高等数学
----微分中值定理个人总结
1. 罗尔定理中三条件，闭区间连续，开区间可导，端点处函数值相等是充分的。但不代表结论成立，就一定满足这三个条件。
2. 拉格朗日中值定理只有两个条件，闭区间连续，开区间可导，罗尔定理可看做是其特例：
但罗尔定理可用于证明拉格朗日中值定理： （利用上述提到的弦线）
得名有限增量定理。
推论：
3.由拉格朗日中值定理可推广至柯西中值定理，闭区间连续，开区间可导，在开区间内做分母函数的一阶导数不等于零。
由一个函数推广至多个函数。
拉格朗日中值定理和柯西中值定理均可构造辅助函数用罗尔定理证明。
3. 泰勒公式是用“以直代曲”引入的。用x0处的切线近似代替x0附近的曲线解决函数问题，但这种代替效果并不太好，而且不知道误差大小，只知其是一个比x-x0高阶无穷小。但如果函数有高阶导数，便可用泰勒公式去代替曲线，说白了，泰勒公式是一个高次多项式，可能比原函数更容易研究。
余项即为代替后的误差（更加小，更精准）：
要明白泰勒公式可代替曲线而不是只代替某一位置的曲线。非严格意义上可认为泰勒多项式与原函数等价。 *根据余项形式不同，可将其分为：
*麦克劳林公式其实就是泰特多项式的特例
说用泰勒公式其实最多的就是用麦克劳林公式。 熟记常用麦克劳林公式即可。
微分中值定理之间的关系：
微分中值定理应用
1. 证明根的存在性；
2.证明不等式 3.求极限；
4.证明函数连续性；
5.解决含高阶导数的中值问题； 6.求近似值；
7.解决倒数估值问题； *洛必达法则
洛必达法则用于解决0比0形和无穷比无穷型未定式的极限问题。
但解决极限问题时把等价无穷小的知识与洛必达法则结合无疑是个好方法。 *函数的单调性与凹凸性
单调性由一阶导数决定，凹凸性由二阶导数决定，二者都是通过判断导函数的正负号来判断原函数的单调性与凹凸性的，但原函数的根的问题及导函数的正负号也可通过进一步求导得其单调性从而求得所需。
定理2的逆命题不成立，也就是说二阶导函数等于零的点不一定是原函数的拐点。
这一结论和函数驻点与单调性的关系相类似。
另有如果函数的前N阶导数存在且都等于零，第N+1阶导数存在且不为零，则可根据第N+1阶导数的正负号判断原函数的凹凸性。
证法可能用到极限的保号性。
利用函数单调性来证明不等式时，可将原不等式移项从而构造新的函数，求导--判断单调性--新函数的最值--得证。过程中不要怕麻烦，必要时进行多次求导。 判断单调区间的实根个数也是函数单调性的一个重要应用。函数在单调区间内至多有一个零点。在单调区间内部判断其零点个数时一般有两种方法，一为试算，一为求极限，二者皆是为用零点存在定理做准备。 *以e为底的指数函数非常重要，尤其是在求导过程
中（详见P165例5）
拐点与凹凸性的关系类似于驻点与单调性的关系并可把驻点与极值点的关系结合起来记
*函数的极值与最值
函数的极值其实就是函数在局部范围内的最值。 函数在某一点取极值且在改点处导数存在，那么改点一定是原函数的驻点，即改点处的导数值为0.反之不然（驻点不一定是极值点），极值点也不一定是驻点。 用立方抛物线和|X|去理解这句话。
同理也可用高阶导数的正负号得其极值点，非常类似于拐点与凹凸性的特点，证明题也会用到极限的保号性。
*在求导时也有可能用到导数的定义，即用极限的方法求导数，由此可见极限定义及性质都尤为重要。 在遇到不容易做的题尤其是证明题时，要学会侧面分析，正面解答的方法，即找到解题的目标。（P173例4）
计算函数最值时只要找到驻点和一阶导数不存在的点，求出这些点以及端点处的函数值，进行比较，函数值最大（小）的就是最大（小）值。
特别注意找到的驻点和一阶导数不存在的点是否在该定区间内；
如果函数在定区间内有唯一的驻点，只需根据二阶导数的正负号即可判断出最值。在所谓实际问题中也可由有唯一的驻点直接说出最值点。
特殊例子：圆柱形物体V一定，确立r使S最小时，一定满足高H=2r0的关系。
*弧微分 曲率
曲线光滑指的是一阶导函数在该区间内连续。
曲率是角度变化与弧微分的比值。
可联系平均速度与瞬时速度来记忆。
不论是参数方程还是极坐标方程都可先求导后再带入曲率公式。
*抛物线在定点处的曲率最大。
等价无穷小的替换
利用等价无穷小替换的方法求极限是一常用的基本方法,正如大家所熟知的,对于分子、分母中的乘积因子,我们可以放心地进行等价无穷小代换,因为这可以直接由定理1保证。于是,问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进x行等价无穷小代换这一点上,在利用等价无穷小替换的方法 求极限时,须把分子(或分母)看作一个整体,用整个分子(或分母)的等价无穷小去代换。若分子(或分母)是两个等价无穷之差,就不能用各自的等价无穷小代换;若分子(或分母)不是两个等价无穷小之差,就可以用各自的等价无穷小代换。
极限四则运算
*在极限四则运算加减拆分时一定要保证各项极限存在。
高等数学
----微分中值定理个人总结
1. 罗尔定理中三条件，闭区间连续，开区间可导，端点处函数值相等是充分的。但不代表结论成立，就一定满足这三个条件。
2. 拉格朗日中值定理只有两个条件，闭区间连续，开区间可导，罗尔定理可看做是其特例：
但罗尔定理可用于证明拉格朗日中值定理： （利用上述提到的弦线）
得名有限增量定理。
推论：
3.由拉格朗日中值定理可推广至柯西中值定理，闭区间连续，开区间可导，在开区间内做分母函数的一阶导数不等于零。
由一个函数推广至多个函数。
拉格朗日中值定理和柯西中值定理均可构造辅助函数用罗尔定理证明。
3. 泰勒公式是用“以直代曲”引入的。用x0处的切线近似代替x0附近的曲线解决函数问题，但这种代替效果并不太好，而且不知道误差大小，只知其是一个比x-x0高阶无穷小。但如果函数有高阶导数，便可用泰勒公式去代替曲线，说白了，泰勒公式是一个高次多项式，可能比原函数更容易研究。
余项即为代替后的误差（更加小，更精准）：
要明白泰勒公式可代替曲线而不是只代替某一位置的曲线。非严格意义上可认为泰勒多项式与原函数等价。 *根据余项形式不同，可将其分为：
*麦克劳林公式其实就是泰特多项式的特例
说用泰勒公式其实最多的就是用麦克劳林公式。 熟记常用麦克劳林公式即可。
微分中值定理之间的关系：
微分中值定理应用
1. 证明根的存在性；
2.证明不等式 3.求极限；
4.证明函数连续性；
5.解决含高阶导数的中值问题； 6.求近似值；
7.解决倒数估值问题； *洛必达法则
洛必达法则用于解决0比0形和无穷比无穷型未定式的极限问题。
但解决极限问题时把等价无穷小的知识与洛必达法则结合无疑是个好方法。 *函数的单调性与凹凸性
单调性由一阶导数决定，凹凸性由二阶导数决定，二者都是通过判断导函数的正负号来判断原函数的单调性与凹凸性的，但原函数的根的问题及导函数的正负号也可通过进一步求导得其单调性从而求得所需。
定理2的逆命题不成立，也就是说二阶导函数等于零的点不一定是原函数的拐点。
这一结论和函数驻点与单调性的关系相类似。
另有如果函数的前N阶导数存在且都等于零，第N+1阶导数存在且不为零，则可根据第N+1阶导数的正负号判断原函数的凹凸性。
证法可能用到极限的保号性。
利用函数单调性来证明不等式时，可将原不等式移项从而构造新的函数，求导--判断单调性--新函数的最值--得证。过程中不要怕麻烦，必要时进行多次求导。 判断单调区间的实根个数也是函数单调性的一个重要应用。函数在单调区间内至多有一个零点。在单调区间内部判断其零点个数时一般有两种方法，一为试算，一为求极限，二者皆是为用零点存在定理做准备。 *以e为底的指数函数非常重要，尤其是在求导过程
中（详见P165例5）
拐点与凹凸性的关系类似于驻点与单调性的关系并可把驻点与极值点的关系结合起来记
*函数的极值与最值
函数的极值其实就是函数在局部范围内的最值。 函数在某一点取极值且在改点处导数存在，那么改点一定是原函数的驻点，即改点处的导数值为0.反之不然（驻点不一定是极值点），极值点也不一定是驻点。 用立方抛物线和|X|去理解这句话。
同理也可用高阶导数的正负号得其极值点，非常类似于拐点与凹凸性的特点，证明题也会用到极限的保号性。
*在求导时也有可能用到导数的定义，即用极限的方法求导数，由此可见极限定义及性质都尤为重要。 在遇到不容易做的题尤其是证明题时，要学会侧面分析，正面解答的方法，即找到解题的目标。（P173例4）
计算函数最值时只要找到驻点和一阶导数不存在的点，求出这些点以及端点处的函数值，进行比较，函数值最大（小）的就是最大（小）值。
特别注意找到的驻点和一阶导数不存在的点是否在该定区间内；
如果函数在定区间内有唯一的驻点，只需根据二阶导数的正负号即可判断出最值。在所谓实际问题中也可由有唯一的驻点直接说出最值点。
特殊例子：圆柱形物体V一定，确立r使S最小时，一定满足高H=2r0的关系。
*弧微分 曲率
曲线光滑指的是一阶导函数在该区间内连续。
曲率是角度变化与弧微分的比值。
可联系平均速度与瞬时速度来记忆。
不论是参数方程还是极坐标方程都可先求导后再带入曲率公式。
*抛物线在定点处的曲率最大。
等价无穷小的替换
利用等价无穷小替换的方法求极限是一常用的基本方法,正如大家所熟知的,对于分子、分母中的乘积因子,我们可以放心地进行等价无穷小代换,因为这可以直接由定理1保证。于是,问题便集中到对于分子、分母中的加减法因子如何进x行等价无穷小代换这一点上,在利用等价无穷小替换的方法 求极限时,须把分子(或分母)看作一个整体,用整个分子(或分母)的等价无穷小去代换。若分子(或分母)是两个等价无穷之差,就不能用各自的等价无穷小代换;若分子(或分母)不是两个等价无穷小之差,就可以用各自的等价无穷小代换。
极限四则运算
*在极限四则运算加减拆分时一定要保证各项极限存在。