欧拉装错信封问题
“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748) 的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782) 提出来的，大意如下： 一个人写了n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这n 封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？
1. 一个人写了4封不同的信及相应的4个不同的信封，他把这4封信都装错了
信封，问都装错信封的装法有多少种？ 【解析】分为两步
（1）首先让A 信选信封，有3种选择，假设A 选择了b 信封
信信封
A a
B b
C c
D d
（2）接着让B 信选信封，选择情况可分为两大类
1B 信选择了a 信封（A 信与B 信相互选择对方的信封） ○
信信封
A a
B b
C c
D d
剩下了C 信、D 信去选择c 信封、d 信封，相当于是2封不同的信装入对应的2个不同的信封，有A 2种装法。
2B 信不选择a 信封 ○
信信封
A ×a(b )
B b ×
C c
D d
相当于3封信装入对应的3个不同的信封（因为B 信不选择a 信封，所以可以将a 信封看成b 信封），有A 3种装法。
综上，由乘法原理可得：A 4=(4-1)(A 3+A 2)=3⨯(2+1)=9（种）装法。 同理我们可以总结出递推公式：A n =(n -1)(A n -1+A n -2)
⎛11
（拓展：装错信封求解公式A n =n ! 1-++
⎝1! 2!
+(-1)⋅
n
1⎫⎪） n ! ⎭
2. 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺
年卡．则四张贺年卡的不同分配方式有 _____种 (1993年全国高考题理科17题)
3. 有5个客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了
一顶帽子回家．回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子．问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？
欧拉装错信封问题
“装错信封问题”是由当时最有名的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，1667－1748) 的儿子丹尼尔·伯努利(DanidBernoulli，1700－1782) 提出来的，大意如下： 一个人写了n 封不同的信及相应的n 个不同的信封，他把这n 封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？
1. 一个人写了4封不同的信及相应的4个不同的信封，他把这4封信都装错了
信封，问都装错信封的装法有多少种？ 【解析】分为两步
（1）首先让A 信选信封，有3种选择，假设A 选择了b 信封
信信封
A a
B b
C c
D d
（2）接着让B 信选信封，选择情况可分为两大类
1B 信选择了a 信封（A 信与B 信相互选择对方的信封） ○
信信封
A a
B b
C c
D d
剩下了C 信、D 信去选择c 信封、d 信封，相当于是2封不同的信装入对应的2个不同的信封，有A 2种装法。
2B 信不选择a 信封 ○
信信封
A ×a(b )
B b ×
C c
D d
相当于3封信装入对应的3个不同的信封（因为B 信不选择a 信封，所以可以将a 信封看成b 信封），有A 3种装法。
综上，由乘法原理可得：A 4=(4-1)(A 3+A 2)=3⨯(2+1)=9（种）装法。 同理我们可以总结出递推公式：A n =(n -1)(A n -1+A n -2)
⎛11
（拓展：装错信封求解公式A n =n ! 1-++
⎝1! 2!
+(-1)⋅
n
1⎫⎪） n ! ⎭
2. 同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺
年卡．则四张贺年卡的不同分配方式有 _____种 (1993年全国高考题理科17题)
3. 有5个客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了
一顶帽子回家．回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子．问5个客人都不戴自己帽子的戴法有多少种？