又a 1=1，
所以数列{a n }为以1为首项，6为公差的等差数列， 即有a n =6n -5n ∈N *. （2）
【法一】由a n +1-a n =2(b n +1-b n ), n ∈N *可得：
()
()
a 2-a 1=2(b 2-b 1) a 3-a 2=2(b 3-b 2)
a n -a n -1=2(b n -b n -1)(n ≥2)
将上述式子累加可得：a n -a 1=2(b n -b 1)(n ≥2)，当n =1时，左式也成立，
所以a n -a 1=2(b n -b 1)n ∈N *， 11
由此可得b n =a n +b 1-a 1，
221
由于b 1-a 1为常数，
2
()
11
所以当{a n }的第n 0项是最大项时，a n +b 1-a 1最大，
22
即{b n }的第n 0项是最大项；
【法二】任取m ∈N *，不妨设n 0>m ，
由a n 0≥a n 可得a n 0-a m =(a n 0-a n 0-1)+(a n 0-1-a n 0-2)+即2(b n 0-b n 0-1)+2(b n 0-1-b n 0-2)+∴b n 0≥b m ，
同理可证当n 0
所以故对任意的m ∈N *，可得对任意的n ∈N *都有b n 0≥b n ， 故{b n }的第n 0项是其最大项.
（3）由a n +1-a n =2(b n +1-b n )和累加法可得a n -a 1=2(b n -b 1)n ∈N *， 即a n =2b n +a 1-2b 1，
结合a 1=3λ, b n =λn 可得a n =2⋅λn +λ， 若对任意m , n ∈N *, a n ≠0，且
a m ⎛1⎫
∈ ,6⎪，则要求数列{a n }各项符号相同，且{a n }的最大a n ⎝6⎭
+(a m +1-a m )≥0
+2(b m +1-b m )≥0⇒b n 0-b m ≥0，
()
⎛1⎫
项与最小项之比属于 ,6⎪，分三种情况进行讨论：
⎝6⎭
①当λ=-1时，则n 为偶数时a n =1，n 为奇数时a n =-3，此情况不满足条件“数列{a n }各项符号相同”；
②当λ
此时n 为奇数时，a n 为负，据题意要求n 为偶数时的a n 也要恒为负，
⎛1⎫
由于a n 中偶数项单调递减，所以只需最大项a 2=2λ2+λ
⎝2⎭
又a n +2-a n =2λn +2+λ-2λn +λ=2λ2-1λn ， 当n 为奇数时，上式为正；当n 为偶数时，上式为负， 即{a n }中数项递增，偶数项递减，
又a 2n -1=2λ2n -1+λλ可得：a 2n -1∈ ,6⎪， ∴{a n }的最大项与最小项之比为=
a 13λ⎝6⎭
()()
⎛1⎫
解之λ∈ -,0⎪，
⎝4⎭
⎛1⎫
综上可得符合条件的λ∈ -,0⎪.
⎝4⎭