抛物线的三个优美的弦方程
（任勇 中国政法大学刑事司法学院侦查班 102249）
关于抛物线的压轴题在历年高考中屡见不鲜，特别是抛物线的弦和切线问题常被设为考点。首先笔者向读者介绍一个形式优美的弦方程。设抛物线y 2=2px (p >0)上两点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)。求弦AB 的方程解：由于A 、B 均在抛物线上，
⎧y 12=2px 1所以⎨2作差整理得，2p (x 1-x 2)-(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0
⎩y 2=2px 2而AB =(x 1-x 2, y 1-y 2), 于是向量(2p ，-(y 1+y 2))是AB 的法向量设P (x , y )是AB 上任意点，于是=(x -x 1, y -y 1)故2p (x -x 1)-(y 1+y 2)(y -y 1)=0
所以(y 1+y 2)y -2px =(y 1+y 2)y 1-2px 1=y 1y 2+y 12-2px 1=y 1y 2因此弦AB 的方程为y 1y 2=(y 1+y 2)y -2px 这就是我要说的弦方程。接下来谈谈由弦方程推导出切线方程。
固定A , 让B 靠近A , 当A 、B 重合时，弦AB 变为抛物线的切线，方程变为y 12=2y 1y -2px ，即2px 1=2y 1y -2px ，也即y 1y =p (x +x 1)这就是切线(特殊的弦）方程
再接下来我们用切线方程推导出切点弦方程。
过抛物线外一点Q (x 0, y 0)作抛物线的两条切线，切点为A 、B ，用Q 坐标表示出切点弦AB 的方程解：Q 在A 、B 两处的切线上，于是有
⎧y 1y =p (x +x 1)
这表明A 、B 均在直线y 0y =p (x +x 0)上⎨
⎩y 2y =p (x +x 2)
又因为过A 、B 两点有且只有一条直线故切点弦AB 的方程为y 0y =p (x +x 0)
下面通过几个例子来看看这三个方程的伟大之处。
例1已知抛物线y 2=2px (p >0)上两点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，弦AB 恒过焦点F 求证：y 1y 2=-p 2
⎛p ⎫证明：由弦方程得AB :y 1y 2=(y 1+y 2)y -2px 将F , 0⎪代入得y 1y 2=-p 2
⎝2⎭
例2抛物线y 2=2px (p >0)上A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，AB 交y 轴于C (0, y 3)(y 3≠0) 111+=
y 1y 2y 3
证明：将(0, y 3)代入弦方程得，y 1y 2=(y 1+y 2)y 3所以
111
+=y 1y 2y 3
例3抛物线y 2=2px (p >0)上两点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，弦AB 恒过焦点F ，A 、B 两处的切线交于P , 求证：P 恒在抛物线的准线上
⎛p ⎫证明：设P (x 0, y 0)由切点弦方程得AB ：y 0y =p (x +x 0)将F , 0⎪代入得
⎝2⎭
p ⎫p ⎛
0=p x 0+⎪∴x 0=-故P 恒在抛物线的准线上
2⎭2⎝例4抛物线y 2=2px (p >0)上A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两处的切线交于点P (x 0, y 0)
2
求证：(1) y 1+y 2=2y 0x 1x 2=x 0(2) AP 、BP 垂直时，P 在抛物线准线上
证明：(1) 由切点弦方程得AB ：y 0y =p (x +x 0)⎧y 2=2px
消去x ，整理得y 2-2y 0y +2px 0=0⎨
⎩y 0y =p (x +x 0)
所以y 1+y 2=2y 0y 1y 2=2px 0
2
(y y )(2px 0)y 12y 22
x 1x 2==122==x 0
2
2p 2p 4p 4p
2
2
(2) A 、B 处切线方程为y 1y =p (x +x 1)y 2y =p (x +x 2)因AP 、BP 垂直，故p
故P 恒在抛物线的准线上2
例5过抛物线y 2=2px (p >0)上一定点P (x 0, y 0)作两条弦PA 、PB p 2+y 1y 2=0, 所以y 1y 2=-p 2=2px 0∴x 0=-求证：(1) PA 、PB 互相垂直时AB 过定点，并求出该定点
（2）k PA +k PB =0时y 1+y 2=2y 0k AB =-
p
y 0
(1) 证法一：设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)显然PA 、PB 斜率存在且不为零设PA 方程为x -x 0=m (y -y 0)则PB ：x -x 0=-
1
(y -y 0)m
PA 与y 2=2px 联立消去x 得y 2-2pm y +2p (m y 0-x 0) =0
由根与系数关系得y 1+y 0=2pm ∴y 1=2pm -y 0用-
12p 替换m , 得y 2=--y 0m m 将以上两式代入弦AB 方程y 1y 2=(y 1+y 2)y -2px 1⎫⎛22p (y +y 0) m -⎪+4p 2-2y 0y -2px -y 0=0
m ⎝⎭
y =-y 0⎧
2p (y +y 0)=0⎧⎪2
y 由于m 为变量，故⎨2解得⎨02
x =2p +=x 0+2p ⎩4p -2y 0y -2px -y 0=0⎪2p ⎩
∴AB 过定点, 该定点为(x 0+2p ，-y 0)证法二：设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)则PA :y 0y 1=(y 0+y 1)y -2px PB :y 0y 2=(y 0+y 2)y -2px AB :y 1y 2=(y 1+y 2)y -2px
整理得
因为PA ⊥PB 所以（2p , -(y 0+y 1)) ∙（2p , -(y 0+y 2)) =0( 法向量数量积为零）
2结合y 0=2px 0整理成弦AB 方程的形式得
(-y 0)-2p (x +x 0) y 1y 2=（y 1+y 2）
与弦方程比较可知(x +x 0, -y 0) 在弦AB 上, 由于x 0、y 0为定值∴AB 过定点, 该定点为(x 0+2p ，-y 0)(2) 证法一：显然PA 、PB 斜率存在且不为零
设PA :设PA 方程为x -x 0=m (y -y 0)则PB ：x -x 0=-m (y -y 0)PA 与y 2=2px 联立消去x 得y 2-2pm y +2p (m y 0-x 0) =0由根与系数关系得y 1+y 0=2pm ∴y 1=2pm -y 0用-m 替换m , 得y 2=-2pm -y 0故y 1+y 2=-2y 0
证法二：由弦方程得，k PA = k PA =-k PB ∴
2p 2p
k PB =
y 1+y 0y 2+y 0
2p 2p =-∴y 1+y 2=-2y 0
y 1+y 0y 2+y 0
2p p
=-, 得证
y 1+y 2y 0
由弦方程得k AB =
通过比较证法一和二，不难发现弦方程的斜率式比常规设斜率更简单。
例6y 2=2px （p >0）上三点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)、P (x 0, y 0)AB 过焦点F ，PA 、PB 与准线交于M 、N ，纵坐标为y 3、y 4求证：y 3y 4=-p 2证明：PA :y 0y 1=(y 0+y 1)y -2px AB :y 1y 2=(y 1+y 2)y -2px ⎛p ⎫
将F , 0⎪代入AB 得y 1y 2=-p 2
⎝2⎭
y 0y 1-p 2y 0y 2-p 2p
PA 、PB 分别与x =-联立得y 3=y 4=
2y 0+y 1y 0+y 2
y 0y 1-p 2y 0y 2-p 2y 0y 1+y 1y 2y 0y 2+y 1y 2
故y 3y 4===y 1y 2=-p 2
y 0+y 1y 0+y 2y 0+y 1y 0+y 2
总结：从上面几个例子，大家应该熟悉这三个方程巧妙之处了。这三个弦方程对于解决抛物线的弦、切线、切点弦和两切线的交点轨迹问题是非常奏效的。这种神奇效果是先设弦的点斜式，再与抛物线联立结合韦达定理的常规方法所无法达到的。
PB :y 0y 2=(y 0+y 2)y -2px
（收稿日期：2010年12月11日星期六）
抛物线的三个优美的弦方程
（任勇 中国政法大学刑事司法学院侦查班 102249）
关于抛物线的压轴题在历年高考中屡见不鲜，特别是抛物线的弦和切线问题常被设为考点。首先笔者向读者介绍一个形式优美的弦方程。设抛物线y 2=2px (p >0)上两点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)。求弦AB 的方程解：由于A 、B 均在抛物线上，
⎧y 12=2px 1所以⎨2作差整理得，2p (x 1-x 2)-(y 1+y 2)(y 1-y 2)=0
⎩y 2=2px 2而AB =(x 1-x 2, y 1-y 2), 于是向量(2p ，-(y 1+y 2))是AB 的法向量设P (x , y )是AB 上任意点，于是=(x -x 1, y -y 1)故2p (x -x 1)-(y 1+y 2)(y -y 1)=0
所以(y 1+y 2)y -2px =(y 1+y 2)y 1-2px 1=y 1y 2+y 12-2px 1=y 1y 2因此弦AB 的方程为y 1y 2=(y 1+y 2)y -2px 这就是我要说的弦方程。接下来谈谈由弦方程推导出切线方程。
固定A , 让B 靠近A , 当A 、B 重合时，弦AB 变为抛物线的切线，方程变为y 12=2y 1y -2px ，即2px 1=2y 1y -2px ，也即y 1y =p (x +x 1)这就是切线(特殊的弦）方程
再接下来我们用切线方程推导出切点弦方程。
过抛物线外一点Q (x 0, y 0)作抛物线的两条切线，切点为A 、B ，用Q 坐标表示出切点弦AB 的方程解：Q 在A 、B 两处的切线上，于是有
⎧y 1y =p (x +x 1)
这表明A 、B 均在直线y 0y =p (x +x 0)上⎨
⎩y 2y =p (x +x 2)
又因为过A 、B 两点有且只有一条直线故切点弦AB 的方程为y 0y =p (x +x 0)
下面通过几个例子来看看这三个方程的伟大之处。
例1已知抛物线y 2=2px (p >0)上两点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，弦AB 恒过焦点F 求证：y 1y 2=-p 2
⎛p ⎫证明：由弦方程得AB :y 1y 2=(y 1+y 2)y -2px 将F , 0⎪代入得y 1y 2=-p 2
⎝2⎭
例2抛物线y 2=2px (p >0)上A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，AB 交y 轴于C (0, y 3)(y 3≠0) 111+=
y 1y 2y 3
证明：将(0, y 3)代入弦方程得，y 1y 2=(y 1+y 2)y 3所以
111
+=y 1y 2y 3
例3抛物线y 2=2px (p >0)上两点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)，弦AB 恒过焦点F ，A 、B 两处的切线交于P , 求证：P 恒在抛物线的准线上
⎛p ⎫证明：设P (x 0, y 0)由切点弦方程得AB ：y 0y =p (x +x 0)将F , 0⎪代入得
⎝2⎭
p ⎫p ⎛
0=p x 0+⎪∴x 0=-故P 恒在抛物线的准线上
2⎭2⎝例4抛物线y 2=2px (p >0)上A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)两处的切线交于点P (x 0, y 0)
2
求证：(1) y 1+y 2=2y 0x 1x 2=x 0(2) AP 、BP 垂直时，P 在抛物线准线上
证明：(1) 由切点弦方程得AB ：y 0y =p (x +x 0)⎧y 2=2px
消去x ，整理得y 2-2y 0y +2px 0=0⎨
⎩y 0y =p (x +x 0)
所以y 1+y 2=2y 0y 1y 2=2px 0
2
(y y )(2px 0)y 12y 22
x 1x 2==122==x 0
2
2p 2p 4p 4p
2
2
(2) A 、B 处切线方程为y 1y =p (x +x 1)y 2y =p (x +x 2)因AP 、BP 垂直，故p
故P 恒在抛物线的准线上2
例5过抛物线y 2=2px (p >0)上一定点P (x 0, y 0)作两条弦PA 、PB p 2+y 1y 2=0, 所以y 1y 2=-p 2=2px 0∴x 0=-求证：(1) PA 、PB 互相垂直时AB 过定点，并求出该定点
（2）k PA +k PB =0时y 1+y 2=2y 0k AB =-
p
y 0
(1) 证法一：设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)显然PA 、PB 斜率存在且不为零设PA 方程为x -x 0=m (y -y 0)则PB ：x -x 0=-
1
(y -y 0)m
PA 与y 2=2px 联立消去x 得y 2-2pm y +2p (m y 0-x 0) =0
由根与系数关系得y 1+y 0=2pm ∴y 1=2pm -y 0用-
12p 替换m , 得y 2=--y 0m m 将以上两式代入弦AB 方程y 1y 2=(y 1+y 2)y -2px 1⎫⎛22p (y +y 0) m -⎪+4p 2-2y 0y -2px -y 0=0
m ⎝⎭
y =-y 0⎧
2p (y +y 0)=0⎧⎪2
y 由于m 为变量，故⎨2解得⎨02
x =2p +=x 0+2p ⎩4p -2y 0y -2px -y 0=0⎪2p ⎩
∴AB 过定点, 该定点为(x 0+2p ，-y 0)证法二：设A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)则PA :y 0y 1=(y 0+y 1)y -2px PB :y 0y 2=(y 0+y 2)y -2px AB :y 1y 2=(y 1+y 2)y -2px
整理得
因为PA ⊥PB 所以（2p , -(y 0+y 1)) ∙（2p , -(y 0+y 2)) =0( 法向量数量积为零）
2结合y 0=2px 0整理成弦AB 方程的形式得
(-y 0)-2p (x +x 0) y 1y 2=（y 1+y 2）
与弦方程比较可知(x +x 0, -y 0) 在弦AB 上, 由于x 0、y 0为定值∴AB 过定点, 该定点为(x 0+2p ，-y 0)(2) 证法一：显然PA 、PB 斜率存在且不为零
设PA :设PA 方程为x -x 0=m (y -y 0)则PB ：x -x 0=-m (y -y 0)PA 与y 2=2px 联立消去x 得y 2-2pm y +2p (m y 0-x 0) =0由根与系数关系得y 1+y 0=2pm ∴y 1=2pm -y 0用-m 替换m , 得y 2=-2pm -y 0故y 1+y 2=-2y 0
证法二：由弦方程得，k PA = k PA =-k PB ∴
2p 2p
k PB =
y 1+y 0y 2+y 0
2p 2p =-∴y 1+y 2=-2y 0
y 1+y 0y 2+y 0
2p p
=-, 得证
y 1+y 2y 0
由弦方程得k AB =
通过比较证法一和二，不难发现弦方程的斜率式比常规设斜率更简单。
例6y 2=2px （p >0）上三点A (x 1, y 1)、B (x 2, y 2)、P (x 0, y 0)AB 过焦点F ，PA 、PB 与准线交于M 、N ，纵坐标为y 3、y 4求证：y 3y 4=-p 2证明：PA :y 0y 1=(y 0+y 1)y -2px AB :y 1y 2=(y 1+y 2)y -2px ⎛p ⎫
将F , 0⎪代入AB 得y 1y 2=-p 2
⎝2⎭
y 0y 1-p 2y 0y 2-p 2p
PA 、PB 分别与x =-联立得y 3=y 4=
2y 0+y 1y 0+y 2
y 0y 1-p 2y 0y 2-p 2y 0y 1+y 1y 2y 0y 2+y 1y 2
故y 3y 4===y 1y 2=-p 2
y 0+y 1y 0+y 2y 0+y 1y 0+y 2
总结：从上面几个例子，大家应该熟悉这三个方程巧妙之处了。这三个弦方程对于解决抛物线的弦、切线、切点弦和两切线的交点轨迹问题是非常奏效的。这种神奇效果是先设弦的点斜式，再与抛物线联立结合韦达定理的常规方法所无法达到的。
PB :y 0y 2=(y 0+y 2)y -2px
（收稿日期：2010年12月11日星期六）