§2.4 函数的值域与最值 陕西 刘大鸣 史亚鹏
【知识梳理】
1． 求函数值域的常用方法：
(1)直接法—— 从自变量x 的范围出发，通过○1 y ＝f (x ) 的取值范围；
(2)配方法—— 配方法是求○2 型函数值域的基本方法，形如○3 的函数的值域问题，均可使用配方法．
(3)反函数法—— 利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的○4 ，得到原函数的○5 ．形如y cx ＋d ax ＋b a ≠0) 的函数的
值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．
(4)判别式法—— 把函数转化成关于x 的二次方程F (x ，y ) ＝0，通过○6 ，从而求得原函数的a 1x 2
值域．形如y ＝＋b a x 1x ＋c 1＋b x ＋c (a ，a 不同时为零) 的
22212函数的值域常用此法求解．
前提条件：函数的定义域应为○7 ；分子、分母○
8 ． (5)换元法——运用○9 ，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：形如y ＝ax ＋b cx ＋d (a 、b 、c 、d 均为常数，且ac ≠0) 的函数常用此法求解．
(6)不等式法——利用基本不等式：a ＋b ≥ab (a 、b ∈R ＋
) 求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件○10
(7)单调性法—— 根据函数在定义域(或定义域的某个子集) 上的○11 求出函数的值域．
(8)求导法—— 当一个函数表达式确定且在定义域上○12 时，可根据其导数求最值确定值域； (9)数形结合法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的○
13 ，借助于几何方法求出函数的值域． 2．函数的最值
(1)设函数y ＝f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足:
对于任意x ∈I ，都有○14 ；且存在x 0∈I ，使得○15 . 则称 M 为最大值.
对于任意x ∈I ，都有○16 ；且存在x 0∈I ，使得○17 . 则称M 为最小值. 答案：
1． ○1观察和代数运算 ○2二次 ○
3F (x ) ＝af 2(x ) ＋bf (x ) ＋c ○4定义域 ○5值域 ○
6方程有实根，判别式Δ≥0 ○7 R ○8没有
公因式 ○9代数或三角代换 ○10 一正、二定、三相等 ○11单调性 ○12可导 ○13几何意义 2．○14 f (x )≤M ○15 f (x 0) ＝M ○16 f (x )≥M ○17 f (x 0) ＝M
【课前自测】 一. 选择题
1. (13宝鸡模拟) 函数f (x ) =
1
x 2+1
的值域是( ) A ．(0,1) B ．(0,1］ C ．［0,1］ D ．［0,1) 答案：B
提示：函数f(x)的定义域为R, ∴x 2+1≥1, 则
0
1
x 2+1
≤1. 即函数f(x)的值域为(0,1］. 2. 函数y 16－4的值域是( )
A ．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 答案：C
提示：由已知得0≤16－4x
16－4x
16＝4，即函数y 16－4的值域是[0,4)．
3. （13重庆）y =
(-6≤a ≤3)的
最大值为( ) A.9 B.
9
2
C.
3
答案：B
提示：因为
(3－a )(a ＋6)＝
18－3a －a ＝
－⎛⎝a ＋322＋814，所以当a ＝－32(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为92
4． (13四川) 已知函数f (x ) ＝4x ＋a x
(x >0，a >0)在x
＝3时取得最小值，则a ＝________. 答案36;
提示：∵x >0，a >0，∴f (x ) ＝4x ＋a
≥2
4x x
x
4a ，当且仅当4x ＝a x (x >0)即x ＝a
2f (x ) 取得最小值，由
题意得
a
2
3，∴a ＝36. 5． (13合肥模拟) 对a ，b ∈R ，记
m a x a {b =, ⎧⎨a , a ≥ b
函数f(x)=max{|x+1|,-x2⎩}
b , a
+1}的最小值是______. 答案：0
提示：由题意知函数f(x)
是两个函数y 1=|x+1|,
y 2=-x2+1中的较大者, 作出
两个函数在同一直角坐标系中的图像, 则f(x)的图像是图中的实线部分, 由图像易知f(x)min=0.
【课标示例】
例1 函数的最值与应用
(13、安徽) 设函数f(x)＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a>0，区间I ＝{x|f(x)>0}．
(1)求I 的长度(注：区间(α，β) 的长度定义为β－α) ； (2)给定常数k ∈(0，1) ，当1－k≤a≤1+k时，求I 长度的最小值．
解析：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a>0)有两个实
根x 0，x a
1＝2＝1＋a
故f(x)>0的解集为{x|x1
因此区间I ＝[0，a a
1＋a ]1＋a 设d(a)＝1＋a d′(a)＝1－a 2(2) a （1＋a ）
令d′(a)＝0，得a ＝1，由于0
当1－k≤a0，d(a)单调递增； 当1
d （1－k ）
1－k
1＋（1－k ）2－k 2－k 3
d （1＋k ）
＝
1＋k ＝2－k ＋k
1＋（1＋k ）故d(1－k)
因此当a ＝1－k 时，d(a)在区间[1－k ，1＋k]上取得1－k
2－2k ＋k .
【举一反三】1
(13昆明模拟) 已知函数f (x ) ＝x 2＋2x ＋a
x ，
x ∈[1，＋∞) ．
(1) 当a 1
2
f (x ) 的最小值；
(2) 若对任意x ∈[1，＋∞) ，f (x ) ＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．
答案：（1） 7
2
； （2） a >－3.
提示：(1) 当a ＝12时，f (x ) ＝x ＋1
2x
＋2，在[1，＋∞)
上为增函数，f (x ) 7
min ＝f (1)＝2
(2) 当x ∈[1，＋∞) 时，由f (x ) ＝x 2＋2x ＋a
x 恒成
立，得x 2＋2x ＋a >0，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞) 上恒成立．因为当x ＝1时，(－x 2－2x ) max ＝－3，所以a >－3.
∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞) 的最大值．∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1) 2＋1.
当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3.
例2 简单函数的值域 求下列函数的最值与值域．
(1) y ＝43＋2x －x 2
； (2) y ＝x 4x
(3) y =x 2-x
x 2-x +1
解析：(1) 由3＋2x －x 2
≥0得函数定义域为 [－1,3]，
又t ＝3＋2x －x 2
＝4－(x －1) 2
，∴t ∈[0,4], t ∈[0,2]，从而y min ＝2(当x ＝1时) ；
y max ＝4(当x ＝－1或x ＝3时) ，故值域为[2,4]．
（2) 方法一：∵函数y ＝x ＋4
x
{x |x ≠0}
上的奇函数，故其图像关于原点对称，故只讨论x ＞0时，即可知x ＜0时的最值．∴当x ＞0时，
y ＝x ＋4
x
≥2
x ·4
x
4，等号当且仅当x ＝2时取得．
当x ＜0时，y ≤－4，等号当且仅当x ＝－2时取得． 综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) ，无最值．
（3）(配方法) y =x 2-x x 2-x +1=1-1
，
(x -2) 2+4(x -12) 2+33
4≥4
，则定义域为
R ，
0
1(x -≤4, ∴-4
≤0,
2) 2+334(x -2) 2+
4
∴-1
3≤y
(判别式法) 由y ＝x 2－x
x 2－x ＋1
x ∈R ，得
(y －1) x 2
＋(1－y ) x ＋y ＝0.
∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R ， ∴Δ＝(1－y ) 2
－4y (y －1)≥0，
13y
（1）（北师大第二次月考）函数y =
的定义域
是(-∞,1) [2,5)，则其值域是（ ）
A 、(-∞,0) (2
,2] B、(-∞, 2]
C、(-∞, 2
) [2,+∞) D、(0,+∞)
（2）函数y ＝2x －1－2x 的值域为 （3）（13惠州二调）已知函数f (x ) ＝e x －1，g (x ) ＝－x 2＋4x －3，若有f (a ) ＝g (b ) ，则b 的取值范围为( )
A ．(2－2，22) B ．[2－2，2＋2] C ．[1，3] D ．(1，3)
答案：（1） A; （2）A （3）(－∞，1] ； 提示：（1） 当x
y =
2
x -1
(-∞,0) (1
2, 2]，选A. 2
（2） 方法一：1－2x ＝t (t ≥0)，则x ＝1－t
2
.
∴y ＝1－t 2
－t ＝－⎛ 1⎝t ＋2⎫⎪25⎭4
∵二次函数对称轴为t ＝－1
2
，∴在[0，＋∞)上，
y ＝－ ⎛t ＋125⎝
2
⎭
＋4
是减函数．
故y ＝－⎛ 1⎝0＋225
max ⎭＋4
＝1，故函数有最大值1，无最
小值，其值域为(－∞，1]．
方法二：∵y ＝2x 与y 1－2x 均为定义域上的
增函数，故y ＝2x 1－2x 是定义域为{x |x ≤1
2}上的
增函数，故y 1
max ＝2－
1－22
2
1，无最小
值．
故函数的值域为(－∞，1]
(3) 由题可知f (x ) ＝e x －1>－1，g (x ) ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2) 2＋1≤1，若有f (a ) ＝g (b ) ，则g (b ) ∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1，解得22
例3 换元法求函数的值域 求下列函数的值域： （1）y =log 3x +log x 3 （2） y =
(x +5)(x +2)
x +1
(x ≥2)
（3）y ＝2x 4－x 解析：（1）设t =log 3x ∈R ，则
y =log =t +1
3x +log x 3t
≥2或≤-2, 则值域为
[2，
+∞) (-∞, -2]； (2) 设 t =x +1≥3, 则
t +4)(t +1)t 2y =(t
=+5t +4t
=t +428
t
+5≥3
，
则值域为⎢
⎡28⎣3，+∞⎫
⎪⎭
； （3） ∵x ∈[0,4]，∴可令x ＝4cos 2θ，θ∈⎡⎣0，π
2⎤⎦， 则y ＝2·2cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ) ，tan φ＝2. 又0≤θ≤ππ
2φ≤θ＋φ2
φ，
故cos φ≤sin(θ＋φ) ≤1，而cos φ＝
1
5
∴2≤y ≤2
5，则值域为⎡⎣2, ；
【举一反三】3
（1） 函数y ＝4x 2＋8x ＋13
6(1＋x )(x ＞－1) 的最小值是
( )
A ．1 B ．2 C. 2513
12 D. 6
1
（2）(13哈尔滨师大附中期中) 函数 y = ⎛1⎫x
+1
⎝2⎪⎭
的值域为( )
A ．(－∞，1) B. ⎛1⎝2，1⎫⎭ C. ⎡1⎣2，1⎫⎭ D. ⎡1
⎣2，＋∞⎫⎭ 答案：（1）B ; (2) C
提示：（1） 令x ＋1＝t ，则原式化为y ＝4t 2＋9
6t ＝23t ＋331
2t 2. 当且仅当t 2，即x ＝2时， y min ＝2. 故应选B.
(2) 因为x 2＋1≥1，所以0
，
则12≤1t 2102，即121t 2
2≤y
【课标创新题】 不等式恒成立的研究方法
(10天津高考题改编) 设f (x ) ＝x 2－1，对任意x ∈
⎡3⎣2，＋∞⎫⎭，f ⎛x ⎝m －4m 2f (x ) ≤f (x －1) ＋4f (m ) 恒成立，
求实数m 的取值范围．
x 2
解析：由题意，得－1－4m 2(x 2－1) ≤(x －1) 2m －1
＋4(m 2－1) 在x ∈⎡3⎣12，＋∞⎫⎭上恒成立，即2m －4m ≤－32332x x ＋1在⎡⎣2，＋∞⎫⎭上恒成立．因为y ＝－x x ＋1在⎡3⎣2⎫⎭上单调递增，所以当x 3
2时，y min 513m 4m 2≤－5
3
，
即(3m 2＋1)(4m 2－3) ≥0，解得m ≤－
2或m ≥2
. 【举一反三】 （13河北省衡水中学第一次调研）已知函数
f (x ) =x 3+3x 对任意的
m ∈[-2, 2],f (mx -2) +f (x )
x ∈答案：(-2, 2
3
) ；
提示：因为函数f (x ) =x 3+3x 是奇函数，且在定义域上f (x ) =x 3+3x 单调递增，所以由
f (mx -2) +f (x )
f (mx -2)
所以(m +1) x
恒成立. 当-1
m +1
，恒成立，此
时，x
22+1=23，当-2≤m 2m +1
恒成立，此时，
2
-2+1
3
) .
【课标自测题】
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. (13海淀模拟) 函数f (x ) ＝(a －2) x 2
＋2(a －2) x －4的定义域为R ，值域为(－∞，0]，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2) B．(－∞，2] C ．{－2} D．[－2,2)
答案：C
提示：由函数f (x ) 的值域为(－∞，0]可知，函数f (x ) 的最大值为0，可求得a ＝－2.
2. 当x ∈[0,5]时，函数f (x ) ＝3x 2
－4x ＋c 的值域
为 ( )
A ．[c, 55＋c ] B．[－4
3
c ，c ]
C ．[－4
3
c, 55＋c ] D ．[c, 20＋c ]
答案： C
提示：∵f (x ) ＝3(x 242
32－3c ，x ∈[0,5]，∴当x 3时，f (x ) ＝－4
min 3
＋c ；当x ＝5时，f (x ) max ＝55＋c .
3. 函数y ＝2－x 2
＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B．[1,2] C ．[0,2] D．[2，2] 答案：C ；
提示：－x 2
＋4x ＝－(x －2) 2
＋4≤4， －x 2＋4x ≤2，
－2≤－－x 2
＋4x ≤0， －x 2
＋4x ≤2， 所以0≤y ≤2.
4. (13年太原模拟) 定义在R 上的函数f (x ) 满足
f (x ) ＝⎧⎪⎨
log 2(8－x )，x ≤0，⎪f (x －1)－f (x －2(3)的值为
⎩
)，x >0，
则f ( )
A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－3
答案：D
提示：依题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝[f (1)－f (0)]－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3，选D.
5. 函数f (x ) ＝x
x ＋1 ）
A 1
2
B 2 C 3 D 0 答案：A
提示：因为x ≥0，当x ＝0时，y ＝0不是函数的最
大值．当x >0时，f (x ) ＝x 11
x ＋1x ＋
1，而＋
x x
≥2。当且仅当x ＝1时等号成立，所以f (x ) 1
2
.
6. (13三明检测) 函数
x －1
y ＝⎧⎪⎨2－2，x ∈ －∞，2]⎪⎩21－x
－2，x ∈ 2，＋∞
的值域为( )
A. ⎛ 3⎝－2⎫⎪⎭
B．(－∞，0)
C.⎛ ⎝－∞，－32⎫⎪⎭ D．(－2,0] 答案 D；
提示：若x ≤2，则x －1≤1,0＜2x －1
≤2，
－2＜2
x －1
－2≤0. 若x ＞2，
则1－x ＜－1,0＜2
1－x
11－32，－2＜2x
－22
综上，函数的值域为(－2,0]，选D. 7. (13深圳模拟) 设函数f(x)=
若f(x)的值域为R, 则常数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,-1]∪[2,+∞) (B)[-1,2] (C)(-∞,-2]∪[1,+∞)
(D)[-2,1]
答案A ；
提示：选A. 当x>2时,f(x)>4+a,当x ≤2时, f(x)≤2+a2
, 由题意知2+a2
≥4+a,解得a ≥2或a ≤-1.
8. (13宜春模拟) 已知函数f (x ) =⎧⎨
-x 2+ax , x ≤1
⎩2ax -5, x >1
若存在x 1,x 2∈R 且x 1≠x 2, 使得f(x1)=f(x2) 成立, 则实数a 的取值范围是( )
(A) a2 答案：B
提示：当-a
-2
2a-5,即2≤a
9. 已知函数y mx 2＋3x ＋n
x ＋1的最大值为7，最小
值为－1，则m ＋n 的值为
A ．－1 B ．4 C ．6 D ．7 答案：C
提示：函数式可变形为(y－m)x 2
－43x ＋(y－n) ＝0，x ∈R ，由已知得y －m ≠0，
所以Δ＝(－3) 2
－4(y－m) ·(y－n) ≥0， 即y 2
－(m＋n)y ＋(mn－12) ≤0，①
由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7是
方程y 2－(m＋n)y ＋(mn－12) ＝0的两根，
所以m ＋n ＝6.
10. （13辽宁）已知函数f (x ) ＝x 2－2(a ＋2) x ＋a 2
，
g (x ) ＝－x 2＋2(a －2) x －a 2＋8. 设H 1(x ) ＝max{f (x ) ，g (x )}，H 2(x ) ＝min{f (x ) ，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值) ．记H 1(x ) 的最小值为A ，H 2(x ) 的最大值为B ，则A －B 等于( ) A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16
D ．16
答案： C
提示： f (x ) ＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，
g (x ) ＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作
f (x ) 与g (x ) 的图象(如图) ．
依题意知，函数H 1(x ) 的图象(实线部分) ，函数H 2(x ) 的图象(虚线部分) ．
∴H 1(x ) 的最小值A ＝f (a ＋2) ＝－4－4a ，H 2(x ) 的最大值B ＝g (a －2) ＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a ) －(12－4a ) ＝－16.
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11． 函数y x －x (x ≥0)的最大值为__________． 答案：14
提示：∵y ＝x －x ＝－(x ) 2
＋x ＝－⎛ 1⎫2⎝x －2⎪⎭＋14， ∴y 1max ＝4
. 12．（13北师大附校二次月考）若函数y ＝f (x ) 的值域是⎡⎢1⎣23⎤⎥1⎦，则函数F (x ) ＝f (x ) ＋f （x ）是________．
答案：⎡⎢⎣
2103⎦
提示： 令f (x ) ＝t ，t ∈⎡⎢1⎣2，3⎤⎥⎦
，问题转化为求
y ＝t ＋1t ，t ∈⎡⎢1⎣2，3⎤⎥⎦
的值域． 因为y ＝t 1t ⎡⎢1⎣21⎤
⎥⎦
上递减，在[1，3]上递增，
所以y ∈⎡⎢⎣
2，103⎤⎥⎦.
13． (13茂名模拟) 已知函数f (x ) 满足：
f (m ＋n ) ＝f (m ) f (n ) ，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f 2(2)＋f (4)
f (1)f (3)f 2(3)＋f (6)f 2＋f (5)(4)＋f (8)
f (7)的值等于
答案：24
提示：∵f (m ＋n ) ＝f (m ) f (n ) ，∴f (2n ) ＝f (n ) f (n ) ，即f (2n ) ＝f 2(n ) ．且有f (n ＋1) ＝f (n ) f (1)＝3f (n ) ，即f (n ＋1)f (n )＝3，
f 2(1)＋f (2)f 2(2)＋f (4)f 2(3)＋f (6)f 2则(4)＋f (f (1)f (3)f (5)8)f (7)＝
2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝2×3＋2×3＋2×3＋2×3＝24. 14 (2013
无锡模拟) 已知函数
x )=⎧⎨
x 2f (+1,x ≥0,
⎩1,x ＜0
则满足不等式f(1-x2
) ＞f(2x)的x 的取值范围是_______.
答案：
(--1
)
提示：
f (x )=⎧⎨
x 2+1,x ≥0, 的图像， 由图像⎩1,x ＜0
可知, 若f(1-x2
) ＞f(2x)，则⎧⎪⎨1-x 2
＞0, 即
⎪⎩
1-x 2
＞2x ，
⎧⎨
-1＜x ＜，1
⎩-1x ＜-1得-1
三．解答题（本大题共4小题，共50分）
15 . 设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x, 0) 在x 轴的正半轴上移动，l (x ) 表示AB →
的长，求函数y ＝x
l (x )的值域．
解：依题意有x ＞0，
l (x ) (x －4)＋3＝x －8x ＋25， 所以y ＝x x
1
l (x )＝x －8x ＋25
. 1－x ＋x
由于1－81x ＋25
x ＝25⎛4⎝x 25⎫⎭2925 所以
1－35x
x ＋x ≥5，故0＜y 3 即函数y ＝
l (x )
的值域是⎛⎝0，53. 16. 函数f (x ) 对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n ) ＝f (m ) ＋f (n ) －1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x ) 在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2) ＝f [(x 2－x 1) ＋x 1]＝f (x 2－x 1) ＋f (x 1) －1， ∴f (x 2) －f (x 1) ＝f (x 2－x 1) －1>0⇒f (x 1)
(2) ∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，
∴f (1＋1) ＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1， f (3)＝4⇒f (2＋1) ＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4
则3f (1)－2＝4，∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)17. 已知函数f (x ) ＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞) 时，f (x ) ≥a 恒成立，求a 的取值范围．
①当a ∈(－∞，－1) 时，f (x ) 在[－1，＋∞) 上单调
递增，∴f (x ) min ＝f (－1) ＝2a ＋3.
要使f (x ) ≥a 恒成立，只需f (x ) min ≥a ，即2a ＋3≥a ，
解得a ≥－3，即－3≤a
②当a ∈[－1，＋∞) 时，f (x ) min ＝f (a ) ＝2－a 2. 要使f (x ) ≥a 恒成立，只需f (x ) min ≥a ，即2－a 2≥a ，
解得－2≤a ≤1，即－1≤a ≤1.
综上所述，实数a 的取值范围为[－3,1].
f (x ) ＝x 2
18. 已知函数x －2
x ∈R ，且x ≠2) ．
(1) 求f (x ) 的单调区间；
(2) 若函数g (x ) ＝x 2－2ax 与函数f (x ) 在x ∈[0，1]上有相同的值域，求a 的值．
(1) f (x ) ＝x 2解：[（x －2）＋x －22]24
x －2＝(x －2) ＋
x －2
＋4，
令x －2＝t ，由于y ＝t ＋4
t
4在(－∞，－2) ，(2，
＋∞) 内单调递增，
在(－2，0) ，(0，2) 内单调递减，∴容易求得f (x ) 的单调递增区间为(－∞，0) ，(4，＋∞) ；单调递减区间为(0，2) ，(2，4) ．
(2)∵f (x ) 在x ∈[0，1]上单调递减，∴其值域为[－1，0]，
即x ∈[0，1]时，g (x ) ∈[－1，0]．
∵g (0)＝0为最大值，∴最小值只能为g (1)或g (a ) ，
若g (1)＝－1，则⎧⎪⎨a ≥1，
⎪⎩1－2a ＝－1⇒a ＝1；
⎧若g (a ) ＝－1，则⎪1⎨2a ≤1，
⇒a ＝1.
⎪⎩－a 2＝－1
综上得a ＝1.
§2.4 函数的值域与最值 陕西 刘大鸣 史亚鹏
【知识梳理】
1． 求函数值域的常用方法：
(1)直接法—— 从自变量x 的范围出发，通过○1 y ＝f (x ) 的取值范围；
(2)配方法—— 配方法是求○2 型函数值域的基本方法，形如○3 的函数的值域问题，均可使用配方法．
(3)反函数法—— 利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的○4 ，得到原函数的○5 ．形如y cx ＋d ax ＋b a ≠0) 的函数的
值域，均可使用反函数法．此外，这种类型的函数值域也可使用“分离常数法”求解．
(4)判别式法—— 把函数转化成关于x 的二次方程F (x ，y ) ＝0，通过○6 ，从而求得原函数的a 1x 2
值域．形如y ＝＋b a x 1x ＋c 1＋b x ＋c (a ，a 不同时为零) 的
22212函数的值域常用此法求解．
前提条件：函数的定义域应为○7 ；分子、分母○
8 ． (5)换元法——运用○9 ，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．例如：形如y ＝ax ＋b cx ＋d (a 、b 、c 、d 均为常数，且ac ≠0) 的函数常用此法求解．
(6)不等式法——利用基本不等式：a ＋b ≥ab (a 、b ∈R ＋
) 求函数的值域．用不等式法求值域时，要注意均值不等式的使用条件○10
(7)单调性法—— 根据函数在定义域(或定义域的某个子集) 上的○11 求出函数的值域．
(8)求导法—— 当一个函数表达式确定且在定义域上○12 时，可根据其导数求最值确定值域； (9)数形结合法——当一个函数图象可作时，通过图象可求其值域和最值；或利用函数所表示的○
13 ，借助于几何方法求出函数的值域． 2．函数的最值
(1)设函数y ＝f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足:
对于任意x ∈I ，都有○14 ；且存在x 0∈I ，使得○15 . 则称 M 为最大值.
对于任意x ∈I ，都有○16 ；且存在x 0∈I ，使得○17 . 则称M 为最小值. 答案：
1． ○1观察和代数运算 ○2二次 ○
3F (x ) ＝af 2(x ) ＋bf (x ) ＋c ○4定义域 ○5值域 ○
6方程有实根，判别式Δ≥0 ○7 R ○8没有
公因式 ○9代数或三角代换 ○10 一正、二定、三相等 ○11单调性 ○12可导 ○13几何意义 2．○14 f (x )≤M ○15 f (x 0) ＝M ○16 f (x )≥M ○17 f (x 0) ＝M
【课前自测】 一. 选择题
1. (13宝鸡模拟) 函数f (x ) =
1
x 2+1
的值域是( ) A ．(0,1) B ．(0,1］ C ．［0,1］ D ．［0,1) 答案：B
提示：函数f(x)的定义域为R, ∴x 2+1≥1, 则
0
1
x 2+1
≤1. 即函数f(x)的值域为(0,1］. 2. 函数y 16－4的值域是( )
A ．[0，＋∞) B．[0,4] C．[0,4) D．(0,4) 答案：C
提示：由已知得0≤16－4x
16－4x
16＝4，即函数y 16－4的值域是[0,4)．
3. （13重庆）y =
(-6≤a ≤3)的
最大值为( ) A.9 B.
9
2
C.
3
答案：B
提示：因为
(3－a )(a ＋6)＝
18－3a －a ＝
－⎛⎝a ＋322＋814，所以当a ＝－32(3－a )(a ＋6)的值最大，最大值为92
4． (13四川) 已知函数f (x ) ＝4x ＋a x
(x >0，a >0)在x
＝3时取得最小值，则a ＝________. 答案36;
提示：∵x >0，a >0，∴f (x ) ＝4x ＋a
≥2
4x x
x
4a ，当且仅当4x ＝a x (x >0)即x ＝a
2f (x ) 取得最小值，由
题意得
a
2
3，∴a ＝36. 5． (13合肥模拟) 对a ，b ∈R ，记
m a x a {b =, ⎧⎨a , a ≥ b
函数f(x)=max{|x+1|,-x2⎩}
b , a
+1}的最小值是______. 答案：0
提示：由题意知函数f(x)
是两个函数y 1=|x+1|,
y 2=-x2+1中的较大者, 作出
两个函数在同一直角坐标系中的图像, 则f(x)的图像是图中的实线部分, 由图像易知f(x)min=0.
【课标示例】
例1 函数的最值与应用
(13、安徽) 设函数f(x)＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a>0，区间I ＝{x|f(x)>0}．
(1)求I 的长度(注：区间(α，β) 的长度定义为β－α) ； (2)给定常数k ∈(0，1) ，当1－k≤a≤1+k时，求I 长度的最小值．
解析：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a>0)有两个实
根x 0，x a
1＝2＝1＋a
故f(x)>0的解集为{x|x1
因此区间I ＝[0，a a
1＋a ]1＋a 设d(a)＝1＋a d′(a)＝1－a 2(2) a （1＋a ）
令d′(a)＝0，得a ＝1，由于0
当1－k≤a0，d(a)单调递增； 当1
d （1－k ）
1－k
1＋（1－k ）2－k 2－k 3
d （1＋k ）
＝
1＋k ＝2－k ＋k
1＋（1＋k ）故d(1－k)
因此当a ＝1－k 时，d(a)在区间[1－k ，1＋k]上取得1－k
2－2k ＋k .
【举一反三】1
(13昆明模拟) 已知函数f (x ) ＝x 2＋2x ＋a
x ，
x ∈[1，＋∞) ．
(1) 当a 1
2
f (x ) 的最小值；
(2) 若对任意x ∈[1，＋∞) ，f (x ) ＞0恒成立，试求实数a 的取值范围．
答案：（1） 7
2
； （2） a >－3.
提示：(1) 当a ＝12时，f (x ) ＝x ＋1
2x
＋2，在[1，＋∞)
上为增函数，f (x ) 7
min ＝f (1)＝2
(2) 当x ∈[1，＋∞) 时，由f (x ) ＝x 2＋2x ＋a
x 恒成
立，得x 2＋2x ＋a >0，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞) 上恒成立．因为当x ＝1时，(－x 2－2x ) max ＝－3，所以a >－3.
∴a 应大于函数u ＝－x 2－2x ，x ∈[1，＋∞) 的最大值．∴a >－x 2－2x ＝－(x ＋1) 2＋1.
当x ＝1时，u 取得最大值－3，∴a >－3.
例2 简单函数的值域 求下列函数的最值与值域．
(1) y ＝43＋2x －x 2
； (2) y ＝x 4x
(3) y =x 2-x
x 2-x +1
解析：(1) 由3＋2x －x 2
≥0得函数定义域为 [－1,3]，
又t ＝3＋2x －x 2
＝4－(x －1) 2
，∴t ∈[0,4], t ∈[0,2]，从而y min ＝2(当x ＝1时) ；
y max ＝4(当x ＝－1或x ＝3时) ，故值域为[2,4]．
（2) 方法一：∵函数y ＝x ＋4
x
{x |x ≠0}
上的奇函数，故其图像关于原点对称，故只讨论x ＞0时，即可知x ＜0时的最值．∴当x ＞0时，
y ＝x ＋4
x
≥2
x ·4
x
4，等号当且仅当x ＝2时取得．
当x ＜0时，y ≤－4，等号当且仅当x ＝－2时取得． 综上，函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞) ，无最值．
（3）(配方法) y =x 2-x x 2-x +1=1-1
，
(x -2) 2+4(x -12) 2+33
4≥4
，则定义域为
R ，
0
1(x -≤4, ∴-4
≤0,
2) 2+334(x -2) 2+
4
∴-1
3≤y
(判别式法) 由y ＝x 2－x
x 2－x ＋1
x ∈R ，得
(y －1) x 2
＋(1－y ) x ＋y ＝0.
∵y ＝1时，x ∈∅，∴y ≠1.又∵x ∈R ， ∴Δ＝(1－y ) 2
－4y (y －1)≥0，
13y
（1）（北师大第二次月考）函数y =
的定义域
是(-∞,1) [2,5)，则其值域是（ ）
A 、(-∞,0) (2
,2] B、(-∞, 2]
C、(-∞, 2
) [2,+∞) D、(0,+∞)
（2）函数y ＝2x －1－2x 的值域为 （3）（13惠州二调）已知函数f (x ) ＝e x －1，g (x ) ＝－x 2＋4x －3，若有f (a ) ＝g (b ) ，则b 的取值范围为( )
A ．(2－2，22) B ．[2－2，2＋2] C ．[1，3] D ．(1，3)
答案：（1） A; （2）A （3）(－∞，1] ； 提示：（1） 当x
y =
2
x -1
(-∞,0) (1
2, 2]，选A. 2
（2） 方法一：1－2x ＝t (t ≥0)，则x ＝1－t
2
.
∴y ＝1－t 2
－t ＝－⎛ 1⎝t ＋2⎫⎪25⎭4
∵二次函数对称轴为t ＝－1
2
，∴在[0，＋∞)上，
y ＝－ ⎛t ＋125⎝
2
⎭
＋4
是减函数．
故y ＝－⎛ 1⎝0＋225
max ⎭＋4
＝1，故函数有最大值1，无最
小值，其值域为(－∞，1]．
方法二：∵y ＝2x 与y 1－2x 均为定义域上的
增函数，故y ＝2x 1－2x 是定义域为{x |x ≤1
2}上的
增函数，故y 1
max ＝2－
1－22
2
1，无最小
值．
故函数的值域为(－∞，1]
(3) 由题可知f (x ) ＝e x －1>－1，g (x ) ＝－x 2＋4x －3＝－(x －2) 2＋1≤1，若有f (a ) ＝g (b ) ，则g (b ) ∈(－1，1]，即－b 2＋4b －3>－1，解得22
例3 换元法求函数的值域 求下列函数的值域： （1）y =log 3x +log x 3 （2） y =
(x +5)(x +2)
x +1
(x ≥2)
（3）y ＝2x 4－x 解析：（1）设t =log 3x ∈R ，则
y =log =t +1
3x +log x 3t
≥2或≤-2, 则值域为
[2，
+∞) (-∞, -2]； (2) 设 t =x +1≥3, 则
t +4)(t +1)t 2y =(t
=+5t +4t
=t +428
t
+5≥3
，
则值域为⎢
⎡28⎣3，+∞⎫
⎪⎭
； （3） ∵x ∈[0,4]，∴可令x ＝4cos 2θ，θ∈⎡⎣0，π
2⎤⎦， 则y ＝2·2cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ) ，tan φ＝2. 又0≤θ≤ππ
2φ≤θ＋φ2
φ，
故cos φ≤sin(θ＋φ) ≤1，而cos φ＝
1
5
∴2≤y ≤2
5，则值域为⎡⎣2, ；
【举一反三】3
（1） 函数y ＝4x 2＋8x ＋13
6(1＋x )(x ＞－1) 的最小值是
( )
A ．1 B ．2 C. 2513
12 D. 6
1
（2）(13哈尔滨师大附中期中) 函数 y = ⎛1⎫x
+1
⎝2⎪⎭
的值域为( )
A ．(－∞，1) B. ⎛1⎝2，1⎫⎭ C. ⎡1⎣2，1⎫⎭ D. ⎡1
⎣2，＋∞⎫⎭ 答案：（1）B ; (2) C
提示：（1） 令x ＋1＝t ，则原式化为y ＝4t 2＋9
6t ＝23t ＋331
2t 2. 当且仅当t 2，即x ＝2时， y min ＝2. 故应选B.
(2) 因为x 2＋1≥1，所以0
，
则12≤1t 2102，即121t 2
2≤y
【课标创新题】 不等式恒成立的研究方法
(10天津高考题改编) 设f (x ) ＝x 2－1，对任意x ∈
⎡3⎣2，＋∞⎫⎭，f ⎛x ⎝m －4m 2f (x ) ≤f (x －1) ＋4f (m ) 恒成立，
求实数m 的取值范围．
x 2
解析：由题意，得－1－4m 2(x 2－1) ≤(x －1) 2m －1
＋4(m 2－1) 在x ∈⎡3⎣12，＋∞⎫⎭上恒成立，即2m －4m ≤－32332x x ＋1在⎡⎣2，＋∞⎫⎭上恒成立．因为y ＝－x x ＋1在⎡3⎣2⎫⎭上单调递增，所以当x 3
2时，y min 513m 4m 2≤－5
3
，
即(3m 2＋1)(4m 2－3) ≥0，解得m ≤－
2或m ≥2
. 【举一反三】 （13河北省衡水中学第一次调研）已知函数
f (x ) =x 3+3x 对任意的
m ∈[-2, 2],f (mx -2) +f (x )
x ∈答案：(-2, 2
3
) ；
提示：因为函数f (x ) =x 3+3x 是奇函数，且在定义域上f (x ) =x 3+3x 单调递增，所以由
f (mx -2) +f (x )
f (mx -2)
所以(m +1) x
恒成立. 当-1
m +1
，恒成立，此
时，x
22+1=23，当-2≤m 2m +1
恒成立，此时，
2
-2+1
3
) .
【课标自测题】
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1. (13海淀模拟) 函数f (x ) ＝(a －2) x 2
＋2(a －2) x －4的定义域为R ，值域为(－∞，0]，则实数a 的取值范围是( )
A ．(－∞，2) B．(－∞，2] C ．{－2} D．[－2,2)
答案：C
提示：由函数f (x ) 的值域为(－∞，0]可知，函数f (x ) 的最大值为0，可求得a ＝－2.
2. 当x ∈[0,5]时，函数f (x ) ＝3x 2
－4x ＋c 的值域
为 ( )
A ．[c, 55＋c ] B．[－4
3
c ，c ]
C ．[－4
3
c, 55＋c ] D ．[c, 20＋c ]
答案： C
提示：∵f (x ) ＝3(x 242
32－3c ，x ∈[0,5]，∴当x 3时，f (x ) ＝－4
min 3
＋c ；当x ＝5时，f (x ) max ＝55＋c .
3. 函数y ＝2－x 2
＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B．[1,2] C ．[0,2] D．[2，2] 答案：C ；
提示：－x 2
＋4x ＝－(x －2) 2
＋4≤4， －x 2＋4x ≤2，
－2≤－－x 2
＋4x ≤0， －x 2
＋4x ≤2， 所以0≤y ≤2.
4. (13年太原模拟) 定义在R 上的函数f (x ) 满足
f (x ) ＝⎧⎪⎨
log 2(8－x )，x ≤0，⎪f (x －1)－f (x －2(3)的值为
⎩
)，x >0，
则f ( )
A ．1 B ．2 C ．－2 D ．－3
答案：D
提示：依题意得f (3)＝f (2)－f (1)＝[f (1)－f (0)]－f (1)＝－f (0)＝－log 28＝－3，选D.
5. 函数f (x ) ＝x
x ＋1 ）
A 1
2
B 2 C 3 D 0 答案：A
提示：因为x ≥0，当x ＝0时，y ＝0不是函数的最
大值．当x >0时，f (x ) ＝x 11
x ＋1x ＋
1，而＋
x x
≥2。当且仅当x ＝1时等号成立，所以f (x ) 1
2
.
6. (13三明检测) 函数
x －1
y ＝⎧⎪⎨2－2，x ∈ －∞，2]⎪⎩21－x
－2，x ∈ 2，＋∞
的值域为( )
A. ⎛ 3⎝－2⎫⎪⎭
B．(－∞，0)
C.⎛ ⎝－∞，－32⎫⎪⎭ D．(－2,0] 答案 D；
提示：若x ≤2，则x －1≤1,0＜2x －1
≤2，
－2＜2
x －1
－2≤0. 若x ＞2，
则1－x ＜－1,0＜2
1－x
11－32，－2＜2x
－22
综上，函数的值域为(－2,0]，选D. 7. (13深圳模拟) 设函数f(x)=
若f(x)的值域为R, 则常数a 的取值范围是( ) (A)(-∞,-1]∪[2,+∞) (B)[-1,2] (C)(-∞,-2]∪[1,+∞)
(D)[-2,1]
答案A ；
提示：选A. 当x>2时,f(x)>4+a,当x ≤2时, f(x)≤2+a2
, 由题意知2+a2
≥4+a,解得a ≥2或a ≤-1.
8. (13宜春模拟) 已知函数f (x ) =⎧⎨
-x 2+ax , x ≤1
⎩2ax -5, x >1
若存在x 1,x 2∈R 且x 1≠x 2, 使得f(x1)=f(x2) 成立, 则实数a 的取值范围是( )
(A) a2 答案：B
提示：当-a
-2
2a-5,即2≤a
9. 已知函数y mx 2＋3x ＋n
x ＋1的最大值为7，最小
值为－1，则m ＋n 的值为
A ．－1 B ．4 C ．6 D ．7 答案：C
提示：函数式可变形为(y－m)x 2
－43x ＋(y－n) ＝0，x ∈R ，由已知得y －m ≠0，
所以Δ＝(－3) 2
－4(y－m) ·(y－n) ≥0， 即y 2
－(m＋n)y ＋(mn－12) ≤0，①
由题意，知不等式①的解集为[－1,7]，则－1、7是
方程y 2－(m＋n)y ＋(mn－12) ＝0的两根，
所以m ＋n ＝6.
10. （13辽宁）已知函数f (x ) ＝x 2－2(a ＋2) x ＋a 2
，
g (x ) ＝－x 2＋2(a －2) x －a 2＋8. 设H 1(x ) ＝max{f (x ) ，g (x )}，H 2(x ) ＝min{f (x ) ，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值) ．记H 1(x ) 的最小值为A ，H 2(x ) 的最大值为B ，则A －B 等于( ) A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16
D ．16
答案： C
提示： f (x ) ＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ，
g (x ) ＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作
f (x ) 与g (x ) 的图象(如图) ．
依题意知，函数H 1(x ) 的图象(实线部分) ，函数H 2(x ) 的图象(虚线部分) ．
∴H 1(x ) 的最小值A ＝f (a ＋2) ＝－4－4a ，H 2(x ) 的最大值B ＝g (a －2) ＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a ) －(12－4a ) ＝－16.
二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11． 函数y x －x (x ≥0)的最大值为__________． 答案：14
提示：∵y ＝x －x ＝－(x ) 2
＋x ＝－⎛ 1⎫2⎝x －2⎪⎭＋14， ∴y 1max ＝4
. 12．（13北师大附校二次月考）若函数y ＝f (x ) 的值域是⎡⎢1⎣23⎤⎥1⎦，则函数F (x ) ＝f (x ) ＋f （x ）是________．
答案：⎡⎢⎣
2103⎦
提示： 令f (x ) ＝t ，t ∈⎡⎢1⎣2，3⎤⎥⎦
，问题转化为求
y ＝t ＋1t ，t ∈⎡⎢1⎣2，3⎤⎥⎦
的值域． 因为y ＝t 1t ⎡⎢1⎣21⎤
⎥⎦
上递减，在[1，3]上递增，
所以y ∈⎡⎢⎣
2，103⎤⎥⎦.
13． (13茂名模拟) 已知函数f (x ) 满足：
f (m ＋n ) ＝f (m ) f (n ) ，f (1)＝3，则f 2(1)＋f (2)f 2(2)＋f (4)
f (1)f (3)f 2(3)＋f (6)f 2＋f (5)(4)＋f (8)
f (7)的值等于
答案：24
提示：∵f (m ＋n ) ＝f (m ) f (n ) ，∴f (2n ) ＝f (n ) f (n ) ，即f (2n ) ＝f 2(n ) ．且有f (n ＋1) ＝f (n ) f (1)＝3f (n ) ，即f (n ＋1)f (n )＝3，
f 2(1)＋f (2)f 2(2)＋f (4)f 2(3)＋f (6)f 2则(4)＋f (f (1)f (3)f (5)8)f (7)＝
2f (2)f (1)＋2f (4)f (3)＋2f (6)f (5)＋2f (8)f (7)＝2×3＋2×3＋2×3＋2×3＝24. 14 (2013
无锡模拟) 已知函数
x )=⎧⎨
x 2f (+1,x ≥0,
⎩1,x ＜0
则满足不等式f(1-x2
) ＞f(2x)的x 的取值范围是_______.
答案：
(--1
)
提示：
f (x )=⎧⎨
x 2+1,x ≥0, 的图像， 由图像⎩1,x ＜0
可知, 若f(1-x2
) ＞f(2x)，则⎧⎪⎨1-x 2
＞0, 即
⎪⎩
1-x 2
＞2x ，
⎧⎨
-1＜x ＜，1
⎩-1x ＜-1得-1
三．解答题（本大题共4小题，共50分）
15 . 设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x, 0) 在x 轴的正半轴上移动，l (x ) 表示AB →
的长，求函数y ＝x
l (x )的值域．
解：依题意有x ＞0，
l (x ) (x －4)＋3＝x －8x ＋25， 所以y ＝x x
1
l (x )＝x －8x ＋25
. 1－x ＋x
由于1－81x ＋25
x ＝25⎛4⎝x 25⎫⎭2925 所以
1－35x
x ＋x ≥5，故0＜y 3 即函数y ＝
l (x )
的值域是⎛⎝0，53. 16. 函数f (x ) 对任意的m 、n ∈R ，都有f (m ＋n ) ＝f (m ) ＋f (n ) －1，并且x >0时，恒有f (x )>1. (1)求证：f (x ) 在R 上是增函数； (2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)0， ∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.[2分] f (x 2) ＝f [(x 2－x 1) ＋x 1]＝f (x 2－x 1) ＋f (x 1) －1， ∴f (x 2) －f (x 1) ＝f (x 2－x 1) －1>0⇒f (x 1)
(2) ∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，
∴f (1＋1) ＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1， f (3)＝4⇒f (2＋1) ＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4
则3f (1)－2＝4，∴f (1)＝2，∴f (a 2＋a －5)17. 已知函数f (x ) ＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞) 时，f (x ) ≥a 恒成立，求a 的取值范围．
①当a ∈(－∞，－1) 时，f (x ) 在[－1，＋∞) 上单调
递增，∴f (x ) min ＝f (－1) ＝2a ＋3.
要使f (x ) ≥a 恒成立，只需f (x ) min ≥a ，即2a ＋3≥a ，
解得a ≥－3，即－3≤a
②当a ∈[－1，＋∞) 时，f (x ) min ＝f (a ) ＝2－a 2. 要使f (x ) ≥a 恒成立，只需f (x ) min ≥a ，即2－a 2≥a ，
解得－2≤a ≤1，即－1≤a ≤1.
综上所述，实数a 的取值范围为[－3,1].
f (x ) ＝x 2
18. 已知函数x －2
x ∈R ，且x ≠2) ．
(1) 求f (x ) 的单调区间；
(2) 若函数g (x ) ＝x 2－2ax 与函数f (x ) 在x ∈[0，1]上有相同的值域，求a 的值．
(1) f (x ) ＝x 2解：[（x －2）＋x －22]24
x －2＝(x －2) ＋
x －2
＋4，
令x －2＝t ，由于y ＝t ＋4
t
4在(－∞，－2) ，(2，
＋∞) 内单调递增，
在(－2，0) ，(0，2) 内单调递减，∴容易求得f (x ) 的单调递增区间为(－∞，0) ，(4，＋∞) ；单调递减区间为(0，2) ，(2，4) ．
(2)∵f (x ) 在x ∈[0，1]上单调递减，∴其值域为[－1，0]，
即x ∈[0，1]时，g (x ) ∈[－1，0]．
∵g (0)＝0为最大值，∴最小值只能为g (1)或g (a ) ，
若g (1)＝－1，则⎧⎪⎨a ≥1，
⎪⎩1－2a ＝－1⇒a ＝1；
⎧若g (a ) ＝－1，则⎪1⎨2a ≤1，
⇒a ＝1.
⎪⎩－a 2＝－1
综上得a ＝1.