第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算12+（-18）÷（-6）-（-3）×2的结果是（ ） A ． 7 B． 8 C． 21 D．36 【答案】
C
考点：有理数的混合运算 2. 计算10⨯10
3
6
()
23
÷104的结果是（ ）
7
8
9
A ． 10 B． 10 C．10 D．10 【答案】C 【解析】
6234
试题分析：根据乘方的意义及幂的乘方，可知10⨯(10) ÷10=10⨯10÷10=10.
6
6
4
8
故选：C
考点：同底数幂相乘除
3. 不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征. 甲同学：它有4个面是三角形；乙间学：它有8条棱. 该模型的形状对应的立体图形可能是 （ ） A ．三棱柱 B．四棱柱 C． 三棱锥 D．四棱锥 【答案】D 【解析】
试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥. 而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.
故选：D
考点：几何体的形状
4.
A ．1
试题分析：根据二次根式的近似值可知1
，而4，可得1＜a ＜4. 故选：B
考点：二次根式的近似值
5. 若方程(x -5)=19的两根为a 和b ，且a >b ，则下列结论中正确的是 （ ）
A ．a 是19的算术平方根 B．b 是19的平方根 C.a -5是19的算术平方根 D．b +5是19的平方根 【答案】
C
2
考点：平方根
6. 过三点A （2，2），B （6，2），C （4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A ．（4，
1717
） B．（4，3） C.（5，） D．（5，3） 66
【答案】A 【解析】
试题分析：根据题意，可知线段AB 的线段垂直平分线为x=4，然后由C 点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r ，则根据勾股定理可知r =2+(5-2-r ) ，解得r=
2
2
2
13
，因此圆心的纵坐标为6
5-
131717=，因此圆心的坐标为（4，）. 666
故选：A
考点：1、线段垂直平分线，2、三角形的外接圆，3、勾股定理
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
7. 计算：-3=
【答案】3，3 【解析】
=．
⎧a (a ＞0) ⎧a (a ＞
0) ⎪⎪试题分析：根据绝对值的性质a =⎨0(a =0) ，可知
|-3|=3，=a =⎨0(a =0) ，
⎪-a (a ＜0) ⎪-a (a ＜0) ⎩⎩
=3.
故答案为：3，3.
考点：1、绝对值，2、二次根式的性质
8. 2016年南京实现GDP 约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是
． 【答案】1.05×10
4
考点：科学记数法的表示较大的数 9. 若式子
2
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． x -1
【答案】x ≠1 【解析】
试题分析：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-1≠0，解得x ≠1. 故答案为：x ≠1. 考点：分式有意义的条件
10.
的结果是 ．
【答案】
【解析】
=
.
故答案为：考点：合并同类二次根式 11. 方程
21
-=0的解是 ． x +2x
【答案】
x=2
考点：解分式方程
12. 已知关于x 的方程x 2+px +q =0的两根为-3和-1，则p =q = 【答案】4，3 【解析】
试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，可知p=-（-3-1）=4，q=（-3）×（-1）=3. 故答案为：4，3.
考点：一元二次方程的根与系数的关系
13. 下面是某市2013~2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 年，私人汽车拥有量年增长率最大的是 年．
【答案】2016，2015 【解析】
试题分析：根据条形统计图可知私家车拥有最多的年份为2016年，由折线统计图可知2015年的私家车的拥有量增长率最高. 故答案为：2016，2015.
考点：1、条形统计图，2、折线统计图
14. 如图，∠1是五边形ABCDE 的一个外角，若∠1=65︒，则∠A +∠B +∠C +∠D = ．
【答案】
425
考点：1、多边形的内角和，2、多边形的外角
15. 如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A , C , D ，与BC 相交于点E ，连接AC , AE ，若∠D =78︒，则∠EAC = ．
【答案】27 【解析】
，然后根据三角形的试题分析：根据菱形的性质可知AD=DC，AD ∥BC ，因此可知∠DAC=∠DCA ， AE =DC
内角和为180°，可知∠DAC=51°，即∠ACE=51°，然后根据等弧所对的圆周角可知∠DAE=∠D=78°，因此可求得∠EAC=78°-51°=27°. 故答案为：27.
考点：1、菱形的性质，2、圆周角的性质，3、三角形的内角和 16. 函数y 1=x 与y 2=
4
的图像如图所示，下列关于函数y =y 1+y 2的结论：①函数的图像关于原点中心x
对称；②当x 0时，函数的图像最低点的坐标是（2，4），其中所
有正确结论的序号是 ．
【答案】①③
考点：一次函数与反比例函数
三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ）
17. 计算 a +2+【答案】
⎛⎝1⎫⎛1⎫÷a -⎪ ⎪. a ⎭⎝a ⎭
a +1 a -1
【解析】
试题分析：根据分式的混合运算的法则，可先算括号里面的（通分后相加减），然后把除法转化为乘法，再约分化简即可. 试题解析： a +2+
⎛⎝1⎫⎛1⎫÷a -⎪ ⎪ a ⎭⎝a ⎭
a 2+2a +1a 2-1
=÷
a a a 2+2a +1a =⋅2
a a -1
(a +1)=
a =
2
⋅
a
a +1a -1
a +1. a -1
考点：分式的混合运算
⎧-2x ≤6, ①⎪
18. 解不等式组⎨x >-2, ②
⎪3x -1
)⎩(
请结合题意，完成本题的解答.
（1）解不等式①，得 ，依据是______. （2）解不等式③，得 .
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来
.
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 . 【答案】-2
试题分析：分别求解两个不等式，系数化为1时可用性质2或性质3，然后画数轴，确定其公共部分，得到不等式组的解集.
考点：解不等式
19. 如图，在 A B C D 中，点E , F 分别在AD , BC 上，且AE =CF , EF , BD 相交于点O . 求证OE =
OF .
【答案】证明见解析
试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD //BC , AD =BC .
∴∠EDO =∠FBO , ∠DEO =∠BFO . ∵AE =CF ，
∴AD -AE =CB -CF ，即DE =BF . ∴∆DOE ≌∆BOF . ∴OE =OF .
考点：1、平行四边形的性质，2、全等三角形的判定与性质 20. 某公司共25名员工，下标是他们月收入的资料.
（1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元.
（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元. 你认为用平均数，中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由. 【答案】（1）3400，3000. （2）利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势 【解析】
试题分析：（1）根据大小排列确定中间一个或两个的平均数，得到中位数，然后找到出现最多的为众数； （2）根据表格信息，结合中位数、平均数、众数说明即可. 试题解析：（1）3400，3000.
（2）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，
用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大. 该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元. 因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势. 考点：1、中位数，2、众数
21. 全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划. 假定生男生女的概率相同，回答下列问题： （1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率. 【答案】（1）
13 （2） 24
考点：概率
22. “直角”在初中几何学习中无处不在.
如图，已知∠AOB ，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB 是否为直角（仅限用直尺和圆规）
.
【答案】作图见解析 【解析】
试题分析：方法一是根据勾股定理作图，方法二是根据直径所对的圆周角为直角画图.
方法2：如图②，在OA , OB 上分别取点C , D ，以CD 为直径画圆
.
若点O 在圆上，则∠AOB =90︒. 考点：基本作图——作直角
23. 张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择. 如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具. 设购买x 个甲种文具时，需购买y 个乙种文具. （1）①当减少购买一个甲种文具时，x = ，y = ； ②求y 与x 之间的函数表达式.
（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元. 甲，乙两种文具各购买了多少个？
【答案】（1）①99，2②y =-2x +200（2）甲、乙两种文具各购买了60个和80个 【解析】
试题分析：（1）①根据“每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具”可直接求解； ②根据①的结论直接列式即可求出函数的解析式； （2）根据题意列出二元一次方程组求解即可.
考点：1、一次函数，2、二元一次方程组
24. 如图，PA , PB 是⊙O 的切线，A , B 为切点. 连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D .
（1）求证：PO 平分∠APC .
（2）连结DB ，若∠C =30︒，求证DB //AC
.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）连接OB ，根据切线的性质和角平分线的概念可证明；
（2）根据角平分线的性质可证明△ODB 是等边三角形，然后根据平行线的判定得证.
试题解析：（1）如图，连接OB
.
∵PA , PB 是⊙O 的切线，
∴OA ⊥AP , OB ⊥BP ，
又OA =OB ，
∴PO 平分∠
APC .
又OD =OB ，
∴∆ODB 是等边三角形.
∴∠OBD =60︒.
∴∠DBP =∠OPB -∠OBD =90︒-60︒=30︒.
∴∠DBP =∠C .
∴DB //AC .
考点：1、圆的切线，2、角平分线的性质与判定，3、平行线的判定
25. 如图，港口B 位于港口A 的南偏东37︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km ，到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45︒方向上. 这时，E 处距离港口A 有多远？
（参考数据：sin37︒≈0.60,cos37︒≈0.80, tan37︒≈0.75）
【答案】35km
【解析】
试题分析：过点C 作CH ⊥AD ，垂足为H . 构造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行线分线段成比例的定理列方程求解即可.
∵CH ⊥AD , BD ⊥AD ，
∴∠AHC =∠ADB =90︒.
∴HC //DB . ∴AH AC =. HD C B
又C 为AB 的中点，
∴AC =CB .
∴AH =HD . x =x +5. tan 37︒
5⨯tan 37︒5⨯0.75≈=15. ∴x =1-tan 37︒1-0.75∴
∴AE =AH +HE =15+15≈35(km ). tan 37︒
因此，E 处距离港口A 大约为35km .
考点：解直角三角形
26. 已知函数y =-x 2+(m -1)x +m （m 为常数）
（1）该函数的图像与x 轴公共点的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.1或2
（2）求证：不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数y =(x +1)的图像上.
（3）当-2≤m ≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围.
【答案】（1）D （2）证明见解析（3）0≤z ≤
4 2
试题解析：（1）D .
m -1⎫(m +1)⎛2（2）y =-x +(m -1)x +m =- x -， ⎪+24⎝⎭22
⎛m -1(m +1)2⎫, 所以该函数的图像的顶点坐标为 ⎪. 2⎪4⎝⎭
m -12⎛m -1⎫(m +1)把x =代入y =(x +1)，得y = . +1⎪=24⎝2⎭22
因此，不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数y =(x +1)的图像上. 2
(m +1)（3）设函数z =42.
当m =-1时，z 有最小值0.
当m -1时，z 随m 的增大而增大.
(-2+1)又当m =-2时，z =42(3+1)=4. 1=；当m =3时，z =442
因此，当-2≤m ≤3时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是0≤z ≤4.
考点：二次函数的图像与性质
27. 折纸的思考.
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形.
第一步，对折矩形纸片ABCD (AB >BC )（图①），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（图②）.
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB , PC ，得到∆PBC .
（1）说明∆PBC 是等边三角形
.
【数学思考】
（2）如图④.小明画出了图③的矩形ABCD 和等边三角形PBC . 他发现，在矩形ABCD 中把∆PBC 经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形. 请描述图形变化的过程.
（3）已知矩形一边长为3cm ，另一边长为acm . 对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形. 请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围
.
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm 和1cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm .
【答案】（1）∆PBC 是等边三角形（2）答案见解析（3
）0
（4）
a ≥ 16 5
试题解析：（1）由折叠，PB =PC , BP =BC ，
因此，∆PBC 是等边三角形.
（2）本题答案不惟一，下列解法供参考. 例如，
如图，以点B 为中心，在矩形ABCD 中把∆PBC 逆时针方向旋转适当的角度，得到∆PBC 11；
再以点B 为位似中心，将∆PBC 11放大，使点C 1的对应点C 2落在CD 上，得到∆P 2BC 2.
（3）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，
0
（4）
a ≥16. 5
考点：1、规律探索，2、矩形的性质，3、正方形的性质，4、等边三角形
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 计算12+（-18）÷（-6）-（-3）×2的结果是（ ） A ． 7 B． 8 C． 21 D．36 【答案】
C
考点：有理数的混合运算 2. 计算10⨯10
3
6
()
23
÷104的结果是（ ）
7
8
9
A ． 10 B． 10 C．10 D．10 【答案】C 【解析】
6234
试题分析：根据乘方的意义及幂的乘方，可知10⨯(10) ÷10=10⨯10÷10=10.
6
6
4
8
故选：C
考点：同底数幂相乘除
3. 不透明袋子中装有一个几何体模型，两位同学摸该模型并描述它的特征. 甲同学：它有4个面是三角形；乙间学：它有8条棱. 该模型的形状对应的立体图形可能是 （ ） A ．三棱柱 B．四棱柱 C． 三棱锥 D．四棱锥 【答案】D 【解析】
试题分析：根据有四个三角形的面，且有8条棱，可知是四棱锥. 而三棱柱有两个三角形的面，四棱柱没有三角形的面，三棱锥有四个三角形的面，但是只有6条棱.
故选：D
考点：几何体的形状
4.
A ．1
试题分析：根据二次根式的近似值可知1
，而4，可得1＜a ＜4. 故选：B
考点：二次根式的近似值
5. 若方程(x -5)=19的两根为a 和b ，且a >b ，则下列结论中正确的是 （ ）
A ．a 是19的算术平方根 B．b 是19的平方根 C.a -5是19的算术平方根 D．b +5是19的平方根 【答案】
C
2
考点：平方根
6. 过三点A （2，2），B （6，2），C （4，5）的圆的圆心坐标为（ ） A ．（4，
1717
） B．（4，3） C.（5，） D．（5，3） 66
【答案】A 【解析】
试题分析：根据题意，可知线段AB 的线段垂直平分线为x=4，然后由C 点的坐标可求得圆心的横坐标为x=4，然后设圆的半径为r ，则根据勾股定理可知r =2+(5-2-r ) ，解得r=
2
2
2
13
，因此圆心的纵坐标为6
5-
131717=，因此圆心的坐标为（4，）. 666
故选：A
考点：1、线段垂直平分线，2、三角形的外接圆，3、勾股定理
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
7. 计算：-3=
【答案】3，3 【解析】
=．
⎧a (a ＞0) ⎧a (a ＞
0) ⎪⎪试题分析：根据绝对值的性质a =⎨0(a =0) ，可知
|-3|=3，=a =⎨0(a =0) ，
⎪-a (a ＜0) ⎪-a (a ＜0) ⎩⎩
=3.
故答案为：3，3.
考点：1、绝对值，2、二次根式的性质
8. 2016年南京实现GDP 约10500亿元，成为全国第11个经济总量超过万亿的城市，用科学记数法表示10500是
． 【答案】1.05×10
4
考点：科学记数法的表示较大的数 9. 若式子
2
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． x -1
【答案】x ≠1 【解析】
试题分析：根据分式有意义的条件，分母不为0，可知x-1≠0，解得x ≠1. 故答案为：x ≠1. 考点：分式有意义的条件
10.
的结果是 ．
【答案】
【解析】
=
.
故答案为：考点：合并同类二次根式 11. 方程
21
-=0的解是 ． x +2x
【答案】
x=2
考点：解分式方程
12. 已知关于x 的方程x 2+px +q =0的两根为-3和-1，则p =q = 【答案】4，3 【解析】
试题分析：根据一元二次方程的根与系数的关系，可知p=-（-3-1）=4，q=（-3）×（-1）=3. 故答案为：4，3.
考点：一元二次方程的根与系数的关系
13. 下面是某市2013~2016年私人汽车拥有量和年增长率的统计图，该市私人汽车拥有量年净增量最多的是 年，私人汽车拥有量年增长率最大的是 年．
【答案】2016，2015 【解析】
试题分析：根据条形统计图可知私家车拥有最多的年份为2016年，由折线统计图可知2015年的私家车的拥有量增长率最高. 故答案为：2016，2015.
考点：1、条形统计图，2、折线统计图
14. 如图，∠1是五边形ABCDE 的一个外角，若∠1=65︒，则∠A +∠B +∠C +∠D = ．
【答案】
425
考点：1、多边形的内角和，2、多边形的外角
15. 如图，四边形ABCD 是菱形，⊙O 经过点A , C , D ，与BC 相交于点E ，连接AC , AE ，若∠D =78︒，则∠EAC = ．
【答案】27 【解析】
，然后根据三角形的试题分析：根据菱形的性质可知AD=DC，AD ∥BC ，因此可知∠DAC=∠DCA ， AE =DC
内角和为180°，可知∠DAC=51°，即∠ACE=51°，然后根据等弧所对的圆周角可知∠DAE=∠D=78°，因此可求得∠EAC=78°-51°=27°. 故答案为：27.
考点：1、菱形的性质，2、圆周角的性质，3、三角形的内角和 16. 函数y 1=x 与y 2=
4
的图像如图所示，下列关于函数y =y 1+y 2的结论：①函数的图像关于原点中心x
对称；②当x 0时，函数的图像最低点的坐标是（2，4），其中所
有正确结论的序号是 ．
【答案】①③
考点：一次函数与反比例函数
三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ）
17. 计算 a +2+【答案】
⎛⎝1⎫⎛1⎫÷a -⎪ ⎪. a ⎭⎝a ⎭
a +1 a -1
【解析】
试题分析：根据分式的混合运算的法则，可先算括号里面的（通分后相加减），然后把除法转化为乘法，再约分化简即可. 试题解析： a +2+
⎛⎝1⎫⎛1⎫÷a -⎪ ⎪ a ⎭⎝a ⎭
a 2+2a +1a 2-1
=÷
a a a 2+2a +1a =⋅2
a a -1
(a +1)=
a =
2
⋅
a
a +1a -1
a +1. a -1
考点：分式的混合运算
⎧-2x ≤6, ①⎪
18. 解不等式组⎨x >-2, ②
⎪3x -1
)⎩(
请结合题意，完成本题的解答.
（1）解不等式①，得 ，依据是______. （2）解不等式③，得 .
（3）把不等式①，②和③的解集在数轴上表示出来
.
（4）从图中可以找出三个不等式解集的公共部分，得不等式组的解集 . 【答案】-2
试题分析：分别求解两个不等式，系数化为1时可用性质2或性质3，然后画数轴，确定其公共部分，得到不等式组的解集.
考点：解不等式
19. 如图，在 A B C D 中，点E , F 分别在AD , BC 上，且AE =CF , EF , BD 相交于点O . 求证OE =
OF .
【答案】证明见解析
试题解析：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD //BC , AD =BC .
∴∠EDO =∠FBO , ∠DEO =∠BFO . ∵AE =CF ，
∴AD -AE =CB -CF ，即DE =BF . ∴∆DOE ≌∆BOF . ∴OE =OF .
考点：1、平行四边形的性质，2、全等三角形的判定与性质 20. 某公司共25名员工，下标是他们月收入的资料.
（1）该公司员工月收入的中位数是 元，众数是 元.
（2）根据上表，可以算得该公司员工月收入的平均数为6276元. 你认为用平均数，中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由. 【答案】（1）3400，3000. （2）利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势 【解析】
试题分析：（1）根据大小排列确定中间一个或两个的平均数，得到中位数，然后找到出现最多的为众数； （2）根据表格信息，结合中位数、平均数、众数说明即可. 试题解析：（1）3400，3000.
（2）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，
用中位数反映该公司全体员工月收入水平较为合适，在这组数据中有差异较大的数据，这会导致平均数较大. 该公司员工月收入的中位数是3400元，这说明除去收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工收入低于3400元. 因此，利用中位数可以更好地反映这组数据的集中趋势. 考点：1、中位数，2、众数
21. 全面两孩政策实施后，甲，乙两个家庭有了各自的规划. 假定生男生女的概率相同，回答下列问题： （1）甲家庭已有一个男孩，准备再生一个孩子，则第二个孩子是女孩的概率是 ；
（2）乙家庭没有孩子，准备生两个孩子，求至少有一个孩子是女孩的概率. 【答案】（1）
13 （2） 24
考点：概率
22. “直角”在初中几何学习中无处不在.
如图，已知∠AOB ，请仿照小丽的方式，再用两种不同的方法判断∠AOB 是否为直角（仅限用直尺和圆规）
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【答案】作图见解析 【解析】
试题分析：方法一是根据勾股定理作图，方法二是根据直径所对的圆周角为直角画图.
方法2：如图②，在OA , OB 上分别取点C , D ，以CD 为直径画圆
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若点O 在圆上，则∠AOB =90︒. 考点：基本作图——作直角
23. 张老师计划到超市购买甲种文具100个，他到超市后发现还有乙种文具可供选择. 如果调整文具的购买品种，每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具. 设购买x 个甲种文具时，需购买y 个乙种文具. （1）①当减少购买一个甲种文具时，x = ，y = ； ②求y 与x 之间的函数表达式.
（2）已知甲种文具每个5元，乙种文具每个3元，张老师购买这两种文具共用去540元. 甲，乙两种文具各购买了多少个？
【答案】（1）①99，2②y =-2x +200（2）甲、乙两种文具各购买了60个和80个 【解析】
试题分析：（1）①根据“每减少购买1个甲种文具，需增加购买2个乙种文具”可直接求解； ②根据①的结论直接列式即可求出函数的解析式； （2）根据题意列出二元一次方程组求解即可.
考点：1、一次函数，2、二元一次方程组
24. 如图，PA , PB 是⊙O 的切线，A , B 为切点. 连接AO 并延长，交PB 的延长线于点C ，连接PO ，交⊙O 于点D .
（1）求证：PO 平分∠APC .
（2）连结DB ，若∠C =30︒，求证DB //AC
.
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
试题分析：（1）连接OB ，根据切线的性质和角平分线的概念可证明；
（2）根据角平分线的性质可证明△ODB 是等边三角形，然后根据平行线的判定得证.
试题解析：（1）如图，连接OB
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∵PA , PB 是⊙O 的切线，
∴OA ⊥AP , OB ⊥BP ，
又OA =OB ，
∴PO 平分∠
APC .
又OD =OB ，
∴∆ODB 是等边三角形.
∴∠OBD =60︒.
∴∠DBP =∠OPB -∠OBD =90︒-60︒=30︒.
∴∠DBP =∠C .
∴DB //AC .
考点：1、圆的切线，2、角平分线的性质与判定，3、平行线的判定
25. 如图，港口B 位于港口A 的南偏东37︒方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A 的正南方向，港口B 的正西方向的D 处，它沿正北方向航行5km ，到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45︒方向上. 这时，E 处距离港口A 有多远？
（参考数据：sin37︒≈0.60,cos37︒≈0.80, tan37︒≈0.75）
【答案】35km
【解析】
试题分析：过点C 作CH ⊥AD ，垂足为H . 构造直角三角形的模型，然后解直角三角形和平行线分线段成比例的定理列方程求解即可.
∵CH ⊥AD , BD ⊥AD ，
∴∠AHC =∠ADB =90︒.
∴HC //DB . ∴AH AC =. HD C B
又C 为AB 的中点，
∴AC =CB .
∴AH =HD . x =x +5. tan 37︒
5⨯tan 37︒5⨯0.75≈=15. ∴x =1-tan 37︒1-0.75∴
∴AE =AH +HE =15+15≈35(km ). tan 37︒
因此，E 处距离港口A 大约为35km .
考点：解直角三角形
26. 已知函数y =-x 2+(m -1)x +m （m 为常数）
（1）该函数的图像与x 轴公共点的个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.1或2
（2）求证：不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数y =(x +1)的图像上.
（3）当-2≤m ≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围.
【答案】（1）D （2）证明见解析（3）0≤z ≤
4 2
试题解析：（1）D .
m -1⎫(m +1)⎛2（2）y =-x +(m -1)x +m =- x -， ⎪+24⎝⎭22
⎛m -1(m +1)2⎫, 所以该函数的图像的顶点坐标为 ⎪. 2⎪4⎝⎭
m -12⎛m -1⎫(m +1)把x =代入y =(x +1)，得y = . +1⎪=24⎝2⎭22
因此，不论m 为何值，该函数的图像的顶点都在函数y =(x +1)的图像上. 2
(m +1)（3）设函数z =42.
当m =-1时，z 有最小值0.
当m -1时，z 随m 的增大而增大.
(-2+1)又当m =-2时，z =42(3+1)=4. 1=；当m =3时，z =442
因此，当-2≤m ≤3时，该函数的的图像的顶点纵坐标的取值范围是0≤z ≤4.
考点：二次函数的图像与性质
27. 折纸的思考.
【操作体验】
用一张矩形纸片折等边三角形.
第一步，对折矩形纸片ABCD (AB >BC )（图①），使AB 与DC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平（图②）.
第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C 落在EF 上的P 处，并使折痕经过点B ，得到折痕BG ，折出PB , PC ，得到∆PBC .
（1）说明∆PBC 是等边三角形
.
【数学思考】
（2）如图④.小明画出了图③的矩形ABCD 和等边三角形PBC . 他发现，在矩形ABCD 中把∆PBC 经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形. 请描述图形变化的过程.
（3）已知矩形一边长为3cm ，另一边长为acm . 对于每一个确定的a 的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形. 请画出不同情形的示意图，并写出对应的a 的取值范围
.
【问题解决】
（4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm 和1cm 的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm .
【答案】（1）∆PBC 是等边三角形（2）答案见解析（3
）0
（4）
a ≥ 16 5
试题解析：（1）由折叠，PB =PC , BP =BC ，
因此，∆PBC 是等边三角形.
（2）本题答案不惟一，下列解法供参考. 例如，
如图，以点B 为中心，在矩形ABCD 中把∆PBC 逆时针方向旋转适当的角度，得到∆PBC 11；
再以点B 为位似中心，将∆PBC 11放大，使点C 1的对应点C 2落在CD 上，得到∆P 2BC 2.
（3）本题答案不惟一，下列解法供参考，例如，
0
（4）
a ≥16. 5
考点：1、规律探索，2、矩形的性质，3、正方形的性质，4、等边三角形