第五章矩阵的特征值与特征向量

第五章 矩阵的特征值与特征向量

5.1矩阵的特征值与特征向量

5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念

设A是n阶矩阵，若存在数及非零的n维列向量，使得：A(0)成立，则称是矩阵A的特征值，称非零向量是矩阵A属于特征值的特征向量.

5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法

把定义公式A改写为EA0,即是齐次方程组EAx0的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：EA0.

所以可以通过EA0求出所有特征值，然后对每一个特征值，分别求出齐

i

次方程组iEAx0的一个基础解系，进而再求得通解.

324



【例5.1】求A262的特征值和特征向量.

423

3

解：根据EA

24

24

2720，22. 可得17，3

2

6

2

424

当7时，7EA212

424212

000

所以7EAx0的一个基础解系，

000

为：则相应的特征向量为k11k22，其中k1,k2是11,2,0T,21,0,1T，任意常数且k1,k20,0.

452



当2时，2EA282

254

T

141

021，所以2EAx0的000

一个基础解系为32,1,2，则相应的特征向量为k33，其中k3是任意常数且

k30.

5.1.3矩阵的特征值与特征向量的性质

(1)特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的积等于A； (2)n阶矩阵A和AT有相同的特征值；

(3)若是矩阵A的特征值，则对任何正整数k，k是Ak的特征值；

(4)属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当是矩阵A的k重特征值

i时，矩阵A属于的线性无关的特征向量的个数不超过k个.

i5.2相似矩阵

5.2.1相似矩阵的概念

设A，B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P,使P1APB,则称矩阵A和B相似，记为A~B.

5.2.2相似矩阵的性质 若A~B,则：

(1)A，B有相同的特征值；

证：由于A与B相似，所以必有可逆矩阵，使P1APB，

1111

那么EBPEPPAPPEAPPEAPEA.

所以A，B有相同的特征值. (2)AB； (3)AB；

(4)相似矩阵都可逆或都不可逆，当它们可逆时，它的逆矩阵一定相似； (5)AT~BT；

(6)当B~C时，A~C. 5.3矩阵的相似对角化

5.3.1矩阵可相似对角化的概念

如果n阶矩阵A与对角矩阵相似，则称A可以相似对角化，记为A~，并称

是A的相似标准型.

5.3.2矩阵可相似对角化的性质

(1)n阶矩阵A可相似对角化的充要条件为： ①矩阵A有n个线性无关的特征向量；

②每个ki(ki1)重特征值i对应ki个线性无关的特征向量.；

1

1

(2)设可逆矩阵P1,2,,n，且PAP



2



，则列向量是

i



n

矩阵A属于特征值i的特征向量. 5.3.3实对称矩阵的特征 (1)实对称矩阵必可对角化；

(2)特征值全是实数，特征向量都是实数； (3)不同特征值的特征向量互相正交；

证：设1，2是对称矩阵A的两个特征值，P1，P2是对应的特征向量,则：

1P1Ap1，2P2Ap2，12.

因为A对称，即AAT，

TTTTTTTT

所以1P2P2A， 11P1AP1P1AP1A,同理2P

TTTT于是1PPPAPPPP121212221P2， T所以12P1P20,

T

PP又因为12,所以P1P20，则1和2正交.

122

4【例5.2】设矩阵A2a的特征值有重根，试求正交矩阵Q,使422

QTAQ为对角形.

2

解：EA23a3a200，



由于23a3a20k2，所以只能2是特征重根， 于是必有2使得23a3a200成立， 即：2223a3a200，得a2， 从而得到矩阵A的特征值122，37.

22122100044对于2，由2EAx0，2EA2， 244000

所以得到线性无关的特征向量12,1,0T，22,0,1T. 用Schmidt正交化方法先正交化，有：

112,1,0,22

T

2,112,4,5T

.

1,115

再将1，2单位化，得：

1

11

2,1,0T,2212,4,5T. 

123822254

1对于7，由7EAx0，7EA25401， 024500

所以得到特征向量31,2,2，单位化为：3

T

31T

1,2,2. 33

2

51

那么，令Q1,2,3

0

235435535

132

， 323

2T1

则有QAQQAQ2.

7

第五章 矩阵的特征值与特征向量

5.1矩阵的特征值与特征向量

5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念

设A是n阶矩阵，若存在数及非零的n维列向量，使得：A(0)成立，则称是矩阵A的特征值，称非零向量是矩阵A属于特征值的特征向量.

5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法

把定义公式A改写为EA0,即是齐次方程组EAx0的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得：EA0.

所以可以通过EA0求出所有特征值，然后对每一个特征值，分别求出齐

i

次方程组iEAx0的一个基础解系，进而再求得通解.

324



【例5.1】求A262的特征值和特征向量.

423

3

解：根据EA

24

24

2720，22. 可得17，3

2

6

2

424

当7时，7EA212

424212

000

所以7EAx0的一个基础解系，

000

为：则相应的特征向量为k11k22，其中k1,k2是11,2,0T,21,0,1T，任意常数且k1,k20,0.

452



当2时，2EA282

254

T

141

021，所以2EAx0的000

一个基础解系为32,1,2，则相应的特征向量为k33，其中k3是任意常数且

k30.

5.1.3矩阵的特征值与特征向量的性质

(1)特征值的和等于矩阵主对角线上元素之和，特征值的积等于A； (2)n阶矩阵A和AT有相同的特征值；

(3)若是矩阵A的特征值，则对任何正整数k，k是Ak的特征值；

(4)属于不同特征值的特征向量是线性无关的，并且当是矩阵A的k重特征值

i时，矩阵A属于的线性无关的特征向量的个数不超过k个.

i5.2相似矩阵

5.2.1相似矩阵的概念

设A，B是n阶矩阵，如存在可逆矩阵P,使P1APB,则称矩阵A和B相似，记为A~B.

5.2.2相似矩阵的性质 若A~B,则：

(1)A，B有相同的特征值；

证：由于A与B相似，所以必有可逆矩阵，使P1APB，

1111

那么EBPEPPAPPEAPPEAPEA.

所以A，B有相同的特征值. (2)AB； (3)AB；

(4)相似矩阵都可逆或都不可逆，当它们可逆时，它的逆矩阵一定相似； (5)AT~BT；

(6)当B~C时，A~C. 5.3矩阵的相似对角化

5.3.1矩阵可相似对角化的概念

如果n阶矩阵A与对角矩阵相似，则称A可以相似对角化，记为A~，并称

是A的相似标准型.

5.3.2矩阵可相似对角化的性质

(1)n阶矩阵A可相似对角化的充要条件为： ①矩阵A有n个线性无关的特征向量；

②每个ki(ki1)重特征值i对应ki个线性无关的特征向量.；

1

1

(2)设可逆矩阵P1,2,,n，且PAP



2



，则列向量是

i



n

矩阵A属于特征值i的特征向量. 5.3.3实对称矩阵的特征 (1)实对称矩阵必可对角化；

(2)特征值全是实数，特征向量都是实数； (3)不同特征值的特征向量互相正交；

证：设1，2是对称矩阵A的两个特征值，P1，P2是对应的特征向量,则：

1P1Ap1，2P2Ap2，12.

因为A对称，即AAT，

TTTTTTTT

所以1P2P2A， 11P1AP1P1AP1A,同理2P

TTTT于是1PPPAPPPP121212221P2， T所以12P1P20,

T

PP又因为12,所以P1P20，则1和2正交.

122

4【例5.2】设矩阵A2a的特征值有重根，试求正交矩阵Q,使422

QTAQ为对角形.

2

解：EA23a3a200，



由于23a3a20k2，所以只能2是特征重根， 于是必有2使得23a3a200成立， 即：2223a3a200，得a2， 从而得到矩阵A的特征值122，37.

22122100044对于2，由2EAx0，2EA2， 244000

所以得到线性无关的特征向量12,1,0T，22,0,1T. 用Schmidt正交化方法先正交化，有：

112,1,0,22

T

2,112,4,5T

.

1,115

再将1，2单位化，得：

1

11

2,1,0T,2212,4,5T. 

123822254

1对于7，由7EAx0，7EA25401， 024500

所以得到特征向量31,2,2，单位化为：3

T

31T

1,2,2. 33

2

51

那么，令Q1,2,3

0

235435535

132

， 323

2T1

则有QAQQAQ2.

7