利用多面体的顶点坐标计算多边形面积
南海区大沥高级中学 江福松 2006年6月
26日
在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，经常会遇到需要求某个多边形的面积或多面体的体积问题。但是有时题目给的却是多面体或多边形的顶点的坐标。尤其是三维空间坐标。计算其面积时会比较麻烦。下面利用多面体的顶点坐标利用向量方法推导多边形的面积。 一、平面直角坐标系中坐标求面积公式的推导：
（1） 三角形面积：
设三角形ABC 的三个顶点坐标分别是（x 1,y 1）,(x2,y 2),(x3,y 3) 则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1), AC =(x 3-x 1, y 3-y 1) 。 令x 2-x 1=m, y2 -y1=n ； x 3-x 1=p, y3 -y1=q 则
AB =(m , n ) ，AC =(p , q )
B
C
设，夹角为θ，则三角形ABC 的面积为： S= =
11
||||sinθ=||||-cos 2θ 22
(m , n ) ⋅(p , q ) 1
) 2 |AB ||AC |-(
2m 2+n 2⋅p 2+q 212
m 2+n 2⋅p 2+q 2
=
-(
(m , n ) ⋅(p , q ) m 2+n 2⋅p 2+q 2
) 2
121 =2
=
(m 2+n 2) ⋅(p 2+q 2) -(mp +nq ) 2 (mq -np ) 2=|mq -np |
(2)平行四边形ABCD 面积：（可以看作两个相等三角形面积之和） S=S ABD +S BCD =2S ABD =|mq -np |
同理，对梯形，五边形，六边形等平面图形，都可以将它们转化为求三角形面积进行求解。 二、空间直角坐标系中用坐标求面积公式的推导：
在空间直角坐标系中由三角形ABC 的三个顶点坐标分别求得（x 1,y 1, z 1）,(x2,y 2, z 2),(x3,y 3, z 3). ，=(p,q,f) =（m,n,e ）
则三角形ABC 的面积为： S= =
11
||||sinθ=||||-cos 2θ 22
(m , n , e ) ⋅(p , q , f ) 1
) 2 ||||-(
2m 2+n 2+e 2⋅p 2+q 2+f 212
m 2+n 2+e 2⋅p 2+q 2+f
2
=
-(
(m , n , e ) ⋅(p , q , f ) m 2+n 2+e 2⋅p 2+q 2+f
2
) 2
121 =2
=
(m 2+n 2+e 2) ⋅(p 2+q 2+f 2) -(mp +nq +ef ) 2
(mq -np ) 2+(mf -ep ) 2+(nf -ep ) 2
与求平面图形面积一样可以求出四边形，五边形，六边形面积等。 或者可以这样记法：
若AB =（x 1, y 1, z 1），AC =(x 2, y 2, z 2) 则三角形ABC 的面积为 S=
12
(x 1y 2-x 2y 1) 2+(x 1z 2-x 2z 1) 2+(y 1z 2-y 2z 1) 2
公式中三组数的平方对应如下： （
(
二、例题应用：
例1（二维空间面积的求法）：已知平行四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别是：A （1，2），B （3，4），C （4，7），D （2，5）。求平行四边形ABCD 的面积。 解：由已知：
, 1, z 1） （x 1, , ） （, y 1, 1）
2y 2, z 2) (x 2, 2, 2) (2y 22)
AB =（2，2）
AD =(1，3)
所以，平行四边形ABCD 的面积：
S=S ABD +S BCD =2S ABD =|mq -np |=|2⨯3-2⨯1|=4
例2（三维空间面积的求法）：在空间直角坐标系中，已知三角形ABC 的坐标分别是A （2，1，3），B （3，1，-2），C （5，2，4）求三角形ABC 的面积。 解：由已知： ， =（1，0，-5 ）
=(3，1，1 )
所以，三角形ABC 的面积为：
1
(x 1y 2-x 2y 1) 2+(x 1z 2-x 2z 1) 2+(y 1z 2-y 2z 1) 2 21
(1⨯1-0⨯3) 2+(1⨯1-(-5) ⨯3) 2+(0⨯1-(-5) ⨯1) 2 = 21 =282 2例3：四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=BC=2，AD=4，BC ⊥AB ，AD ⊥AB ，点M ，N 分别是PD ，PC 的中点。求四棱锥P-AMN 的体积。
S=
分析：建立空间直角坐标系如图： 易知，各点的坐标如下： M （0，2，1），N （1，1，1），A （0，0，0），P （0，0，4） 如果要求四棱锥P-AMN 的体积，关键是要求出：
1、 其中一个底面的面积。2、该底面对应的顶点到底面的距离。
当多边形的底面不是特殊的规则图形（如直角三角形、等边三角形、平行四边形梯形等等）时求面积可能就不是那么容易。但是如果用三角形的空间坐标公式，就不用考虑图形的具体情况了，我们要的只是三角形的顶点坐标而已。 对于三角形ANM ，显然： ， AN =(1，1，1 ) AM =（0，2，1）三角形AMN 的面积： S=
1
(x 1y 2-x 2y 1) 2+(x 1z 2-x 2z 1) 2+(y 1z 2-y 2z 1) 2 21
(1⨯2-1⨯0) 2+(1⨯1-1⨯2) 2+(1⨯1-1⨯0) 2 = 2
=6
而点P 到面AMN 的距离可以用法向量方法求解： 设面AMN 的法向量为=（x,y,z ）。则有：
⎧⎧(x , y , z ) ∙(0, 2, 1) =0⎧x +y +z =0⎪∙=0
即⎨ 从而⎨ 令y=1,则z= -2, x = 1, 所⎨
(x , y , z ) ∙(1, 1, 1) =02y +z =0⎪⎩⎩⎩∙=0
以：=（1, 1, -2） .
所以点P 到面AMN 的距离
|(0, 0, 2) ∙(1, 1, -2) |26
=
361124
Sh =⨯6⨯6= 3333
由锥体的体积公式得：
V =
特别地，对于一些不规则的多边形或非特殊形状的多边形，如果能求出它们的各个顶点的坐标，利用多面体的顶点坐标计算多边形面积，可以避免许多比较复杂的常规运算。多面体的顶点坐标计算多边形面积的公式的运用可以将复杂的问题简单化。
利用多面体的顶点坐标计算多边形面积
南海区大沥高级中学 江福松 2006年6月
26日
在平面直角坐标系或空间直角坐标系中，经常会遇到需要求某个多边形的面积或多面体的体积问题。但是有时题目给的却是多面体或多边形的顶点的坐标。尤其是三维空间坐标。计算其面积时会比较麻烦。下面利用多面体的顶点坐标利用向量方法推导多边形的面积。 一、平面直角坐标系中坐标求面积公式的推导：
（1） 三角形面积：
设三角形ABC 的三个顶点坐标分别是（x 1,y 1）,(x2,y 2),(x3,y 3) 则AB =(x 2-x 1, y 2-y 1), AC =(x 3-x 1, y 3-y 1) 。 令x 2-x 1=m, y2 -y1=n ； x 3-x 1=p, y3 -y1=q 则
AB =(m , n ) ，AC =(p , q )
B
C
设，夹角为θ，则三角形ABC 的面积为： S= =
11
||||sinθ=||||-cos 2θ 22
(m , n ) ⋅(p , q ) 1
) 2 |AB ||AC |-(
2m 2+n 2⋅p 2+q 212
m 2+n 2⋅p 2+q 2
=
-(
(m , n ) ⋅(p , q ) m 2+n 2⋅p 2+q 2
) 2
121 =2
=
(m 2+n 2) ⋅(p 2+q 2) -(mp +nq ) 2 (mq -np ) 2=|mq -np |
(2)平行四边形ABCD 面积：（可以看作两个相等三角形面积之和） S=S ABD +S BCD =2S ABD =|mq -np |
同理，对梯形，五边形，六边形等平面图形，都可以将它们转化为求三角形面积进行求解。 二、空间直角坐标系中用坐标求面积公式的推导：
在空间直角坐标系中由三角形ABC 的三个顶点坐标分别求得（x 1,y 1, z 1）,(x2,y 2, z 2),(x3,y 3, z 3). ，=(p,q,f) =（m,n,e ）
则三角形ABC 的面积为： S= =
11
||||sinθ=||||-cos 2θ 22
(m , n , e ) ⋅(p , q , f ) 1
) 2 ||||-(
2m 2+n 2+e 2⋅p 2+q 2+f 212
m 2+n 2+e 2⋅p 2+q 2+f
2
=
-(
(m , n , e ) ⋅(p , q , f ) m 2+n 2+e 2⋅p 2+q 2+f
2
) 2
121 =2
=
(m 2+n 2+e 2) ⋅(p 2+q 2+f 2) -(mp +nq +ef ) 2
(mq -np ) 2+(mf -ep ) 2+(nf -ep ) 2
与求平面图形面积一样可以求出四边形，五边形，六边形面积等。 或者可以这样记法：
若AB =（x 1, y 1, z 1），AC =(x 2, y 2, z 2) 则三角形ABC 的面积为 S=
12
(x 1y 2-x 2y 1) 2+(x 1z 2-x 2z 1) 2+(y 1z 2-y 2z 1) 2
公式中三组数的平方对应如下： （
(
二、例题应用：
例1（二维空间面积的求法）：已知平行四边形ABCD 的四个顶点的坐标分别是：A （1，2），B （3，4），C （4，7），D （2，5）。求平行四边形ABCD 的面积。 解：由已知：
, 1, z 1） （x 1, , ） （, y 1, 1）
2y 2, z 2) (x 2, 2, 2) (2y 22)
AB =（2，2）
AD =(1，3)
所以，平行四边形ABCD 的面积：
S=S ABD +S BCD =2S ABD =|mq -np |=|2⨯3-2⨯1|=4
例2（三维空间面积的求法）：在空间直角坐标系中，已知三角形ABC 的坐标分别是A （2，1，3），B （3，1，-2），C （5，2，4）求三角形ABC 的面积。 解：由已知： ， =（1，0，-5 ）
=(3，1，1 )
所以，三角形ABC 的面积为：
1
(x 1y 2-x 2y 1) 2+(x 1z 2-x 2z 1) 2+(y 1z 2-y 2z 1) 2 21
(1⨯1-0⨯3) 2+(1⨯1-(-5) ⨯3) 2+(0⨯1-(-5) ⨯1) 2 = 21 =282 2例3：四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，PA ⊥底面ABCD ，PA=AB=BC=2，AD=4，BC ⊥AB ，AD ⊥AB ，点M ，N 分别是PD ，PC 的中点。求四棱锥P-AMN 的体积。
S=
分析：建立空间直角坐标系如图： 易知，各点的坐标如下： M （0，2，1），N （1，1，1），A （0，0，0），P （0，0，4） 如果要求四棱锥P-AMN 的体积，关键是要求出：
1、 其中一个底面的面积。2、该底面对应的顶点到底面的距离。
当多边形的底面不是特殊的规则图形（如直角三角形、等边三角形、平行四边形梯形等等）时求面积可能就不是那么容易。但是如果用三角形的空间坐标公式，就不用考虑图形的具体情况了，我们要的只是三角形的顶点坐标而已。 对于三角形ANM ，显然： ， AN =(1，1，1 ) AM =（0，2，1）三角形AMN 的面积： S=
1
(x 1y 2-x 2y 1) 2+(x 1z 2-x 2z 1) 2+(y 1z 2-y 2z 1) 2 21
(1⨯2-1⨯0) 2+(1⨯1-1⨯2) 2+(1⨯1-1⨯0) 2 = 2
=6
而点P 到面AMN 的距离可以用法向量方法求解： 设面AMN 的法向量为=（x,y,z ）。则有：
⎧⎧(x , y , z ) ∙(0, 2, 1) =0⎧x +y +z =0⎪∙=0
即⎨ 从而⎨ 令y=1,则z= -2, x = 1, 所⎨
(x , y , z ) ∙(1, 1, 1) =02y +z =0⎪⎩⎩⎩∙=0
以：=（1, 1, -2） .
所以点P 到面AMN 的距离
|(0, 0, 2) ∙(1, 1, -2) |26
=
361124
Sh =⨯6⨯6= 3333
由锥体的体积公式得：
V =
特别地，对于一些不规则的多边形或非特殊形状的多边形，如果能求出它们的各个顶点的坐标，利用多面体的顶点坐标计算多边形面积，可以避免许多比较复杂的常规运算。多面体的顶点坐标计算多边形面积的公式的运用可以将复杂的问题简单化。