高一数学同步辅导教材（第15讲）
一、本讲速度
3.1数列；3.2等差数列 二、本讲主要内容
1． 数列的概念，数列的通项公式，由递推公式给出数列。 2． 等差数列的概念和通项公式，等差中项的概念。 三、学习指导
1． 要正确理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并会根据递推公式写出数列的前若干项。
数列是按一定顺序排列起来的一列数。它可以看作是一个序号集合到另一个数集的映射; 从映射函数的观点来看，数列是一个定义域为正整数集Ｎ＋（或它的有限子集｛１，２，„„，n ｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值。用函数观点看待数列，有助于加深对数列概念和性质的理解。
数列的数是按一定顺序排列的。如果组成两个数列的数相同而顺序不同，那么它们是不同的数列，如课本上堆放钢管的实例，自上而下的每层钢管数组成数列：４，５，６，７，８，９，１０。与自下而上的每层钢管数组成的数列：１０，９，８，７，６，５，４。是两个不同的数列。
要把数列概念与数集概念区分开来。数列中的数不但有顺序，而且并没有规定必须不同，即同一个数在数列中是可以重复出现的，常数数列甚至都是由同一个数排成的数列，如，１，１，１，„„。而数集中的数是无序的，并且是互异的。
数列的通项公式就是相应函数的解析式。如果已知一个数列的通项公式，那么只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的各项。
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点。克服这个难点的关键是根据各项的特点，它与序号的关系，找出各项共同的构成规律得出通项公式。
并不是每个数列都是有通项公式的，如π精确到１，０. １，０. ０１，０. ００１，„„的不足近似值构成的数列就没有通项公式。
一个数列的通项公式可以有不同的形式，如数列－１，１，－１，１，„„的通项公式可以写成a n =(-1)n ，也可以写成
∈N +) a n =
∈N +)
它们形式不同，但实质是一样的．
与表示函数有列表法、图象法一样，数列也可以列表表示或用图象表示。利用列表法表示的数列，内容具体，方法简单，缺点是难以表示项数较多的数列或无穷数列。图象法表示的数列直观但不精确。
数列还可以用递推公式表示。虽然递推公式是表示数列的一种重要方法，但限于学习要求，只需了解这种方法，能够根据递推公式写出数列的前若干项就可以了。
等差数列的性质总结
1. 等差数列的定义：a n -a n -1=d （d 为常数）（n ≥2）；
2．等差数列通项公式：
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ， 首项:a 1，公差:d，末项:a n 推广： a n =a m +(n -m ) d ． 从而d =
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =
a +b
或2
a n -a m
；
n -m
2A =a +b
（
2
）
等
差
中
项
：
数
列
{a n }
是等差数列
⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2
4．等差数列的前n 项和公式：
S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n =An 2+Bn 2222
（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数2n +1时，a n +1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S 2n +1=
(2n +1)(a 1+a 2n +1)=
2
(2n +1)a n +1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数
乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．
*
（2） 等差中项：数列
{a n }
是等差数列
⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2．
⑶数列{a n }是等差数列⇔a n =kn +b （其中k , b 是常数）。
（4）数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn , （其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．
*
7. 提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ，其中a 1、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项a n =a 1+(n -1) d
②奇数个数成等差，可设为„，a -2d , a -d , a , a +d , a +2d „（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为„，a -3d , a -d , a +d , a +3d , „（注意；公差为2d ）
8.. 等差数列的性质： （1）当公差d ≠0时，
等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；
前n 和S n =na 1+为0.
（2）若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d
（3）当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 是关于n 的二次函数且常数项222
a m +a n =2a p .
注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅，
（4）若{a n }、{b n }为等差数列，则{λa n +b }，{λ1a n +λ2b n }都为等差数列
(5) 若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也成等差数列
（6）数列{a n }为等差数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列
（7）设数列{a n }是等差数列，d 为公差，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，S n 是前n 项的和
1. 当项数为偶数2n 时，
*
n (a 1+a 2n -1)
S 奇=a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a 2n -1==na n
2n (a 2+a 2n )
S 偶=a 2+a 4+a 6+⋅⋅⋅+a 2n ==na n +1
2
S 偶-S 奇=na n +1-na n =n (a n +1-a n )=nd
S 奇na n a ==n S 偶na n +1a n +1
2、当项数为奇数2n +1时，则
⎧S 奇n +1⎪S 2n +1=S 奇+S 偶=(2n +1) a n+1⎧⎪S 奇=(n +1) a n+1
⇒⇒= ⎨⎨
S -S =a S =na S 偶n n+1n+1⎪奇偶偶⎪⎩⎩
（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）{a n }、{b n }的前n 和分别为A n 、B n ，且
则
（9）等差数列{a n }的前n 项和S m =n ，前m 项和S n =m ，则前m+n项和S m +n =-(m +n )
A n
=f (n ) ， B n
a n (2n -1) a n A 2n -1
===f (2n -1) . b n (2n -1) b n B 2n -1
(10)求S n 的最值
法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n ∈N 。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和
*
⎧a n ≥0即当a 1>0，d
a ≤0⎩n +1
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a 10， 由⎨或求{a n }中正负分界项
⎧a n ≤0
可得S n 达到最小值时的n 值．
⎩a n +1≥0
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，S n 取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n =
p +q
2
２．要正确理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，并能用于解决一些简单的问题。
课本上通过归纳三个数列的共同特点给出了等差数列的定义及公差d 的概念。对于等差数列｛a n ｝有a n+1-a n =d(n∈Ｎ＋) ，这就是等差数列的递推公式．由a n -a n-1=d，a n-1-a n-2=d，„„，a 2-a 1=d，将这 n-1个式子相加，得a n -a 1=(n-1)d，即 an =a1+(n-1)d，这是等差数列的通项公式。这种求通项公式的方法叫迭加法，是解决数列问题的有效方法之一。
等差数列的通项公式在课本上是由定义，通过不完全归纳法得出的，这种推导过程要引起重视，它是培养观察分析，归纳总结能力的重要途径。
根据等差数列的定义，一个等差数列至少有三项。如果a ，Ａ，b 成等差数
a +b
列，那么Ａ叫做a,b 的等差中项，且Ａ＝，（Ａ也叫a,b 的算术平均值）。
2
容易知道，一个等差数列中，除首末（如果有末项的话）两项外，任何一项都是相邻两项的等差中项，并且进而可知，任何一项都是前后与它等距两项的等差中项，即a n =
a n -k +a n +k
，（n,k ∈Ｎ＋，且 n＞k ）． 2
等差数列有如下一些性质：
（1）设数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，那么a n =am +(n-m)d (m,n∈Ｎ＋) （2）设数列｛a n ｝是等差数列，如果m,n,k, l ∈Ｎ＋，且 m+n=k+l ，那么 am + a n =ak +a l （3）等差数列中，序号成等差数列的项也成等差数列．
（4）设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，那么数列｛λa n +μb n ｝（λ，μ为常数），也是等差数列．
以上性质不难用等差数列的定义和通项公式进行证明，读者不妨一试． 四．典型例题分析
例1. 分别写出下列数列的一个通项公式：
12345
（1）-1, 3, -5, 7, -9, „„
496253657
（2）4, -, 2, -, „„
24
（3）５,55,555,5555, „„
579
（4）1, 1, , , , „„
71531
解题思路分析： （1）数列各项的绝对值可以分成整数，分数的分子和分母三部分, 再分别考察各
部分，加上变换正负号的（－１）n 得a n =(-1)n [(2n-1)+
n
]
(n +1) 2
4567n +3
将这数列前４项改写成, -, , -，可得通项公式a n =(-1)n+1
1234n
（2）由于９，９９，９９９，９９９９，„„的通项公式是10n -1所以将题中
5
数列各项改写后，可得通项公式a n =(10n -1)
9
135792n -1
（3）原数列可写成：, , , , , „„ 得通项公式为a n =n
13715312-1
例2. 数列｛a n ｝中，a 1=1, 对所有的n ≥２都有a 1⋅a 2⋅„a n =n2； （1）求a 3+a5；
256（2）是这数列中的项吗？
225
解题思路分析：
据题设a 1⋅a 2⋅„a n-1=(n-1)2, 而a n =
a 1⋅a 2⋅⋅⋅a n
a 1⋅a 2⋅⋅⋅a n -1
61n 2256n 2
∴a n = （n ≥2），由此可以求得a 3+a5=，令，可以判=22
16225(n -1) (n -1)
256
是这数列中的第１６项． 225
例3. 在－１与７之间顺次插入三个数a,b,c, 使这五个数成等差数列，求此数列．
解题思路分析：
设五个数组成等差数列｛a n ｝，则a １=-1,a5=7,利用通项公式求出公差，得数列为－１，１，３，５，７．
也可以利用等差中项来解，第三项是第一和第五项的等差中项，第二，第四项分别是其相邻两项的等差中项，从而求得数列．
断
例4. 已知a n =an-1+
1
, (n≥2),a 1=1
n (n -1)
（1）写出数列的前五项；
（2）由（１）中的前５项推测数列的通项公式并进行证明．
解题思路分析：
35792n -1
前五项为1, , , , ．观察这五项的分子，分母，猜得a n =，由此得
2345n 2n -3a n -1=，代入递推公式证明上述猜想正确．
n -1
例6. 在等差数列｛a n ｝中
（1）已知a 2=5,a6=17，求a n ． （2）已知a 6=5,a3+a8=5，求a 5．
（3）已知a 1+a2+a3+a4=26,a2a 3=40，求a 5．
解题思路分析：
1+d=5 （1）利用等差数列通项公式有
1+5d=17 解出a 1,d 后得通项公式 an =3n-1；
（2）利用等差数列性质，由a 3+a8=a5+a6=5,得a 5=0. （3）设 a1=a-3d,a2=a-d,a3=a+d,a4=a+3d,
（a-3d ）＋（a-d ）＋（a+d）＋（a+3d）＝26 则得
（a-d ）（a+d）＝40 解出a,b. 得a 5=14或-1.
例7. 已知等差数列｛a n ｝满足a 3³a 7=－12,a 4+a6=－4, 求数列｛a n ｝的通项公式．
解题思路分析：设公差为d ，首项为a 1，可得方程组： 3³a 7=(a1+2d)(a1+6d)=－12
4+a6=(a1+3d)+(a1+5d)=－4
解得a 1,d 后得通项公式a n =2n－12或a n =例8. 为了测试某种金属的热膨胀性质，始第一次量细棒长度，以后每升高50{l n }问题：
（1）第5时金属棒的温度是多少？
（2）求{l n }的通项公式和金属棒长度l 位：m ）关于温度t （单位：℃）的 函数关系式；
（3）在30个平面的最高温度可达到500℃，隙？
解题思路分析：
看到第5次量得金属棒长度是2.005 m设l n =dn +b，由待定系数法可得通n t -50
t=50(n-1)+100=50n+50。∴n =, 代入通项公式得所求函数关系式为
50
l =0.00002t+1.999。
设当t=30℃时, 金属板在某个面上长度为l ’m, 当t=500℃时金属板在该个面的长度为l ”m, 则l ”-l ’=0.0094(m)。这就是至少要留出的空隙。 五．巩固练习 （一）选择题： 1．如果无穷数列{an }的第n 项与n 之间的函数关系能用一个公式a n =f(n)来表示，则该函数的定义域为( )
（A ）Z （B ）N （C ）N + （D ）N +的有限子集{1,2,„,n} 2．数列-1，6，-11，16，„的一个通项公式为 （ ）
（A ）a n = 5n-4 (B) an =-5n+4 (C) an = (-1)n ³5n-4 (D) an =(-1)n (5n-4)
3．已知数列{an }的首项a 1=1, 且a n =2an-1+1（n ≥2）, 则a 5为 ( )
（A ）7 （B ）15 （C ）30 （D ）31 4．a,b,c 都是实数，那么“2b=a+c”是“a,b,c 成等差数列”的 （ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 5．一个等差数列的第五项a 5=10，且a 1+a2+a3=3，则有 （ ）
（A ）a 1=-2,d=3 （B ）a 1= 2,d=-3 （C ）a 1= -3,d=2 （D ）a 1=3, d=-2
6. 在等差数列{an }中，a m =n,an =m(m,n∈N +), 则a m+n= ( )
（A ）mn （B ）m-n （C ）m+n （D ）0
7. 已知等差数列{an }中，a 1=-5,d=7,an ≤695, 则这个等差数列至多有 ( )
（A ）98项 （B ）99项 （C ）100项 （D ）101项 8.已知等差数列{bn }中，d=-3,b7=10,则b 1是 （ ）
（A ）-39 （B ）28 （C ）39 （D ）32
9. 已知等差数列{cn }中，c 10+c15=9,则c 9+c16的值是 （ ）
9
（A ）不能确定 （B ）9 （C ）18 （D ）
2
10. 在等差数列40，37，34，„„中第一个负数项是 （ ） （A ）第13项 （B ）第14项 （C ）第15项 （D ）第16项 （二）填空题
11．数列2，-4，6，-8，„的一个通项公式是_________。
12．已知数列：2, 5, 22, , „，则2是这个数列的第________项。 13. 数列a 1=-1,an =
2a n -1
+1(n≥2) 的前四项依次是________________________。
14. 等差数列{an }中，a 15=33,a45=153,则217是这个数列的第__________项。 15. 若一个三角形的三内角成等差数列，且已知一个角为28°，则其它两角度数为____________________。
16. 若{an }为等差数列，a 2,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a8=____________。 （三）解答题
17．求下列各数列的一个通项公式：
[1**********]11
-, , -, , -, „„1, 0, , 0, , 0, , 0, „„ （1, , , , , „„（2）（3）
[***********]7
18．在矩形纸片内取n(n∈N +) 个点，连同矩形的4个顶点共n+4个点，这n+4个点中无三点同在一直线上。以这些点作三角形的顶点，把矩形纸片剪成若干个三角形纸片，把这些纸片的个数记为a n
（1）求a 1,a 2。 （2）求数列{an }的递推公式； （3）根据递推公式写出数列{an }的前6项。
19．已知等差数列{an }中，a 1+a4+a7=15,a2a 4a 6=45,求数列{an }的通项公式。 20．在等差数列{an }中，已知a 4=70,a21=-100, （1）求首项a 1与公差d ，并写出通项公式； （2）{an }中有多少项属于区间[-18，18]？ 21．已知等差数列{an }，求证： （1）若u+v=p+q，则a u +av =ap +aq ；
（2）若t=7n+2(n∈N +) ，则当n 依次取1，2，3，„时，所得a t 组成的数列也是等差数列。
高一数学同步辅导教材（第16讲）
一、本讲速度
3.3 等差数列的前n 项和；3.4 等比数列
二、本讲主要内容
1、等差数列的前n 项和的公式及应用 2、等比数列的概念和性质
三、学习指导
1、要掌握等差数列的前n 项和的公式及其推导方法。
课本首先通过1+2+3+„+100的高斯算法发现等差数列的前n 项中，第k 项与倒数第k 项的和等于首未两项的和，从而可以用倒序相加方法得到前n 项和的公式：S n =
n (a 1+a n )
2
①；将等差数列通项公式a n =a 1+(n－1)d 代入①可得到公式的另一种形式：
S n =na 1+
n (n -1)
d ②公式①是用首项a 1, 末项a n 与项数 n 表示的，公式②是用首项a 1, 2
项数n 与公差d 表示的，在使用上各有其方便的地方。
公式②还可以如下导出：S n =a 1+a 2+a 3+„+a n =a 1+(a 1+d)+(a 1+2d)+„+[a 1+(n－1)d]
n (n -1)
d 2
n (n -1) n (n +1)
注意公式中d 前面是，不要误认为。
22
=na 1+[1+2+„+(n－1)]d =na 1+
如果a 1,d 是确定的常数，那么公式②可以写成：③S n =
d 2d d
n +(a1-)n 。设a =,b=a 1222
－
d
, 则S n =a n 2+bn。当a ≠0(即d ≠0) 时，S n 是关于n 的不含常数项的二次式，反之，可以2
证明，当一个数列的前n 项和是一个不含常数项的n 的二次式时，这个数列一定是等差数列。
等比数列性质
1. 等比数列的定义：2. 通项公式：
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1
a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)， 首项：a 1；公比：q q
n -m
推广：a n =a m q n -m ， 从而得q 3. 等比中项
=
a n
或q =n a m
2
A =
ab 或A =（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项
互为相反数）
（2）数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1
4. 等比数列的前n 项和S n 公式： (1) 当q =1时， S n =na 1 (2) 当q ≠1时，S n =
a 1(1-q n )1-q
=
a 1-a n q
1-q
=
5. 等比数列的判定方法
a 1a
-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为常数） 1-q 1-q
（1）用定义：对任意的n, 都有a n +1=qa n 或列
a n +1
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数a n
（2） 等比中项：a n =a n +1a n -1（a n +1a n -1≠0）⇔{a n }为等比数列 （3） 通项公式：a n =A ⋅B
n
2
(A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列
n
n
（4） 前n 项和公式：S n =A -A ⋅B 或S n =A ' B -A ' A , B , A ', B ' 为常数⇔{a n }为等比数列
()
6. 等比数列的证明方法 依据定义：若
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为等比数列 a n -1
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a n =a 1q n -1
如奇数个数成等差，可设为„，
示）；
a a
, , a , aq , aq 2„（公比为q ，中间项用a 表2
q q
8. 等比数列的性质 (1) 当q ≠1时
①等比数列通项公式a n =a 1q 函数，底数为公比q
n -1
=
a 1n
q =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)是关于n 的带有系数的类指数q
②前n 项和S n =
a 1(1-q n )1-q
a 1-a 1q n a 1a
系数和=-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' ，
1-q 1-q 1-q
常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈N *, 在等比数列{a n }中, 有a n =a m q n -m , 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式. 因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈N *), 则a n ⋅a m =a s ⋅a t . 特别的, 当n+m=2k时, 得
a n ⋅a m =a k 2
注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
a k
(4) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列{}, {k ⋅a n }, {a n k }, {k ⋅a n ⋅b n }{n (k为非零
b n a n
常数) 均为等比数列.
(5) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列
(6) 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{loga a n }是等差数列 (7) 若{a n }为等比数列, 则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
(8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n ,
a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列
(9) ①当q >1时， ②当0
a 1>0，则{a n }为递减数列1>0，则{a n }为递增数列
{a {a 1
③当q=1时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q
(10)在等比数列{a n }中, 当项数为2n (n∈N *) 时,
S 奇1=,. S 偶q
(11)若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m =S n +q n ⋅S m
2、要正确理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和等比中项的概念，并能用公式解决一些简单问题。
与得出等差数列概念类似，课本也是通过归纳三个数列的共同特点给出等比数列的定义及公比概念。由等差数列定义知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q ≠0，由定义还可知，如果
a n
(n ≥2) 都是同一个常数q ，那么数列{a n }就是等比数列。a n+1=a n q 是等比数列的a n -1
递推公式。
与得出等差数列通项公式类似，等比数列的通项公式也是通过不完全归纳法得到的：a n =a 1q n
－1
。将它写成a n =(
a 1
) ⋅q n 后可以知道，当q>0且q ≠1时，y=qx 是一个指数函数而q
y =(
a 1
) ⋅q x 是一个非零常数与一个指数常数的积。因此等比数列的图象是函数q
a 1
) ⋅q n 图象上的一群孤立的点。 q
y =(
与等差中项概念类似，如果在a 和b 中间插入一个数G ，使a ,G ,b 成等比数列，那么 G 叫做a ,b 的等比中项。如果a ,b 异号，那么a ,b 不存在等比数中项；如果a ,b 同号，那么
G =ab 或G =-ab ，其中G =ab 也叫a ,b 的几何平均值。
在等比数列{a n }中，从第2项起，每一项都是它相邻两项的等比中项，也是与它等距的前后两项的等比中项。
等比数列有如下一些性质：
(1)设数列{a n } 是公比为q 的等比数列，则a n =a m q n
－m
(m,n∈N+)
(2)设数列{a n } 是等比数列，如果m,n,k, l ∈N+，且m+n=k+l , 那么a m a n =a k +a l .
2
(3)等比数列中，序号成等差数列的项成等比数列。即当2k=m+n时，a n ²a m =a k
四、典型例题分析
例1、在等差数列{a n }中，
(1)已知a 6+a 9+a 12+a 15=34，求前20项之和； (2)已知S p =S q (p≠q) ，求S p+q 解题思路分析
(1)利用等差数列性质，a 6+a 15=a 9+a 12=a 1+a 20=17，求得S 20=170 (2)∵S p =
p (a 1+a p )
2
, S q =
q (a 1+a q )
2
, ∴S p =S q 可以转化成a 1+a p+q=0,从而得S p+q=0
例2、等差数列{a n }中，a 1>0且前n 项之和为S n ，若S 7=S 13，则n 为何值时，S n 为最大？ 解题思路分析
根据a 1>0,S 7=S 13, 可以确定公差d0,a 11
例3、设数列{a n }和{b n }都是等差数列，它们的前n 项和分别为S n ，T n ，且
d 2d 7+13
n +(a 1-) n 知点（n, S n ）在开口向下的抛物线上，得n ==10222
S n 2n +5
，=
T n n +4
求
a 731
=的值。 b 717
解题思路分析
在等差数列{a n }中S 2n+1=(2n+1)a n , 同理T 2n+1=(2n+1)bn 由此可得
a n S 2n +1
不难求得=
b n T 2n +1
a 731= b 717
例4、设等差数列的前n 项和为S n ，已知a 3=12,S 12>0,S 13
(2)指出S 1, S 2, „，S 12中哪一个值最大，并说明理由。 解题思路分析
12⨯11⎧12a +d >0⎪⎪12
(1)利用等差数列的前n 项和的公式，由S 12>0,S 13
13⨯12⎪13a +d
解得-
24
(2)由d0,a 7
例5、已知在数列{a n }中，a 1, a 2, a 3成等差数列，a 2, a 4, a 5成等比数列，a 3, a 4, a 5的倒数成等差数列。证明a 1, a 3, a 5成等差数列。
解题思路分析
由已知得2a 2=a 1+a 3, a 32=a 2²a 4, a 32=a 1a 5≠0
例6、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
解题思路分析
211=+, 要证明a 1, a 3 a 5成等差数列，只需证明a 4a 3a 5
(a +d ) 2
根据题设，这四个数可以设为a －d, a , a +d,, 根据题设中的另外的条件列出关于
a
a ,d 的方程组，解得⎨
⎧a =4⎧a =9
或⎨所求四数为0,4,8,16或15,9,3,1 d =4d =-6⎩⎩
11
千克，搅匀后再倒出混合液千克，第二次再注入百分44
例7、已知0
比浓度为p%的溶液
11
千克，搅匀后又倒出混合液千克„„，如此反复进行下去。 44
(1)写出第一次混合液的百分比浓度a 1%；
(2)设第n 次混合后，百分比浓度为a n %，试用a n 表示a n+1; (3)写出a n 的通项公式；
(4)为了使溶液的百分比浓度不低于q%，至少要混合多少次？（lg2≈0.3010） 解题思路分析
由p －r=2(p－q) 得2q=p+r，即q 是p,r 的等差中项。 (1)由题意，a 1%=(2)a n+1%=
1
(p+4r)% 5
11
(p+4a n )%,即a n+1= (p+4a n ) 5541444
(3)由a n+1=a n + p 得a n+1－p= (a n －p) 即{a n -p }是公差为 ，首项为(r－
55555
4
p) 的等比数列， a n =p－(p－r) ²() n
5
4p +r
(4)由p －(p－r)() n ≥q= 得n ≥4, 即至少要混合4次。
52
五、巩固练习
(一) 选择题
1、在等差数列{a n }中，a 2+a 5=19,S 5=40,则a 10为（ ） (A )27 (B)28 (C)29 (D)30 2、在等差数列{a n }中，d=2,a n =11,S n =35,则a 为（ ） (A )5或7 (B)3或5 (C)7或－1 (D)3或－1 3、在等差数列{a n }中，a m =n,a n =m,(m,n∈N+)，则a m+n=( ) (A )mn (B)m－n (C)m+n (D)0
4、等差数列前2n+1项中，奇数项的和与偶数项的和之比是( ) (A )
n +1n n +1n +12
(B) (C) (D) () 2n +1n n
5、等差数列{a n }的公差d
6、记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2n －1=(2n－1)(2n+1),则S n 等于（ ）
(A )n(n+2) (B)
n n
(2n+3) (C)n(2n+3) (D) (2n+1) 22
7、如果一个等差数列中，S 10=100，S 100=10，则S 110=（ ） (A )90 (B)－90 (C)110 (D)－110
8、等差数列{a n }中，公差d=1,若a 1+a 2+a 3+„+a 99=99,则a 3+a 6+a 9+„+a 99等于（ ） (A )99 (B)66 (C)33 (D)0 9、b 2=a c 是a ,b,c 成等比数列的（ ）
(A ) 充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 10、在等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为（ ） (A )4 (B)
316 (C) (D)2 29
11、公比q ≠1的等比数列{a n }中，若a m =p,则 a m+n为（ ） (A )p ²q n+1 (B)p²q n 1 (C)p²q n (D)p²q m+n1
－
－
12、等比数列{a n }中，已知a 1²a 9=256,a 4+a 6=40的公比q 是（ ） (A ) ±2 (B)±(二) 填空题
13、在等差数列{a n }中，若a 1－a 4－a 8－a 12+a 15=2，则S 15.
14、在数列{a n }中，已知a n =25－2n(n∈N+)那么使其前n 项的和S n 取得最大值的n 值等于 。
15、等差数列{a n }的公差d ≠0，前n 项和为S n , 且S 10=4S 5，则a 1 。
16、等差数列的前m 项和是25，前2m 项和是100，则前3m 项和是。 17、若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ,B n , 且
111
(C)±2或± (D)2或 222
A n 7n +1
=(n ∈N +) ，B n 4n +27
则
a n
b n
18、等比数列{a n }中，若a 4=5,a 8=6,则a 2a 10, a 6.
19、如果将20，50，100各加上同一个常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比为 。
20、一个等比数列的前三项之和为21，第四项到第六项之和为168，则第七项到第九项之和为 。
(三) 解答题
21、已知A 、B 两地相距1000米，A 地存放电线杆40根，从B 处起，沿A B 方向每隔50米架设一根电线杆，一辆车一次能运4根，全部运完返回A 处，这辆车所运行的全部路是多少千米？
22、已知等差数列{a n }中，a 1=12,d=－2 (1)求S n , 并画出{S n }（1≤n ≤13）的图象；
(2)分别求{S n } 单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n } 的最大值； (3) {S n } 有多少项大于零？
23、已知等比数列{a n } 的a 3=16，且a 1²a 2„²a 10=265, 求{a n }的通项公式与a 6. 24、有4个数a 1, a 2, a 3, a 4, 前3个数成等差数列，后3个数成等比数列，且a 1+a 4, a 2+a 3
是方程x 2－21x+108=0的两根，a 1+a 4>a 2+a 3, 求这4个数。
25、已知数列{a n }的前n 项和S n =
3n (41-n )
，试求数列a n 的前30项的和。 2
高一数学同步辅导教材（第17讲）
一、本讲进度
3.5 等比数列的前n 项和
3.6 研究性课题：分期付款中的有关计算
二、本讲主要内容
1、等比数列前n 项和的公式及其应用； 2、分期付款中的有关计算问题。 三、学习指导
1、要掌握等比数列的前n 项和的公式及其推导方法。
由等比数列定义知道，a n q =a n +1，即等比数列中每一项乘以公比q 以后就是它后面相
邻的一项，因此，当q ≠1时，S n =a 1+a 2+a 3+„+a n 与qS n =a 1q +a 2q +„+a n q 中有n －1项是相同的，彼此相减就可以消去这些相同的项，这是推导等比数列的前n 项的和的基本思路。这种方法也称错位相减法，它是数列求和的基本方法之一。
等比数列的前n 项和的公式为：
⎧na 1(q =1) ⎪
S n =⎨a 1(1-q n )
⎪1-q (q ≠1) ⎩
要全面理解这个公式，它是由公比q =1和q ≠1两种情形构成的，在应用时注意公式的公比条件。
如果{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么数列{a n ±b n }的前n 项和等于等差数列{a n }的前n 项和加上或减去等比数列{b n }的前n 项和；数列{a n b n }的前n 项和，可以用推导等比数列前n 项和的公式方法一样的错位相减法化成等比数列的前n 项和。课本第142页第6题、第7题都是这类称为混合数列的求和问题。第7题的结论：
a +a
n n -1
b +a
n -2
a n +1-b n +1
b + +b = (其中n ∈N +,a , b 是不等于零的常数，且a ≠
a -b
2
n
b ) 也称为裴蜀定理。
2、分期付款中的有关计算
这是课本安排的一个研究性课题，是等比数列的前n 项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。难度并不太高，比较贴近生活，要认真阅读课本内容，弄清分期付款的下列意义：
(1)在分期付款中，每月的利息均是按复利计算的； (2)分期付款中规定每期所付的款额相同；
(3)分期付款时，商品售价和每期所付款款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断地增值；
(4)各期所付款额连同最后一次付款时所生的利息和=商品售价及从购买到最后一次付款的利息之和。
四、典型例题分析
例1 在等比数列{a n }中，a 1+a n =66,a 2a n －1=128，且前n 项和S n =126,求n 及公比q 。 解题思路分析
根据等比数列的性质，a 2a n －1=a 1a n ，所以a 1, a n 是方程x 2－66x+128=0的两个根。解得a 1=2,a n =64或a 1=64,a n =2。从而可得n =6,公比q 为2或
1。 2
⎧2n -1(n 为奇数)
例2 在数列{a n }中，a n =⎨n 求数列{a n }的前n 项和S n .
⎩3(n 为偶数)
解题思路分析
要分成偶数项和奇数项之和分别求解。显然求前偶数项和比较简单。
当n =2k(k∈N +)时，a 1, a 3, a 5, „，a 2k －1，„，成等差数列，公有效差为4，首项为1；而
a 2, a 4，„，a 2k ，„成等比数列，公比为
q ，首项为
a 2=9,∴S 2k
n k (1+4k -3) 9(1-9k ) 9
=+=k (2k -1) +(9k -1) . 将k=代入得
221-98
S n =
n 9
(n -1) +(3n -1) 28
当n =2k－1时，由S 2k －1=S 2k －a 2k ，得S n =
n (n +1) 1n +19
+⋅3-. 288
例3 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x 万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？
解题思路分析
设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列{a n }，则
3
－x ； 2
233
a 2=(1000³－x)(1+50%)－x=1000³() 2－(1+)x;
322
33333
依次类推得a 5=1000³() 5－[1++() 2+() 3+() 4]x.
22222
a 1=1000³（1+50%）－x=1000³由题意知： 1000³(
353333
) －[1++() 2+() 3+() 4]x=2000 22222
求数列1，（1+b ）a ,(1+b +b 2) a 2, „，(1+b +b 2+„+b n 1) a n 1, „
－
－
解得x ≈424万元 例4
的前n 项和S n .
解题思路分析
1-b n n -1
a ；当b =1时，a n =na n －1. 首先要弄清这个数列的通项：当b ≠1时，a n =
1-b 1-b n n -11
(a n -1-a n -1b ) 括号中是两个指数函数的差，可见这个数列a =而a n =
1-b 1-b
是由两个等比数列相应项的差组成的，可以先分别求和然后再求差。求和时区分a =1 与a ≠1两种情形.
例5 设数列{a n } 的首项a 1=1,前n 项的和S n 满足关系式3t S n －(2t+3)S n －1=3t(t为常数, 且t>0, n =2,3,4,……)。
(1)求证：数列{a n } 是等比数列；
(2)设{a n } 的公比为f(t)，作数列{b n }，使得b 1=1,b n =f(通项公式。
(3)求和：b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－„+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 解题思路分析
(1)求得a 1=S 1=1 S 2=a 1+a 2=1+a 2, 代入关系式，得a 2=3t S n －1－(2t+3)S n －2=3t, 两式相减得3t a n －(2t+3)a n －1=0, ∴
1
) (n =2,3,4,…)，求{b n }的b n -1
2t +3
, 又3t S n －(2t+3)S n －1=3t, 3t
a n 2t +3
=
a n -13t
(2)由f(t)=
2t +31212
=+ 得b n =f() =+b n -1 3t t 3b n -13
由此可得b n =
21
n + 33
(3)原式=b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+„+b 2n (b 2n －1－b 2n +1)=
44
-(b 2+b 4+ +b 2n ) =-(2n 2+3n ) 39
例6、从房产公司购买住宅一套，价值22万元。首次付款2万元之后，其余按年分期付款，且每年付款数相同，如果年利率为3%，利息按复利计算，并要求经15年付清购房款的本利和。问每年应付款多少元（精确到1元）？实际付出款总额比一次付款多付多少元？
解题思路分析
由于首付2万元，其余20万元按年分期付款，本题可以看成是贷款20万元，按年分
期偿还的问题。
设每年付款x 元，由题意，得
x+1.03x+1.032x+„+1.0314x=200000³1.0315
解得x ≈16753元（可利用计算器计算）实际付款比一次性付款多付了51295元。 五、巩固练习 (一) 选择题
1、等比数列1, a , a 2, „a n 各项的和为（ ）
1-a n 1-a n +1(A ) (B )
1-a 1-a
⎧1-a n
(a ≠1) ⎪
(C)⎨1-a (D)
⎪n (a =1) ⎩⎧1-a n +1
(a ≠1) ⎪
⎨1-a
⎪n +1(a =1) ⎩
2、若某等比数列中前7项的和为48，前14项的和为60，则前21项的和为（ ） (A )180 (B )108 (C)75 (D)63
3、等比数列{a n }中，若S 4=1,S 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20的值为（ ） (A )20 (B )14 (C)16 (D)18 4、数列9，99，999，9999，„的前n 项和等于（ ）
10
(10n -1) +n (B )10n －1 91010(10n -1) (D) (10n -1) -n (C) 99
(A )
5、数列1，（1+2），（1+2+22），„，（1+2+22+„+2n 1）, „, 的前n 项的和为（ ）
－
(A )2n (B )2n －n (C)n ²2n (D)2n +1－n －2
6、某工厂产值a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（ ）
(A )1.14a (B )1.15a (C)10(1.15－1) a (D)11(1.15－1) a 7、某工厂生产总值月平均为p ，则年平均增长率是（ ） (A )p 12 (B )12p (C)(1+p)12 (D)(1+p)12－1 8、如果数列{a n }的前n 项和S n =(A ) 是等差数列而不是等比数列 (B ) 是等比数列而不是等差数列
1n
(3-2n ) (n ∈N +)，那么这个数列（ ） n 2
(C)既是等差数列又是等比数列
(D)既不是等差数列又不是等比数列
9、若数列{a n }前n 项和S n =1+ra n (r≠0,r ≠1，r 为常数) ，则数列的通项公式是（ ）
r n r n -1
(A ) a n =- (B ) a n = (r -1) n +1(1-r ) n
r n -1r n -1
(C) a n =- (D) a n = n n +1(r -1) (1-r )
10、数列{a n }中，a n =
为（ ）
(A )59 (B )60 (C)61 (D)62
(二) 填空题
11、等比数列, -1, 3, 的前10项和为
12、在等比数列{a n }中，若a 5=－8, q =－12n +1+2n -1，若其前n 项和S n =5,则n 131, 则a n =____,S n =____。 2
13、在等比数列{b n }中，若b 6－b 5=567,b 2－b 1=7,则S n =________。
14、已知log 2(S n +1)=n +1,则数列{a n }中通项a n =________.
15、数列a 1q n
S n 16、若等比数列{a n }中，a 4=1,a 7=8,则a 6与a 10的等比中项为 。
(三) 解答题
17、已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n 1, 求⎨－－1, a 1q n －2, „，a 1q , a 1,(a 1q ≠0) 的公比为, 前n 项和⎧1⎫⎬的前n 项和。
⎩a n ⎭
18、利用等比数列前n 项和的公式的推导方法，求S n =123n +++ +n 的值。 2482
19、设{a n }是由正数组成的等比数列，它的前n 项和为S n ，试比较log b S n +logb S n +2与 2log b S n +1的大小。
20、某人想贷一笔款，年利率为5%，按复利计息，计划每年偿还1万元，经5年还清，问应贷给他多少元？
21、设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n , 并对所有的自然数n , 求数列{a n }的通项公式。 a n +2=2S n , 2
高一数学同步辅导教材（第15讲）
一、本讲速度
3.1数列；3.2等差数列 二、本讲主要内容
1． 数列的概念，数列的通项公式，由递推公式给出数列。 2． 等差数列的概念和通项公式，等差中项的概念。 三、学习指导
1． 要正确理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并会根据递推公式写出数列的前若干项。
数列是按一定顺序排列起来的一列数。它可以看作是一个序号集合到另一个数集的映射; 从映射函数的观点来看，数列是一个定义域为正整数集Ｎ＋（或它的有限子集｛１，２，„„，n ｝）的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一系列函数值。用函数观点看待数列，有助于加深对数列概念和性质的理解。
数列的数是按一定顺序排列的。如果组成两个数列的数相同而顺序不同，那么它们是不同的数列，如课本上堆放钢管的实例，自上而下的每层钢管数组成数列：４，５，６，７，８，９，１０。与自下而上的每层钢管数组成的数列：１０，９，８，７，６，５，４。是两个不同的数列。
要把数列概念与数集概念区分开来。数列中的数不但有顺序，而且并没有规定必须不同，即同一个数在数列中是可以重复出现的，常数数列甚至都是由同一个数排成的数列，如，１，１，１，„„。而数集中的数是无序的，并且是互异的。
数列的通项公式就是相应函数的解析式。如果已知一个数列的通项公式，那么只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的各项。
根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是一个难点。克服这个难点的关键是根据各项的特点，它与序号的关系，找出各项共同的构成规律得出通项公式。
并不是每个数列都是有通项公式的，如π精确到１，０. １，０. ０１，０. ００１，„„的不足近似值构成的数列就没有通项公式。
一个数列的通项公式可以有不同的形式，如数列－１，１，－１，１，„„的通项公式可以写成a n =(-1)n ，也可以写成
∈N +) a n =
∈N +)
它们形式不同，但实质是一样的．
与表示函数有列表法、图象法一样，数列也可以列表表示或用图象表示。利用列表法表示的数列，内容具体，方法简单，缺点是难以表示项数较多的数列或无穷数列。图象法表示的数列直观但不精确。
数列还可以用递推公式表示。虽然递推公式是表示数列的一种重要方法，但限于学习要求，只需了解这种方法，能够根据递推公式写出数列的前若干项就可以了。
等差数列的性质总结
1. 等差数列的定义：a n -a n -1=d （d 为常数）（n ≥2）；
2．等差数列通项公式：
a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d (n ∈N *) ， 首项:a 1，公差:d，末项:a n 推广： a n =a m +(n -m ) d ． 从而d =
3．等差中项
（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：A =
a +b
或2
a n -a m
；
n -m
2A =a +b
（
2
）
等
差
中
项
：
数
列
{a n }
是等差数列
⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2
4．等差数列的前n 项和公式：
S n =
n (a 1+a n ) n (n -1) d 1
=na 1+d =n 2+(a 1-d ) n =An 2+Bn 2222
（其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数2n +1时，a n +1是项数为2n+1的等差数列的中间项
S 2n +1=
(2n +1)(a 1+a 2n +1)=
2
(2n +1)a n +1（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数
乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．
*
（2） 等差中项：数列
{a n }
是等差数列
⇔2a n =a n -1+a n +1(n ≥2) ⇔2a n +1=a n +a n +2．
⑶数列{a n }是等差数列⇔a n =kn +b （其中k , b 是常数）。
（4）数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn , （其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若a n -a n -1=d 或a n +1-a n =d (常数n ∈N ) ⇔ {a n }是等差数列．
*
7. 提醒：
（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、d 、n 、a n 及S n ，其中a 1、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项a n =a 1+(n -1) d
②奇数个数成等差，可设为„，a -2d , a -d , a , a +d , a +2d „（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为„，a -3d , a -d , a +d , a +3d , „（注意；公差为2d ）
8.. 等差数列的性质： （1）当公差d ≠0时，
等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1) d =dn +a 1-d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；
前n 和S n =na 1+为0.
（2）若公差d >0，则为递增等差数列，若公差d
（3）当m +n =p +q 时, 则有a m +a n =a p +a q ，特别地，当m +n =2p 时，则有
n (n -1) d d
d =n 2+(a 1-) n 是关于n 的二次函数且常数项222
a m +a n =2a p .
注：a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2=⋅⋅⋅，
（4）若{a n }、{b n }为等差数列，则{λa n +b }，{λ1a n +λ2b n }都为等差数列
(5) 若{a n }是等差数列，则S n , S 2n -S n , S 3n -S 2n ，„也成等差数列
（6）数列{a n }为等差数列, 每隔k(k∈N ) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等差数列
（7）设数列{a n }是等差数列，d 为公差，S 奇是奇数项的和，S 偶是偶数项项的和，S n 是前n 项的和
1. 当项数为偶数2n 时，
*
n (a 1+a 2n -1)
S 奇=a 1+a 3+a 5+⋅⋅⋅+a 2n -1==na n
2n (a 2+a 2n )
S 偶=a 2+a 4+a 6+⋅⋅⋅+a 2n ==na n +1
2
S 偶-S 奇=na n +1-na n =n (a n +1-a n )=nd
S 奇na n a ==n S 偶na n +1a n +1
2、当项数为奇数2n +1时，则
⎧S 奇n +1⎪S 2n +1=S 奇+S 偶=(2n +1) a n+1⎧⎪S 奇=(n +1) a n+1
⇒⇒= ⎨⎨
S -S =a S =na S 偶n n+1n+1⎪奇偶偶⎪⎩⎩
（其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）．
（8）{a n }、{b n }的前n 和分别为A n 、B n ，且
则
（9）等差数列{a n }的前n 项和S m =n ，前m 项和S n =m ，则前m+n项和S m +n =-(m +n )
A n
=f (n ) ， B n
a n (2n -1) a n A 2n -1
===f (2n -1) . b n (2n -1) b n B 2n -1
(10)求S n 的最值
法一：因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性n ∈N 。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和
*
⎧a n ≥0即当a 1>0，d
a ≤0⎩n +1
（2） “首负”的递增等差数列中，前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当a 10， 由⎨或求{a n }中正负分界项
⎧a n ≤0
可得S n 达到最小值时的n 值．
⎩a n +1≥0
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数，故n 取离二次函数对称轴最近的整数时，S n 取最大值（或最小值）。若S p = S q则其对称轴为n =
p +q
2
２．要正确理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和等差中项的概念，并能用于解决一些简单的问题。
课本上通过归纳三个数列的共同特点给出了等差数列的定义及公差d 的概念。对于等差数列｛a n ｝有a n+1-a n =d(n∈Ｎ＋) ，这就是等差数列的递推公式．由a n -a n-1=d，a n-1-a n-2=d，„„，a 2-a 1=d，将这 n-1个式子相加，得a n -a 1=(n-1)d，即 an =a1+(n-1)d，这是等差数列的通项公式。这种求通项公式的方法叫迭加法，是解决数列问题的有效方法之一。
等差数列的通项公式在课本上是由定义，通过不完全归纳法得出的，这种推导过程要引起重视，它是培养观察分析，归纳总结能力的重要途径。
根据等差数列的定义，一个等差数列至少有三项。如果a ，Ａ，b 成等差数
a +b
列，那么Ａ叫做a,b 的等差中项，且Ａ＝，（Ａ也叫a,b 的算术平均值）。
2
容易知道，一个等差数列中，除首末（如果有末项的话）两项外，任何一项都是相邻两项的等差中项，并且进而可知，任何一项都是前后与它等距两项的等差中项，即a n =
a n -k +a n +k
，（n,k ∈Ｎ＋，且 n＞k ）． 2
等差数列有如下一些性质：
（1）设数列｛a n ｝是公差为d 的等差数列，那么a n =am +(n-m)d (m,n∈Ｎ＋) （2）设数列｛a n ｝是等差数列，如果m,n,k, l ∈Ｎ＋，且 m+n=k+l ，那么 am + a n =ak +a l （3）等差数列中，序号成等差数列的项也成等差数列．
（4）设数列｛a n ｝和｛b n ｝都是等差数列，那么数列｛λa n +μb n ｝（λ，μ为常数），也是等差数列．
以上性质不难用等差数列的定义和通项公式进行证明，读者不妨一试． 四．典型例题分析
例1. 分别写出下列数列的一个通项公式：
12345
（1）-1, 3, -5, 7, -9, „„
496253657
（2）4, -, 2, -, „„
24
（3）５,55,555,5555, „„
579
（4）1, 1, , , , „„
71531
解题思路分析： （1）数列各项的绝对值可以分成整数，分数的分子和分母三部分, 再分别考察各
部分，加上变换正负号的（－１）n 得a n =(-1)n [(2n-1)+
n
]
(n +1) 2
4567n +3
将这数列前４项改写成, -, , -，可得通项公式a n =(-1)n+1
1234n
（2）由于９，９９，９９９，９９９９，„„的通项公式是10n -1所以将题中
5
数列各项改写后，可得通项公式a n =(10n -1)
9
135792n -1
（3）原数列可写成：, , , , , „„ 得通项公式为a n =n
13715312-1
例2. 数列｛a n ｝中，a 1=1, 对所有的n ≥２都有a 1⋅a 2⋅„a n =n2； （1）求a 3+a5；
256（2）是这数列中的项吗？
225
解题思路分析：
据题设a 1⋅a 2⋅„a n-1=(n-1)2, 而a n =
a 1⋅a 2⋅⋅⋅a n
a 1⋅a 2⋅⋅⋅a n -1
61n 2256n 2
∴a n = （n ≥2），由此可以求得a 3+a5=，令，可以判=22
16225(n -1) (n -1)
256
是这数列中的第１６项． 225
例3. 在－１与７之间顺次插入三个数a,b,c, 使这五个数成等差数列，求此数列．
解题思路分析：
设五个数组成等差数列｛a n ｝，则a １=-1,a5=7,利用通项公式求出公差，得数列为－１，１，３，５，７．
也可以利用等差中项来解，第三项是第一和第五项的等差中项，第二，第四项分别是其相邻两项的等差中项，从而求得数列．
断
例4. 已知a n =an-1+
1
, (n≥2),a 1=1
n (n -1)
（1）写出数列的前五项；
（2）由（１）中的前５项推测数列的通项公式并进行证明．
解题思路分析：
35792n -1
前五项为1, , , , ．观察这五项的分子，分母，猜得a n =，由此得
2345n 2n -3a n -1=，代入递推公式证明上述猜想正确．
n -1
例6. 在等差数列｛a n ｝中
（1）已知a 2=5,a6=17，求a n ． （2）已知a 6=5,a3+a8=5，求a 5．
（3）已知a 1+a2+a3+a4=26,a2a 3=40，求a 5．
解题思路分析：
1+d=5 （1）利用等差数列通项公式有
1+5d=17 解出a 1,d 后得通项公式 an =3n-1；
（2）利用等差数列性质，由a 3+a8=a5+a6=5,得a 5=0. （3）设 a1=a-3d,a2=a-d,a3=a+d,a4=a+3d,
（a-3d ）＋（a-d ）＋（a+d）＋（a+3d）＝26 则得
（a-d ）（a+d）＝40 解出a,b. 得a 5=14或-1.
例7. 已知等差数列｛a n ｝满足a 3³a 7=－12,a 4+a6=－4, 求数列｛a n ｝的通项公式．
解题思路分析：设公差为d ，首项为a 1，可得方程组： 3³a 7=(a1+2d)(a1+6d)=－12
4+a6=(a1+3d)+(a1+5d)=－4
解得a 1,d 后得通项公式a n =2n－12或a n =例8. 为了测试某种金属的热膨胀性质，始第一次量细棒长度，以后每升高50{l n }问题：
（1）第5时金属棒的温度是多少？
（2）求{l n }的通项公式和金属棒长度l 位：m ）关于温度t （单位：℃）的 函数关系式；
（3）在30个平面的最高温度可达到500℃，隙？
解题思路分析：
看到第5次量得金属棒长度是2.005 m设l n =dn +b，由待定系数法可得通n t -50
t=50(n-1)+100=50n+50。∴n =, 代入通项公式得所求函数关系式为
50
l =0.00002t+1.999。
设当t=30℃时, 金属板在某个面上长度为l ’m, 当t=500℃时金属板在该个面的长度为l ”m, 则l ”-l ’=0.0094(m)。这就是至少要留出的空隙。 五．巩固练习 （一）选择题： 1．如果无穷数列{an }的第n 项与n 之间的函数关系能用一个公式a n =f(n)来表示，则该函数的定义域为( )
（A ）Z （B ）N （C ）N + （D ）N +的有限子集{1,2,„,n} 2．数列-1，6，-11，16，„的一个通项公式为 （ ）
（A ）a n = 5n-4 (B) an =-5n+4 (C) an = (-1)n ³5n-4 (D) an =(-1)n (5n-4)
3．已知数列{an }的首项a 1=1, 且a n =2an-1+1（n ≥2）, 则a 5为 ( )
（A ）7 （B ）15 （C ）30 （D ）31 4．a,b,c 都是实数，那么“2b=a+c”是“a,b,c 成等差数列”的 （ ）
（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件
（C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 5．一个等差数列的第五项a 5=10，且a 1+a2+a3=3，则有 （ ）
（A ）a 1=-2,d=3 （B ）a 1= 2,d=-3 （C ）a 1= -3,d=2 （D ）a 1=3, d=-2
6. 在等差数列{an }中，a m =n,an =m(m,n∈N +), 则a m+n= ( )
（A ）mn （B ）m-n （C ）m+n （D ）0
7. 已知等差数列{an }中，a 1=-5,d=7,an ≤695, 则这个等差数列至多有 ( )
（A ）98项 （B ）99项 （C ）100项 （D ）101项 8.已知等差数列{bn }中，d=-3,b7=10,则b 1是 （ ）
（A ）-39 （B ）28 （C ）39 （D ）32
9. 已知等差数列{cn }中，c 10+c15=9,则c 9+c16的值是 （ ）
9
（A ）不能确定 （B ）9 （C ）18 （D ）
2
10. 在等差数列40，37，34，„„中第一个负数项是 （ ） （A ）第13项 （B ）第14项 （C ）第15项 （D ）第16项 （二）填空题
11．数列2，-4，6，-8，„的一个通项公式是_________。
12．已知数列：2, 5, 22, , „，则2是这个数列的第________项。 13. 数列a 1=-1,an =
2a n -1
+1(n≥2) 的前四项依次是________________________。
14. 等差数列{an }中，a 15=33,a45=153,则217是这个数列的第__________项。 15. 若一个三角形的三内角成等差数列，且已知一个角为28°，则其它两角度数为____________________。
16. 若{an }为等差数列，a 2,a 10是方程x 2-3x-5=0的两根，则a 5+a8=____________。 （三）解答题
17．求下列各数列的一个通项公式：
[1**********]11
-, , -, , -, „„1, 0, , 0, , 0, , 0, „„ （1, , , , , „„（2）（3）
[***********]7
18．在矩形纸片内取n(n∈N +) 个点，连同矩形的4个顶点共n+4个点，这n+4个点中无三点同在一直线上。以这些点作三角形的顶点，把矩形纸片剪成若干个三角形纸片，把这些纸片的个数记为a n
（1）求a 1,a 2。 （2）求数列{an }的递推公式； （3）根据递推公式写出数列{an }的前6项。
19．已知等差数列{an }中，a 1+a4+a7=15,a2a 4a 6=45,求数列{an }的通项公式。 20．在等差数列{an }中，已知a 4=70,a21=-100, （1）求首项a 1与公差d ，并写出通项公式； （2）{an }中有多少项属于区间[-18，18]？ 21．已知等差数列{an }，求证： （1）若u+v=p+q，则a u +av =ap +aq ；
（2）若t=7n+2(n∈N +) ，则当n 依次取1，2，3，„时，所得a t 组成的数列也是等差数列。
高一数学同步辅导教材（第16讲）
一、本讲速度
3.3 等差数列的前n 项和；3.4 等比数列
二、本讲主要内容
1、等差数列的前n 项和的公式及应用 2、等比数列的概念和性质
三、学习指导
1、要掌握等差数列的前n 项和的公式及其推导方法。
课本首先通过1+2+3+„+100的高斯算法发现等差数列的前n 项中，第k 项与倒数第k 项的和等于首未两项的和，从而可以用倒序相加方法得到前n 项和的公式：S n =
n (a 1+a n )
2
①；将等差数列通项公式a n =a 1+(n－1)d 代入①可得到公式的另一种形式：
S n =na 1+
n (n -1)
d ②公式①是用首项a 1, 末项a n 与项数 n 表示的，公式②是用首项a 1, 2
项数n 与公差d 表示的，在使用上各有其方便的地方。
公式②还可以如下导出：S n =a 1+a 2+a 3+„+a n =a 1+(a 1+d)+(a 1+2d)+„+[a 1+(n－1)d]
n (n -1)
d 2
n (n -1) n (n +1)
注意公式中d 前面是，不要误认为。
22
=na 1+[1+2+„+(n－1)]d =na 1+
如果a 1,d 是确定的常数，那么公式②可以写成：③S n =
d 2d d
n +(a1-)n 。设a =,b=a 1222
－
d
, 则S n =a n 2+bn。当a ≠0(即d ≠0) 时，S n 是关于n 的不含常数项的二次式，反之，可以2
证明，当一个数列的前n 项和是一个不含常数项的n 的二次式时，这个数列一定是等差数列。
等比数列性质
1. 等比数列的定义：2. 通项公式：
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1
a n =a 1q n -1=
a 1n
q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)， 首项：a 1；公比：q q
n -m
推广：a n =a m q n -m ， 从而得q 3. 等比中项
=
a n
或q =n a m
2
A =
ab 或A =（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：
注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项
互为相反数）
（2）数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1
4. 等比数列的前n 项和S n 公式： (1) 当q =1时， S n =na 1 (2) 当q ≠1时，S n =
a 1(1-q n )1-q
=
a 1-a n q
1-q
=
5. 等比数列的判定方法
a 1a
-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为常数） 1-q 1-q
（1）用定义：对任意的n, 都有a n +1=qa n 或列
a n +1
=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数a n
（2） 等比中项：a n =a n +1a n -1（a n +1a n -1≠0）⇔{a n }为等比数列 （3） 通项公式：a n =A ⋅B
n
2
(A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列
n
n
（4） 前n 项和公式：S n =A -A ⋅B 或S n =A ' B -A ' A , B , A ', B ' 为常数⇔{a n }为等比数列
()
6. 等比数列的证明方法 依据定义：若
a n
=q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为等比数列 a n -1
7. 注意
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项；a n =a 1q n -1
如奇数个数成等差，可设为„，
示）；
a a
, , a , aq , aq 2„（公比为q ，中间项用a 表2
q q
8. 等比数列的性质 (1) 当q ≠1时
①等比数列通项公式a n =a 1q 函数，底数为公比q
n -1
=
a 1n
q =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)是关于n 的带有系数的类指数q
②前n 项和S n =
a 1(1-q n )1-q
a 1-a 1q n a 1a
系数和=-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' ，
1-q 1-q 1-q
常数项是互为相反数的类指数函数，底数为公比q
(2) 对任何m,n ∈N *, 在等比数列{a n }中, 有a n =a m q n -m , 特别的, 当m=1时, 便得到等比数列的通项公式. 因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈N *), 则a n ⋅a m =a s ⋅a t . 特别的, 当n+m=2k时, 得
a n ⋅a m =a k 2
注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
a k
(4) 列{a n }, {b n }为等比数列, 则数列{}, {k ⋅a n }, {a n k }, {k ⋅a n ⋅b n }{n (k为非零
b n a n
常数) 均为等比数列.
(5) 数列{a n }为等比数列, 每隔k(k∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列
(6) 如果{a n }是各项均为正数的等比数列, 则数列{loga a n }是等差数列 (7) 若{a n }为等比数列, 则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
(8) 若{a n }为等比数列, 则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n , a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n ,
a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列
(9) ①当q >1时， ②当0
a 1>0，则{a n }为递减数列1>0，则{a n }为递增数列
{a {a 1
③当q=1时, 该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; ④当q
(10)在等比数列{a n }中, 当项数为2n (n∈N *) 时,
S 奇1=,. S 偶q
(11)若{a n }是公比为q 的等比数列, 则S n +m =S n +q n ⋅S m
2、要正确理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式和等比中项的概念，并能用公式解决一些简单问题。
与得出等差数列概念类似，课本也是通过归纳三个数列的共同特点给出等比数列的定义及公比概念。由等差数列定义知，等比数列的任意一项都不为0，因而公比q ≠0，由定义还可知，如果
a n
(n ≥2) 都是同一个常数q ，那么数列{a n }就是等比数列。a n+1=a n q 是等比数列的a n -1
递推公式。
与得出等差数列通项公式类似，等比数列的通项公式也是通过不完全归纳法得到的：a n =a 1q n
－1
。将它写成a n =(
a 1
) ⋅q n 后可以知道，当q>0且q ≠1时，y=qx 是一个指数函数而q
y =(
a 1
) ⋅q x 是一个非零常数与一个指数常数的积。因此等比数列的图象是函数q
a 1
) ⋅q n 图象上的一群孤立的点。 q
y =(
与等差中项概念类似，如果在a 和b 中间插入一个数G ，使a ,G ,b 成等比数列，那么 G 叫做a ,b 的等比中项。如果a ,b 异号，那么a ,b 不存在等比数中项；如果a ,b 同号，那么
G =ab 或G =-ab ，其中G =ab 也叫a ,b 的几何平均值。
在等比数列{a n }中，从第2项起，每一项都是它相邻两项的等比中项，也是与它等距的前后两项的等比中项。
等比数列有如下一些性质：
(1)设数列{a n } 是公比为q 的等比数列，则a n =a m q n
－m
(m,n∈N+)
(2)设数列{a n } 是等比数列，如果m,n,k, l ∈N+，且m+n=k+l , 那么a m a n =a k +a l .
2
(3)等比数列中，序号成等差数列的项成等比数列。即当2k=m+n时，a n ²a m =a k
四、典型例题分析
例1、在等差数列{a n }中，
(1)已知a 6+a 9+a 12+a 15=34，求前20项之和； (2)已知S p =S q (p≠q) ，求S p+q 解题思路分析
(1)利用等差数列性质，a 6+a 15=a 9+a 12=a 1+a 20=17，求得S 20=170 (2)∵S p =
p (a 1+a p )
2
, S q =
q (a 1+a q )
2
, ∴S p =S q 可以转化成a 1+a p+q=0,从而得S p+q=0
例2、等差数列{a n }中，a 1>0且前n 项之和为S n ，若S 7=S 13，则n 为何值时，S n 为最大？ 解题思路分析
根据a 1>0,S 7=S 13, 可以确定公差d0,a 11
例3、设数列{a n }和{b n }都是等差数列，它们的前n 项和分别为S n ，T n ，且
d 2d 7+13
n +(a 1-) n 知点（n, S n ）在开口向下的抛物线上，得n ==10222
S n 2n +5
，=
T n n +4
求
a 731
=的值。 b 717
解题思路分析
在等差数列{a n }中S 2n+1=(2n+1)a n , 同理T 2n+1=(2n+1)bn 由此可得
a n S 2n +1
不难求得=
b n T 2n +1
a 731= b 717
例4、设等差数列的前n 项和为S n ，已知a 3=12,S 12>0,S 13
(2)指出S 1, S 2, „，S 12中哪一个值最大，并说明理由。 解题思路分析
12⨯11⎧12a +d >0⎪⎪12
(1)利用等差数列的前n 项和的公式，由S 12>0,S 13
13⨯12⎪13a +d
解得-
24
(2)由d0,a 7
例5、已知在数列{a n }中，a 1, a 2, a 3成等差数列，a 2, a 4, a 5成等比数列，a 3, a 4, a 5的倒数成等差数列。证明a 1, a 3, a 5成等差数列。
解题思路分析
由已知得2a 2=a 1+a 3, a 32=a 2²a 4, a 32=a 1a 5≠0
例6、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数。
解题思路分析
211=+, 要证明a 1, a 3 a 5成等差数列，只需证明a 4a 3a 5
(a +d ) 2
根据题设，这四个数可以设为a －d, a , a +d,, 根据题设中的另外的条件列出关于
a
a ,d 的方程组，解得⎨
⎧a =4⎧a =9
或⎨所求四数为0,4,8,16或15,9,3,1 d =4d =-6⎩⎩
11
千克，搅匀后再倒出混合液千克，第二次再注入百分44
例7、已知0
比浓度为p%的溶液
11
千克，搅匀后又倒出混合液千克„„，如此反复进行下去。 44
(1)写出第一次混合液的百分比浓度a 1%；
(2)设第n 次混合后，百分比浓度为a n %，试用a n 表示a n+1; (3)写出a n 的通项公式；
(4)为了使溶液的百分比浓度不低于q%，至少要混合多少次？（lg2≈0.3010） 解题思路分析
由p －r=2(p－q) 得2q=p+r，即q 是p,r 的等差中项。 (1)由题意，a 1%=(2)a n+1%=
1
(p+4r)% 5
11
(p+4a n )%,即a n+1= (p+4a n ) 5541444
(3)由a n+1=a n + p 得a n+1－p= (a n －p) 即{a n -p }是公差为 ，首项为(r－
55555
4
p) 的等比数列， a n =p－(p－r) ²() n
5
4p +r
(4)由p －(p－r)() n ≥q= 得n ≥4, 即至少要混合4次。
52
五、巩固练习
(一) 选择题
1、在等差数列{a n }中，a 2+a 5=19,S 5=40,则a 10为（ ） (A )27 (B)28 (C)29 (D)30 2、在等差数列{a n }中，d=2,a n =11,S n =35,则a 为（ ） (A )5或7 (B)3或5 (C)7或－1 (D)3或－1 3、在等差数列{a n }中，a m =n,a n =m,(m,n∈N+)，则a m+n=( ) (A )mn (B)m－n (C)m+n (D)0
4、等差数列前2n+1项中，奇数项的和与偶数项的和之比是( ) (A )
n +1n n +1n +12
(B) (C) (D) () 2n +1n n
5、等差数列{a n }的公差d
6、记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2n －1=(2n－1)(2n+1),则S n 等于（ ）
(A )n(n+2) (B)
n n
(2n+3) (C)n(2n+3) (D) (2n+1) 22
7、如果一个等差数列中，S 10=100，S 100=10，则S 110=（ ） (A )90 (B)－90 (C)110 (D)－110
8、等差数列{a n }中，公差d=1,若a 1+a 2+a 3+„+a 99=99,则a 3+a 6+a 9+„+a 99等于（ ） (A )99 (B)66 (C)33 (D)0 9、b 2=a c 是a ,b,c 成等比数列的（ ）
(A ) 充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件 10、在等比数列{a n }中，如果a 6=6,a 9=9,那么a 3为（ ） (A )4 (B)
316 (C) (D)2 29
11、公比q ≠1的等比数列{a n }中，若a m =p,则 a m+n为（ ） (A )p ²q n+1 (B)p²q n 1 (C)p²q n (D)p²q m+n1
－
－
12、等比数列{a n }中，已知a 1²a 9=256,a 4+a 6=40的公比q 是（ ） (A ) ±2 (B)±(二) 填空题
13、在等差数列{a n }中，若a 1－a 4－a 8－a 12+a 15=2，则S 15.
14、在数列{a n }中，已知a n =25－2n(n∈N+)那么使其前n 项的和S n 取得最大值的n 值等于 。
15、等差数列{a n }的公差d ≠0，前n 项和为S n , 且S 10=4S 5，则a 1 。
16、等差数列的前m 项和是25，前2m 项和是100，则前3m 项和是。 17、若两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为A n ,B n , 且
111
(C)±2或± (D)2或 222
A n 7n +1
=(n ∈N +) ，B n 4n +27
则
a n
b n
18、等比数列{a n }中，若a 4=5,a 8=6,则a 2a 10, a 6.
19、如果将20，50，100各加上同一个常数能组成一个等比数列，那么这个数列的公比为 。
20、一个等比数列的前三项之和为21，第四项到第六项之和为168，则第七项到第九项之和为 。
(三) 解答题
21、已知A 、B 两地相距1000米，A 地存放电线杆40根，从B 处起，沿A B 方向每隔50米架设一根电线杆，一辆车一次能运4根，全部运完返回A 处，这辆车所运行的全部路是多少千米？
22、已知等差数列{a n }中，a 1=12,d=－2 (1)求S n , 并画出{S n }（1≤n ≤13）的图象；
(2)分别求{S n } 单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n } 的最大值； (3) {S n } 有多少项大于零？
23、已知等比数列{a n } 的a 3=16，且a 1²a 2„²a 10=265, 求{a n }的通项公式与a 6. 24、有4个数a 1, a 2, a 3, a 4, 前3个数成等差数列，后3个数成等比数列，且a 1+a 4, a 2+a 3
是方程x 2－21x+108=0的两根，a 1+a 4>a 2+a 3, 求这4个数。
25、已知数列{a n }的前n 项和S n =
3n (41-n )
，试求数列a n 的前30项的和。 2
高一数学同步辅导教材（第17讲）
一、本讲进度
3.5 等比数列的前n 项和
3.6 研究性课题：分期付款中的有关计算
二、本讲主要内容
1、等比数列前n 项和的公式及其应用； 2、分期付款中的有关计算问题。 三、学习指导
1、要掌握等比数列的前n 项和的公式及其推导方法。
由等比数列定义知道，a n q =a n +1，即等比数列中每一项乘以公比q 以后就是它后面相
邻的一项，因此，当q ≠1时，S n =a 1+a 2+a 3+„+a n 与qS n =a 1q +a 2q +„+a n q 中有n －1项是相同的，彼此相减就可以消去这些相同的项，这是推导等比数列的前n 项的和的基本思路。这种方法也称错位相减法，它是数列求和的基本方法之一。
等比数列的前n 项和的公式为：
⎧na 1(q =1) ⎪
S n =⎨a 1(1-q n )
⎪1-q (q ≠1) ⎩
要全面理解这个公式，它是由公比q =1和q ≠1两种情形构成的，在应用时注意公式的公比条件。
如果{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，那么数列{a n ±b n }的前n 项和等于等差数列{a n }的前n 项和加上或减去等比数列{b n }的前n 项和；数列{a n b n }的前n 项和，可以用推导等比数列前n 项和的公式方法一样的错位相减法化成等比数列的前n 项和。课本第142页第6题、第7题都是这类称为混合数列的求和问题。第7题的结论：
a +a
n n -1
b +a
n -2
a n +1-b n +1
b + +b = (其中n ∈N +,a , b 是不等于零的常数，且a ≠
a -b
2
n
b ) 也称为裴蜀定理。
2、分期付款中的有关计算
这是课本安排的一个研究性课题，是等比数列的前n 项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。难度并不太高，比较贴近生活，要认真阅读课本内容，弄清分期付款的下列意义：
(1)在分期付款中，每月的利息均是按复利计算的； (2)分期付款中规定每期所付的款额相同；
(3)分期付款时，商品售价和每期所付款款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断地增值；
(4)各期所付款额连同最后一次付款时所生的利息和=商品售价及从购买到最后一次付款的利息之和。
四、典型例题分析
例1 在等比数列{a n }中，a 1+a n =66,a 2a n －1=128，且前n 项和S n =126,求n 及公比q 。 解题思路分析
根据等比数列的性质，a 2a n －1=a 1a n ，所以a 1, a n 是方程x 2－66x+128=0的两个根。解得a 1=2,a n =64或a 1=64,a n =2。从而可得n =6,公比q 为2或
1。 2
⎧2n -1(n 为奇数)
例2 在数列{a n }中，a n =⎨n 求数列{a n }的前n 项和S n .
⎩3(n 为偶数)
解题思路分析
要分成偶数项和奇数项之和分别求解。显然求前偶数项和比较简单。
当n =2k(k∈N +)时，a 1, a 3, a 5, „，a 2k －1，„，成等差数列，公有效差为4，首项为1；而
a 2, a 4，„，a 2k ，„成等比数列，公比为
q ，首项为
a 2=9,∴S 2k
n k (1+4k -3) 9(1-9k ) 9
=+=k (2k -1) +(9k -1) . 将k=代入得
221-98
S n =
n 9
(n -1) +(3n -1) 28
当n =2k－1时，由S 2k －1=S 2k －a 2k ，得S n =
n (n +1) 1n +19
+⋅3-. 288
例3 某企业年初有资金1000万元，如果该企业经过生产经营能使年资金平均增长率达到50%，但每年底都要扣除消费基金x 万元，余下资金投入再生产，为实现经过5年资金达到2000万元（扣除消费基金后），那么每年应扣除消费基金多少万元（精确到万元）？
解题思路分析
设逐年扣除消费基金后的资金数组成一个数列{a n }，则
3
－x ； 2
233
a 2=(1000³－x)(1+50%)－x=1000³() 2－(1+)x;
322
33333
依次类推得a 5=1000³() 5－[1++() 2+() 3+() 4]x.
22222
a 1=1000³（1+50%）－x=1000³由题意知： 1000³(
353333
) －[1++() 2+() 3+() 4]x=2000 22222
求数列1，（1+b ）a ,(1+b +b 2) a 2, „，(1+b +b 2+„+b n 1) a n 1, „
－
－
解得x ≈424万元 例4
的前n 项和S n .
解题思路分析
1-b n n -1
a ；当b =1时，a n =na n －1. 首先要弄清这个数列的通项：当b ≠1时，a n =
1-b 1-b n n -11
(a n -1-a n -1b ) 括号中是两个指数函数的差，可见这个数列a =而a n =
1-b 1-b
是由两个等比数列相应项的差组成的，可以先分别求和然后再求差。求和时区分a =1 与a ≠1两种情形.
例5 设数列{a n } 的首项a 1=1,前n 项的和S n 满足关系式3t S n －(2t+3)S n －1=3t(t为常数, 且t>0, n =2,3,4,……)。
(1)求证：数列{a n } 是等比数列；
(2)设{a n } 的公比为f(t)，作数列{b n }，使得b 1=1,b n =f(通项公式。
(3)求和：b 1b 2－b 2b 3+b 3b 4－„+b 2n －1b 2n －b 2n b 2n +1 解题思路分析
(1)求得a 1=S 1=1 S 2=a 1+a 2=1+a 2, 代入关系式，得a 2=3t S n －1－(2t+3)S n －2=3t, 两式相减得3t a n －(2t+3)a n －1=0, ∴
1
) (n =2,3,4,…)，求{b n }的b n -1
2t +3
, 又3t S n －(2t+3)S n －1=3t, 3t
a n 2t +3
=
a n -13t
(2)由f(t)=
2t +31212
=+ 得b n =f() =+b n -1 3t t 3b n -13
由此可得b n =
21
n + 33
(3)原式=b 2(b 1－b 3)+b 4(b 3－b 5)+„+b 2n (b 2n －1－b 2n +1)=
44
-(b 2+b 4+ +b 2n ) =-(2n 2+3n ) 39
例6、从房产公司购买住宅一套，价值22万元。首次付款2万元之后，其余按年分期付款，且每年付款数相同，如果年利率为3%，利息按复利计算，并要求经15年付清购房款的本利和。问每年应付款多少元（精确到1元）？实际付出款总额比一次付款多付多少元？
解题思路分析
由于首付2万元，其余20万元按年分期付款，本题可以看成是贷款20万元，按年分
期偿还的问题。
设每年付款x 元，由题意，得
x+1.03x+1.032x+„+1.0314x=200000³1.0315
解得x ≈16753元（可利用计算器计算）实际付款比一次性付款多付了51295元。 五、巩固练习 (一) 选择题
1、等比数列1, a , a 2, „a n 各项的和为（ ）
1-a n 1-a n +1(A ) (B )
1-a 1-a
⎧1-a n
(a ≠1) ⎪
(C)⎨1-a (D)
⎪n (a =1) ⎩⎧1-a n +1
(a ≠1) ⎪
⎨1-a
⎪n +1(a =1) ⎩
2、若某等比数列中前7项的和为48，前14项的和为60，则前21项的和为（ ） (A )180 (B )108 (C)75 (D)63
3、等比数列{a n }中，若S 4=1,S 8=3,则a 17+a 18+a 19+a 20的值为（ ） (A )20 (B )14 (C)16 (D)18 4、数列9，99，999，9999，„的前n 项和等于（ ）
10
(10n -1) +n (B )10n －1 91010(10n -1) (D) (10n -1) -n (C) 99
(A )
5、数列1，（1+2），（1+2+22），„，（1+2+22+„+2n 1）, „, 的前n 项的和为（ ）
－
(A )2n (B )2n －n (C)n ²2n (D)2n +1－n －2
6、某工厂产值a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起五年内这个工厂的总产值是（ ）
(A )1.14a (B )1.15a (C)10(1.15－1) a (D)11(1.15－1) a 7、某工厂生产总值月平均为p ，则年平均增长率是（ ） (A )p 12 (B )12p (C)(1+p)12 (D)(1+p)12－1 8、如果数列{a n }的前n 项和S n =(A ) 是等差数列而不是等比数列 (B ) 是等比数列而不是等差数列
1n
(3-2n ) (n ∈N +)，那么这个数列（ ） n 2
(C)既是等差数列又是等比数列
(D)既不是等差数列又不是等比数列
9、若数列{a n }前n 项和S n =1+ra n (r≠0,r ≠1，r 为常数) ，则数列的通项公式是（ ）
r n r n -1
(A ) a n =- (B ) a n = (r -1) n +1(1-r ) n
r n -1r n -1
(C) a n =- (D) a n = n n +1(r -1) (1-r )
10、数列{a n }中，a n =
为（ ）
(A )59 (B )60 (C)61 (D)62
(二) 填空题
11、等比数列, -1, 3, 的前10项和为
12、在等比数列{a n }中，若a 5=－8, q =－12n +1+2n -1，若其前n 项和S n =5,则n 131, 则a n =____,S n =____。 2
13、在等比数列{b n }中，若b 6－b 5=567,b 2－b 1=7,则S n =________。
14、已知log 2(S n +1)=n +1,则数列{a n }中通项a n =________.
15、数列a 1q n
S n 16、若等比数列{a n }中，a 4=1,a 7=8,则a 6与a 10的等比中项为 。
(三) 解答题
17、已知数列{a n }的前n 项和为S n =2n 1, 求⎨－－1, a 1q n －2, „，a 1q , a 1,(a 1q ≠0) 的公比为, 前n 项和⎧1⎫⎬的前n 项和。
⎩a n ⎭
18、利用等比数列前n 项和的公式的推导方法，求S n =123n +++ +n 的值。 2482
19、设{a n }是由正数组成的等比数列，它的前n 项和为S n ，试比较log b S n +logb S n +2与 2log b S n +1的大小。
20、某人想贷一笔款，年利率为5%，按复利计息，计划每年偿还1万元，经5年还清，问应贷给他多少元？
21、设{a n }是正数组成的数列，其前n 项和为S n , 并对所有的自然数n , 求数列{a n }的通项公式。 a n +2=2S n , 2