质点运动学学习材料
一、选择题
1．质点沿轨道A B 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C 处的加速度? ( )
(A ) (B ) (C ) (D )
【提示：由于质点作曲线运动，所以，加速度的方向指向曲线的内侧，又速率逐渐减小，所以加速度的切向分量与运动方向相反】
2． 一质点沿x 轴运动的规律是x =t 2-4t +5（SI 制）。则前三秒内它的 ( )
(A ) 位移和路程都是3m ；
(B ) 位移和路程都是-3m ； (C ) 位移是-3m ，路程是3m ； (D ) 位移是-3m ，路程是5m 。
【提示：将t =3代入公式，得到的是t=3时的位置，位移为t =3时的位置减去t =0时的位置；显然运动规律是一个抛物线方程，可利用求导找出极值点：
d x d t
=2t -4，当t =2时，速度υ=
d x d t
=0，所以前两秒退
了4米，后一秒进了1米，路程为5米】
ω为正常数。3．一质点的运动方程是r =R cos ωt i +R sin ωt j ，R 、从t ＝π/ω到t =2π/ω
时间内
(1) 该质点的位移是 ( )
(A ) -2R i ； (B ) 2R i ； (C ) -2j ； (D ) 0。
(2) 该质点经过的路程是 ( ) (A ) 2R ； (B ) πR ； (C ) 0； (D ) πR ω。
【提示：轨道方程是一个圆周方程（由运动方程平方相加可得圆方程），t ＝π/ω到t ＝2π/ω时间内质点沿圆周跑了半圈，位移为直径，路程半周长】
4． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度υ滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度 ( )
(A ) 大小为(B ) 大小为(C ) 大小为(D ) 大小为
υ
2
，方向与B 端运动方向相同； ，方向与A 端运动方向相同； ， 方向沿杆身方向； υ
υ
2
υ
2
2cos θ
，方向与水平方向成 θ 角。
l ⎧l ⎧υ=x C =sin θ⎪cx 2cos θ⎪2【提示：C 点的坐标为⎪，则⎪⎨⎨
l ⎪υ=l sin θ⎪y =cos θ
cy C
⎪⎪2⎩2⎩
⋅⋅
d θd t d θd t
，有中点C 的速度大小：υC =
l
2d t
⋅
d θ
。
考虑到B 的横坐标为x B =l sin θ，知已知条件υ=l cos θ⋅
d θd t
，∴υC =
υ
2cos θ
】
1-5．如图所示，湖中有一小船，船在离岸边s 距离处， 有人在离水面高度为h 的岸边用绳子拉船靠岸，设该 人以匀速率v 0收绳，绳不伸长且湖水静止，小船的速度 为v ，则小船作 ( ) （A ）匀加速运动，υ=（C ）变加速运动，υ=
2
υ0
cos θ
； （B ）匀减速运动，υ=υ0cos θ； ； （D ）变减速运动，υ=υ0cos θ。
2
υ0
cos θ
2
【提示：先由三角关系知x =l -h ，两边对时间求导有x ⋅
d x d t
=l ⋅
d l d t
，考虑到υ=
d x d t
，υ0=
d l d t
，
且cos θ=
x l
有υ=
υ0
cos θ
】
6．一质点沿x 轴作直线运动，其υ-t 曲线如图所示， 如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5s 时，质点在 x 轴上的位置为： ( ) （A ）0； （B ）5m ；
（C ）2m ； （D ）－2m 。
【提示：由于是υ-t 曲线图，∴质点的位移为图中所围的面积。梯形面积为中位线乘高】
7．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为r =at i +bt j (其中a 、b 为常量) ， 则该质点作： ( ) （A ） 匀速直线运动；（B ）变速直线运动；（C ）抛物线运动；（D ）一般曲线运动.
⎧υx =2at ⎧a x =2a ⎧x =at 2
【提示：将矢量的表达式改写为⎨的轨迹方程为：y =
-
2
2
⎩y =bt
2
，则⎨
⎩υy =2bt
，⎨
⎩a y =2b
。可见加速度为恒量，考虑到质点
b a
x ，∴质点作直线运动】
2
8．一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度为υ=2m /s ，瞬时加速度为a =-2m /s ，则一秒钟后质点的速度： ( ) （A ）等于零；（B ）等于－2m/s；（C ）等于2m/s；（D ）不能确定。
【提示：由于质点运动的加速度是瞬时，∴不能判断一秒钟后质点的速度】
1-2．一运动质点在某瞬时位于位矢r (x , y ) 的端点处，对其速度的大小有四点意见，即： （1）；（2）；（3）；（4
( )
d t d t d t （A ）只有（1）（2）正确； （B ）只有（2）正确； （C ）只有（2）（3）正确； （D ）只有（3）（4）正确。
【提示：d r /d t 是位矢长度的变化率，d r /d t 是速度的矢量形式，d s /d t 是速率，由分量公式考虑：
d r
d s
d r
d x d y
，υy =
υx = d t d t 1--3．质点作半径为R 的变速圆周运动时，加速度大小为(v 表示任一时刻质点的速率) ( )
（A ）； （B ）； （C ）； （D
+。
d t d t R R d υυ
2
d υυ
2
【提示：半径为R 的变速圆周运动可由自然坐标系的加速公式考虑。即a t =
d υd t
，a n =
υ
2
R
】
11．一小球沿斜面向上运动，其运动方程为s =5+4t -t 2（SI ），则小球运动到最高点的时刻是： ( ) （A ）t =4s ； （B ）t =2s ；（C ）t =5s ；（D ）t =8s 。
【提示：小球运动到最高时速度为0，而将运动方程对时间求导可得速度表达式】
12．质点沿直线运动，加速度a =4-t 2，如果当t =3s 时，x =9m ，υ=2m /s ，质点
的运动方程为 ( ) （A ）x =-t +4t -3t +0.75； （B ）x =-t +2t -（C ）x =-7t +2t -
2
3
2
t
4
12t
+
3
34
；
t
4
12
+
214
； （D ）x =-7t +2t -
2
12
。
【提示：求两次积分可得结果。（1）υ=得υ0=-1m /s ；（2）x =得x 0=
⎰(4-t
t
3
2
) d t =4t -
2
t
3
3
+v 0，将t =3s ，υ=2m /s 代入可t
4
⎰(-1+4t -
3
) d t =-t +2t -
12
+x 0，将t =3s ，x =9m 代入可
34
m 】
13．一物体从某高度以v 0的速度水平抛出，已知它落地时的速度为υt ，那么它运动的时间是： ( ) （A ）
υt -υ0
g
；（B ）
υt -υ0
2g
；（C
）
g
（D
2g
【提示：平抛运动落地时水平分速度仍为υ
0】
14．质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 时间转一周，在2t 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为： ( )
（A ）
2πR t
，
2πR t
； （B ）0，
2πR t
； （C ）0，0； （D ）
2πR t
，0。
【提示：平均速度大小指的是一段时间的位移与该段时间的比值，平均速率指的是路程与该段时间的比值，显然2t 时间间隔中质点转2周，位移为0，但路程是4πR 】
1-3．质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，a t 表示切向加速度，下列表达式中， （1）
d υd t
（2）=a ；
d r d t
（3）=υ；
d s d t
（4）=υ；
d υd t
=a t 。
正确的是： ( ) （A ）只有（1）、（4）是正确的；（B ）只有（2）、（4）是正确的； （C ）只有（2）是正确的； （D ）只有（3）是正确的。
【提示：（1）d v /dt 应等于切向加速度；（2）d r /dt 在极坐标系中表示径向速度v r ，而（4）中∣ d v /dt ∣为加速度的大小，所以只有（3）是正确的】
16．质点由静止开始以匀角加速度β沿半径为R 作圆周运动，如果在某一时刻此质点的总加速度a 与切向加速度a t 成45 角，则此时刻质点已转过的角度θ为： ( ) （A ）
16
rad ；（B ）
14
rad ；（C ）
13
rad ；（D ）
2
12
rad 。
【由ω=βt 知v =βtR ，则a n =
(βtR )
R
；而a t =βR ，加速度a 与切向加速度a t 成45角意味着
t 0
a t =a n ，有βt 2=1；又质点已转过的角度θ=
d υd t
⎰
βd t =
12
βt ，∴θ=
2
12
】
17．某物体的运动规律为
2
=-k υt ，式中的k 为大于零的常量，当t =0时，初速为υ0，
则速度υ与时间t 的函数关系为： ( ) （A ）υ=
12
k t +υ0；（B ）υ=-
d υ
2
12
k t +υ0；（C ）
υ
2
1
υ
=
k t 2
2
+
+；（D ）=-。
υ2υ0υ0
11k t
2
1
【提示：利用积分。考虑
υ
2
=-k td t ，有⎰
d υ
υ0
υ
2
=-⎰k td t 】
t
二、填空题
⎧x =-10t +30t 2
1．质点的运动方程为⎨，（式中x ，y 的单位为m ，t 的单位为s ），则该2
y =15t -20t ⎩
质点的初速度υ0=；加速度a =
【提示：对时间一次导得速度-10i +15j ，两阶导得加速度60i -40j 】
2
2．升降机以加速度为2.2m /s 上升，当上升速度为3m /s 时，有一螺丝自升降机的天花
板上松落，天花板与升降机的底面相距3m ，则螺丝从天花板落到底面所需要的时间为 秒。
【提示：考虑螺丝作初速为0，加速度为9.8+2.2=12m/s
的自由落体运动，则t =
=
1】
3．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P 点处速度大小为角。则物体在P 点的切向加速度 υ，其方向与水平方向成30°
a t =ρ=。
【提示：只要是抛体运动，加速度就一定是竖直向下的重力加速度。考虑自然
坐标系a t =a cos θ（θ为切向和a 之间的夹角）和ρ=
υ
2
a n
，有a t =-g sin 30，a n =g cos 30】
4．试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（v ≠0）： （A ）a t ≠0，a n ≠0； （B ）a t ≠0，a n =0； （C ）a t =0，a n ≠0；
【提示：（A ）变速曲线运动；（B ）变速直线运动；（C ）匀速曲线运动】
5．一质点作直线运动，其坐标与时间的关系如图所示， 则该质点在第 秒时瞬时速度为零；在第 秒 至第 秒间速度与加速度同方向。
【提示：由于速度是曲线的斜率，所以第3秒时斜率为零也就是瞬时速度为零；从第1秒到第3秒，斜率为正，但逐渐变小，表明速度为正但加速度为负，从第3秒到第6秒，斜率为负且逐渐负方向增加，表明速度为负且加速度为负】
6．一质点沿半径为0.2m 的圆周运动, 其角位置随时间的变化规律是θ=6+5t （SI 制）。在t =2时，它的法向加速度a n =a t =。
【由ω=
2
d θd t
知υ=
Rd θd t
，再利用公式a n =
υ
2
R
和a t =
d υd t
可得a n =80m /s ，a t =2m /s 】
22
7．在x y 平面内有一运动质点，其运动学方程为：r =10cos 5t i +10sin 5t j ，则t 时刻其
速度v = ；其切向加速度的大小a t = ；该质点的运动轨迹是： 。
【∵υ=
d r d t
有υ=-50sin 5t i +50cos 5t j ；而υ=
=50（与
时间无关），∴切向加速度a t =0；运动轨迹由⎨
⎧x =10cos 5t ⎩y =10sin 5t
消去时间求得：x +y
22
=0】
8．悬挂在弹簧上的物体在竖直方向上振动, 振动方程为y =A sin ωt ，其中A 、ω均为常量, 则：(1) 物体的速度与时间的函数关系为 ；(2) 物体的速度与坐标的函数关系为 。
【提示：由υ(t ) =
d y d t
有υ(t ) =A ωcos ωt ，与振动方程联立有：υ(y ) =
1--4．在x 轴上作变加速直线运动的质点, 已知其初速度为υ0，初始位置为x 0，加速度为
a =C t (其中C 为常量) ，则其速度与时间的关系υ(t ) =2
x (t ) = 。
【提示：利用积分。
⎰υ
υ
d υ=
4
⎰
t 0
2
C t d t ，有υ(t ) =υ0+
C 3
t ，在由⎰d x =
x
3
x
⎰
t 0
(υ0+
1C t )
d t 有
3
x (t ) =x 0+υ0t +
C 12
t 】
10．灯距地面高度为h 1, 一个人身高为h 2, 在灯下以匀速率v 沿水平直线行走, 如图 所示。则他的头顶在地上的影子M 点沿 地面移动的速度v m =。
【由三角形相似有
x x -vt
=
h 1h 2
，两边对时间求导，考虑到υm =
d x d t
有υm =
h 1h 1-h 2
υ】
11．如图示，一质点P 从O 点出发以匀速率1m /s 作顺时针 转向的圆周运动，圆的半径为1m ，当它走过
23
圆周时，
走过的路程是 ；这段时间内的平均速度大小为 ； 方向是 。
【由于圆的半径为1m ，所以走过的路程（弧长）即为对应的角度，为
4π3
O
（240）；平均速度却为位
4π3
，则=
4π
m /s ；从图中不难看出，平均速
度方向与y 成30角向右下方】
12．一质点沿半径为R 的圆周运动，在t = 0时以v 0的速率经过圆周上的P 点， 此后它的
速率按υ=υ0+b t (υ0、b 为正的已知常量) 变化，则质点沿圆周运动一周再经过P 点时的切向加速度a t = ；法向加速度a n = 。
【利用公式a t =
d v d t
和a n =
υ
2
R
可得a t =b ；a n =
2
υ
2
R
=
(υ0+bt )
R
2
=
υ0+2υ0bt +b t
R
222
，考虑到运动
一周的时间可由2πR =υ0t +
12
b t 得出，代入上式得a n =
υ0R
2
+4πb 】
13．以一定初速度斜向上抛出一个物体，如果忽略空气阻力，当该物体的速度v 与水平面的夹角为θ 时，它的切向加速度的大小为a t =a n =
【见填空第3题提示，得：-g sin θ和g cos θ】
三、计算题
1-14． 一石块从空中由静止下落，由于空气阻力，石块并非作自由落体运动，现已知加速度为a =A －B v（式中A 、B 为常量），求石块的速度和运动方程。
1-22．一质点沿半径为R 的圆周按规律s =v 0t -圆周运行了多少周？
3．在离地面高度为h 的平台，有人用绳子拉小车，当人的速率v 0匀速时，试求小车的速率
和加速度大小。
1--6．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v 0，并且v 0与水平面的夹角为θ。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
5． 质点P 在水平面内沿一半径为R =1m的圆轨道转动，转动的角速度ω与时间t 的函数关系为ω=kt 2，已知t =2s时，质点P 的速率为16m/s，试求t =1s时，质点P 的速率与加速度的大小。
12
bt 而运动，v 0，b 都是常数。（1）求t
2
时刻质点总的加速度；（2）t 为何值时在数值上等于b ？（3）当加速度达到b 时，质点已沿
1-20．一直立的雨伞，张开后其边缘圆周半径为R ，离地面的高度为h ，当伞绕伞柄以匀角速ω
旋转时，求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为r =
1-24．一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动，其角位置为θ=2+4t 3。（1）求t =2. 0 s 时质点的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？（3）t 为何值时，法向加速度和切向加速度的值相等？
解答
一、选择题
1．C 2．D 3．(1) B (2) B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．D 10．D 11．B 12．B 13．C 14．B 15．D 16．D 17．C 三、计算题 1．
解：（1）选石块静止处为原点，竖直向下方向为y 正向。 由a =
d v d t
有A -Bv =
d v d t
，则d t =
d v A -B v
⇒
⎰d t =⎰
d v (A -Bv )
，
积分有t =-
1B
ln A -B v +C 。
1B
ln A ，∴石块的速度为v =
A B (1-e
-B t
考虑到t =0时，v 0=0，有C =
) ；
（2）由v =
d y d t
有d y =
A B
(1-e
-B t
) d t ，则：石块的运动方程为：
y =
⎰B
A
t 0
(1-e
-B t
) d t =
A B A
(t +A B
1B
e
-B t
)
t 0
=
A B
t +
A B
2
(e
-B t
-1) 。
∴石块的运动方程为y =
B
t +
2
(e
-B t
-1)
2．
解：（1）对圆周方程求导得速度大小：v =
ds dt
=v 0-bt （注意圆周方程中是“s ”而不是“r ”）
dv ⎧
a ==-b t ⎪⎪dt
可利用自然坐标系得切向和法向加速度： ⎨
22
⎪a =v =(v 0-bt ) n ⎪⎩R R
则总的加速度：
a ==；
加速度与半径的夹角为：ϕ=arctan
a t a n
=
-Rb (v 0-bt )
2
（2
）由题意应有：
20
=b ⇒(v 0-bt ) 4=0，∴当t =
20
20
v 0b
时，a =b 。
（3）当t =
v 0b
时，s =
v
2b
，∴n =
v
2b
/2πR ，有n =
v
4πRb
3．
解：v 车=
d x d t
，v 人=
d s d t dx dt
=v 0 =
2
由于绳长不变，∴v 车=
2
2
d l d t
，
又由几何关系：s =l -h ，两边对t 求导有：
2s
ds dt
=
2l
dl dt
，解得：v 车=
v s a =
dv 车dt
=
v 0h
22
32
。
(s
2
+h
2
)
（类似问题：在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s 距离处，当人以速率v 0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。）
4．
解：（1）抛物线顶点处子弹的速度v x =v 0cos θ，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g 。 因此有：
g =
v
2
ρ1
2
=
(v 0cos θ)
2
ρ1
2
，
ρ1=
v 0cos θ
g
；
（2）在落地点时子弹的v 0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成θ角，则：a n =g cos θ，有：g cos θ=
v 0
2
ρ2
则： ρ2=
v 0
2
g cos θ
。
5．
解：由线速度公式：υ=R ω=Rkt =1⨯kt ，将已知条件代入求得k ：
2
2
k =
υ
t
2
=
162
2
2
=4。P 点的速率：υ=4t 。P 点的切向加速度大小：a t =
d υd t
=8t 。
P 点的法向加速度大小：a n =
υ
2
4
=16t 。所以，t =1时：
R
4222
υ=4t =4(m/s)；a t =8t =8(m/s) ，a n =16t =16(m/s) 。
a =
=
=≈17.9(m/s2)
6．
解：由平抛公式，水滴沿边缘飞出后落在地面上所需时间为：t =
则落地距离为，s =ωRt =ω
s
考虑到水滴是沿伞的边缘切线方向飞出，有：r =
则r ==
7．
解：可由角位置求出角速度：ω=
d θd t
=12t ，则速率v =R ω=1.2t 。
22
dv ⎧
a ==2.4t t ⎪⎪dt
可利用自然坐标系得切向和法向加速度： ⎨
24v 1.44t 4⎪a ===14.4t n
⎪R 0.1⎩
总的加速度大小：a =
=
；
⎧a t =4.8m /s 2
（1）当t =2 s 时，⎨ 2
⎩a n =230.4m /s
（2
）由题意应有：2.4t =
12
⨯
2.414.4
16
⇒t =
3
6
，∴θ=2+4⨯
6
=3.15rad 。
（3）令2.4t =14.4t ，得t =相等。
43
=
，∴t =1/
=0.55s 时，法向加速度和切向加速度的值
质点运动学学习材料
一、选择题
1．质点沿轨道A B 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C 处的加速度? ( )
(A ) (B ) (C ) (D )
【提示：由于质点作曲线运动，所以，加速度的方向指向曲线的内侧，又速率逐渐减小，所以加速度的切向分量与运动方向相反】
2． 一质点沿x 轴运动的规律是x =t 2-4t +5（SI 制）。则前三秒内它的 ( )
(A ) 位移和路程都是3m ；
(B ) 位移和路程都是-3m ； (C ) 位移是-3m ，路程是3m ； (D ) 位移是-3m ，路程是5m 。
【提示：将t =3代入公式，得到的是t=3时的位置，位移为t =3时的位置减去t =0时的位置；显然运动规律是一个抛物线方程，可利用求导找出极值点：
d x d t
=2t -4，当t =2时，速度υ=
d x d t
=0，所以前两秒退
了4米，后一秒进了1米，路程为5米】
ω为正常数。3．一质点的运动方程是r =R cos ωt i +R sin ωt j ，R 、从t ＝π/ω到t =2π/ω
时间内
(1) 该质点的位移是 ( )
(A ) -2R i ； (B ) 2R i ； (C ) -2j ； (D ) 0。
(2) 该质点经过的路程是 ( ) (A ) 2R ； (B ) πR ； (C ) 0； (D ) πR ω。
【提示：轨道方程是一个圆周方程（由运动方程平方相加可得圆方程），t ＝π/ω到t ＝2π/ω时间内质点沿圆周跑了半圈，位移为直径，路程半周长】
4． 一细直杆AB ，竖直靠在墙壁上，B 端沿水平方向以速度υ滑离墙壁，则当细杆运动到图示位置时，细杆中点C 的速度 ( )
(A ) 大小为(B ) 大小为(C ) 大小为(D ) 大小为
υ
2
，方向与B 端运动方向相同； ，方向与A 端运动方向相同； ， 方向沿杆身方向； υ
υ
2
υ
2
2cos θ
，方向与水平方向成 θ 角。
l ⎧l ⎧υ=x C =sin θ⎪cx 2cos θ⎪2【提示：C 点的坐标为⎪，则⎪⎨⎨
l ⎪υ=l sin θ⎪y =cos θ
cy C
⎪⎪2⎩2⎩
⋅⋅
d θd t d θd t
，有中点C 的速度大小：υC =
l
2d t
⋅
d θ
。
考虑到B 的横坐标为x B =l sin θ，知已知条件υ=l cos θ⋅
d θd t
，∴υC =
υ
2cos θ
】
1-5．如图所示，湖中有一小船，船在离岸边s 距离处， 有人在离水面高度为h 的岸边用绳子拉船靠岸，设该 人以匀速率v 0收绳，绳不伸长且湖水静止，小船的速度 为v ，则小船作 ( ) （A ）匀加速运动，υ=（C ）变加速运动，υ=
2
υ0
cos θ
； （B ）匀减速运动，υ=υ0cos θ； ； （D ）变减速运动，υ=υ0cos θ。
2
υ0
cos θ
2
【提示：先由三角关系知x =l -h ，两边对时间求导有x ⋅
d x d t
=l ⋅
d l d t
，考虑到υ=
d x d t
，υ0=
d l d t
，
且cos θ=
x l
有υ=
υ0
cos θ
】
6．一质点沿x 轴作直线运动，其υ-t 曲线如图所示， 如t =0时，质点位于坐标原点，则t =4.5s 时，质点在 x 轴上的位置为： ( ) （A ）0； （B ）5m ；
（C ）2m ； （D ）－2m 。
【提示：由于是υ-t 曲线图，∴质点的位移为图中所围的面积。梯形面积为中位线乘高】
7．一质点在平面上运动，已知质点位置矢量的表达式为r =at i +bt j (其中a 、b 为常量) ， 则该质点作： ( ) （A ） 匀速直线运动；（B ）变速直线运动；（C ）抛物线运动；（D ）一般曲线运动.
⎧υx =2at ⎧a x =2a ⎧x =at 2
【提示：将矢量的表达式改写为⎨的轨迹方程为：y =
-
2
2
⎩y =bt
2
，则⎨
⎩υy =2bt
，⎨
⎩a y =2b
。可见加速度为恒量，考虑到质点
b a
x ，∴质点作直线运动】
2
8．一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度为υ=2m /s ，瞬时加速度为a =-2m /s ，则一秒钟后质点的速度： ( ) （A ）等于零；（B ）等于－2m/s；（C ）等于2m/s；（D ）不能确定。
【提示：由于质点运动的加速度是瞬时，∴不能判断一秒钟后质点的速度】
1-2．一运动质点在某瞬时位于位矢r (x , y ) 的端点处，对其速度的大小有四点意见，即： （1）；（2）；（3）；（4
( )
d t d t d t （A ）只有（1）（2）正确； （B ）只有（2）正确； （C ）只有（2）（3）正确； （D ）只有（3）（4）正确。
【提示：d r /d t 是位矢长度的变化率，d r /d t 是速度的矢量形式，d s /d t 是速率，由分量公式考虑：
d r
d s
d r
d x d y
，υy =
υx = d t d t 1--3．质点作半径为R 的变速圆周运动时，加速度大小为(v 表示任一时刻质点的速率) ( )
（A ）； （B ）； （C ）； （D
+。
d t d t R R d υυ
2
d υυ
2
【提示：半径为R 的变速圆周运动可由自然坐标系的加速公式考虑。即a t =
d υd t
，a n =
υ
2
R
】
11．一小球沿斜面向上运动，其运动方程为s =5+4t -t 2（SI ），则小球运动到最高点的时刻是： ( ) （A ）t =4s ； （B ）t =2s ；（C ）t =5s ；（D ）t =8s 。
【提示：小球运动到最高时速度为0，而将运动方程对时间求导可得速度表达式】
12．质点沿直线运动，加速度a =4-t 2，如果当t =3s 时，x =9m ，υ=2m /s ，质点
的运动方程为 ( ) （A ）x =-t +4t -3t +0.75； （B ）x =-t +2t -（C ）x =-7t +2t -
2
3
2
t
4
12t
+
3
34
；
t
4
12
+
214
； （D ）x =-7t +2t -
2
12
。
【提示：求两次积分可得结果。（1）υ=得υ0=-1m /s ；（2）x =得x 0=
⎰(4-t
t
3
2
) d t =4t -
2
t
3
3
+v 0，将t =3s ，υ=2m /s 代入可t
4
⎰(-1+4t -
3
) d t =-t +2t -
12
+x 0，将t =3s ，x =9m 代入可
34
m 】
13．一物体从某高度以v 0的速度水平抛出，已知它落地时的速度为υt ，那么它运动的时间是： ( ) （A ）
υt -υ0
g
；（B ）
υt -υ0
2g
；（C
）
g
（D
2g
【提示：平抛运动落地时水平分速度仍为υ
0】
14．质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每t 时间转一周，在2t 时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为： ( )
（A ）
2πR t
，
2πR t
； （B ）0，
2πR t
； （C ）0，0； （D ）
2πR t
，0。
【提示：平均速度大小指的是一段时间的位移与该段时间的比值，平均速率指的是路程与该段时间的比值，显然2t 时间间隔中质点转2周，位移为0，但路程是4πR 】
1-3．质点作曲线运动，r 表示位置矢量，s 表示路程，a t 表示切向加速度，下列表达式中， （1）
d υd t
（2）=a ；
d r d t
（3）=υ；
d s d t
（4）=υ；
d υd t
=a t 。
正确的是： ( ) （A ）只有（1）、（4）是正确的；（B ）只有（2）、（4）是正确的； （C ）只有（2）是正确的； （D ）只有（3）是正确的。
【提示：（1）d v /dt 应等于切向加速度；（2）d r /dt 在极坐标系中表示径向速度v r ，而（4）中∣ d v /dt ∣为加速度的大小，所以只有（3）是正确的】
16．质点由静止开始以匀角加速度β沿半径为R 作圆周运动，如果在某一时刻此质点的总加速度a 与切向加速度a t 成45 角，则此时刻质点已转过的角度θ为： ( ) （A ）
16
rad ；（B ）
14
rad ；（C ）
13
rad ；（D ）
2
12
rad 。
【由ω=βt 知v =βtR ，则a n =
(βtR )
R
；而a t =βR ，加速度a 与切向加速度a t 成45角意味着
t 0
a t =a n ，有βt 2=1；又质点已转过的角度θ=
d υd t
⎰
βd t =
12
βt ，∴θ=
2
12
】
17．某物体的运动规律为
2
=-k υt ，式中的k 为大于零的常量，当t =0时，初速为υ0，
则速度υ与时间t 的函数关系为： ( ) （A ）υ=
12
k t +υ0；（B ）υ=-
d υ
2
12
k t +υ0；（C ）
υ
2
1
υ
=
k t 2
2
+
+；（D ）=-。
υ2υ0υ0
11k t
2
1
【提示：利用积分。考虑
υ
2
=-k td t ，有⎰
d υ
υ0
υ
2
=-⎰k td t 】
t
二、填空题
⎧x =-10t +30t 2
1．质点的运动方程为⎨，（式中x ，y 的单位为m ，t 的单位为s ），则该2
y =15t -20t ⎩
质点的初速度υ0=；加速度a =
【提示：对时间一次导得速度-10i +15j ，两阶导得加速度60i -40j 】
2
2．升降机以加速度为2.2m /s 上升，当上升速度为3m /s 时，有一螺丝自升降机的天花
板上松落，天花板与升降机的底面相距3m ，则螺丝从天花板落到底面所需要的时间为 秒。
【提示：考虑螺丝作初速为0，加速度为9.8+2.2=12m/s
的自由落体运动，则t =
=
1】
3．一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道P 点处速度大小为角。则物体在P 点的切向加速度 υ，其方向与水平方向成30°
a t =ρ=。
【提示：只要是抛体运动，加速度就一定是竖直向下的重力加速度。考虑自然
坐标系a t =a cos θ（θ为切向和a 之间的夹角）和ρ=
υ
2
a n
，有a t =-g sin 30，a n =g cos 30】
4．试说明质点作何种运动时，将出现下述各种情况（v ≠0）： （A ）a t ≠0，a n ≠0； （B ）a t ≠0，a n =0； （C ）a t =0，a n ≠0；
【提示：（A ）变速曲线运动；（B ）变速直线运动；（C ）匀速曲线运动】
5．一质点作直线运动，其坐标与时间的关系如图所示， 则该质点在第 秒时瞬时速度为零；在第 秒 至第 秒间速度与加速度同方向。
【提示：由于速度是曲线的斜率，所以第3秒时斜率为零也就是瞬时速度为零；从第1秒到第3秒，斜率为正，但逐渐变小，表明速度为正但加速度为负，从第3秒到第6秒，斜率为负且逐渐负方向增加，表明速度为负且加速度为负】
6．一质点沿半径为0.2m 的圆周运动, 其角位置随时间的变化规律是θ=6+5t （SI 制）。在t =2时，它的法向加速度a n =a t =。
【由ω=
2
d θd t
知υ=
Rd θd t
，再利用公式a n =
υ
2
R
和a t =
d υd t
可得a n =80m /s ，a t =2m /s 】
22
7．在x y 平面内有一运动质点，其运动学方程为：r =10cos 5t i +10sin 5t j ，则t 时刻其
速度v = ；其切向加速度的大小a t = ；该质点的运动轨迹是： 。
【∵υ=
d r d t
有υ=-50sin 5t i +50cos 5t j ；而υ=
=50（与
时间无关），∴切向加速度a t =0；运动轨迹由⎨
⎧x =10cos 5t ⎩y =10sin 5t
消去时间求得：x +y
22
=0】
8．悬挂在弹簧上的物体在竖直方向上振动, 振动方程为y =A sin ωt ，其中A 、ω均为常量, 则：(1) 物体的速度与时间的函数关系为 ；(2) 物体的速度与坐标的函数关系为 。
【提示：由υ(t ) =
d y d t
有υ(t ) =A ωcos ωt ，与振动方程联立有：υ(y ) =
1--4．在x 轴上作变加速直线运动的质点, 已知其初速度为υ0，初始位置为x 0，加速度为
a =C t (其中C 为常量) ，则其速度与时间的关系υ(t ) =2
x (t ) = 。
【提示：利用积分。
⎰υ
υ
d υ=
4
⎰
t 0
2
C t d t ，有υ(t ) =υ0+
C 3
t ，在由⎰d x =
x
3
x
⎰
t 0
(υ0+
1C t )
d t 有
3
x (t ) =x 0+υ0t +
C 12
t 】
10．灯距地面高度为h 1, 一个人身高为h 2, 在灯下以匀速率v 沿水平直线行走, 如图 所示。则他的头顶在地上的影子M 点沿 地面移动的速度v m =。
【由三角形相似有
x x -vt
=
h 1h 2
，两边对时间求导，考虑到υm =
d x d t
有υm =
h 1h 1-h 2
υ】
11．如图示，一质点P 从O 点出发以匀速率1m /s 作顺时针 转向的圆周运动，圆的半径为1m ，当它走过
23
圆周时，
走过的路程是 ；这段时间内的平均速度大小为 ； 方向是 。
【由于圆的半径为1m ，所以走过的路程（弧长）即为对应的角度，为
4π3
O
（240）；平均速度却为位
4π3
，则=
4π
m /s ；从图中不难看出，平均速
度方向与y 成30角向右下方】
12．一质点沿半径为R 的圆周运动，在t = 0时以v 0的速率经过圆周上的P 点， 此后它的
速率按υ=υ0+b t (υ0、b 为正的已知常量) 变化，则质点沿圆周运动一周再经过P 点时的切向加速度a t = ；法向加速度a n = 。
【利用公式a t =
d v d t
和a n =
υ
2
R
可得a t =b ；a n =
2
υ
2
R
=
(υ0+bt )
R
2
=
υ0+2υ0bt +b t
R
222
，考虑到运动
一周的时间可由2πR =υ0t +
12
b t 得出，代入上式得a n =
υ0R
2
+4πb 】
13．以一定初速度斜向上抛出一个物体，如果忽略空气阻力，当该物体的速度v 与水平面的夹角为θ 时，它的切向加速度的大小为a t =a n =
【见填空第3题提示，得：-g sin θ和g cos θ】
三、计算题
1-14． 一石块从空中由静止下落，由于空气阻力，石块并非作自由落体运动，现已知加速度为a =A －B v（式中A 、B 为常量），求石块的速度和运动方程。
1-22．一质点沿半径为R 的圆周按规律s =v 0t -圆周运行了多少周？
3．在离地面高度为h 的平台，有人用绳子拉小车，当人的速率v 0匀速时，试求小车的速率
和加速度大小。
1--6．已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v 0，并且v 0与水平面的夹角为θ。试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。
5． 质点P 在水平面内沿一半径为R =1m的圆轨道转动，转动的角速度ω与时间t 的函数关系为ω=kt 2，已知t =2s时，质点P 的速率为16m/s，试求t =1s时，质点P 的速率与加速度的大小。
12
bt 而运动，v 0，b 都是常数。（1）求t
2
时刻质点总的加速度；（2）t 为何值时在数值上等于b ？（3）当加速度达到b 时，质点已沿
1-20．一直立的雨伞，张开后其边缘圆周半径为R ，离地面的高度为h ，当伞绕伞柄以匀角速ω
旋转时，求证水滴沿边缘飞出后落在地面上半径为r =
1-24．一质点在半径为0.10 m 的圆周上运动，其角位置为θ=2+4t 3。（1）求t =2. 0 s 时质点的法向加速度和切向加速度；（2）当切向加速度的大小恰等于总加速度大小的一半时，θ值为多少？（3）t 为何值时，法向加速度和切向加速度的值相等？
解答
一、选择题
1．C 2．D 3．(1) B (2) B 4．D 5．C 6．C 7．B 8．D 9．D 10．D 11．B 12．B 13．C 14．B 15．D 16．D 17．C 三、计算题 1．
解：（1）选石块静止处为原点，竖直向下方向为y 正向。 由a =
d v d t
有A -Bv =
d v d t
，则d t =
d v A -B v
⇒
⎰d t =⎰
d v (A -Bv )
，
积分有t =-
1B
ln A -B v +C 。
1B
ln A ，∴石块的速度为v =
A B (1-e
-B t
考虑到t =0时，v 0=0，有C =
) ；
（2）由v =
d y d t
有d y =
A B
(1-e
-B t
) d t ，则：石块的运动方程为：
y =
⎰B
A
t 0
(1-e
-B t
) d t =
A B A
(t +A B
1B
e
-B t
)
t 0
=
A B
t +
A B
2
(e
-B t
-1) 。
∴石块的运动方程为y =
B
t +
2
(e
-B t
-1)
2．
解：（1）对圆周方程求导得速度大小：v =
ds dt
=v 0-bt （注意圆周方程中是“s ”而不是“r ”）
dv ⎧
a ==-b t ⎪⎪dt
可利用自然坐标系得切向和法向加速度： ⎨
22
⎪a =v =(v 0-bt ) n ⎪⎩R R
则总的加速度：
a ==；
加速度与半径的夹角为：ϕ=arctan
a t a n
=
-Rb (v 0-bt )
2
（2
）由题意应有：
20
=b ⇒(v 0-bt ) 4=0，∴当t =
20
20
v 0b
时，a =b 。
（3）当t =
v 0b
时，s =
v
2b
，∴n =
v
2b
/2πR ，有n =
v
4πRb
3．
解：v 车=
d x d t
，v 人=
d s d t dx dt
=v 0 =
2
由于绳长不变，∴v 车=
2
2
d l d t
，
又由几何关系：s =l -h ，两边对t 求导有：
2s
ds dt
=
2l
dl dt
，解得：v 车=
v s a =
dv 车dt
=
v 0h
22
32
。
(s
2
+h
2
)
（类似问题：在离水面高度为h 的岸边，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸边s 距离处，当人以速率v 0匀速收绳时，试求船的速率和加速度大小。）
4．
解：（1）抛物线顶点处子弹的速度v x =v 0cos θ，顶点处切向加速度为0，法向加速度为g 。 因此有：
g =
v
2
ρ1
2
=
(v 0cos θ)
2
ρ1
2
，
ρ1=
v 0cos θ
g
；
（2）在落地点时子弹的v 0，由抛物线对称性，知法向加速度方向与竖直方向成θ角，则：a n =g cos θ，有：g cos θ=
v 0
2
ρ2
则： ρ2=
v 0
2
g cos θ
。
5．
解：由线速度公式：υ=R ω=Rkt =1⨯kt ，将已知条件代入求得k ：
2
2
k =
υ
t
2
=
162
2
2
=4。P 点的速率：υ=4t 。P 点的切向加速度大小：a t =
d υd t
=8t 。
P 点的法向加速度大小：a n =
υ
2
4
=16t 。所以，t =1时：
R
4222
υ=4t =4(m/s)；a t =8t =8(m/s) ，a n =16t =16(m/s) 。
a =
=
=≈17.9(m/s2)
6．
解：由平抛公式，水滴沿边缘飞出后落在地面上所需时间为：t =
则落地距离为，s =ωRt =ω
s
考虑到水滴是沿伞的边缘切线方向飞出，有：r =
则r ==
7．
解：可由角位置求出角速度：ω=
d θd t
=12t ，则速率v =R ω=1.2t 。
22
dv ⎧
a ==2.4t t ⎪⎪dt
可利用自然坐标系得切向和法向加速度： ⎨
24v 1.44t 4⎪a ===14.4t n
⎪R 0.1⎩
总的加速度大小：a =
=
；
⎧a t =4.8m /s 2
（1）当t =2 s 时，⎨ 2
⎩a n =230.4m /s
（2
）由题意应有：2.4t =
12
⨯
2.414.4
16
⇒t =
3
6
，∴θ=2+4⨯
6
=3.15rad 。
（3）令2.4t =14.4t ，得t =相等。
43
=
，∴t =1/
=0.55s 时，法向加速度和切向加速度的值