高一函数专题之 单调性
考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。
能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。
知识要点：
1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间
4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用
一、单调性的定义
（1）设函数y =f (x ) 的定义域为A ，区间I ⊆A
如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1
y =f (x ) 在区间I 上是单调增函数，I 称为y =f (x ) 的单调增区间
如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1f (x 2) ，那么就说
y =f (x ) 在区间I I 称为y =f (x )
（2）设函数y =f (x ) 的定义域为A
如果存在定值x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，有f (x ) ≤f (x 0) 恒成立，那么称f (x 0) 为
y =f (x )
如果存在定值x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，有f (x ) ≥f (x 0) 恒成立，那么称f (x 0) 为
y =f (x )
二、函数单调性的证明
重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论, 所以求函数的单调区间, 必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性
函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性；二是大小，即
x 1
定义法判断单调性：如果用定义证明y =f (x ) 在某区间I 上的单
调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④下结论。但是要注意，不能用区间I 上的两个特殊值来代替。而要证明y =f (x ) 在某区间I 上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I 上两个特殊的x 1，x 2，若
x 1
2例1. 求证：（1）函数f (x ) =-2x +3x -1在区间(-∞, ]上是单调递增函数；
3
4
（2） 函数f (x ) =-2x 3-x 在R 上是单调递减函数； （3）函数f (x ) =
例2.
确定函数f (x ) =
2x -1
在区间(-∞, -1) 和(-1, +∞) 上都是单调递增函数． x +1
特殊要点：函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y =
1
分别在x
(-∞, 0) 和(0, +∞) 内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(-∞, 0) (0, +∞) 内是单调
递减的，只能说函数y =
1
的单调递减区间为(-∞, 0) 和(0, +∞) x
三、复合函数及抽象函数的判定方法
①若f (x ) 与g (x ) 在定义域内都是增函数（减函数），那么f (x ) +g (x ) 在其公共定义域内是增函数（减函数）。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”——换元法 考查复合函数y =f (g (x )) 的单调性.
设单调函数y =f (x ) 为外层函数，y =g (x ) 为内层函数 (1) 若y =f (x ) 增，y =g (x ) 增，则y =f (g (x )) 增. (2) 若y =f (x ) 增，y =g (x ) 减，则y =f (g (x )) 减. (3) 若y =f (x ) 减，y =g (x ) 减，则y =f (g (x )) 增. (4) 若y =f (x ) 减，y =g (x ) 增，则y =f (g (x )) 减.
例1. 求函数f (x ) =2x 2+x -2
的单调区间.
解题过程： 外层函数：y =2t
内层函数：t =x 2
+x -2
x ∈[-1
, +∞]
内层函数的单调增区间：2 x ∈[-∞, -1内层函数的单调减区间：
2]
由于外层函数为增函数
x ∈[-1
所以，复合函数的增区间为：2, +∞]
x ∈[-∞, -1
复合函数的减区间为：
2 例2. 求函数f (x ) =log 2
2(x +x -2) 的单调区间. 解题过程：
外层函数：y =log 2t 内层函数：t =x 2
+x -2
t =x 2+x -2>0
由图知：
内层函数的单调增区间：x ∈[1, +∞] 内层函数的单调减区间：x ∈[-∞, -2] 由于外层函数为增函数
所以，复合函数的增区间为：x ∈[1, +∞] 复合函数的减区间为：x ∈[-∞, -2]
随堂练习： 1．函数
f (x )=log 2(4x -x 2)
的单调递减区间是（ ）
A ．(0,4) ; B．(0,2) ; C．(2,4) ; D． (2,+∞)
2．函数y =log 1(x 2-5x +6) 的单调增区间为（ ）
2
A ． ，2) +∞) ；C ． -∞⎪；D ．(-∞，+∞⎪；B ．(3，
⎛5⎝2⎫⎭⎛⎝5⎫2⎭
四、抽象函数单调性判断——定义法
关键：特殊值的使用
例题. 设f (x ) 是定义在R 上的函数，对m 、n ∈R 恒有f (m +n ) =f (m ) ⋅f (n ) ，且当x >0时，0
（1）求证：f (0) =1； （2）证明：x ∈R 时恒有f (x ) >0；
（3）求证：f (x ) 在R 上是减函数； （4）若f (x ) ⋅f (2-x ) >1，求x 的范围。
随堂训练：
1、设f (x ) 是定义在(0,+∞) 上的单调增函数，满足f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (3)=1 求：（1）f （1）；（2）当f (x ) +f (x -8) ≤2时x 的取值范围.
2、 定义在R 上的函数y =f (x ) ，f (0) ≠0，当x ＞0时，f (x ) >1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）. （1）求证：f （0）=1；
（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数； （4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.
五、函数的值域求解——把握单调性以及单调区间
x (x +1)
f (x ) =a +log 在[0,1]上的最大和最小值的和为a ，则a =_______ a 例题：1．函数
2.作出函数f (x ) =|x 2-1|+x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.
解:当x ≥1或x ≤-1时, y =x 2+x -1=(x +) -
12
2
5 4
1252
当-1
241
由函数图象可以知道函数增区间为(-∞, -1],[,1]
2
1
函数减区间为[-1, ],[1,+∞)
2
课堂跟随练：
1. 函数y =-x 2+|x |的单调递减区间为______.
2. 单调增函数f (x ) 对任意x , y ∈R ，满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ), 若f (k ⋅3x ) +f (3x -9x -2)
1x 2-2x -80
的单调递增区间为________.
4. 函数y ＝
1-x -x
的递减区间是 的递减区间是 ；函数y ＝
1+x 1+x
π2
), f (π)
，
32
5. 已知函数f (x ) 在[0, π) 上是递减函数，那么下列三个数f (lg100), f (
[0,+∞)
上是增函数，
(2)并判断函数 y =x [0,
+∞) 上的单调性
6.(1) 证明：函数 y =(3)求函数y =x +
[1，4]上的值域.
x f () =f (x ) -f (y ) 。 f (x ) (0, +∞) 7. 若是定义在上的增函数，且对于x >0满足
y
1
（1）求f (1) 的值；（2）若f (6) =1，试求解不等式f (x +3) -f ()
x
高一函数专题之 单调性
考纲解读： 了解单调函数及单调区间的意义，掌握判断函数单调性的方法；掌握增，减函数的意义，理解函数单调函数的性质。
能力解读：函数单调性的判断和函数单调性的应用。利用函数单调性判断方法来判断函数的单调性，利用函数的单调性求解函数的最值问题。掌握并熟悉抽象函数以及符合函数的单调性判断方法。
知识要点：
1．函数单调性的定义， 2．证明函数单调性； 3．求函数的单调区间
4．利用函数单调性解决一些问题； 5．抽象函数与函数单调性结合运用
一、单调性的定义
（1）设函数y =f (x ) 的定义域为A ，区间I ⊆A
如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1
y =f (x ) 在区间I 上是单调增函数，I 称为y =f (x ) 的单调增区间
如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1f (x 2) ，那么就说
y =f (x ) 在区间I I 称为y =f (x )
（2）设函数y =f (x ) 的定义域为A
如果存在定值x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，有f (x ) ≤f (x 0) 恒成立，那么称f (x 0) 为
y =f (x )
如果存在定值x 0∈A ，使得对于任意x ∈A ，有f (x ) ≥f (x 0) 恒成立，那么称f (x 0) 为
y =f (x )
二、函数单调性的证明
重点：函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论, 所以求函数的单调区间, 必须 先求函数的定义域； （1）定义法求单调性
函数单调性定义中的x 1，x 2有三个特征：一是任意性；二是大小，即
x 1
定义法判断单调性：如果用定义证明y =f (x ) 在某区间I 上的单
调性，那么就要用严格的四个步骤，即①取值；②作差；③判号（关键化成因式的乘积）；④下结论。但是要注意，不能用区间I 上的两个特殊值来代替。而要证明y =f (x ) 在某区间I 上不是单调递增的，只要举出反例就可以了，即只要找到区间I 上两个特殊的x 1，x 2，若
x 1
2例1. 求证：（1）函数f (x ) =-2x +3x -1在区间(-∞, ]上是单调递增函数；
3
4
（2） 函数f (x ) =-2x 3-x 在R 上是单调递减函数； （3）函数f (x ) =
例2.
确定函数f (x ) =
2x -1
在区间(-∞, -1) 和(-1, +∞) 上都是单调递增函数． x +1
特殊要点：函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数y =
1
分别在x
(-∞, 0) 和(0, +∞) 内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即(-∞, 0) (0, +∞) 内是单调
递减的，只能说函数y =
1
的单调递减区间为(-∞, 0) 和(0, +∞) x
三、复合函数及抽象函数的判定方法
①若f (x ) 与g (x ) 在定义域内都是增函数（减函数），那么f (x ) +g (x ) 在其公共定义域内是增函数（减函数）。
②复合函数的单调性规则是“同增异减”——换元法 考查复合函数y =f (g (x )) 的单调性.
设单调函数y =f (x ) 为外层函数，y =g (x ) 为内层函数 (1) 若y =f (x ) 增，y =g (x ) 增，则y =f (g (x )) 增. (2) 若y =f (x ) 增，y =g (x ) 减，则y =f (g (x )) 减. (3) 若y =f (x ) 减，y =g (x ) 减，则y =f (g (x )) 增. (4) 若y =f (x ) 减，y =g (x ) 增，则y =f (g (x )) 减.
例1. 求函数f (x ) =2x 2+x -2
的单调区间.
解题过程： 外层函数：y =2t
内层函数：t =x 2
+x -2
x ∈[-1
, +∞]
内层函数的单调增区间：2 x ∈[-∞, -1内层函数的单调减区间：
2]
由于外层函数为增函数
x ∈[-1
所以，复合函数的增区间为：2, +∞]
x ∈[-∞, -1
复合函数的减区间为：
2 例2. 求函数f (x ) =log 2
2(x +x -2) 的单调区间. 解题过程：
外层函数：y =log 2t 内层函数：t =x 2
+x -2
t =x 2+x -2>0
由图知：
内层函数的单调增区间：x ∈[1, +∞] 内层函数的单调减区间：x ∈[-∞, -2] 由于外层函数为增函数
所以，复合函数的增区间为：x ∈[1, +∞] 复合函数的减区间为：x ∈[-∞, -2]
随堂练习： 1．函数
f (x )=log 2(4x -x 2)
的单调递减区间是（ ）
A ．(0,4) ; B．(0,2) ; C．(2,4) ; D． (2,+∞)
2．函数y =log 1(x 2-5x +6) 的单调增区间为（ ）
2
A ． ，2) +∞) ；C ． -∞⎪；D ．(-∞，+∞⎪；B ．(3，
⎛5⎝2⎫⎭⎛⎝5⎫2⎭
四、抽象函数单调性判断——定义法
关键：特殊值的使用
例题. 设f (x ) 是定义在R 上的函数，对m 、n ∈R 恒有f (m +n ) =f (m ) ⋅f (n ) ，且当x >0时，0
（1）求证：f (0) =1； （2）证明：x ∈R 时恒有f (x ) >0；
（3）求证：f (x ) 在R 上是减函数； （4）若f (x ) ⋅f (2-x ) >1，求x 的范围。
随堂训练：
1、设f (x ) 是定义在(0,+∞) 上的单调增函数，满足f (xy ) =f (x ) +f (y ), f (3)=1 求：（1）f （1）；（2）当f (x ) +f (x -8) ≤2时x 的取值范围.
2、 定义在R 上的函数y =f (x ) ，f (0) ≠0，当x ＞0时，f (x ) >1，且对任意的a 、b ∈R ，有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）. （1）求证：f （0）=1；
（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数； （4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.
五、函数的值域求解——把握单调性以及单调区间
x (x +1)
f (x ) =a +log 在[0,1]上的最大和最小值的和为a ，则a =_______ a 例题：1．函数
2.作出函数f (x ) =|x 2-1|+x 的图象，并根据函数图象写出函数的单调区间.
解:当x ≥1或x ≤-1时, y =x 2+x -1=(x +) -
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1252
当-1
241
由函数图象可以知道函数增区间为(-∞, -1],[,1]
2
1
函数减区间为[-1, ],[1,+∞)
2
课堂跟随练：
1. 函数y =-x 2+|x |的单调递减区间为______.
2. 单调增函数f (x ) 对任意x , y ∈R ，满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ), 若f (k ⋅3x ) +f (3x -9x -2)
1x 2-2x -80
的单调递增区间为________.
4. 函数y ＝
1-x -x
的递减区间是 的递减区间是 ；函数y ＝
1+x 1+x
π2
), f (π)
，
32
5. 已知函数f (x ) 在[0, π) 上是递减函数，那么下列三个数f (lg100), f (
[0,+∞)
上是增函数，
(2)并判断函数 y =x [0,
+∞) 上的单调性
6.(1) 证明：函数 y =(3)求函数y =x +
[1，4]上的值域.
x f () =f (x ) -f (y ) 。 f (x ) (0, +∞) 7. 若是定义在上的增函数，且对于x >0满足
y
1
（1）求f (1) 的值；（2）若f (6) =1，试求解不等式f (x +3) -f ()
x