矩阵求逆的几种方法
曹远军
（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业10级2班，陕西 汉中
723100）
指导老师：陈露
[摘要] 矩阵求逆是高等代数的一个重要内容。本文对矩阵求逆的方法进行了系统的归纳和总结方法，
这些求逆方法包括定义法、初等变换法、LU 分解等十种方法，并通过具体实例对这些方法的使用加以说明，以便对今后的学习有更多的帮助.
[关键词] 逆矩阵；初等变换；初等矩阵；伴随矩阵；等价标准型.
1引言
矩阵是大学数学中很重要的一个内容，在《高等代数》中我们学习了矩阵的一些基本知识及应用，而矩阵求逆的方法是矩阵中一个很重要的部分，那么如何判断一个矩阵是否可逆，怎样快速的去求解矩阵的逆，前人也总结了一些非常实用的方法，例如通过初等行（列）变换来实现矩阵的求逆，哈密尔顿—凯莱定理法、利用线性方程组求逆矩阵、多项式求逆、较高阶矩阵求逆、分块矩阵求逆等方法。各种求解矩阵的逆的解法日渐丰富多样，它们分别从各种不同的角度对矩阵求逆的方法进行改进和推广，使得矩阵求逆的方法日益完善。本文主要针对矩阵如何求逆的问题以及一些特殊矩阵求逆的问题进行分析探讨，进而归纳总结了矩阵求逆的几种方法，这些方法主要有初等行（列）变换法、伴随法、初等行列变换并列法、分块矩阵求逆等，总共有十种方法. 并且将通过具体实例对这些方法的使用加以说明，以及分析它们之间的优势以及劣势. 希望对以后的研究及应用起到一定的帮助作用.
[1-10]
2预备知识
定义1 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵。若存在F 上一个n 阶矩阵B ，使得AB =BA =E ，那么A 叫做一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 做A 的逆矩阵，其中E 是n 阶单位矩阵.
[1]
定义2 若矩阵B 适合AB =BA =E ，那么B 就称为A 的逆矩阵，记A -1.
既然可逆矩阵在高等代数(线性代数) 中具有非常重要的作用，那么如何判断一个矩阵是否可逆呢？在此给出一些矩阵可逆的判别方法。以下考虑的所有矩阵均为n 阶矩阵.
[1]
定理1 矩阵A 是可逆的充要条件是A 非退化的，且A
[1][1]
-1
=
1*
A det A
定理2 矩阵A 是可逆的充要条件是A 可以写成初等矩阵的乘积. 定理3 矩阵A 是可逆的充要条件是A 的秩为n .
T *[2]
定理4 如果A 矩阵满足A =A ，则A 是可逆矩阵.
[1]
定理5 如果矩阵A 满足a ii >
[2]
∑a
j =1j ≠1
n
ij
，i =1, 2 ，则A 是可逆矩阵.
定理6 如果A 矩阵的列（行）向量是线性无关的，则A 是可逆矩阵.
[3]
定理7 如果线性方程组只AX =0有零解，则A 是可逆矩阵.
[4]
定理8 如果矩阵A 没有零特征值，则A 是可逆矩阵.
[5]
定理9 如果矩阵满足B =A -E ，且矩阵B 中各元素的平方和小于1，则A 是可逆阵.
[3]
证明 令线性映射T (x )=-B (x )，x 是n 维向量. 定义该维空间的距为其欧氏距离. 利用柯西不等式可以证明d ((Tx )(Ty ))≤a ⨯b (x , y ), ，a 为b 的所有元素的平方和，根据压缩映射T 原理可得映射有唯一一个不动点. 即T (x )=X . 因为T (0)=0，所以0 即为其不动点，因此对任意不等于0，均有T (x )≠x ，即(E -A )x =x -Ax 不等于x ，不等于AX ≠0. 因此得可逆. 定理10 如果矩阵满足(E +A )=0，其中m 是自然数，则A 可逆矩阵.
有了一定的判别基础，下面通过几个具体例子来介绍常见的矩阵的逆的求解方法，共有十种，详细陈述如下.
[6]
m
3 求逆矩阵的方法
3.1 利用定义法求矩阵的逆
若A , B 矩阵满足AB =E ，则A =B .
-1
⎛2 0
例1 求矩阵A = 0
0 0⎝
解 设
1000⎫
⎪
2100⎪
0210⎪的逆矩阵.
⎪
0021⎪0002⎪⎭
⎛2
0 0 0 0⎝
解得
1000⎫⎛b 11b 12
⎪
2100⎪ b 21b 220210⎪ b 31b 32
⎪
0021⎪ b 41b 420002⎪⎭⎝b 51b 52
b 13b 23b 33b 43b 53
b 14b 24b 34b 44b 54
b 15⎫⎛1
⎪b 25⎪ 0
b 35⎪= 0⎪ b 45⎪ 0
b 55⎪⎭⎝00000⎫
⎪
1000⎪0100⎪,
⎪
0010⎪0001⎪⎭
⎧b 11=b 22=b 33=b 44=b 55=2-1
⎪-2
b =b =b =b =-212233445⎪⎪
. b 13=b 24=b 35=2-3⎨
⎪b 14=b 25=-2-4⎪⎪b 15=2-5⎩
于是
⎛ -1
A =
⎝
[7]
2-10000
-2-22-1000
2-3-2-22-100
-2-42-3-2-22-10
2-5⎫
⎪-2-4⎪2-3⎪.
⎪-2-2⎪2-1⎪⎭
3.2 利用伴随矩阵法求矩阵的逆
定理11 n 阶矩阵A =(a ij ) 可逆的充要条件A ≠0，而且当n (≥2) 阶矩阵A 有逆矩阵，A
-1
=
1*
A ，其中A *伴随矩阵. A
⎛3-10⎫ ⎪-1
例2 矩阵B = -211⎪是否可逆？若可逆，求B .
2-14⎪⎝⎭
解 B =5≠0, 所以B 可逆.
又因为B 11=5, B 21=4，B 31=31，B 12=10，B 22=12，B 32=-3，B 13=0，B 23=1，
B 33=1. 所以 B -1=
1*
B . B
⎛100⎫
-1 ⎪*
例 3 设C = 220⎪，C 是C 的伴随矩阵，求(C *).
345⎪⎝⎭
B -1-1*-1
解 C =C C ，又{KB }=，所以
k
⎛100⎫
-1-1111 ⎪
C =C = 220⎪. (C *)=(C C -1)=C
1010 ⎪
⎝345⎭
3.3 用初等变换法求矩阵的逆
定理12
[7]
如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，P 1, P 2 P l 使得A =P 1P 2 P l .
-1
如果A 可逆, 则A 也可逆，由上述定理存在初等矩阵Q 1, Q 2, , Q l 使得
A -1=Q 1Q 2 Q l ，那么E =AA -1=A -1A 即E =Q 1Q 2 Q l A , A -1=Q 1Q 2 Q l E .
于是得到一个求逆矩阵的方法如下：
如果n 阶方阵A 可逆，作一个n ⨯2n 的矩阵{A /E }，然后对此矩阵施以初等行换，使
初等行变换
→(E /A -1) A 化为单位矩阵E 同时化为A -1，即：(A /E )−−−−
⎛231⎫
⎪
例4 用初等行变换求矩阵D = 013⎪的逆矩阵.
125⎪⎝⎭
解
⎛231100⎫⎛125001⎫
⎪ ⎪
013010→013010(D /E )= ⎪ ⎪→, 125001⎪ 231100⎪⎝⎭⎝⎭⎛125001⎫⎛125001⎫ ⎪ ⎪
3010⎪, 013010⎪→ 01
00-611-2⎪ 0-1-910-2⎪⎝⎭⎝⎭
故
⎛1 -6 1-1
D =
2 1 - 6⎝
-
134⎫63⎪
⎪
3
-1⎪. ⎪2
⎪11⎪-
63⎪⎭
⎛D ⎫
⎪，然后此矩阵施以初等变换，使E ⎝⎭
⎛D ⎫初等列变换⎛E ⎫-1
矩阵D 化为单位阵E ，则同时E 化为D ，即 ⎪−−−−→ -1⎪.
E ⎝⎭⎝D ⎭
同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个2n ⨯n 的矩阵
3.4 用等价标准型来求矩阵的逆
[8]
定理13 设A 是n 阶可逆矩阵，A 的秩等于n ，存在可逆矩阵B 与C ，使CAB =E ，
A =C -1B -1，故A -1=BC .
证明 首先构造矩阵D =
⎛A E ⎫
然后对D 进行行如下形式的初等变换： ⎪
⎝E 0⎭2n ⨯2n
（1）对D 的前几行(A , E )进行初等的行变换, （2）对D 的前几列
⎛A ⎫
⎪进行初等的列变换, ⎝E ⎭
⎛A E ⎫初等行列变换⎛E C ⎫
→ ⎪−−−−−⎪,
E 0B 0⎝⎭⎝⎭
则经过有限次上述变换后，D 可以变为D = 由此得A
-1
=BC .
⎛131⎫
⎪
例5求可逆矩阵A = 251⎪的逆矩阵.
001⎪⎝⎭
解 构造矩阵
⎛1 2 0D =
1 0 0⎝
所以
31100⎫⎛1001
⎪
51010⎪ 010-201001⎪ 0010
⎪→
00000⎪ 13-1010000⎪ 0-100
⎪ 01000⎪⎭⎝001000⎫
⎪11⎪01⎪
⎪, 00⎪00⎪
⎪00⎪⎭
⎛13-1⎫⎛100⎫⎛-532⎫ ⎪⎪ ⎪-1
A = 0-10⎪-211⎪= 2-1-1⎪.
001⎪001⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3.5 利用Hamilton-Caley 初等变换法求矩阵的逆
[8]
Hamilton-Caley定理15设A 是数域F 上的n 阶矩阵，
f (λ)=λE -=λn +a 1A n -1+a 2λn -2+ ++a n -1λ+a n ,
是A 的特征多项式，则
f (A )=A n +a 1A n -1+a 2A n -2+ ++a n -1A +a n E =0，
若A 可逆，则a n =(1-1)det A ≠0，从而有
n
-
故
1n -1
A +a 1A n -2+a 2A n -3+ +a n -1E A =E , a n
()
A -1=-
根据题意，有
1n -1
A +a 1A n -2+a 2A n -3+ +a n -1E . a n
()
λ-3
f (λ)=λE -A =
0000
易知a n =-3≠0那么有
5
-10-1λ-300
00-1
000-1λ-3
=(λ-3),
5
λ-3
000
λ-3
A -1=-
于是
1225-3335-4445-11
()()()()A +-3C +-3C A +-3C A +-3C 5E , 555
-35
⎛ -1
A =
⎝
3-10000
-3-23-1000
3-3-3-23-100
-3-43-3-3-23-10
3-5⎫
⎪-3-4⎪3-3⎪.
⎪-3-2⎪3-1⎪⎭
T
()
3.6 利用线性方程组求矩阵的逆
定理16 若n 阶矩阵A 可逆，线性方程组AX =B ，其中B =(b 1, b 2, b n )的解为
[9]
⎛a 11 1 a 21
x i =
det A
a ⎝n 1
于是A -1的第i 行是
a 12a 22a n 2
a 1, i -1b 1a 2, i -1b 2a n , i -1b n
a 1, i +1a 2, i +1a n , i +1
a 1n ⎫⎪a 2n ⎪
, ⎪⎪a m ⎪⎭
⎛a 11
1 a 21
y i =
det A
a ⎝n 1
a 12a 22a n 2
a 1, i -1a 2, i -1a n , i -1
e 1e 2e n
a 1, i +1a 2, i +1a n , i +1
a 1n ⎫⎪a 2n ⎪⎪. ⎪⎪a m ⎭
其中e i 是第i 个分量为1 的单位向量.
⎛2
例6 求矩阵A = 0
0 0⎝1000⎫
⎪
2100⎪
0210⎪的逆矩阵.
⎪
0021⎪0002⎪⎭
T
T
解 设X =(x 1, x 2 , x n ), B =(b 1, b 2, , b n )，解线性方程组AX =B .
⎧2x 1+x 2=b 1
⎪2x +x =b
232⎪⎪
⎨2x 3+x 4=b 3, ⎪2x +x =b
4
⎪45⎪⎩2x 5=b 5
从而有
⎧x 1=2-5(24b 1-23b 2+22b 3-2b 4+b 5)
⎪
⎪x 2=2-4(23b 2-22b 3+2b 4-b 5)⎪⎨x 3=2-3(22b 3-2b 4+b 5), ⎪⎪x 4=2-2(2b 4-b 5)⎪
x 5=2-1b 5⎩
将上式中的b 1, b 2, b 3, b 4, b 5用e 1, e 2, e 3, e 4, e 5代替便可得到
⎛ -1
A =
⎝
定理17
[10]
2-10000
-2-22-1000
2-3-2-22-100
-2-42-3-2-22-10
2-5⎫
⎪-2-4⎪2-3⎪.
⎪-2-2⎪2-1⎪⎭
3.7 利用Gauss-Jordan 法求矩阵的逆
-1
设x , y 是n 维向量，矩阵A 可逆，且Y =AX ，若X=BY则A =B 。
证明 已知Y =AX ，那么有
⎛ y 1⎫⎛a 11a 12a 1n ⎫⎛ y ⎪ 2⎪= a 21a a ⎪x 1⎫⎪222n ⎪x 2 ⎪⎪⎪
, ⎝y ⎪ ⎭ n ⎝a n 1
a n 2
a ⎪⎪⎪nn ⎭⎝x n ⎭
于是
⎧⎪y 1=a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ⎪⎨
y 2=a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n
⎪
, ⎪⎩y n =a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n
进而
⎧⎪x 1=b 11y 1+b 12y 2+ +b 1n y n ⎪⎨
x 2=b 21y 1+b 22y 2+ +b 2n y n
, ⎪
⎪⎩x n =b n 1y 1+b n 2y 2+ +b nn y n
所以
⎛ x 1⎫⎪⎛b 11b 12b 1n ⎫⎛y 1⎫ x 2⎪= b 21b 22b ⎪⎪2n ⎪y 2 ⎪⎪⎪
. ⎝x ⎪ n ⎭⎝b n 1
b n 2
b ⎪⎪⎪nn ⎭⎝y n ⎭故X =BY ⇒A
-1
=B .
3.8 用分块矩阵求逆矩阵 易知：
⎛-1
-1
A 0⎫
⎛A -10⎫⎛0
A ⎫⎝0B ⎪⎭= ⎝0
B -1⎪⎭; ⎝B 0⎪⎭=⎛ 0
⎝B
-1⎛-1
A C ⎫CB -1⎫
⎝0B ⎪=⎛ A -1
-A -1⎭
⎝0B -1
⎪； ⎭
A -1⎫
0⎪, ⎭
⎛-1
A 0⎫
0⎫⎝C B ⎪⎭=⎛ A -1⎝-B -1CA
-1B -1⎪； ⎭
⎛ 21000⎫
2100⎪
例7 求矩阵A = 0
0210⎪
⎪的逆矩阵.
00021⎪
⎪⎝
00002⎪⎭
解 不妨设
⎛ 21000⎫
02100⎪
00210⎪
⎪=⎛ A C ⎫0021⎪0⎪,
0 ⎪⎝B ⎭
⎝
00002⎪⎭
其中
⎛A =⎛ 21⎫ 210⎫⎪⎛000⎫⎝02⎪⎭, B = 021 ⎪, C = ⎪⎝002⎪
⎭
⎝100,
⎭易知
-⎛2-1
-2-22-3⎫
A -1
=
-2-2⎫⎛2
1
2-1⎪B -1=
2
-1
-2⎪A CB =⎝0
⎭ 0 ⎪--1-1
⎛2-3-2⎝
2-1⎪⎝-2-2
⎭
故所求的逆矩阵为
⎛ 2-1
-2-22-3-2-42-5⎫
2-1-2-22-3-2-4⎪-1 0⎪A = 0
02-1-2-22-3⎪ 0002-1-2-2⎪.
⎪⎝
00
2-1⎪⎭
3.9 利用LU 分解求矩阵的逆 若n 阶方阵
A ∈C n *n
n
的各阶顺序主子式不等于零，即：
⎛ a 11a 12
a 1k ⎫ ∆= a 21a 22a 2k ⎪k ⎪≠0,(k =1, 2, , n ),
⎪⎝ak 1ak 2akk ⎪⎭
则A的LU 分解A =L ⨯U 存在且唯一.
-2-22-5⎫
2-3
-2-4⎪, ⎭
⎛a 11 A = a r 1
a ⎝n 1
⎛1 L r 1 L ⎝n 1
a 1r a rr a nr
1L nr
a 1n ⎫
⎪⎪a rn ⎪=
⎪⎪a nn ⎪⎭⎫⎛U 11⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪⎭⎝
,
U 1r U rr
U 1n ⎫
⎪⎪
U rn ⎪=LU
⎪⎪U nn ⎪⎭
由矩阵的乘法原理, 可推导出LU 分解的迭代算法,
U 0j =a 0j ,(j =0,1,2,
l i 0=
a i 0
,(i =0,1,2, u 00
r -1
, n -1),
, n -1),
u rj =
a rj -∑l ik u kj
k =1
l rr
r -1
=a rj -∑l rk u kj ,
k =1
r -1
(r =0,1, 2, , n -1; j =r , , n -1),
l ir =
a ir -∑l ik u kr
k =1
u rr
,
, n -1)
(r =0,1, 2, , n -1; i =r +1,
矩阵的LU 分解是一个循环迭代的过程, U 矩阵是从第1行迭代到第n 行, 而L 矩阵则是从第1列迭代到第n 列, 且U 矩阵先于L 矩阵一个节拍.
⎛4 8 例8 给定一个4阶矩阵A = 4 ⎝6
解 算法过程为：第一步：求LU 矩阵
2788
15⎫
⎪210⎪
-1
，通过LU 分解求逆矩阵A .
36⎪
⎪49⎭
，
A -1=(L ⨯U ) -1=U -1⨯L -1=u ⨯l
⎛L 00 L 10 L ⨯U =设
L 20 ⎝L 30
0L 11L 21L 31
00L 22L 32
0⎫⎛U 00
⎪ 0⎪ 0
⨯⎪ 00
⎪ L 33⎭⎝0
U 01U 1100
U 02U 12U 220
U 03⎫
⎪U 13⎪
，通过公式
U 23⎪
⎪U 33⎭
可逐步进行矩阵L 和U 中元素的计算，如下所示：
(计算L 的对角) L 00=L 11=L 22=L 33=1, (U的第一行)
U 00=a 00=4, U 01=a 01=2, U 02=a 02=1, U 03=a 03=5, (L的第一列) L 10=
a 10a a 846
==2, L 20=20==1, L 30=30==1.5, U 004U 004U 004
(U的第二行)
U 11=a 11-L 10U 01=7-2⨯2=3, U 12=a 12-L 10U 02=2-2⨯1=0, U 13=a 13-L 10U 03=10-2⨯5=0, (L的第二列) L 21=
11
(a 21-L 20U 01) =⨯(8-1⨯2) =2U 113
115L 31=(a 31-L 30U 01) =⨯(8-1.5⨯2) =
U 1133（U 的第三行）
U 22=a 22-L 20U 02-L 21U 12=3-1⨯1-2⨯0=2, U 23=a 23-L 20U 03-L 21U 13=6-1⨯5-2⨯0=1,
（L 的第三列）115
L 32=(a 32-L 30U 02-L 31U 12) =⨯(4-1.5⨯1-⨯0) =1.25,
U 2223（U 的第四行）
U 33=a 33-L 30U 03-L 31U 13-L 32U 23=9-1.5⨯5-
第二步：求L 和U 矩阵的逆u , l
5
⨯0-1.25⨯1=0.25; 3
u =U -1, l =L -1;
（1）求U 矩阵的逆
-1
⎛U 00U 01U 02
0U 11U 12 u = 00U 22
00⎝0U 03⎫⎛42
⎪ U 13⎪03 =⎪ 00U 23⎪ U 33⎭⎝0015⎫⎛u 00u 01u 02u 03⎫
⎪⎪0u u u 00⎪111213⎪= 00u 22u 23⎪. 21⎪
⎪⎪
000u 00.25⎭33⎭⎝
-1
由式（9）可得矩阵U 的逆的各元素计算如下：
(1)u 00=(2)u 11=(3)u 22
u 02
11
=, U 004
111111=，u 01=-(U 01u 11) =-(2⨯) =-, U 113U 00436
111==0.5，u 12=-(U 12u 22) =-(0⨯0.5) =0, U 22U 113
11=-(U 01u 12+U 02u 22) =-(2⨯0+1⨯0.5) =-0.125.
U 004
111
=4，u 23=-(U 23u 33) =-(1⨯4) =-2, U 33U 222
(4)u 33=
11
u 13=-(U 12u 23+U 13u 33) =-(0⨯(-2) +0⨯4) =0,
U 113u 03=-
11
(U 01u 13+U 02u 23+U 03u 33) =-(2⨯0+1⨯(-2) +5⨯4) =-4.5. U 004
（2）求L 矩阵的逆
⎛L 00000⎫⎛1 ⎪ L L 0021011 ⎪ l == L 20L 21L 220⎪ 1 ⎪ ⎝L 30L 31L 32L 33⎭⎝1.5
0120.66670011.250001
⎫⎛l 000⎪ l l ⎪= 1011⎪ l 20l 21⎪
⎭⎝l 30l 31
-1
00⎫
⎪00⎪l 220⎪,
⎪l 32l 33⎭
由（8）式可得L 矩阵的逆的各元素计算如下
(1)l 00=1, l 10=-L 10l 00=-2, l 20=-(L 20l 00+L 21l 10) =3,
5
l 30=-(L 30l 00+L 31l 10+L 32l 20) =-(1.5⨯1+⨯(-2) +1⨯3) ≈-1.916667.
3
(2)l 11=1,l 21=-L 21l 11=-2, l 31=-(L 31l 11+L 32l 21) =0.83333. (3)l 22=1,l 32=-(L 32l 22) =-1.25. (4)l 33=1;
（3）求A 的逆矩阵
A -1=u ⨯l ⎛0.25 0= 0 ⎝0
-0.1666670.33333
00
-0.12500.50
-4.5⎫⎛1
⎪ 0⎪ -2
⨯-2⎪ 3
⎪
4⎭⎝-1.916667
01-20.83333
0⎫⎪
00⎪
, ⎪10⎪
-1.251⎭0
⎛8.833334
-0.66667=
5.333333
⎝-7.666667-3.666675.5-4.5⎫
⎪
0.3333300⎪
, ⎪-2.666673-2⎪
3.33333-54⎭
⎛8.833334
-0.666667 =
5.333333
⎝-7.666667
-3.6666670.333333-2.6666673.3333335.5000000.0000003.000000-5.000000
-4.500000⎫
⎪
0.000000⎪
.
-2.000000⎪
⎪
4.00000⎭
3.10 利用MATLAB 程序求解矩阵的逆
⎛123⎫ ⎪
例9 求矩阵A=221的逆阵.
⎪ 343⎪⎝⎭
程序截图见附录.
以上我们讨论了矩阵逆的不同求解方法，但不同的题目一定有最适合它的方法，所以在
高等代数（线性代数）的学习中我们应掌握多种方法，以便去更快更好地驾驭、解决有关矩阵逆的问题.
参考文献
［1］ Peng Xiongqi.Matrix Theory with Applications［M ］.1 版. 西安：西北工业大学出版社，2011. ［2］. 赵晓萍． 矩阵多项式的逆［J ］． 吉林师范学院学报，1999,3( 3) : 9 － 10． ［3］ 丘维声. 高等代数（上、下册）［M ］.2 版. 北京：高等教育出版社，2003. ［4］ 陈志杰，高等代数与解析几何（上、下册）［M ］. 北京：高等教育出版社，2000. ［5］ 杨子胥. 高等代数习题解（上、下册）［M ］. 济南：山东科技出版社，1984.
［6］ 韩永元, 张继荣1 工业与民用配电设计手册( 第二版) 北京: 水利电力出版社, 19951. ［7］ 徐兰． 也谈矩阵逆的求法［J ］． 长春理工大学学报，2011,2( 2) : 126 － 127． ［8］ 吴华安． 矩阵多项式的逆矩阵的求法［J ］． 大学数学，2004,2( 4) : 89 － 91． ［9］ Gene H.Goolub.Matrix Computations［M ］.3版. 北京：人民邮电出版社，2007 [10] 赵晓萍． 矩阵多项式的逆［J ］． 吉林师范学院学报，1999,3( 3) : 9 － 10．
The Method of Sloving Inverse Matrix
Author: Cao Yuanjun
(Grade10,Class2, Major Mathematics and Applied Mathematics，School of mathematics and computer science Dept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 72300x，Shaanxi)
Tutor:Chen Lu
Abstract: Solving invertible matrix is very significant knowledge in HIGHER ALGEBRAU. A systemic induction and a method to summarize about it is showed to us in this academic paper. Definition /elementary transformation/LU decomposition which are the method of solving invertible matrix are included in the article. And the detailed instruction of using them through taking examples is gave to us.
Keywords:inverse matrix; elementary transformation; elementary matrix; adjoint matrix; equivalent normal form
附录：例9程序截图
矩阵求逆的几种方法
曹远军
（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业10级2班，陕西 汉中
723100）
指导老师：陈露
[摘要] 矩阵求逆是高等代数的一个重要内容。本文对矩阵求逆的方法进行了系统的归纳和总结方法，
这些求逆方法包括定义法、初等变换法、LU 分解等十种方法，并通过具体实例对这些方法的使用加以说明，以便对今后的学习有更多的帮助.
[关键词] 逆矩阵；初等变换；初等矩阵；伴随矩阵；等价标准型.
1引言
矩阵是大学数学中很重要的一个内容，在《高等代数》中我们学习了矩阵的一些基本知识及应用，而矩阵求逆的方法是矩阵中一个很重要的部分，那么如何判断一个矩阵是否可逆，怎样快速的去求解矩阵的逆，前人也总结了一些非常实用的方法，例如通过初等行（列）变换来实现矩阵的求逆，哈密尔顿—凯莱定理法、利用线性方程组求逆矩阵、多项式求逆、较高阶矩阵求逆、分块矩阵求逆等方法。各种求解矩阵的逆的解法日渐丰富多样，它们分别从各种不同的角度对矩阵求逆的方法进行改进和推广，使得矩阵求逆的方法日益完善。本文主要针对矩阵如何求逆的问题以及一些特殊矩阵求逆的问题进行分析探讨，进而归纳总结了矩阵求逆的几种方法，这些方法主要有初等行（列）变换法、伴随法、初等行列变换并列法、分块矩阵求逆等，总共有十种方法. 并且将通过具体实例对这些方法的使用加以说明，以及分析它们之间的优势以及劣势. 希望对以后的研究及应用起到一定的帮助作用.
[1-10]
2预备知识
定义1 令A 是数域F 上一个n 阶矩阵。若存在F 上一个n 阶矩阵B ，使得AB =BA =E ，那么A 叫做一个可逆矩阵（或非奇异矩阵），而B 做A 的逆矩阵，其中E 是n 阶单位矩阵.
[1]
定义2 若矩阵B 适合AB =BA =E ，那么B 就称为A 的逆矩阵，记A -1.
既然可逆矩阵在高等代数(线性代数) 中具有非常重要的作用，那么如何判断一个矩阵是否可逆呢？在此给出一些矩阵可逆的判别方法。以下考虑的所有矩阵均为n 阶矩阵.
[1]
定理1 矩阵A 是可逆的充要条件是A 非退化的，且A
[1][1]
-1
=
1*
A det A
定理2 矩阵A 是可逆的充要条件是A 可以写成初等矩阵的乘积. 定理3 矩阵A 是可逆的充要条件是A 的秩为n .
T *[2]
定理4 如果A 矩阵满足A =A ，则A 是可逆矩阵.
[1]
定理5 如果矩阵A 满足a ii >
[2]
∑a
j =1j ≠1
n
ij
，i =1, 2 ，则A 是可逆矩阵.
定理6 如果A 矩阵的列（行）向量是线性无关的，则A 是可逆矩阵.
[3]
定理7 如果线性方程组只AX =0有零解，则A 是可逆矩阵.
[4]
定理8 如果矩阵A 没有零特征值，则A 是可逆矩阵.
[5]
定理9 如果矩阵满足B =A -E ，且矩阵B 中各元素的平方和小于1，则A 是可逆阵.
[3]
证明 令线性映射T (x )=-B (x )，x 是n 维向量. 定义该维空间的距为其欧氏距离. 利用柯西不等式可以证明d ((Tx )(Ty ))≤a ⨯b (x , y ), ，a 为b 的所有元素的平方和，根据压缩映射T 原理可得映射有唯一一个不动点. 即T (x )=X . 因为T (0)=0，所以0 即为其不动点，因此对任意不等于0，均有T (x )≠x ，即(E -A )x =x -Ax 不等于x ，不等于AX ≠0. 因此得可逆. 定理10 如果矩阵满足(E +A )=0，其中m 是自然数，则A 可逆矩阵.
有了一定的判别基础，下面通过几个具体例子来介绍常见的矩阵的逆的求解方法，共有十种，详细陈述如下.
[6]
m
3 求逆矩阵的方法
3.1 利用定义法求矩阵的逆
若A , B 矩阵满足AB =E ，则A =B .
-1
⎛2 0
例1 求矩阵A = 0
0 0⎝
解 设
1000⎫
⎪
2100⎪
0210⎪的逆矩阵.
⎪
0021⎪0002⎪⎭
⎛2
0 0 0 0⎝
解得
1000⎫⎛b 11b 12
⎪
2100⎪ b 21b 220210⎪ b 31b 32
⎪
0021⎪ b 41b 420002⎪⎭⎝b 51b 52
b 13b 23b 33b 43b 53
b 14b 24b 34b 44b 54
b 15⎫⎛1
⎪b 25⎪ 0
b 35⎪= 0⎪ b 45⎪ 0
b 55⎪⎭⎝00000⎫
⎪
1000⎪0100⎪,
⎪
0010⎪0001⎪⎭
⎧b 11=b 22=b 33=b 44=b 55=2-1
⎪-2
b =b =b =b =-212233445⎪⎪
. b 13=b 24=b 35=2-3⎨
⎪b 14=b 25=-2-4⎪⎪b 15=2-5⎩
于是
⎛ -1
A =
⎝
[7]
2-10000
-2-22-1000
2-3-2-22-100
-2-42-3-2-22-10
2-5⎫
⎪-2-4⎪2-3⎪.
⎪-2-2⎪2-1⎪⎭
3.2 利用伴随矩阵法求矩阵的逆
定理11 n 阶矩阵A =(a ij ) 可逆的充要条件A ≠0，而且当n (≥2) 阶矩阵A 有逆矩阵，A
-1
=
1*
A ，其中A *伴随矩阵. A
⎛3-10⎫ ⎪-1
例2 矩阵B = -211⎪是否可逆？若可逆，求B .
2-14⎪⎝⎭
解 B =5≠0, 所以B 可逆.
又因为B 11=5, B 21=4，B 31=31，B 12=10，B 22=12，B 32=-3，B 13=0，B 23=1，
B 33=1. 所以 B -1=
1*
B . B
⎛100⎫
-1 ⎪*
例 3 设C = 220⎪，C 是C 的伴随矩阵，求(C *).
345⎪⎝⎭
B -1-1*-1
解 C =C C ，又{KB }=，所以
k
⎛100⎫
-1-1111 ⎪
C =C = 220⎪. (C *)=(C C -1)=C
1010 ⎪
⎝345⎭
3.3 用初等变换法求矩阵的逆
定理12
[7]
如果n 阶方阵A 可逆，则存在有限个初等矩阵，P 1, P 2 P l 使得A =P 1P 2 P l .
-1
如果A 可逆, 则A 也可逆，由上述定理存在初等矩阵Q 1, Q 2, , Q l 使得
A -1=Q 1Q 2 Q l ，那么E =AA -1=A -1A 即E =Q 1Q 2 Q l A , A -1=Q 1Q 2 Q l E .
于是得到一个求逆矩阵的方法如下：
如果n 阶方阵A 可逆，作一个n ⨯2n 的矩阵{A /E }，然后对此矩阵施以初等行换，使
初等行变换
→(E /A -1) A 化为单位矩阵E 同时化为A -1，即：(A /E )−−−−
⎛231⎫
⎪
例4 用初等行变换求矩阵D = 013⎪的逆矩阵.
125⎪⎝⎭
解
⎛231100⎫⎛125001⎫
⎪ ⎪
013010→013010(D /E )= ⎪ ⎪→, 125001⎪ 231100⎪⎝⎭⎝⎭⎛125001⎫⎛125001⎫ ⎪ ⎪
3010⎪, 013010⎪→ 01
00-611-2⎪ 0-1-910-2⎪⎝⎭⎝⎭
故
⎛1 -6 1-1
D =
2 1 - 6⎝
-
134⎫63⎪
⎪
3
-1⎪. ⎪2
⎪11⎪-
63⎪⎭
⎛D ⎫
⎪，然后此矩阵施以初等变换，使E ⎝⎭
⎛D ⎫初等列变换⎛E ⎫-1
矩阵D 化为单位阵E ，则同时E 化为D ，即 ⎪−−−−→ -1⎪.
E ⎝⎭⎝D ⎭
同理，如果n 阶矩阵A 可逆，作一个2n ⨯n 的矩阵
3.4 用等价标准型来求矩阵的逆
[8]
定理13 设A 是n 阶可逆矩阵，A 的秩等于n ，存在可逆矩阵B 与C ，使CAB =E ，
A =C -1B -1，故A -1=BC .
证明 首先构造矩阵D =
⎛A E ⎫
然后对D 进行行如下形式的初等变换： ⎪
⎝E 0⎭2n ⨯2n
（1）对D 的前几行(A , E )进行初等的行变换, （2）对D 的前几列
⎛A ⎫
⎪进行初等的列变换, ⎝E ⎭
⎛A E ⎫初等行列变换⎛E C ⎫
→ ⎪−−−−−⎪,
E 0B 0⎝⎭⎝⎭
则经过有限次上述变换后，D 可以变为D = 由此得A
-1
=BC .
⎛131⎫
⎪
例5求可逆矩阵A = 251⎪的逆矩阵.
001⎪⎝⎭
解 构造矩阵
⎛1 2 0D =
1 0 0⎝
所以
31100⎫⎛1001
⎪
51010⎪ 010-201001⎪ 0010
⎪→
00000⎪ 13-1010000⎪ 0-100
⎪ 01000⎪⎭⎝001000⎫
⎪11⎪01⎪
⎪, 00⎪00⎪
⎪00⎪⎭
⎛13-1⎫⎛100⎫⎛-532⎫ ⎪⎪ ⎪-1
A = 0-10⎪-211⎪= 2-1-1⎪.
001⎪001⎪ 001⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3.5 利用Hamilton-Caley 初等变换法求矩阵的逆
[8]
Hamilton-Caley定理15设A 是数域F 上的n 阶矩阵，
f (λ)=λE -=λn +a 1A n -1+a 2λn -2+ ++a n -1λ+a n ,
是A 的特征多项式，则
f (A )=A n +a 1A n -1+a 2A n -2+ ++a n -1A +a n E =0，
若A 可逆，则a n =(1-1)det A ≠0，从而有
n
-
故
1n -1
A +a 1A n -2+a 2A n -3+ +a n -1E A =E , a n
()
A -1=-
根据题意，有
1n -1
A +a 1A n -2+a 2A n -3+ +a n -1E . a n
()
λ-3
f (λ)=λE -A =
0000
易知a n =-3≠0那么有
5
-10-1λ-300
00-1
000-1λ-3
=(λ-3),
5
λ-3
000
λ-3
A -1=-
于是
1225-3335-4445-11
()()()()A +-3C +-3C A +-3C A +-3C 5E , 555
-35
⎛ -1
A =
⎝
3-10000
-3-23-1000
3-3-3-23-100
-3-43-3-3-23-10
3-5⎫
⎪-3-4⎪3-3⎪.
⎪-3-2⎪3-1⎪⎭
T
()
3.6 利用线性方程组求矩阵的逆
定理16 若n 阶矩阵A 可逆，线性方程组AX =B ，其中B =(b 1, b 2, b n )的解为
[9]
⎛a 11 1 a 21
x i =
det A
a ⎝n 1
于是A -1的第i 行是
a 12a 22a n 2
a 1, i -1b 1a 2, i -1b 2a n , i -1b n
a 1, i +1a 2, i +1a n , i +1
a 1n ⎫⎪a 2n ⎪
, ⎪⎪a m ⎪⎭
⎛a 11
1 a 21
y i =
det A
a ⎝n 1
a 12a 22a n 2
a 1, i -1a 2, i -1a n , i -1
e 1e 2e n
a 1, i +1a 2, i +1a n , i +1
a 1n ⎫⎪a 2n ⎪⎪. ⎪⎪a m ⎭
其中e i 是第i 个分量为1 的单位向量.
⎛2
例6 求矩阵A = 0
0 0⎝1000⎫
⎪
2100⎪
0210⎪的逆矩阵.
⎪
0021⎪0002⎪⎭
T
T
解 设X =(x 1, x 2 , x n ), B =(b 1, b 2, , b n )，解线性方程组AX =B .
⎧2x 1+x 2=b 1
⎪2x +x =b
232⎪⎪
⎨2x 3+x 4=b 3, ⎪2x +x =b
4
⎪45⎪⎩2x 5=b 5
从而有
⎧x 1=2-5(24b 1-23b 2+22b 3-2b 4+b 5)
⎪
⎪x 2=2-4(23b 2-22b 3+2b 4-b 5)⎪⎨x 3=2-3(22b 3-2b 4+b 5), ⎪⎪x 4=2-2(2b 4-b 5)⎪
x 5=2-1b 5⎩
将上式中的b 1, b 2, b 3, b 4, b 5用e 1, e 2, e 3, e 4, e 5代替便可得到
⎛ -1
A =
⎝
定理17
[10]
2-10000
-2-22-1000
2-3-2-22-100
-2-42-3-2-22-10
2-5⎫
⎪-2-4⎪2-3⎪.
⎪-2-2⎪2-1⎪⎭
3.7 利用Gauss-Jordan 法求矩阵的逆
-1
设x , y 是n 维向量，矩阵A 可逆，且Y =AX ，若X=BY则A =B 。
证明 已知Y =AX ，那么有
⎛ y 1⎫⎛a 11a 12a 1n ⎫⎛ y ⎪ 2⎪= a 21a a ⎪x 1⎫⎪222n ⎪x 2 ⎪⎪⎪
, ⎝y ⎪ ⎭ n ⎝a n 1
a n 2
a ⎪⎪⎪nn ⎭⎝x n ⎭
于是
⎧⎪y 1=a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n ⎪⎨
y 2=a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n
⎪
, ⎪⎩y n =a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n
进而
⎧⎪x 1=b 11y 1+b 12y 2+ +b 1n y n ⎪⎨
x 2=b 21y 1+b 22y 2+ +b 2n y n
, ⎪
⎪⎩x n =b n 1y 1+b n 2y 2+ +b nn y n
所以
⎛ x 1⎫⎪⎛b 11b 12b 1n ⎫⎛y 1⎫ x 2⎪= b 21b 22b ⎪⎪2n ⎪y 2 ⎪⎪⎪
. ⎝x ⎪ n ⎭⎝b n 1
b n 2
b ⎪⎪⎪nn ⎭⎝y n ⎭故X =BY ⇒A
-1
=B .
3.8 用分块矩阵求逆矩阵 易知：
⎛-1
-1
A 0⎫
⎛A -10⎫⎛0
A ⎫⎝0B ⎪⎭= ⎝0
B -1⎪⎭; ⎝B 0⎪⎭=⎛ 0
⎝B
-1⎛-1
A C ⎫CB -1⎫
⎝0B ⎪=⎛ A -1
-A -1⎭
⎝0B -1
⎪； ⎭
A -1⎫
0⎪, ⎭
⎛-1
A 0⎫
0⎫⎝C B ⎪⎭=⎛ A -1⎝-B -1CA
-1B -1⎪； ⎭
⎛ 21000⎫
2100⎪
例7 求矩阵A = 0
0210⎪
⎪的逆矩阵.
00021⎪
⎪⎝
00002⎪⎭
解 不妨设
⎛ 21000⎫
02100⎪
00210⎪
⎪=⎛ A C ⎫0021⎪0⎪,
0 ⎪⎝B ⎭
⎝
00002⎪⎭
其中
⎛A =⎛ 21⎫ 210⎫⎪⎛000⎫⎝02⎪⎭, B = 021 ⎪, C = ⎪⎝002⎪
⎭
⎝100,
⎭易知
-⎛2-1
-2-22-3⎫
A -1
=
-2-2⎫⎛2
1
2-1⎪B -1=
2
-1
-2⎪A CB =⎝0
⎭ 0 ⎪--1-1
⎛2-3-2⎝
2-1⎪⎝-2-2
⎭
故所求的逆矩阵为
⎛ 2-1
-2-22-3-2-42-5⎫
2-1-2-22-3-2-4⎪-1 0⎪A = 0
02-1-2-22-3⎪ 0002-1-2-2⎪.
⎪⎝
00
2-1⎪⎭
3.9 利用LU 分解求矩阵的逆 若n 阶方阵
A ∈C n *n
n
的各阶顺序主子式不等于零，即：
⎛ a 11a 12
a 1k ⎫ ∆= a 21a 22a 2k ⎪k ⎪≠0,(k =1, 2, , n ),
⎪⎝ak 1ak 2akk ⎪⎭
则A的LU 分解A =L ⨯U 存在且唯一.
-2-22-5⎫
2-3
-2-4⎪, ⎭
⎛a 11 A = a r 1
a ⎝n 1
⎛1 L r 1 L ⎝n 1
a 1r a rr a nr
1L nr
a 1n ⎫
⎪⎪a rn ⎪=
⎪⎪a nn ⎪⎭⎫⎛U 11⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1⎪⎭⎝
,
U 1r U rr
U 1n ⎫
⎪⎪
U rn ⎪=LU
⎪⎪U nn ⎪⎭
由矩阵的乘法原理, 可推导出LU 分解的迭代算法,
U 0j =a 0j ,(j =0,1,2,
l i 0=
a i 0
,(i =0,1,2, u 00
r -1
, n -1),
, n -1),
u rj =
a rj -∑l ik u kj
k =1
l rr
r -1
=a rj -∑l rk u kj ,
k =1
r -1
(r =0,1, 2, , n -1; j =r , , n -1),
l ir =
a ir -∑l ik u kr
k =1
u rr
,
, n -1)
(r =0,1, 2, , n -1; i =r +1,
矩阵的LU 分解是一个循环迭代的过程, U 矩阵是从第1行迭代到第n 行, 而L 矩阵则是从第1列迭代到第n 列, 且U 矩阵先于L 矩阵一个节拍.
⎛4 8 例8 给定一个4阶矩阵A = 4 ⎝6
解 算法过程为：第一步：求LU 矩阵
2788
15⎫
⎪210⎪
-1
，通过LU 分解求逆矩阵A .
36⎪
⎪49⎭
，
A -1=(L ⨯U ) -1=U -1⨯L -1=u ⨯l
⎛L 00 L 10 L ⨯U =设
L 20 ⎝L 30
0L 11L 21L 31
00L 22L 32
0⎫⎛U 00
⎪ 0⎪ 0
⨯⎪ 00
⎪ L 33⎭⎝0
U 01U 1100
U 02U 12U 220
U 03⎫
⎪U 13⎪
，通过公式
U 23⎪
⎪U 33⎭
可逐步进行矩阵L 和U 中元素的计算，如下所示：
(计算L 的对角) L 00=L 11=L 22=L 33=1, (U的第一行)
U 00=a 00=4, U 01=a 01=2, U 02=a 02=1, U 03=a 03=5, (L的第一列) L 10=
a 10a a 846
==2, L 20=20==1, L 30=30==1.5, U 004U 004U 004
(U的第二行)
U 11=a 11-L 10U 01=7-2⨯2=3, U 12=a 12-L 10U 02=2-2⨯1=0, U 13=a 13-L 10U 03=10-2⨯5=0, (L的第二列) L 21=
11
(a 21-L 20U 01) =⨯(8-1⨯2) =2U 113
115L 31=(a 31-L 30U 01) =⨯(8-1.5⨯2) =
U 1133（U 的第三行）
U 22=a 22-L 20U 02-L 21U 12=3-1⨯1-2⨯0=2, U 23=a 23-L 20U 03-L 21U 13=6-1⨯5-2⨯0=1,
（L 的第三列）115
L 32=(a 32-L 30U 02-L 31U 12) =⨯(4-1.5⨯1-⨯0) =1.25,
U 2223（U 的第四行）
U 33=a 33-L 30U 03-L 31U 13-L 32U 23=9-1.5⨯5-
第二步：求L 和U 矩阵的逆u , l
5
⨯0-1.25⨯1=0.25; 3
u =U -1, l =L -1;
（1）求U 矩阵的逆
-1
⎛U 00U 01U 02
0U 11U 12 u = 00U 22
00⎝0U 03⎫⎛42
⎪ U 13⎪03 =⎪ 00U 23⎪ U 33⎭⎝0015⎫⎛u 00u 01u 02u 03⎫
⎪⎪0u u u 00⎪111213⎪= 00u 22u 23⎪. 21⎪
⎪⎪
000u 00.25⎭33⎭⎝
-1
由式（9）可得矩阵U 的逆的各元素计算如下：
(1)u 00=(2)u 11=(3)u 22
u 02
11
=, U 004
111111=，u 01=-(U 01u 11) =-(2⨯) =-, U 113U 00436
111==0.5，u 12=-(U 12u 22) =-(0⨯0.5) =0, U 22U 113
11=-(U 01u 12+U 02u 22) =-(2⨯0+1⨯0.5) =-0.125.
U 004
111
=4，u 23=-(U 23u 33) =-(1⨯4) =-2, U 33U 222
(4)u 33=
11
u 13=-(U 12u 23+U 13u 33) =-(0⨯(-2) +0⨯4) =0,
U 113u 03=-
11
(U 01u 13+U 02u 23+U 03u 33) =-(2⨯0+1⨯(-2) +5⨯4) =-4.5. U 004
（2）求L 矩阵的逆
⎛L 00000⎫⎛1 ⎪ L L 0021011 ⎪ l == L 20L 21L 220⎪ 1 ⎪ ⎝L 30L 31L 32L 33⎭⎝1.5
0120.66670011.250001
⎫⎛l 000⎪ l l ⎪= 1011⎪ l 20l 21⎪
⎭⎝l 30l 31
-1
00⎫
⎪00⎪l 220⎪,
⎪l 32l 33⎭
由（8）式可得L 矩阵的逆的各元素计算如下
(1)l 00=1, l 10=-L 10l 00=-2, l 20=-(L 20l 00+L 21l 10) =3,
5
l 30=-(L 30l 00+L 31l 10+L 32l 20) =-(1.5⨯1+⨯(-2) +1⨯3) ≈-1.916667.
3
(2)l 11=1,l 21=-L 21l 11=-2, l 31=-(L 31l 11+L 32l 21) =0.83333. (3)l 22=1,l 32=-(L 32l 22) =-1.25. (4)l 33=1;
（3）求A 的逆矩阵
A -1=u ⨯l ⎛0.25 0= 0 ⎝0
-0.1666670.33333
00
-0.12500.50
-4.5⎫⎛1
⎪ 0⎪ -2
⨯-2⎪ 3
⎪
4⎭⎝-1.916667
01-20.83333
0⎫⎪
00⎪
, ⎪10⎪
-1.251⎭0
⎛8.833334
-0.66667=
5.333333
⎝-7.666667-3.666675.5-4.5⎫
⎪
0.3333300⎪
, ⎪-2.666673-2⎪
3.33333-54⎭
⎛8.833334
-0.666667 =
5.333333
⎝-7.666667
-3.6666670.333333-2.6666673.3333335.5000000.0000003.000000-5.000000
-4.500000⎫
⎪
0.000000⎪
.
-2.000000⎪
⎪
4.00000⎭
3.10 利用MATLAB 程序求解矩阵的逆
⎛123⎫ ⎪
例9 求矩阵A=221的逆阵.
⎪ 343⎪⎝⎭
程序截图见附录.
以上我们讨论了矩阵逆的不同求解方法，但不同的题目一定有最适合它的方法，所以在
高等代数（线性代数）的学习中我们应掌握多种方法，以便去更快更好地驾驭、解决有关矩阵逆的问题.
参考文献
［1］ Peng Xiongqi.Matrix Theory with Applications［M ］.1 版. 西安：西北工业大学出版社，2011. ［2］. 赵晓萍． 矩阵多项式的逆［J ］． 吉林师范学院学报，1999,3( 3) : 9 － 10． ［3］ 丘维声. 高等代数（上、下册）［M ］.2 版. 北京：高等教育出版社，2003. ［4］ 陈志杰，高等代数与解析几何（上、下册）［M ］. 北京：高等教育出版社，2000. ［5］ 杨子胥. 高等代数习题解（上、下册）［M ］. 济南：山东科技出版社，1984.
［6］ 韩永元, 张继荣1 工业与民用配电设计手册( 第二版) 北京: 水利电力出版社, 19951. ［7］ 徐兰． 也谈矩阵逆的求法［J ］． 长春理工大学学报，2011,2( 2) : 126 － 127． ［8］ 吴华安． 矩阵多项式的逆矩阵的求法［J ］． 大学数学，2004,2( 4) : 89 － 91． ［9］ Gene H.Goolub.Matrix Computations［M ］.3版. 北京：人民邮电出版社，2007 [10] 赵晓萍． 矩阵多项式的逆［J ］． 吉林师范学院学报，1999,3( 3) : 9 － 10．
The Method of Sloving Inverse Matrix
Author: Cao Yuanjun
(Grade10,Class2, Major Mathematics and Applied Mathematics，School of mathematics and computer science Dept.，Shaanxi University of Technology，Hanzhong 72300x，Shaanxi)
Tutor:Chen Lu
Abstract: Solving invertible matrix is very significant knowledge in HIGHER ALGEBRAU. A systemic induction and a method to summarize about it is showed to us in this academic paper. Definition /elementary transformation/LU decomposition which are the method of solving invertible matrix are included in the article. And the detailed instruction of using them through taking examples is gave to us.
Keywords:inverse matrix; elementary transformation; elementary matrix; adjoint matrix; equivalent normal form
附录：例9程序截图