本科毕业论文（设计）
题 目： 行列式乘法规则的证明方法及其应用
学 生： 学号：
学 院： 数学学院 专业： 数学与应用数学 入学时间： 年 月 日 指导教师： 职称： 完成日期： 年 月 日
诚 信 承 诺
我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《行列式乘法规则的证明方法及其应用》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。
承诺人（签名）：
年 月 日
行列式乘法规则的证明方法及其应用
姓名： 学号： 指导老师：
摘 要：行列式的乘法规则是解决行列式相关问题的重要理论依据。通过对它的学习，有利于我们更好的掌握和运用行列式的解题技巧去解决相关问题。本文首先用三种方法证明了行列式的乘法规则，包括数学归纳法，利用拉普拉斯定理证明和用矩阵分块思想证明，最后，还给出了行列式乘法规则的应用。
关键字：行列式；拉普拉斯定理；分块矩阵
Proof Method of Determinant Multiplication Rule and Its Application
Name : Student Number: Advisor :
Abstract: Determinant of the multiplication rule is the important theoretical basis to solve the problem of determinant associated. Through learning about it, be helpful for our better master and use the determinant problem solving skills to solve related problems. In this paper, using three methods proved determinant of the multiplication rule. Including mathematical induction, the use of Laplace theorem proving and the matrix block .And also gives a few examples.
Key words: determinant; Laplace theorem; partitioned matrix
目 录
1．引言及预备知识 ...................................................... 5 2．行列式乘法规则的证明方法 ............................................ 5
2.1．利用数学归纳法证明 ............................................. 5 2.2．利用拉普拉斯定理证明 ........................................... 9 2.3．利用矩阵分块证明 .............................................. 12 3．行列式乘法规则的应用举例 ........................................... 13 4．结束语 ............................................................. 15 参考文献 .............................................................. 15 致谢 .................................................................. 17
1．引言及预备知识
线性方程组是数学中最基础也是应用最广泛的内容之一，而行列式是解线性方程组的一个基本工具。随着数学的不断发展，行列式的应用已经不仅仅局限于线性代数，在数学分析、解析几何、概率论与数理统计、数学建模等领域都有着广泛的应用。在学习行列式的过程中，它自身的特点和性质是基础中的基础，决定着其它有关内容的掌握程度。当然行列式的计算也是相当重要之内容。由于行列式的计算方法多样，应用灵活，我们要根据题目的具体要求选择简便的方法，使问题解决简单化。
行列式的乘法规则是行列式中最基础也是必须掌握的内容之一，它的应用非常广泛，是解决相关问题的依据。通过对行列式乘法规则的掌握，也有利于我们进一步的理解和应用行列式去探讨其它一些重要问题。本文主要采用数学归法，利用拉普拉斯定理和利用矩阵分块这三种方法完整的证明了行列式乘法规则，同时给出了它们的常见应用。
命题1 （ 行列式的乘法规则）若两个
r 阶行列式
n 11
n 12L n 1r m 11m 12L m 1r N =
n 21n 22L n 2r m 21m 22L m 2r M M M , Μ=
M M M ，
n r 1
n r 2L
n rr
m r 1
m r 2L
m rr
则N 与M 的乘积NM 是一个n 行列式
c 11
c 12 c 1r C =
c 21c 22 c 2r
,
c r 1
c r 2 c rr
其中
r
cik =∑n ij m jk , i , k =1,2, , r .
j =1
2．行列式乘法规则的证明方法 2.1．利用数学归纳法证明
要证明行列式的乘法规则，需先证明以下两个引理： 引理1 证明:
n 11n 12
n 1r 00 0n 21n 22 n 2r 00 0
D =
n r 1n r 2 n rr 00 0
-10
0m 11m 12
m 1r 0-1
0m 21m 22 m 2r
-1
m r 1
m r 2
m rr
n 11n 12 n 1r m 11m 12 m 1r
=
n 21n 22 n 2r m 21m 22 m 2 . r
.
n r 1
n r 2 n rr m r 1
m r 2 m rr
证明 首先我们对r 的个数作数学归纳法。
当r =1时，左边=
n 110-1
m =n 11m 11=右边，故引理结论成立。11
假设当r =k -1时，引理结论成立, 即
n 11 n 1, k -10 0 D =
n k -1,1 n k -1, k -1
0 0-1 0m 11
m 1, k -1
0 -1m
k -1,1 m k -1, k -1
n 11
n 1, k -1m 11
m 1, k -1=
.
.
n k -1,1 n k -1, k -1m k -1,1 m k -1, k -1
现在我们来看当r =k 时，引理结论是否成立。
首先我们按第一行展开，则有
n 11n 12 n 1r 00 0n 21n 22 n 2r 00 0 D =
n r 1n r 2 n rr 00
-10
0m 11m 12 m 1r 0-1
0m 21m 22 m 2r 0
0 -1m r 1
m r 2 m rr
n 22n 23 n 2k 00 0n 32n 33 n 3k 00 0 =n n k 2n k 3 n kk 00 011
-10
0m 11m +
12 m 1k
0-1 0m 21m 22 m 2k
0 -1m k 1m k 2 m kk n 21 n 2, i -1
n 2, i +1 n 2k 0
+(-1)1+i
n n k 1 n k , i -1n k , i +1 n kk 0 1i
-1 00 0m 11 0
-1m k 1 n 21n 22 n 2, k -100 n 31n 32 n 3, k -100
+ +(-1)
1+k
n n k 1n k 2 n k , k -100 1k
-10
0m 11m 12 0-1
0m 21m 22
-1
m k 1
m k 2
0 0m 1k
m kk
00 0m
1k
m 2k m
kk
⎡n 22n 23 n k n 21 n 2n k ⎢i -, 1n i +2, 1
n n n 33k i
=⎢n 1132+ +(-1) 1+n i 1 ⎢
n k 1 n k i , -1n k i +, 1 n kk ⎢
n n n ⎢k 2k 3kk ⎣
n 21n 22
2
+ +(-1) 1+k n 1k
n 31n 32
n k 1n k 2
n 11n 12 n 1r m 11
n 2, k -1⎤m 11m 12 m 1r
⎥
n 3, k -1⎥m 21m 22 m 2r
. ⎥ ⎥
n k , k -1⎥⎦m r 1m r 2 m rr m 12 m 1r
n 21n 22 n 2r m 21m 22 m 2r
=. .
n r 1n r 2 n rr m r 1m r 2 m rr
可见，当r =k 时，引理的结论也成立。 因此根据数学归纳法原理，引理1得证。
引理2 证明:
n 11n 12 n 1r n 21n 22 n 2r D =
-10 0
其中
00 0
00 0
00 0=
c 11c 12 c 1r c 21c 22 c 2r
c r 1c r 2 c rr
,
0 0
00
n r 1n r 2 n rr
-1
m 11m 12 m 1r m 21m 22 m 2r
-1m r 1m r 2 m rr
c ik =∑n ij m jk , i , k =1,2, , r .
j =1
r
证明 首先对D 作以下变换:
第一列乘以m 11，第二列乘以m 21，依此类推，第r 列乘以m r 1，之和加到第r +1列；第一列乘以m 12，第二列乘以m 22，依此类推，第r 列乘以m r 2，之和加到第r +2列；如此下去，第一列乘以m 1, r -1，第二列乘以m 2, r -1，依此类推，第r 列乘以m r , r -1，之和加到第2r -1列；第一列乘以m 1r ，第二列乘以m 2r ，依此类推，第r 列乘以m rr ，之和加到第2r 列，则有
n 11n 21 D =
n r 1-10 0n 11n 21 =n r 1-1000
n 12n 22 n r 20 0n 12n 22 n r 2000
n 1r
∑n
j =1r
r
1j
m j 1m j 1
∑n
j =1r
r
1j
m j 2m j 2
∑n
j =1r
r
1j
m jr m jr
n 2r
∑n
j =1r
2j
∑n
j =1r
2j
∑n
j =1r
2j
m j 1
m j 2
n rr 00 -1n 1r
∑n
j =1
rj
∑n
j =1
rj
∑n
j =1
rj
m jr
00 0c 11c 21 c r 10000
c 12c 22 c r 20000
00 0c 1r c rr 0000,
c 2r
00 0
-1
n 2r
n rr 000-1
-1
然后再依次按r +1行，r +2行, …, 2r -1行展开，则有
n 1r n 2r
原式=
c 11 0
c 12 c 1r 0
=0
c 21c 22 c 2r c r 1c r 2 c rr
c 11
c 12 c 1r
.
c 21c 22 c 2r c r 1c r 2 c rr
n rr -1
因此，由引理1及引理2知行列式的乘法规则成立。 2.2．利用拉普拉斯定理证明 首先需证明以下引理：
引理3 行列式D 的任一子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致。
证明 令M 为行列式D 的任一r 阶子式, M '为M 对应的余子式。令M 展开后
的一般项为
(-1) τ(p 1p 2 p r ) +τ(q 1q 2 q r ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r , （1）
其中p 1, p 2, , p r 为从小到大的行排列，q 1, q 2, , q r 为次序不定的列排列。
再令M '展开后的一般项为
(-1) τ(p r +1p r +2 p n ) +τ(q r +1q r +2 q n ) a p r +1q r +1a p r +2q r +2 a p n q n , （2）
其中q r +1, q r +2, , q n 为从小到大的列排列，p r +1, p r +2, , p n 为次序不定的行排列。又p 1, p 2, , p r , p r +1, p r +2, , p n 与q 1, q 2, , q r , q r +1, q r +2, , q n 都为1,2, , n 的一个排列。
从而将式（1）（2）相乘，得
(-1) τ(p 1p 2 p r ) +τ(q 1q 2 q r ) +τ(p r +1p r +2 p n ) +τ(q r +1q r +2 q n ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n .
显然a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n 为D 展开后的任意项。 再者
τ(p 1p 2 p r )
+τ(p r +1p r +2 p n ) =τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n ) -[(p 1-1) +(p 2-2) + +(p r -r )], （3）
τ(p 1p 2 p r )
我们注意到
+τ(p r +1p r +2 p n ) ≠τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n ) ，
因为p 1, p 2, , p r 中的任意项也会与p r +1, p r +2, , p n 中的任意项构成逆序，产生逆序数。在
p r +1, p r +2, , p n
中能与p 1构成逆序的有p 1-1项，能与p 2构成逆序的
有p 2-2项，依此类推，能与p r 构成逆序的有p r -r 项。所以有（3）式成立。 又由于
τ(q 1q 2 q r ) τ(q r +1q r +2 q n ) =τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) -[(r +1-q r +1) +(r +2-q r +2) + +(n -q n )], （4）
+
我们注意到
τ(q 1q 2 q r )
+τ(q r +1q r +2 q n ) ≠τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) ，
因为q 1, q 2, , q r 中的任意项也与q r +1, q r +2, , q n 中的项构成逆序，产生逆序数。比q r +1项大的有n -q r +1项，而q r +1, q r +2, , q n 中有n -r +1项，所以q 1, q 2, , q r 能与q r +1构成逆序的有(r +1) -q r +1项，同理在q 1, q 2, , q r 中能与q r +2构成逆序的有(r +2) -q r +2项，依此类推，能与q n 构成逆序的有n -q n 项。所以有（4）成立。因此，我们有
τ(p 1p 2 p r ) +τ(q 1q 2 q r ) +τ(p r +1p r +2 p n ) +(q r +1q r +2 q n ) =τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n ) -[(p 1-1) +(p 2-2) + +(p r -r )]+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) -[(r +1-q r +1) +(r +2-q r +2) + +(n -q n )]
=τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) -(p 1+p 2+ +p r -1-2- -r ) -[n (n +1)
-(1+2+ +r ) -
n (n +1)
+(q 1+q 2+ +q r )]
=τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) +2(1+2+ +r ) -(p 1+p 2+ +p r ) -(q 1+q 2+ +q r ).
从而有
(-1) τ(p 1p 2 p r ) +τ(q 1q 2 q r ) +τ(p r +1p r +2 p n ) +τ(q r +1q r +2 q n ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n
=(-1) τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) +2(1+2+ +r ) -(p 1+p 2+ +p r ) -(q 1+q 2+ +q r ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n =(-1)
τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) -(p 1+p 2+ +p r ) -(q 1+q 2+ +q r )
a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n .
即MM '的一般项为
(-1) τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) -(p 1+p 2+ +p r ) -(q 1+q 2+ +q r ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n .
又A =(-1)
(p 1+p 2+ +p r ) +(q 1+q 2+ +q r )
M '为M 的代数余子式。所以MA 的一般项为
(-1) τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n .
这刚好是行列式D 的一般项，所以引理3得证。
定理1 若D 为n 行列式，M 1,M 2, , M t 为D 的取定r 行后得到的子式，
A 1, A 2, , A t 分别为M 1, M 2, , M t 的代数余子式。则有
D =M 1A 1+M 2A 2+ +M t A t .
证明 我们知道M i A i 的每一项就是D 中的一项且有相同的符号。又M i A i 与
M j A j
(i ≠j ) 无公共项，所以只需证明两边项数相同便可得到上式。由于D 的项数
式n ! ，而M i 的项数是r ! ，A i 的项数式(n -r )! ，又
t =C n r =
n !
, r !(n -r )!
所以被证等式右边的项数是t ⋅r ! ⋅(n -r )! =n ! ，故定理1得证。
其实该定理就是拉普拉斯定理的简单叙述，以上也给出了一般的证明方法。拉普
拉斯定理是行列式计算中的一个重要定理，是行列式展开的理论依据，有很多教材都给出了详细证明，例如北大教研组编的《高等代数》，及张禾瑞，郝鈵新编的《高等代数》等。大家可以参见这些资料，来具体学习拉普拉斯定理，在这里也不再做详细说明。
现在来给出行列式乘法规则的第二种证明方法。
证明 首先我们作一个2n 阶的行列式
n 11n 21 D 1=
n k 1p 11p 21 p r 1
n 12n 22 n k 2p 12 p r 2
n 1k n 2k
n kk p 1r p rr
00 0m 11m 21
00 0m 12m 22
00 0 m 1k ，
m 2k
p 22 p 2r
m k 1m k 2 m kk
利用拉普拉斯定理，将D 1按前n 行展开，可见只有左上角的那个n 阶子式不为零，则
n 11
D 1=
n 21 n r 1
n 12 n 1r m 11n 22 n 2r m 21
.
n r 2 n rr m r 1
m 12 m 1r m 22 m 2r
m r 2 m rr
，
这与引理1所得的结果相同。
其实这不是偶然，引理1中的行列式D 是D 1的特例，D 1是D 得一般形式。学过拉普拉斯定理后，类似的行列式都容易计算多了。 再根据引理2即可得到行列式的乘法规则。
2.3．利用矩阵分块证明
下面我们将采用矩阵分块的思想来证明行列式的乘法规则。 证明 首先作一个2n 阶的行列式
n 11n 21 D =
n k 1p 11p 21 p r 1
令
n 12n 22 n k 2p 12p 22
n 1k n kk
00 0m 11m 21 m k 1
00 0m 12m 22
00 0
n 2k
p 1r p 2r p rr
m 12m 22 m r 2
m 1k m 2k
p r 2 m k 2 m kk
p 12 p r 2
p 1r ⎤p 2r ⎥⎥ ⎥. ⎥p rr ⎦
n 12n 22 n r 2
n 1r ⎤⎡m 11
⎢m n 2r ⎥⎥, D =⎢21
⎥2⎢ ⎥⎢
n rr ⎦⎣m r 1
m 1r ⎤⎡p 11
⎢p m 2r ⎥⎥, D =⎢21
⎥3⎢ ⎥⎢
m rr ⎦⎣p r 1
p 22
⎡n 11
⎢n D 1=⎢21
⎢ ⎢⎣n r 1所以
D =
D 1D 3
o D 2
.
根据分块矩阵乘法和拉普拉斯定理，得
D =
D 1D 3
o D 2
=D 1. D 2
.
由此可见利用分块矩阵和拉普拉斯定理组合也可以得到和引理1一样的结果。 再由引理2即可得到行列式的乘法规则。
以上我们采用了三种方法证明了行列式的的乘法规则，分别是数学归纳法，利用拉普拉斯定理证明以及利用矩阵分块证明，下面我们给出其的几个常见应用。 3．行列式乘法规则的应用举例
行列式的的应用非常广泛，以下就行列式乘法规则的应用给出几个典型例题，供大家参考。
例1 计算以下行列式
1y 1
D =
a 1a 2a 3y 12
1y 2b 1b 2b 3y 22
001x 1x 120
001x 2x 220
001x 3x 320
1y 3c 1c 2. c 3y 32
[1**********]0y 1
y 2y 3000y 1y 2y 3000-
a 1b 1c 1111y 22y 2
3解 原式=
b =y 21000a 22c 2x 1x 2x 3a 1b 1c 1111 a 3
b 3
c 3
x 222
1x 2x 3a 2b 2c 2x 1
x 2
x 3
y 21y 22y 23000a 3
b 3
c 3
x 21x 22x 2
31
11
1
11=y y 2y x
1
3. x 12x 3y 2
1y 2
2y 23x 2
1x 2
2x 2
3
=(y 2-y 1)(y 3-y 1)(y 3-y 2)(x 2-x 1)(x 3-x 1)(x 3-x 2).
例2 计算以下行列式
ax +by ax +bz az +by
(1)ay +bz ay +bx ax +bz az +bx az +by ay +bx .
a 0b x
y z x y z 解 原式=a b z
x y =(ab 2+a 2b ) z
x y . 0a b y
z
x
y
z
x
a +c a +c b +c
(2)b +c a +b a +c a +b b +c
a +b
.
a b c 101
a b c
解 原式=c b a . 011=-2c b a .
b a c 110b a c
例3 计算下列行列式
cos 2αcos(α+β) cos(α+γ) D =cos(α+β)
cos 2β
cos(β+γ) .
cos(α+γ)
cos(β+γ) cos 2γcos α
0sin αcos αcos βcos γ解 原式= cos β
0sin β.
00=0.
cos γ
0sin γ-sin α
-sin β
-sin γ
例4 计算以下行列式
a D =
-b -c -d
解 由于
b a d -c
c -d a b
d c -b . a
D 2=DD '
a =-b -c -d
b a d -c
c -d a b
d c a . a b d
2
-b a -d c
2
-c -d d a -b
2
2
-c b a
-b c
a 2+b 2+c 2+d 2=
a +b +c +d
a 2+b 2+c 2+d 2
a 2+b 2+c 2+d 2
=(a 2+b 2+c 2+d 2) 4.
22222
显然D 中a 4的系数为1，所以D 必是正。即D =(a +b +c +d ) .
4．结论
关于行列式乘法规则的详细证明在《高等数学》等教材中所占的篇幅都比较少，甚至都不给予单独说明。对于它的学习一般都是在学习行列式其它内容时才给出一些简单说明。但是我们在做行列式相关问题时，行列式乘法规则是最基础也是最常用的理论之一，所以我们应该自己组织时间进行具体学习。本文运用了三种方法（数学归纳法，利用拉普拉斯定理及矩阵分块思想）论证了行列式的乘法规则，为了让读者能够顺利的理解和领会乘法规则，还给出了一些典型例题。希望读者在学习此理论的同时，也能够很好的掌握它的运用技巧。当然关于行列式乘法规则的证明以及应用远不止这些，由于本人知识有限，在这里不能一一说明面面俱到。
参考文献：
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[9]黎伯堂，刘桂真. 高等代数解题技巧与方法[M]. 济南：山东科学技术出版社，2001. [10]P.Dentoni,M.Sce.Funzioni regolari nell algebra di Cayley,Rend.Sem Mat.Univ. Padova,1998，50（8）：251-267.
致谢
首先由衷的感谢我的导师唐剑老师，感谢老师为我提供了良好的学习条件，营造良好的学习氛围。在这学习的氛围中，我感受到了唐老师严谨治学的态度和学术科研的精神。在大学的四年中，不仅从唐老师身上学到了丰富的专业理论知识，更重要的是他那精益求精的科研态度和高度负责的敬业精神。这对我今后的学习和工作都是笔宝贵的财富。
我还要感谢朝夕相处的室友和每一个同班同学们！
在学习期间，我的家人给了我很大的精神支持，保证我顺利的完成学业。再此，我表示对他们最诚挚的感谢和敬意！
本科毕业论文（设计）
题 目： 行列式乘法规则的证明方法及其应用
学 生： 学号：
学 院： 数学学院 专业： 数学与应用数学 入学时间： 年 月 日 指导教师： 职称： 完成日期： 年 月 日
诚 信 承 诺
我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《行列式乘法规则的证明方法及其应用》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担。
承诺人（签名）：
年 月 日
行列式乘法规则的证明方法及其应用
姓名： 学号： 指导老师：
摘 要：行列式的乘法规则是解决行列式相关问题的重要理论依据。通过对它的学习，有利于我们更好的掌握和运用行列式的解题技巧去解决相关问题。本文首先用三种方法证明了行列式的乘法规则，包括数学归纳法，利用拉普拉斯定理证明和用矩阵分块思想证明，最后，还给出了行列式乘法规则的应用。
关键字：行列式；拉普拉斯定理；分块矩阵
Proof Method of Determinant Multiplication Rule and Its Application
Name : Student Number: Advisor :
Abstract: Determinant of the multiplication rule is the important theoretical basis to solve the problem of determinant associated. Through learning about it, be helpful for our better master and use the determinant problem solving skills to solve related problems. In this paper, using three methods proved determinant of the multiplication rule. Including mathematical induction, the use of Laplace theorem proving and the matrix block .And also gives a few examples.
Key words: determinant; Laplace theorem; partitioned matrix
目 录
1．引言及预备知识 ...................................................... 5 2．行列式乘法规则的证明方法 ............................................ 5
2.1．利用数学归纳法证明 ............................................. 5 2.2．利用拉普拉斯定理证明 ........................................... 9 2.3．利用矩阵分块证明 .............................................. 12 3．行列式乘法规则的应用举例 ........................................... 13 4．结束语 ............................................................. 15 参考文献 .............................................................. 15 致谢 .................................................................. 17
1．引言及预备知识
线性方程组是数学中最基础也是应用最广泛的内容之一，而行列式是解线性方程组的一个基本工具。随着数学的不断发展，行列式的应用已经不仅仅局限于线性代数，在数学分析、解析几何、概率论与数理统计、数学建模等领域都有着广泛的应用。在学习行列式的过程中，它自身的特点和性质是基础中的基础，决定着其它有关内容的掌握程度。当然行列式的计算也是相当重要之内容。由于行列式的计算方法多样，应用灵活，我们要根据题目的具体要求选择简便的方法，使问题解决简单化。
行列式的乘法规则是行列式中最基础也是必须掌握的内容之一，它的应用非常广泛，是解决相关问题的依据。通过对行列式乘法规则的掌握，也有利于我们进一步的理解和应用行列式去探讨其它一些重要问题。本文主要采用数学归法，利用拉普拉斯定理和利用矩阵分块这三种方法完整的证明了行列式乘法规则，同时给出了它们的常见应用。
命题1 （ 行列式的乘法规则）若两个
r 阶行列式
n 11
n 12L n 1r m 11m 12L m 1r N =
n 21n 22L n 2r m 21m 22L m 2r M M M , Μ=
M M M ，
n r 1
n r 2L
n rr
m r 1
m r 2L
m rr
则N 与M 的乘积NM 是一个n 行列式
c 11
c 12 c 1r C =
c 21c 22 c 2r
,
c r 1
c r 2 c rr
其中
r
cik =∑n ij m jk , i , k =1,2, , r .
j =1
2．行列式乘法规则的证明方法 2.1．利用数学归纳法证明
要证明行列式的乘法规则，需先证明以下两个引理： 引理1 证明:
n 11n 12
n 1r 00 0n 21n 22 n 2r 00 0
D =
n r 1n r 2 n rr 00 0
-10
0m 11m 12
m 1r 0-1
0m 21m 22 m 2r
-1
m r 1
m r 2
m rr
n 11n 12 n 1r m 11m 12 m 1r
=
n 21n 22 n 2r m 21m 22 m 2 . r
.
n r 1
n r 2 n rr m r 1
m r 2 m rr
证明 首先我们对r 的个数作数学归纳法。
当r =1时，左边=
n 110-1
m =n 11m 11=右边，故引理结论成立。11
假设当r =k -1时，引理结论成立, 即
n 11 n 1, k -10 0 D =
n k -1,1 n k -1, k -1
0 0-1 0m 11
m 1, k -1
0 -1m
k -1,1 m k -1, k -1
n 11
n 1, k -1m 11
m 1, k -1=
.
.
n k -1,1 n k -1, k -1m k -1,1 m k -1, k -1
现在我们来看当r =k 时，引理结论是否成立。
首先我们按第一行展开，则有
n 11n 12 n 1r 00 0n 21n 22 n 2r 00 0 D =
n r 1n r 2 n rr 00
-10
0m 11m 12 m 1r 0-1
0m 21m 22 m 2r 0
0 -1m r 1
m r 2 m rr
n 22n 23 n 2k 00 0n 32n 33 n 3k 00 0 =n n k 2n k 3 n kk 00 011
-10
0m 11m +
12 m 1k
0-1 0m 21m 22 m 2k
0 -1m k 1m k 2 m kk n 21 n 2, i -1
n 2, i +1 n 2k 0
+(-1)1+i
n n k 1 n k , i -1n k , i +1 n kk 0 1i
-1 00 0m 11 0
-1m k 1 n 21n 22 n 2, k -100 n 31n 32 n 3, k -100
+ +(-1)
1+k
n n k 1n k 2 n k , k -100 1k
-10
0m 11m 12 0-1
0m 21m 22
-1
m k 1
m k 2
0 0m 1k
m kk
00 0m
1k
m 2k m
kk
⎡n 22n 23 n k n 21 n 2n k ⎢i -, 1n i +2, 1
n n n 33k i
=⎢n 1132+ +(-1) 1+n i 1 ⎢
n k 1 n k i , -1n k i +, 1 n kk ⎢
n n n ⎢k 2k 3kk ⎣
n 21n 22
2
+ +(-1) 1+k n 1k
n 31n 32
n k 1n k 2
n 11n 12 n 1r m 11
n 2, k -1⎤m 11m 12 m 1r
⎥
n 3, k -1⎥m 21m 22 m 2r
. ⎥ ⎥
n k , k -1⎥⎦m r 1m r 2 m rr m 12 m 1r
n 21n 22 n 2r m 21m 22 m 2r
=. .
n r 1n r 2 n rr m r 1m r 2 m rr
可见，当r =k 时，引理的结论也成立。 因此根据数学归纳法原理，引理1得证。
引理2 证明:
n 11n 12 n 1r n 21n 22 n 2r D =
-10 0
其中
00 0
00 0
00 0=
c 11c 12 c 1r c 21c 22 c 2r
c r 1c r 2 c rr
,
0 0
00
n r 1n r 2 n rr
-1
m 11m 12 m 1r m 21m 22 m 2r
-1m r 1m r 2 m rr
c ik =∑n ij m jk , i , k =1,2, , r .
j =1
r
证明 首先对D 作以下变换:
第一列乘以m 11，第二列乘以m 21，依此类推，第r 列乘以m r 1，之和加到第r +1列；第一列乘以m 12，第二列乘以m 22，依此类推，第r 列乘以m r 2，之和加到第r +2列；如此下去，第一列乘以m 1, r -1，第二列乘以m 2, r -1，依此类推，第r 列乘以m r , r -1，之和加到第2r -1列；第一列乘以m 1r ，第二列乘以m 2r ，依此类推，第r 列乘以m rr ，之和加到第2r 列，则有
n 11n 21 D =
n r 1-10 0n 11n 21 =n r 1-1000
n 12n 22 n r 20 0n 12n 22 n r 2000
n 1r
∑n
j =1r
r
1j
m j 1m j 1
∑n
j =1r
r
1j
m j 2m j 2
∑n
j =1r
r
1j
m jr m jr
n 2r
∑n
j =1r
2j
∑n
j =1r
2j
∑n
j =1r
2j
m j 1
m j 2
n rr 00 -1n 1r
∑n
j =1
rj
∑n
j =1
rj
∑n
j =1
rj
m jr
00 0c 11c 21 c r 10000
c 12c 22 c r 20000
00 0c 1r c rr 0000,
c 2r
00 0
-1
n 2r
n rr 000-1
-1
然后再依次按r +1行，r +2行, …, 2r -1行展开，则有
n 1r n 2r
原式=
c 11 0
c 12 c 1r 0
=0
c 21c 22 c 2r c r 1c r 2 c rr
c 11
c 12 c 1r
.
c 21c 22 c 2r c r 1c r 2 c rr
n rr -1
因此，由引理1及引理2知行列式的乘法规则成立。 2.2．利用拉普拉斯定理证明 首先需证明以下引理：
引理3 行列式D 的任一子式M 与它的代数余子式A 的乘积中的每一项都是行列式D 的展开式中的一项，而且符号也一致。
证明 令M 为行列式D 的任一r 阶子式, M '为M 对应的余子式。令M 展开后
的一般项为
(-1) τ(p 1p 2 p r ) +τ(q 1q 2 q r ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r , （1）
其中p 1, p 2, , p r 为从小到大的行排列，q 1, q 2, , q r 为次序不定的列排列。
再令M '展开后的一般项为
(-1) τ(p r +1p r +2 p n ) +τ(q r +1q r +2 q n ) a p r +1q r +1a p r +2q r +2 a p n q n , （2）
其中q r +1, q r +2, , q n 为从小到大的列排列，p r +1, p r +2, , p n 为次序不定的行排列。又p 1, p 2, , p r , p r +1, p r +2, , p n 与q 1, q 2, , q r , q r +1, q r +2, , q n 都为1,2, , n 的一个排列。
从而将式（1）（2）相乘，得
(-1) τ(p 1p 2 p r ) +τ(q 1q 2 q r ) +τ(p r +1p r +2 p n ) +τ(q r +1q r +2 q n ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n .
显然a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n 为D 展开后的任意项。 再者
τ(p 1p 2 p r )
+τ(p r +1p r +2 p n ) =τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n ) -[(p 1-1) +(p 2-2) + +(p r -r )], （3）
τ(p 1p 2 p r )
我们注意到
+τ(p r +1p r +2 p n ) ≠τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n ) ，
因为p 1, p 2, , p r 中的任意项也会与p r +1, p r +2, , p n 中的任意项构成逆序，产生逆序数。在
p r +1, p r +2, , p n
中能与p 1构成逆序的有p 1-1项，能与p 2构成逆序的
有p 2-2项，依此类推，能与p r 构成逆序的有p r -r 项。所以有（3）式成立。 又由于
τ(q 1q 2 q r ) τ(q r +1q r +2 q n ) =τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) -[(r +1-q r +1) +(r +2-q r +2) + +(n -q n )], （4）
+
我们注意到
τ(q 1q 2 q r )
+τ(q r +1q r +2 q n ) ≠τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) ，
因为q 1, q 2, , q r 中的任意项也与q r +1, q r +2, , q n 中的项构成逆序，产生逆序数。比q r +1项大的有n -q r +1项，而q r +1, q r +2, , q n 中有n -r +1项，所以q 1, q 2, , q r 能与q r +1构成逆序的有(r +1) -q r +1项，同理在q 1, q 2, , q r 中能与q r +2构成逆序的有(r +2) -q r +2项，依此类推，能与q n 构成逆序的有n -q n 项。所以有（4）成立。因此，我们有
τ(p 1p 2 p r ) +τ(q 1q 2 q r ) +τ(p r +1p r +2 p n ) +(q r +1q r +2 q n ) =τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n ) -[(p 1-1) +(p 2-2) + +(p r -r )]+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) -[(r +1-q r +1) +(r +2-q r +2) + +(n -q n )]
=τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) -(p 1+p 2+ +p r -1-2- -r ) -[n (n +1)
-(1+2+ +r ) -
n (n +1)
+(q 1+q 2+ +q r )]
=τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) +2(1+2+ +r ) -(p 1+p 2+ +p r ) -(q 1+q 2+ +q r ).
从而有
(-1) τ(p 1p 2 p r ) +τ(q 1q 2 q r ) +τ(p r +1p r +2 p n ) +τ(q r +1q r +2 q n ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n
=(-1) τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) +2(1+2+ +r ) -(p 1+p 2+ +p r ) -(q 1+q 2+ +q r ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n =(-1)
τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) -(p 1+p 2+ +p r ) -(q 1+q 2+ +q r )
a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n .
即MM '的一般项为
(-1) τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) -(p 1+p 2+ +p r ) -(q 1+q 2+ +q r ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n .
又A =(-1)
(p 1+p 2+ +p r ) +(q 1+q 2+ +q r )
M '为M 的代数余子式。所以MA 的一般项为
(-1) τ(p 1p 2 p r p r +1p r +2 p n )+τ(q 1q 2 q r q r +1 q n ) a p 1q 1a p 2q 2 a p r q r a p r +1q r +1 a p n q n .
这刚好是行列式D 的一般项，所以引理3得证。
定理1 若D 为n 行列式，M 1,M 2, , M t 为D 的取定r 行后得到的子式，
A 1, A 2, , A t 分别为M 1, M 2, , M t 的代数余子式。则有
D =M 1A 1+M 2A 2+ +M t A t .
证明 我们知道M i A i 的每一项就是D 中的一项且有相同的符号。又M i A i 与
M j A j
(i ≠j ) 无公共项，所以只需证明两边项数相同便可得到上式。由于D 的项数
式n ! ，而M i 的项数是r ! ，A i 的项数式(n -r )! ，又
t =C n r =
n !
, r !(n -r )!
所以被证等式右边的项数是t ⋅r ! ⋅(n -r )! =n ! ，故定理1得证。
其实该定理就是拉普拉斯定理的简单叙述，以上也给出了一般的证明方法。拉普
拉斯定理是行列式计算中的一个重要定理，是行列式展开的理论依据，有很多教材都给出了详细证明，例如北大教研组编的《高等代数》，及张禾瑞，郝鈵新编的《高等代数》等。大家可以参见这些资料，来具体学习拉普拉斯定理，在这里也不再做详细说明。
现在来给出行列式乘法规则的第二种证明方法。
证明 首先我们作一个2n 阶的行列式
n 11n 21 D 1=
n k 1p 11p 21 p r 1
n 12n 22 n k 2p 12 p r 2
n 1k n 2k
n kk p 1r p rr
00 0m 11m 21
00 0m 12m 22
00 0 m 1k ，
m 2k
p 22 p 2r
m k 1m k 2 m kk
利用拉普拉斯定理，将D 1按前n 行展开，可见只有左上角的那个n 阶子式不为零，则
n 11
D 1=
n 21 n r 1
n 12 n 1r m 11n 22 n 2r m 21
.
n r 2 n rr m r 1
m 12 m 1r m 22 m 2r
m r 2 m rr
，
这与引理1所得的结果相同。
其实这不是偶然，引理1中的行列式D 是D 1的特例，D 1是D 得一般形式。学过拉普拉斯定理后，类似的行列式都容易计算多了。 再根据引理2即可得到行列式的乘法规则。
2.3．利用矩阵分块证明
下面我们将采用矩阵分块的思想来证明行列式的乘法规则。 证明 首先作一个2n 阶的行列式
n 11n 21 D =
n k 1p 11p 21 p r 1
令
n 12n 22 n k 2p 12p 22
n 1k n kk
00 0m 11m 21 m k 1
00 0m 12m 22
00 0
n 2k
p 1r p 2r p rr
m 12m 22 m r 2
m 1k m 2k
p r 2 m k 2 m kk
p 12 p r 2
p 1r ⎤p 2r ⎥⎥ ⎥. ⎥p rr ⎦
n 12n 22 n r 2
n 1r ⎤⎡m 11
⎢m n 2r ⎥⎥, D =⎢21
⎥2⎢ ⎥⎢
n rr ⎦⎣m r 1
m 1r ⎤⎡p 11
⎢p m 2r ⎥⎥, D =⎢21
⎥3⎢ ⎥⎢
m rr ⎦⎣p r 1
p 22
⎡n 11
⎢n D 1=⎢21
⎢ ⎢⎣n r 1所以
D =
D 1D 3
o D 2
.
根据分块矩阵乘法和拉普拉斯定理，得
D =
D 1D 3
o D 2
=D 1. D 2
.
由此可见利用分块矩阵和拉普拉斯定理组合也可以得到和引理1一样的结果。 再由引理2即可得到行列式的乘法规则。
以上我们采用了三种方法证明了行列式的的乘法规则，分别是数学归纳法，利用拉普拉斯定理证明以及利用矩阵分块证明，下面我们给出其的几个常见应用。 3．行列式乘法规则的应用举例
行列式的的应用非常广泛，以下就行列式乘法规则的应用给出几个典型例题，供大家参考。
例1 计算以下行列式
1y 1
D =
a 1a 2a 3y 12
1y 2b 1b 2b 3y 22
001x 1x 120
001x 2x 220
001x 3x 320
1y 3c 1c 2. c 3y 32
[1**********]0y 1
y 2y 3000y 1y 2y 3000-
a 1b 1c 1111y 22y 2
3解 原式=
b =y 21000a 22c 2x 1x 2x 3a 1b 1c 1111 a 3
b 3
c 3
x 222
1x 2x 3a 2b 2c 2x 1
x 2
x 3
y 21y 22y 23000a 3
b 3
c 3
x 21x 22x 2
31
11
1
11=y y 2y x
1
3. x 12x 3y 2
1y 2
2y 23x 2
1x 2
2x 2
3
=(y 2-y 1)(y 3-y 1)(y 3-y 2)(x 2-x 1)(x 3-x 1)(x 3-x 2).
例2 计算以下行列式
ax +by ax +bz az +by
(1)ay +bz ay +bx ax +bz az +bx az +by ay +bx .
a 0b x
y z x y z 解 原式=a b z
x y =(ab 2+a 2b ) z
x y . 0a b y
z
x
y
z
x
a +c a +c b +c
(2)b +c a +b a +c a +b b +c
a +b
.
a b c 101
a b c
解 原式=c b a . 011=-2c b a .
b a c 110b a c
例3 计算下列行列式
cos 2αcos(α+β) cos(α+γ) D =cos(α+β)
cos 2β
cos(β+γ) .
cos(α+γ)
cos(β+γ) cos 2γcos α
0sin αcos αcos βcos γ解 原式= cos β
0sin β.
00=0.
cos γ
0sin γ-sin α
-sin β
-sin γ
例4 计算以下行列式
a D =
-b -c -d
解 由于
b a d -c
c -d a b
d c -b . a
D 2=DD '
a =-b -c -d
b a d -c
c -d a b
d c a . a b d
2
-b a -d c
2
-c -d d a -b
2
2
-c b a
-b c
a 2+b 2+c 2+d 2=
a +b +c +d
a 2+b 2+c 2+d 2
a 2+b 2+c 2+d 2
=(a 2+b 2+c 2+d 2) 4.
22222
显然D 中a 4的系数为1，所以D 必是正。即D =(a +b +c +d ) .
4．结论
关于行列式乘法规则的详细证明在《高等数学》等教材中所占的篇幅都比较少，甚至都不给予单独说明。对于它的学习一般都是在学习行列式其它内容时才给出一些简单说明。但是我们在做行列式相关问题时，行列式乘法规则是最基础也是最常用的理论之一，所以我们应该自己组织时间进行具体学习。本文运用了三种方法（数学归纳法，利用拉普拉斯定理及矩阵分块思想）论证了行列式的乘法规则，为了让读者能够顺利的理解和领会乘法规则，还给出了一些典型例题。希望读者在学习此理论的同时，也能够很好的掌握它的运用技巧。当然关于行列式乘法规则的证明以及应用远不止这些，由于本人知识有限，在这里不能一一说明面面俱到。
参考文献：
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致谢
首先由衷的感谢我的导师唐剑老师，感谢老师为我提供了良好的学习条件，营造良好的学习氛围。在这学习的氛围中，我感受到了唐老师严谨治学的态度和学术科研的精神。在大学的四年中，不仅从唐老师身上学到了丰富的专业理论知识，更重要的是他那精益求精的科研态度和高度负责的敬业精神。这对我今后的学习和工作都是笔宝贵的财富。
我还要感谢朝夕相处的室友和每一个同班同学们！
在学习期间，我的家人给了我很大的精神支持，保证我顺利的完成学业。再此，我表示对他们最诚挚的感谢和敬意！