2015广东省数学中考真题(解析版)

2015年广东省初中毕业生学业考试

数 学

一、选择题 1.

2

A.2 B.2 C.

1 2

D.

1 2

【答案】A.

【解析】由绝对值的意义可得，答案为A。

2. 据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014吨，将13 573 000用科学记数法表示为

A.1.3573106 B.1.3573107 C.1.3573108 109 【答案】B.

n

【解析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 13 573 000=1.3573107；

3. 一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是

A.2 B.4 D.6 【答案】B.

【解析】由小到大排列，得：2，2，4，5，64，选B。 4. 如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是

A.75° B.55° C.40° D.35° 【答案】

C.

【解析 753＝40°，选C。

5. 的是

A.矩形 B.平行四边形 C.正五边形 D.正三角形 【答案】A.

【解析】平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。

6.

(4x)2

A.8x2 【答案】D.

22

B.8x2 C.16x2 D.16x2

（-4）x＝16x2 【解析】原式＝

7. 在0，2，(3)0，5这四个数中，最大的数是

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A.0

B.2

C.(3)0

D.5

【答案】B.

【解析】（－3）0＝1，所以，最大的数为2，选B。

9

8. 若关于x的方程x2xa0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

4A.a≥2 【答案】C.

B.a≤2

C.a＞2

D.a＜2

【解析】△＝1－4（a

9

）＞0，即1＋4a－9＞0，所以，a＞24

9. 如题9图，某数学兴趣小组将边长为3

为半径

的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形A.6

B.7

【答案】D.

【解析】显然弧长为BC＋CD的长，即为6

10. 如题10图，已知正△ABC的边长为2，E=CG，设 △EFG的面积为y，AE的长为x，则y

【解析ABC的边长为2， 故

三个三角形全等． 在△

则S

△AEG

3

故y=S

△ABC

-3S

△AEG

x（2-x（3x 2 -6x+4）． 故可得其图象为二次函数，且开口向上，选D。

二、填空题

11. 正五边形的外角和等于（度）. 【答案】360.

【解析】n边形的外角和都等于360度。

12. 如题12图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

【答案】

6.

【解析】三角形ABC为等边三角形。

32

13. 分式方程 . 的解是

x1x

【答案】x2.

【解析】去分母，得：3x＝2x＋2，解得：x＝2

14. 若两个相似三角形的周长比为2：3【答案】4：9.

【解析12345

15. 观察下列一组数：，，，，

35791110

. 21

【答案】

【解析

16. 如题16图，△ABC三边的中线AD，BE，是

【S△B质，可得AG=2GD，则1211

，∴阴影部分的面积为4；其实图中12S2A△BABD

2326

BC

.

17. 解方程：x23x20.

【解析】(x1)(x2)0

∴x10或x20 ∴x11，x22

x1

(1)，其中x1. 2

x1x1xx1

【解析】原式= 

(x1)(x1)x18. 先化简，再求值：

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=

1

x1

当x1时，原式

19. 如题19图，已知锐角△ABC.

(1) 过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

3

(2) 在(1)条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长.

4【解析】(1) 如图所示，MN为所作；

(2) 在Rt△ABD中，tan∠BAD=

∴

AD3

， BD4

BD3

， 44

∴BD=3，

∴DC=AD﹣BD=5﹣3=2.

四、解答题（二）

20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，1，2，3的 卡片上 能结果，题 20(1) 补全小明同学所画的树状图；

(2)

.

【解析

4种21. E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延

(1) (2) 求BG的长.

【解析】(1) ∵四边形ABCD

是正方形，

∴∠B=∠D=90°，AD=AB， 由折叠的性质可知

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AD=AF，∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFG=90°，AB=AF， ∴∠AFG=∠B， 又AG=AG，

∴△ABG≌△AFG； (2) ∵△ABG≌△AFG，

∴BG=FG，

设BG=FG=x，则GC=6x, ∵E为CD的中点， ∴CF=EF=DE=3， ∴EG=x3，

∴32(6x)2(x3)2，

解得x2， ∴BG=2.

22. 某电器商场销售A，B30元，40元. 商场销售5 台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售3台B型号计算器，可获利润 120元.

(1) 求商场销售A，B(利润=销售价格﹣进货价格） (2) 商场准备用不多于2500元的资金购进A，B70台，问最少需要购进A型号的 计算器多少台？

【解析】(1) 设A，Bxy元，得：

x=42,y=56， 42元，56元； 台，得

30台.

五23.

0)的图象与直线y3x相交于点C，过直线上点A(1，

3)作 ABD，且AB=3BD.

(1) (2) 求点C的坐标；

(3) 在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD，求点M的坐标.

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【解析】(1) ∵A(1，3)，

∴OB=1，AB=3， 又AB=3BD， ∴BD=1， ∴B(1，1)， ∴k111；

(2) 由(1)知反比例函数的解析式为y

1， x

y3x

xx

解方程组或

1，得

yyx



； (3) 如图，作点D关于y

轴对称点E.

设直线CE的解析式为ykxb∴点C的坐标为bk3kb1

∴直线CE的解析式为y

当x=0时，y=2， 的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接24. ⊙AG，

(1) (2) 边形；

(3) AB.

BAC的度数；

DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥

PC， 【解析】(1) ∵AB为⊙O直径，BP

∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，

∵D为OP的中点，

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11

∴OD=OPOB，

22∴cos∠BOD=

OD1

， OB2

∴∠BOD=60°， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ODB， ∴AC∥PG，

∴∠BAC=∠BOD=60°； (2) 由（1）知，CD=BD，

∵∠BDP=∠CDK，DK=DP， ∴△PDB≌△CDK，

∴CK=BP，∠OPB=∠CKD， ∵∠AOG=∠BOP， ∴AG=BP， ∴AG=CK ∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP， 又∠G=∠OBP， ∴AG∥CK，

∴四边形AGCK是平行四边形； (3) ∵CE=PE，CD=BD，

∴DE∥PB，即DH∥PB ∵∠G=∠OPB， ∴PB∥AG， ∴DH∥AG，∴∠OAG= ∵OA=OG， ， ，

=∠HOP，OB=OP， OBD≌△HOP，

∴∠OHP=∠ODB=90°， ∴PH⊥AB.

25. 如题25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm.

(1) 填空：ADcm)，DC(cm)；

(2) 点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C →B的方向运动，当N点运动 到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点 运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；

(3) 在(2)的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过

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程中，

△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值.

(参考数据：sin75°

，sin15°

)

【解析

· 当x时，y.

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2015年广东省初中毕业生学业考试

数 学

一、选择题 1.

2

A.2 B.2 C.

1 2

D.

1 2

【答案】A.

【解析】由绝对值的意义可得，答案为A。

2. 据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014吨，将13 573 000用科学记数法表示为

A.1.3573106 B.1.3573107 C.1.3573108 109 【答案】B.

n

【解析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n 13 573 000=1.3573107；

3. 一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是

A.2 B.4 D.6 【答案】B.

【解析】由小到大排列，得：2，2，4，5，64，选B。 4. 如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是

A.75° B.55° C.40° D.35° 【答案】

C.

【解析 753＝40°，选C。

5. 的是

A.矩形 B.平行四边形 C.正五边形 D.正三角形 【答案】A.

【解析】平行四边形只是中心对称图形，正五边形、正三角形只是轴对称图形，只有矩形符合。

6.

(4x)2

A.8x2 【答案】D.

22

B.8x2 C.16x2 D.16x2

（-4）x＝16x2 【解析】原式＝

7. 在0，2，(3)0，5这四个数中，最大的数是

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A.0

B.2

C.(3)0

D.5

【答案】B.

【解析】（－3）0＝1，所以，最大的数为2，选B。

9

8. 若关于x的方程x2xa0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是

4A.a≥2 【答案】C.

B.a≤2

C.a＞2

D.a＜2

【解析】△＝1－4（a

9

）＞0，即1＋4a－9＞0，所以，a＞24

9. 如题9图，某数学兴趣小组将边长为3

为半径

的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形A.6

B.7

【答案】D.

【解析】显然弧长为BC＋CD的长，即为6

10. 如题10图，已知正△ABC的边长为2，E=CG，设 △EFG的面积为y，AE的长为x，则y

【解析ABC的边长为2， 故

三个三角形全等． 在△

则S

△AEG

3

故y=S

△ABC

-3S

△AEG

x（2-x（3x 2 -6x+4）． 故可得其图象为二次函数，且开口向上，选D。

二、填空题

11. 正五边形的外角和等于（度）. 【答案】360.

【解析】n边形的外角和都等于360度。

12. 如题12图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC的长是新课标第一网系列资料 www.xkb1.com

【答案】

6.

【解析】三角形ABC为等边三角形。

32

13. 分式方程 . 的解是

x1x

【答案】x2.

【解析】去分母，得：3x＝2x＋2，解得：x＝2

14. 若两个相似三角形的周长比为2：3【答案】4：9.

【解析12345

15. 观察下列一组数：，，，，

35791110

. 21

【答案】

【解析

16. 如题16图，△ABC三边的中线AD，BE，是

【S△B质，可得AG=2GD，则1211

，∴阴影部分的面积为4；其实图中12S2A△BABD

2326

BC

.

17. 解方程：x23x20.

【解析】(x1)(x2)0

∴x10或x20 ∴x11，x22

x1

(1)，其中x1. 2

x1x1xx1

【解析】原式= 

(x1)(x1)x18. 先化简，再求值：

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=

1

x1

当x1时，原式

19. 如题19图，已知锐角△ABC.

(1) 过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

3

(2) 在(1)条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长.

4【解析】(1) 如图所示，MN为所作；

(2) 在Rt△ABD中，tan∠BAD=

∴

AD3

， BD4

BD3

， 44

∴BD=3，

∴DC=AD﹣BD=5﹣3=2.

四、解答题（二）

20. 老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，1，2，3的 卡片上 能结果，题 20(1) 补全小明同学所画的树状图；

(2)

.

【解析

4种21. E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延

(1) (2) 求BG的长.

【解析】(1) ∵四边形ABCD

是正方形，

∴∠B=∠D=90°，AD=AB， 由折叠的性质可知

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AD=AF，∠AFE=∠D=90°， ∴∠AFG=90°，AB=AF， ∴∠AFG=∠B， 又AG=AG，

∴△ABG≌△AFG； (2) ∵△ABG≌△AFG，

∴BG=FG，

设BG=FG=x，则GC=6x, ∵E为CD的中点， ∴CF=EF=DE=3， ∴EG=x3，

∴32(6x)2(x3)2，

解得x2， ∴BG=2.

22. 某电器商场销售A，B30元，40元. 商场销售5 台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售3台B型号计算器，可获利润 120元.

(1) 求商场销售A，B(利润=销售价格﹣进货价格） (2) 商场准备用不多于2500元的资金购进A，B70台，问最少需要购进A型号的 计算器多少台？

【解析】(1) 设A，Bxy元，得：

x=42,y=56， 42元，56元； 台，得

30台.

五23.

0)的图象与直线y3x相交于点C，过直线上点A(1，

3)作 ABD，且AB=3BD.

(1) (2) 求点C的坐标；

(3) 在y轴上确实一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD，求点M的坐标.

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【解析】(1) ∵A(1，3)，

∴OB=1，AB=3， 又AB=3BD， ∴BD=1， ∴B(1，1)， ∴k111；

(2) 由(1)知反比例函数的解析式为y

1， x

y3x

xx

解方程组或

1，得

yyx



； (3) 如图，作点D关于y

轴对称点E.

设直线CE的解析式为ykxb∴点C的坐标为bk3kb1

∴直线CE的解析式为y

当x=0时，y=2， 的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接24. ⊙AG，

(1) (2) 边形；

(3) AB.

BAC的度数；

DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥

PC， 【解析】(1) ∵AB为⊙O直径，BP

∴PG⊥BC，即∠ODB=90°，

∵D为OP的中点，

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11

∴OD=OPOB，

22∴cos∠BOD=

OD1

， OB2

∴∠BOD=60°， ∵AB为⊙O直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ACB=∠ODB， ∴AC∥PG，

∴∠BAC=∠BOD=60°； (2) 由（1）知，CD=BD，

∵∠BDP=∠CDK，DK=DP， ∴△PDB≌△CDK，

∴CK=BP，∠OPB=∠CKD， ∵∠AOG=∠BOP， ∴AG=BP， ∴AG=CK ∵OP=OB，

∴∠OPB=∠OBP， 又∠G=∠OBP， ∴AG∥CK，

∴四边形AGCK是平行四边形； (3) ∵CE=PE，CD=BD，

∴DE∥PB，即DH∥PB ∵∠G=∠OPB， ∴PB∥AG， ∴DH∥AG，∴∠OAG= ∵OA=OG， ， ，

=∠HOP，OB=OP， OBD≌△HOP，

∴∠OHP=∠ODB=90°， ∴PH⊥AB.

25. 如题25图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC 完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm.

(1) 填空：ADcm)，DC(cm)；

(2) 点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C →B的方向运动，当N点运动 到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点 运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；

(3) 在(2)的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过

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程中，

△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值.

(参考数据：sin75°

，sin15°

)

【解析

· 当x时，y.

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