整周未知数的求解方法
摘要：初始整周模糊度的求解是利用 GPS 载波相位进行测量的关键问题，本文在充分认识整周未知数重要性的基础上，阐述了求解整周未知数的一般常用的几种方法，并进一步的提出了一种快速求解整周未知数的新方法，从而对整周未知数的求解方法有一个较为完整的归纳总结。
关键词：整周未知数；平差待定参数；交换天线；快速搜索；粒子滤波；
一、 引言
整周未知数又称整周模糊度，是在全球定位系统技术的载波相位测量时，载波相位与基准相位之间相位差的首观测值所对应的整周未知数。即在观测站i 和卫星j 之间，载波相位的变化为：
Φi j (t)=δφi j (t)+Ni j (t-t0)+Ni j (t0)
当整周未知数确定后，测相伪距与测码伪距的观测方程在形式上将一致，此时只要同步观测的卫星数不少于4，即使观测一个历元，也可获得唯一定位结果。因此，在载波相位观测中，如果能预先消去或者快速地解算整周未知数，将大大缩短必要的观测时间。
如果整周未知数作为待定量，与其它未知参数一起在数据处理中一并求解，则根据情况，将需要长达1-3小时的观测时间。因为在同步观测4颗卫星的情况下，为解算整周未知数，理论上至少观测3个历元。但如果同步观测时间很短，所测卫星的几何分布变化很小，使站星距离变化也很小，将降低不同历元观测结果的作用，在平差计算中，法方程的性质将变坏，影响解的可靠性。
因此，准确快速地解算整周未知数，无论对保障相对定位精度，还是开拓高精度动态定位应用领域，都有重要意义。
二、 整周未知数的一般解算方法
快速的确定整周未知数，是载波相位测量的重要问题，确定整周未知数的方法很多，对于整周未知数解算方法的分类，有以下几种：
按解算时间长短划分：经典静态相对定位法和快速解算法。经典静态相对定位法：将其作为待定量，在平差计算中求解，为提高解的可靠性，所需观测时间较长。快速解算法包括：交换天线法、P 码双频技术、滤波法、搜索法和模糊函数法等，所需观测时间较短，一般为数分钟。
按接收机状态区分；静态法和动态法。前述的快速算法，虽然观测时间很短，仍属静态法，动态法是在接收机载体的运动过程中确定整周未知数的方法。
确定整周未知数的方法很多，在此介绍几种常用的方法。 （一） 整周未知数的平差待定参数法
把整周未知数作为待定参数，在平差计算中与其他未知参数一同解出，即可采用公式，按最小二乘法原理，通过平差求解整周未知数，而整周未知数取值有以下两种方法。
1. 整数解(固定解) 。整周未知数从理论上讲应该是一个整数，但是，由于各种误差的影响，平差求得的整周未知数往往不是一个整数，而是一个实数。对于短基线，当进行1小时以上的静态相对定位时，由于测站间星历误差、大气
折射误差等具有较强的相关性，相对定位可以使这些误差大大消弱；同时也由于在较长的观测期间，观测卫星的几何分布会产生较大的变化，因此，能以较高的精度来求定整周未知数。此时，平差求出的整周未知数一般为较接近于相邻近整数的实数，且如果整周未知数估值的中误差甚小，则可直接取相邻近的整数为整周未知数；或者从统计检验的角度出发，取整周未知数估值加上3倍的中误差(即Nr ±3δ Nr)为整周未知数的整数取值范围，该范围内包含的所有整数均作为整周未知的候选值。
当所有的整周未知数取了整数后，应作为已知值代入观测方程，再进行最小二乘平差求待定坐标的平差值。如果整周未知数的整数候选值不止一个，则应将所有卫星的候选值构成不同组合，逐一作为已知值代入进行平差，最后取能使待定坐标干差后方差最小的一组整数作为整周未知数。整周未知数的整数解获得的待定点坐标估值也称为固定解。对于短基线，由于这种方法顾及了整周未知数的整数特性，因此能够改善相对定位的精度。
2. 实数解(浮动解) 。对于长基线，误差的相关性降低，卫星星历、大气折射等误差的影响难以有效消除，求解的整周未知数精度较低。事实上，整周未知数的实数解中往往包含了一些系统误差，此时，再将其取为某一整数，实际上对于相对定位精度只会有损而无益。所以通常对于20km 以上的长基线通常不再考虑整周未知数的整数性质，直接将实数作为整周未知数的解，由实数整周未知数获得的待定点坐标估值称为浮动解。在静态相对定位中求解整周未知数时常采用此种方法。
3．三差法：由载波相位观测值的线性组合可知，当连续跟踪载波相位观测值在历元之间求差时，由于其含有相同的整周未知数，求差后方程会不再含有整周未知参数，因此可直接解出坐标参数。但是，在两个历元之间，由于几何图形结构相近，观测方程相关性强，致使求出的坐标参数精度不高。实际应用时，利用在测站、卫星、历元间求三差的方法来求解坐标未知数，并将其作为
未知数的初始值，代入双差模型再求解整周未知数。由于利用三差法求出的坐标估值是具有较好近似度的初始值，因此有益于提高双差求解整周未知数的精度。由寸：三差法利用了连续跟踪卫星的两个历元之间的相位差等于多普勒积分值这一性质，所以该方法也称为多普勒法。 （二） 交换接收天线法
原理：在观测之前，先在基准站附近5-10m 处选择一个天线交换点，将两台接收机天线分别安置在该基线两端，同步观测2-8个历元后，相互交换天线，并继续观测若干历元；最后将两天线恢复到原来位置。此时固定站与天线交换点之间的基线向量视为起始基线向量，利用天线交换前后的同步观测量，求解基线向量，进而确定整周未知数。
假设在固定站1和天线交换点2的接收机，于历元t 1同步观测了卫星j 、k ，在忽略大气折射影响的情况下，可得单差观测方程：
相应的双差观测方程为
上式中
当两接收机交换天线后，于历元t 2同步观测相同卫星j 、k ，则单差观测方程为：
相应的双差观测方程为
取相应历元t 1、t 2的双差之和，则有
其中
上述模型与静态三差模型相类似，区别在于上式是根据不同历元同步观测量的双差之和而建立的。由于所选起始基线很短，此时卫星轨道误差和大气折射误差对该模型的影响可忽略不计。上式的求解条件与双差相同。根据上式确定起始基线向量后，可根据双差模型确定整周未知数。该方法观测时间短（数分钟），精度较高，操作方便，在准动态相对定位中得到应用。 （三） 确定整周未知数的搜索法
1990年E. Frei和G. Beutler提出了一种快速解算整周未知数的方法（fast ambiguity resolution apzproach——FARA ）。基本思想是：以数理统计理论的参数估计和假设检验为基础，利用初始平差的解向量（点的坐标和整周未知数的实数解）及其精度信息（方差与协方差和单位权未知数的每一组合作为已知值，重复进行平差计算，中误差），确定在某一置信区间整周未知数可能的整数解的组合，然后将整周其中使估值的验后方差（或方差和）为最小的一组整周未知数就是所搜索的整周未知数的最佳估值。 现以载波相位观测值双差模型为例：
假设在基线两端对同一组卫星（卫星数为n j ）进行同步观测，观测历元数为n t ，
相应的误差方程组已知为
其中
经过初始平差后，相应整周未知数解向量的协因数阵为Q NN ,
单位权验后方差估算式：
其中n 为观测方程数，u 为未知量个数，n-u 为自由度。 则任一整周未知数经初始平差后实数解的中误差为
在一定置信水平条件下，相应任一整周未知数的置信区间为
i=1,2, …,nj -1 其中t(α/2)为显著水平α和自由度的函数。当α和自由度确定后， t(α/2)值可由t 值分布表中查得。例如：当取α=0.001，n-u=40时， 得t(α/2)=3.55。如果初始平差后得N i =9.05, mNi =0.78, 则N i 的置信区间为6.28≤ Ni ≤ 11.8。其置信水平为99.9%，在上述区间整数 Ni 的可能取值为6、7、8、9、10、11、12。
设C i 为N i 的可能取值数，由向量N =(N1, N2, …, Nnj-1), 可得整数组合的总数
如果观测的卫星数为n j =6, 而每个整周未知数在其置信区间内均有7个可能的整数取值，按上式可能的组合数为75= 16807，对双频接收机则为33614。
将上述整周未知数的各种可能组合，依次作为固定值，代入相应的误差方程组中，进行平差计算，最终取坐标值的验后方差为最小的一组平差结果，作为整周未知数的最后取值。
三、 求解整周未知数的新方法
近一二十年来一直是学术界研究的热点和难点。许多学者提出了很多解决方法, 最突出的有双频P 码伪距法、模糊度函数法、最小二乘搜索法和模糊度协方差法。本文应用基于粒子滤波的搜索方法, 介绍一种新的搜索整周模糊度的算法, 该方法不仅理论严密, 而且统计概念明确。 基于粒子滤波的GPS 整周模糊度求解步骤：
第1步:粒子初始化。给出随机粒子x 10, …,x N 0,N 是粒子数, 这里粒子有确定的上下限, 在这个范围内按照一定的分布取随机值, 同时得到这些粒子的分布密度p 0(x)。
第2步:状态量预测。根据状态方程x n+1=fn (xn ) +Gn (xn )w n , 在已知的x 1n , …,x N n 得到状态量的估计值x 1n+1, …,x N n+1。 第3步:计算经验分布 p n+1|n(x) =1/N∑j=1δ
N
N
j x n+1
(x) (6)
δ(x)表示经验分布函数, 在GPS 数据中, 一般认为服从正态分布。 第4步:利用贝叶斯准则, 条件概率分布 p N n+1|n+1(x) =[1/N∑N j=11/N∑N j=1δ
n+1
j x n+1
(x)·ψn+1(x)]/[1/N∑N j=1δx j n+1(xj n+1) ·ψ
(x1n+1)] (7)
式中:ψn+1(x)是在已知状态量时的观测值的条件分布, 这个值是根据系统特性给出的一个已知值.p N n+1|n+1(x)原始值是1/N,当得到观测值后这些概率大小会发生变化.
第5步:重新抽样粒子值。按照p N n+1|n+1(x)的概率值得到新的x 1n+1, …,x N n+1值。 第6步:n +1→n, 然后回到第2步。
这样在第6步中重新设定粒子时, 让概率大的粒子去代替概率小的粒子, 结束后有些粒子出现的次数就不只是一次. 但是在下次循环过程中的第2步因为有噪声项的影响, 得到新的x 1n+1, …,x N n+1不会再是同一个值, 这样又得到N 个新的粒子. 这样在滤波过程中逐渐逼近准确值。
四、 结束语
本文主要研究了整周未知数的求解方法，在提出并介绍一般求解方法的同时，还提出了基于粒子滤波的求解GPS 整周模糊度的新方法，详细阐述了其原理及步骤，希望对读者关于整周未知数的求解有一定帮助。本文内容上的单薄，笔者将在以后进一步改进。
参考文献：
[1] 李天文.GPS 原理及应用. 课程·教材，2003.
[2] 刘立龙, 林文介. GPS监测城市地表形变及数据处理分析研究[J].桂林工学院学报, 2002 (1): 48-51.
[3] 刘基余. GPS卫星导航定位原理与方法[M].北京:科学出版社, 2003: 306-317. [4] 王子茹, 等. 综述GPS 定位中整周模糊度求解问题[J].东北测绘, 2000, 23(1).
[5] 李淑慧, 等. 整周模糊度搜索方法的效率比较和分析[J].测绘通报, 2003, (10).
整周未知数的求解方法
摘要：初始整周模糊度的求解是利用 GPS 载波相位进行测量的关键问题，本文在充分认识整周未知数重要性的基础上，阐述了求解整周未知数的一般常用的几种方法，并进一步的提出了一种快速求解整周未知数的新方法，从而对整周未知数的求解方法有一个较为完整的归纳总结。
关键词：整周未知数；平差待定参数；交换天线；快速搜索；粒子滤波；
一、 引言
整周未知数又称整周模糊度，是在全球定位系统技术的载波相位测量时，载波相位与基准相位之间相位差的首观测值所对应的整周未知数。即在观测站i 和卫星j 之间，载波相位的变化为：
Φi j (t)=δφi j (t)+Ni j (t-t0)+Ni j (t0)
当整周未知数确定后，测相伪距与测码伪距的观测方程在形式上将一致，此时只要同步观测的卫星数不少于4，即使观测一个历元，也可获得唯一定位结果。因此，在载波相位观测中，如果能预先消去或者快速地解算整周未知数，将大大缩短必要的观测时间。
如果整周未知数作为待定量，与其它未知参数一起在数据处理中一并求解，则根据情况，将需要长达1-3小时的观测时间。因为在同步观测4颗卫星的情况下，为解算整周未知数，理论上至少观测3个历元。但如果同步观测时间很短，所测卫星的几何分布变化很小，使站星距离变化也很小，将降低不同历元观测结果的作用，在平差计算中，法方程的性质将变坏，影响解的可靠性。
因此，准确快速地解算整周未知数，无论对保障相对定位精度，还是开拓高精度动态定位应用领域，都有重要意义。
二、 整周未知数的一般解算方法
快速的确定整周未知数，是载波相位测量的重要问题，确定整周未知数的方法很多，对于整周未知数解算方法的分类，有以下几种：
按解算时间长短划分：经典静态相对定位法和快速解算法。经典静态相对定位法：将其作为待定量，在平差计算中求解，为提高解的可靠性，所需观测时间较长。快速解算法包括：交换天线法、P 码双频技术、滤波法、搜索法和模糊函数法等，所需观测时间较短，一般为数分钟。
按接收机状态区分；静态法和动态法。前述的快速算法，虽然观测时间很短，仍属静态法，动态法是在接收机载体的运动过程中确定整周未知数的方法。
确定整周未知数的方法很多，在此介绍几种常用的方法。 （一） 整周未知数的平差待定参数法
把整周未知数作为待定参数，在平差计算中与其他未知参数一同解出，即可采用公式，按最小二乘法原理，通过平差求解整周未知数，而整周未知数取值有以下两种方法。
1. 整数解(固定解) 。整周未知数从理论上讲应该是一个整数，但是，由于各种误差的影响，平差求得的整周未知数往往不是一个整数，而是一个实数。对于短基线，当进行1小时以上的静态相对定位时，由于测站间星历误差、大气
折射误差等具有较强的相关性，相对定位可以使这些误差大大消弱；同时也由于在较长的观测期间，观测卫星的几何分布会产生较大的变化，因此，能以较高的精度来求定整周未知数。此时，平差求出的整周未知数一般为较接近于相邻近整数的实数，且如果整周未知数估值的中误差甚小，则可直接取相邻近的整数为整周未知数；或者从统计检验的角度出发，取整周未知数估值加上3倍的中误差(即Nr ±3δ Nr)为整周未知数的整数取值范围，该范围内包含的所有整数均作为整周未知的候选值。
当所有的整周未知数取了整数后，应作为已知值代入观测方程，再进行最小二乘平差求待定坐标的平差值。如果整周未知数的整数候选值不止一个，则应将所有卫星的候选值构成不同组合，逐一作为已知值代入进行平差，最后取能使待定坐标干差后方差最小的一组整数作为整周未知数。整周未知数的整数解获得的待定点坐标估值也称为固定解。对于短基线，由于这种方法顾及了整周未知数的整数特性，因此能够改善相对定位的精度。
2. 实数解(浮动解) 。对于长基线，误差的相关性降低，卫星星历、大气折射等误差的影响难以有效消除，求解的整周未知数精度较低。事实上，整周未知数的实数解中往往包含了一些系统误差，此时，再将其取为某一整数，实际上对于相对定位精度只会有损而无益。所以通常对于20km 以上的长基线通常不再考虑整周未知数的整数性质，直接将实数作为整周未知数的解，由实数整周未知数获得的待定点坐标估值称为浮动解。在静态相对定位中求解整周未知数时常采用此种方法。
3．三差法：由载波相位观测值的线性组合可知，当连续跟踪载波相位观测值在历元之间求差时，由于其含有相同的整周未知数，求差后方程会不再含有整周未知参数，因此可直接解出坐标参数。但是，在两个历元之间，由于几何图形结构相近，观测方程相关性强，致使求出的坐标参数精度不高。实际应用时，利用在测站、卫星、历元间求三差的方法来求解坐标未知数，并将其作为
未知数的初始值，代入双差模型再求解整周未知数。由于利用三差法求出的坐标估值是具有较好近似度的初始值，因此有益于提高双差求解整周未知数的精度。由寸：三差法利用了连续跟踪卫星的两个历元之间的相位差等于多普勒积分值这一性质，所以该方法也称为多普勒法。 （二） 交换接收天线法
原理：在观测之前，先在基准站附近5-10m 处选择一个天线交换点，将两台接收机天线分别安置在该基线两端，同步观测2-8个历元后，相互交换天线，并继续观测若干历元；最后将两天线恢复到原来位置。此时固定站与天线交换点之间的基线向量视为起始基线向量，利用天线交换前后的同步观测量，求解基线向量，进而确定整周未知数。
假设在固定站1和天线交换点2的接收机，于历元t 1同步观测了卫星j 、k ，在忽略大气折射影响的情况下，可得单差观测方程：
相应的双差观测方程为
上式中
当两接收机交换天线后，于历元t 2同步观测相同卫星j 、k ，则单差观测方程为：
相应的双差观测方程为
取相应历元t 1、t 2的双差之和，则有
其中
上述模型与静态三差模型相类似，区别在于上式是根据不同历元同步观测量的双差之和而建立的。由于所选起始基线很短，此时卫星轨道误差和大气折射误差对该模型的影响可忽略不计。上式的求解条件与双差相同。根据上式确定起始基线向量后，可根据双差模型确定整周未知数。该方法观测时间短（数分钟），精度较高，操作方便，在准动态相对定位中得到应用。 （三） 确定整周未知数的搜索法
1990年E. Frei和G. Beutler提出了一种快速解算整周未知数的方法（fast ambiguity resolution apzproach——FARA ）。基本思想是：以数理统计理论的参数估计和假设检验为基础，利用初始平差的解向量（点的坐标和整周未知数的实数解）及其精度信息（方差与协方差和单位权未知数的每一组合作为已知值，重复进行平差计算，中误差），确定在某一置信区间整周未知数可能的整数解的组合，然后将整周其中使估值的验后方差（或方差和）为最小的一组整周未知数就是所搜索的整周未知数的最佳估值。 现以载波相位观测值双差模型为例：
假设在基线两端对同一组卫星（卫星数为n j ）进行同步观测，观测历元数为n t ，
相应的误差方程组已知为
其中
经过初始平差后，相应整周未知数解向量的协因数阵为Q NN ,
单位权验后方差估算式：
其中n 为观测方程数，u 为未知量个数，n-u 为自由度。 则任一整周未知数经初始平差后实数解的中误差为
在一定置信水平条件下，相应任一整周未知数的置信区间为
i=1,2, …,nj -1 其中t(α/2)为显著水平α和自由度的函数。当α和自由度确定后， t(α/2)值可由t 值分布表中查得。例如：当取α=0.001，n-u=40时， 得t(α/2)=3.55。如果初始平差后得N i =9.05, mNi =0.78, 则N i 的置信区间为6.28≤ Ni ≤ 11.8。其置信水平为99.9%，在上述区间整数 Ni 的可能取值为6、7、8、9、10、11、12。
设C i 为N i 的可能取值数，由向量N =(N1, N2, …, Nnj-1), 可得整数组合的总数
如果观测的卫星数为n j =6, 而每个整周未知数在其置信区间内均有7个可能的整数取值，按上式可能的组合数为75= 16807，对双频接收机则为33614。
将上述整周未知数的各种可能组合，依次作为固定值，代入相应的误差方程组中，进行平差计算，最终取坐标值的验后方差为最小的一组平差结果，作为整周未知数的最后取值。
三、 求解整周未知数的新方法
近一二十年来一直是学术界研究的热点和难点。许多学者提出了很多解决方法, 最突出的有双频P 码伪距法、模糊度函数法、最小二乘搜索法和模糊度协方差法。本文应用基于粒子滤波的搜索方法, 介绍一种新的搜索整周模糊度的算法, 该方法不仅理论严密, 而且统计概念明确。 基于粒子滤波的GPS 整周模糊度求解步骤：
第1步:粒子初始化。给出随机粒子x 10, …,x N 0,N 是粒子数, 这里粒子有确定的上下限, 在这个范围内按照一定的分布取随机值, 同时得到这些粒子的分布密度p 0(x)。
第2步:状态量预测。根据状态方程x n+1=fn (xn ) +Gn (xn )w n , 在已知的x 1n , …,x N n 得到状态量的估计值x 1n+1, …,x N n+1。 第3步:计算经验分布 p n+1|n(x) =1/N∑j=1δ
N
N
j x n+1
(x) (6)
δ(x)表示经验分布函数, 在GPS 数据中, 一般认为服从正态分布。 第4步:利用贝叶斯准则, 条件概率分布 p N n+1|n+1(x) =[1/N∑N j=11/N∑N j=1δ
n+1
j x n+1
(x)·ψn+1(x)]/[1/N∑N j=1δx j n+1(xj n+1) ·ψ
(x1n+1)] (7)
式中:ψn+1(x)是在已知状态量时的观测值的条件分布, 这个值是根据系统特性给出的一个已知值.p N n+1|n+1(x)原始值是1/N,当得到观测值后这些概率大小会发生变化.
第5步:重新抽样粒子值。按照p N n+1|n+1(x)的概率值得到新的x 1n+1, …,x N n+1值。 第6步:n +1→n, 然后回到第2步。
这样在第6步中重新设定粒子时, 让概率大的粒子去代替概率小的粒子, 结束后有些粒子出现的次数就不只是一次. 但是在下次循环过程中的第2步因为有噪声项的影响, 得到新的x 1n+1, …,x N n+1不会再是同一个值, 这样又得到N 个新的粒子. 这样在滤波过程中逐渐逼近准确值。
四、 结束语
本文主要研究了整周未知数的求解方法，在提出并介绍一般求解方法的同时，还提出了基于粒子滤波的求解GPS 整周模糊度的新方法，详细阐述了其原理及步骤，希望对读者关于整周未知数的求解有一定帮助。本文内容上的单薄，笔者将在以后进一步改进。
参考文献：
[1] 李天文.GPS 原理及应用. 课程·教材，2003.
[2] 刘立龙, 林文介. GPS监测城市地表形变及数据处理分析研究[J].桂林工学院学报, 2002 (1): 48-51.
[3] 刘基余. GPS卫星导航定位原理与方法[M].北京:科学出版社, 2003: 306-317. [4] 王子茹, 等. 综述GPS 定位中整周模糊度求解问题[J].东北测绘, 2000, 23(1).
[5] 李淑慧, 等. 整周模糊度搜索方法的效率比较和分析[J].测绘通报, 2003, (10).