《高等数学》章节自测题答案
第1部分 函数 、极限与连续 （单元自测题）
一．单项选择题（共18分）
（ B ）
（ D ）
（ D ）
（ A ）
（ B ）时有
（ D ）
二．填空题（共15分）
的连续区间是
三．判断下列各组极限运算的正误（8分） 1．
２．３．
；；
；；
；
四．求下列极限（20分）
答案：
2 答案：
答案：
答案：1
五．求函数答案：
的间断点，并判断类型 （10分）
为第一类（可去）间断点；
为第二类（无穷）间断点
六．已知答案：
七．用零点定理证明方程
答案：两次利用零点定理即可．
是连续函数，求的值（9分）
在
内有两个实根（20分）
第2部分 导数与微分（单元自测题）
一．单项选择题（共10分）
（ D ）
表示（ B ）
（ C ）
（ D ）,
函数的导数是（ C ）
二．填空题（共22分）
将适当的函数填入括号内
(1)
(3)
(5)
(2) (4) (6)
(7) 三．求下列函数的导数（16分） 1．２．３．
答案：
答案： 答案：
（16分）
4． 答案：
四．求下列函数的二阶导数（16分） 1．２．３．4．五．设
答案：
答案： 答案： 答案：，求
答案：
六．已知曲线的方程是答案：
，求曲线在点
处的切线方程（10分）
七．已知曲线的参数方程是答案：切线方程
；法线方程
，求曲线在
．
处的切线方程和法线方程．
第3部分 导数的应用（单元自测题）
一．单项选择题（共10分）
在区间（ B ）上满足罗尔定理条件
（ D ）
（ D ）
（ A ）
极限
（ C ）
, 最小值是
二．填空题（共15分）
的单调减少区间是
三．求下列极限（20分）
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
四．求函数
的极值和单调区间（10分）
答案：五．证明曲线
六．曲线弧
径．（10分） 答案：七．求函数
总是凹的（10分） 答案：
上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点处的曲率半
的四阶麦克劳林公式（10分）
答案：．
八．要做一圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，问要使得漏斗体积最大，其高应为多少？ 答案：
第4部分 不定积分（单元自测题）
一．单项选择题（共15分）
（ B ）
（ B ）
（ B ）
（ C ）
；
；
不定积分
二．填空题（共15分）
，称为
（ D ）
的不定积分
三．求下列不定积分（55分）
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
四．试用三种方法求不定积分答案：方法一：令
（15分）
；方法二：分子；方法三：令
第5部分 定积分（单元自测题）
一．单项选择题（共18分）
（ C ）
（ A ）
（ C ）
（ B ）
；
；
；
（ D ）
（ B ）
二．填空题（共15分）
三．计算下列定积分（24分）
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
四．下列积分中，使用的变换是否正确? 如不正确，请改正，并计算各定积分．（12分）
答案： 不正确，直接法，
答案： 正确，
，求
（10
答案： 不正确，几何意义或者令
五．已知
有连续的二阶导数，
分）答案：
六．判断下列广义积分的收敛性（12分）
答案：
答案： 发散
答案：
答案：发散
七．研究函数答案：
的单调性，并求其极值（9分）
第6部分 定积分的应用（单元自测题）
一．单项选择题（共20分）
（ A ）
而成的
立体体积为（ B ）
（ A ）
4
（ C ）
（ D ）
二．求曲线
答案：三．求曲线
答案：四．求曲线
五．求曲线
轴所围图形的面积（10分）答案：所围成的图形绕
轴所围图形的面积（10分）
轴所围图形的面积（10分）
轴旋转而成的立体体积（10分）
答案：
六．半径为10m 的半球形水池内充满了水，求把池内水抽干所做的功（15分）
答案：
七．一水坝中有一直立矩形闸门，宽10m ，深6m ，求当水面在闸门顶上8m 的时闸门所受水的压力（15分）答案：八．抛物线
分圆盘
为两部分，求这两部分面积的比（10分）
答案：
第7部分 常微分方程（单元自测题）
一．解下列可分离变量方程（共12分）
答案：
答案：
答案：
二．解下列齐次方程（8分）
答案：
答案：
三．解下列一阶线性方程（25分）
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
四．解下列可降阶的高阶微分方程（15分）
答案：
答案：
答案：
五．解下列二阶常系数线性微分方程（30分）
答案：
答案：
答案：
答案：
．
六．已知某厂的纯利润
比，当答案：
时，
对广告费, 试求纯利润
的变化率为
与广告费
答案：
,
与常数
和纯利润之差成正
之间的函数关系. （1０分）
第8部分 空间解析几何与向量代数（单元自测题）
一．各类计算题（共30分）
在答案：
坐标面上求与三已知点
且
且与平面
和向量
的单位向量 垂直的直线方程 ，求
等距离的点
已知向量的方向角答案：
求过点 答案：
求同时垂直于向量
答案：5．求过直线答案：
已知
垂直
，
的平面方程
求
答案：
二．求以答案：三．求两平面
为顶点的四边形面积(10分)
，
的夹角（10分）
答案：
四．判断下列线与线、线与面之间的位置关系（20分）
答案：互相垂直
答案： 重合
答案： 平行
五．求点
到直线
答案： 直线在平面上
的距离（10分）答案：
六．求平面曲线答案：
绕轴旋转所得曲面的方程（10分）
七．求曲线
在面上的投影（10分）答案：
第9部分 多元函数微积分（单元自测题）
一．关于一阶偏导数（共16分）
若若
，求
答案：
，求
答案：
若
，求
答案：
若，求答案：
二．关于高阶（二阶）偏导数（12分）
若，求
答案：
若，求
答案：
三．关于复合函数的偏导数（10分）
若，求答案：
若，求
答案：
四．关于隐函数的偏导数（10分）
若，求答案：
若，求五．关于极值问题（12分）
求设
答案：
的极值 答案：
，求
在
条件下的极小值
答案：
六．交换下列积分次序（16分）
答案：
答案：
答案：
答案：
七．计算下列二重积分（24分）
，
答案：
答案：
答案：
，
答案：
，
第10部分 无穷级数（单元自测题）
一．判断下列级数的敛散性（共30分）
答案： 收敛
答案： 发散
答案：收敛
5．
答案：发散
答案：条件收敛
答案：绝对收敛
答案：绝对收敛
答案：时绝对收敛；时发散
答案：收敛
答案：收敛
二．证明
（6分）答案：利用级数收敛的必要条件
三．求下列级数的收敛域（12分）
答案：
答案：
答案：
答案：
四．求下列幂级数在收敛域内的和函数（12分）
答案：
答案： 的幂级数，并求其收敛域（12分）
五．将下列函数展开成
答案：
答案：
答案：
六．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛域（12分）
答案：
答案：
七．把下列函数展成傅立叶级数（16分）
答案：
答案：
第11部分 概率（单元自测题）
一．单项选择题（共24分）
（ B ）
设设
为随机事件，互为对立事件，且
, 则必有（ A ）
, 则下列各式中错误的是（ A ）
抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为概率是（ C ）
，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的
设随机变量的分布函数为
，下列结论中不一定成立的是（ D ）
下列各函数中是随机变量分布函数的是（ B ）
如果函数
可以是（ C ）
是某连续型随机变量的概率密度，则区间
设随机变量的概率密度为，令, 则的概率密度
为（ D ）
二．填空题（15分）
设
与
互相独立，
则
某射手命中率为设设
，他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为
= 0
为连续型随机变量，是一个常数，则∽
，则
= 0.5
设三．设
∽，则的概率密度=
（8分）答案：0.4
四．设为两个随机事件，证明与相互独立（10分） 五．已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个 次品被误判为合格品的概率为0.03，求： （10分）
(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；
(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率． 答案：(1)0.9325； (2)0.9984
六．袋中有2个白球，3个红球，现从袋中随机地抽取2个球，以表示取到的红球，求的分布律（10分） 答案：
0 1
2
七．设(1) (2)
的概率密度为的分布函数
；
．
, 求：（10分）
答案：
(1)
八．已知某种类型电子元件的寿命
； (2)0.625，0.625
（单位：小时）服从指数分布，它的概率密度为
，一台仪器装有4个此种类型的电子元件，其中任意
一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子元件损坏与否互相独立。试求：（13分） (1)一个此种类型电子元件能工作2000小时以上的概率
答案：
(1)
(2)（一台仪器能正常工作2000小时以上的概率
第12部分 线性代数 （单元自测题）
答案
(2)
一、单项选择题 (15分)
1．如果将阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（ C ） A ．不变 B ．变号
C ．若为奇数，行列式变号；若为偶数，行列式不变 D ．若为奇数，行列式不变；若为偶数，行列式变号
2．设A ，B ，C ，D 均为阶矩阵，E 为阶单位方阵，下列命题正确的是（ D ） A ．若C ．若3．设A 为
，则，且
；B ．若，则
，则；D ．若
或
，则
只有零解，则对任意
维非零列向量b ，
矩阵，若齐次线性方程组
非齐次线性方程组（ D ）
A ．必有唯一解 B ．必无解；C ．必有无穷多解 D ．可能有解，也可能无解 二、填空题(25分)
4
．
5．三阶行列式
6．设A ，B 均为阶矩阵，7．设A 为阶方阵，且
，则
，则
，
____0______ =___
_______
=______
___
为A 的伴随矩阵，则
8．设矩阵三、计算题
的秩为2，则=____-2_______
9．计算4阶行列式答案：
（10分）
10．设，又，求（10分）答案：
11．设向量组（10分）答案：
，，，，求该向量组的秩
12．设，求矩阵B ，使（10分）
答案：
13．当A 为2阶方阵，且满足
其中
，求矩阵A （10分）
答案：
14．当为何值时，方程组
有无穷多解？
此时，求方程组的通解．（10分）
答案：, 或者
《高等数学》章节自测题答案
第1部分 函数 、极限与连续 （单元自测题）
一．单项选择题（共18分）
（ B ）
（ D ）
（ D ）
（ A ）
（ B ）时有
（ D ）
二．填空题（共15分）
的连续区间是
三．判断下列各组极限运算的正误（8分） 1．
２．３．
；；
；；
；
四．求下列极限（20分）
答案：
2 答案：
答案：
答案：1
五．求函数答案：
的间断点，并判断类型 （10分）
为第一类（可去）间断点；
为第二类（无穷）间断点
六．已知答案：
七．用零点定理证明方程
答案：两次利用零点定理即可．
是连续函数，求的值（9分）
在
内有两个实根（20分）
第2部分 导数与微分（单元自测题）
一．单项选择题（共10分）
（ D ）
表示（ B ）
（ C ）
（ D ）,
函数的导数是（ C ）
二．填空题（共22分）
将适当的函数填入括号内
(1)
(3)
(5)
(2) (4) (6)
(7) 三．求下列函数的导数（16分） 1．２．３．
答案：
答案： 答案：
（16分）
4． 答案：
四．求下列函数的二阶导数（16分） 1．２．３．4．五．设
答案：
答案： 答案： 答案：，求
答案：
六．已知曲线的方程是答案：
，求曲线在点
处的切线方程（10分）
七．已知曲线的参数方程是答案：切线方程
；法线方程
，求曲线在
．
处的切线方程和法线方程．
第3部分 导数的应用（单元自测题）
一．单项选择题（共10分）
在区间（ B ）上满足罗尔定理条件
（ D ）
（ D ）
（ A ）
极限
（ C ）
, 最小值是
二．填空题（共15分）
的单调减少区间是
三．求下列极限（20分）
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
四．求函数
的极值和单调区间（10分）
答案：五．证明曲线
六．曲线弧
径．（10分） 答案：七．求函数
总是凹的（10分） 答案：
上哪一点处的曲率半径最小？并求出该点处的曲率半
的四阶麦克劳林公式（10分）
答案：．
八．要做一圆锥形漏斗，其母线长为20cm ，问要使得漏斗体积最大，其高应为多少？ 答案：
第4部分 不定积分（单元自测题）
一．单项选择题（共15分）
（ B ）
（ B ）
（ B ）
（ C ）
；
；
不定积分
二．填空题（共15分）
，称为
（ D ）
的不定积分
三．求下列不定积分（55分）
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
四．试用三种方法求不定积分答案：方法一：令
（15分）
；方法二：分子；方法三：令
第5部分 定积分（单元自测题）
一．单项选择题（共18分）
（ C ）
（ A ）
（ C ）
（ B ）
；
；
；
（ D ）
（ B ）
二．填空题（共15分）
三．计算下列定积分（24分）
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
四．下列积分中，使用的变换是否正确? 如不正确，请改正，并计算各定积分．（12分）
答案： 不正确，直接法，
答案： 正确，
，求
（10
答案： 不正确，几何意义或者令
五．已知
有连续的二阶导数，
分）答案：
六．判断下列广义积分的收敛性（12分）
答案：
答案： 发散
答案：
答案：发散
七．研究函数答案：
的单调性，并求其极值（9分）
第6部分 定积分的应用（单元自测题）
一．单项选择题（共20分）
（ A ）
而成的
立体体积为（ B ）
（ A ）
4
（ C ）
（ D ）
二．求曲线
答案：三．求曲线
答案：四．求曲线
五．求曲线
轴所围图形的面积（10分）答案：所围成的图形绕
轴所围图形的面积（10分）
轴所围图形的面积（10分）
轴旋转而成的立体体积（10分）
答案：
六．半径为10m 的半球形水池内充满了水，求把池内水抽干所做的功（15分）
答案：
七．一水坝中有一直立矩形闸门，宽10m ，深6m ，求当水面在闸门顶上8m 的时闸门所受水的压力（15分）答案：八．抛物线
分圆盘
为两部分，求这两部分面积的比（10分）
答案：
第7部分 常微分方程（单元自测题）
一．解下列可分离变量方程（共12分）
答案：
答案：
答案：
二．解下列齐次方程（8分）
答案：
答案：
三．解下列一阶线性方程（25分）
答案：
答案：
答案：
答案：
答案：
四．解下列可降阶的高阶微分方程（15分）
答案：
答案：
答案：
五．解下列二阶常系数线性微分方程（30分）
答案：
答案：
答案：
答案：
．
六．已知某厂的纯利润
比，当答案：
时，
对广告费, 试求纯利润
的变化率为
与广告费
答案：
,
与常数
和纯利润之差成正
之间的函数关系. （1０分）
第8部分 空间解析几何与向量代数（单元自测题）
一．各类计算题（共30分）
在答案：
坐标面上求与三已知点
且
且与平面
和向量
的单位向量 垂直的直线方程 ，求
等距离的点
已知向量的方向角答案：
求过点 答案：
求同时垂直于向量
答案：5．求过直线答案：
已知
垂直
，
的平面方程
求
答案：
二．求以答案：三．求两平面
为顶点的四边形面积(10分)
，
的夹角（10分）
答案：
四．判断下列线与线、线与面之间的位置关系（20分）
答案：互相垂直
答案： 重合
答案： 平行
五．求点
到直线
答案： 直线在平面上
的距离（10分）答案：
六．求平面曲线答案：
绕轴旋转所得曲面的方程（10分）
七．求曲线
在面上的投影（10分）答案：
第9部分 多元函数微积分（单元自测题）
一．关于一阶偏导数（共16分）
若若
，求
答案：
，求
答案：
若
，求
答案：
若，求答案：
二．关于高阶（二阶）偏导数（12分）
若，求
答案：
若，求
答案：
三．关于复合函数的偏导数（10分）
若，求答案：
若，求
答案：
四．关于隐函数的偏导数（10分）
若，求答案：
若，求五．关于极值问题（12分）
求设
答案：
的极值 答案：
，求
在
条件下的极小值
答案：
六．交换下列积分次序（16分）
答案：
答案：
答案：
答案：
七．计算下列二重积分（24分）
，
答案：
答案：
答案：
，
答案：
，
第10部分 无穷级数（单元自测题）
一．判断下列级数的敛散性（共30分）
答案： 收敛
答案： 发散
答案：收敛
5．
答案：发散
答案：条件收敛
答案：绝对收敛
答案：绝对收敛
答案：时绝对收敛；时发散
答案：收敛
答案：收敛
二．证明
（6分）答案：利用级数收敛的必要条件
三．求下列级数的收敛域（12分）
答案：
答案：
答案：
答案：
四．求下列幂级数在收敛域内的和函数（12分）
答案：
答案： 的幂级数，并求其收敛域（12分）
五．将下列函数展开成
答案：
答案：
答案：
六．将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛域（12分）
答案：
答案：
七．把下列函数展成傅立叶级数（16分）
答案：
答案：
第11部分 概率（单元自测题）
一．单项选择题（共24分）
（ B ）
设设
为随机事件，互为对立事件，且
, 则必有（ A ）
, 则下列各式中错误的是（ A ）
抛一枚不均匀硬币，正面朝上的概率为概率是（ C ）
，将此硬币连抛4次，则恰好3次正面朝上的
设随机变量的分布函数为
，下列结论中不一定成立的是（ D ）
下列各函数中是随机变量分布函数的是（ B ）
如果函数
可以是（ C ）
是某连续型随机变量的概率密度，则区间
设随机变量的概率密度为，令, 则的概率密度
为（ D ）
二．填空题（15分）
设
与
互相独立，
则
某射手命中率为设设
，他独立地向目标射击4次，则至少命中一次的概率为
= 0
为连续型随机变量，是一个常数，则∽
，则
= 0.5
设三．设
∽，则的概率密度=
（8分）答案：0.4
四．设为两个随机事件，证明与相互独立（10分） 五．已知一批产品中有95%是合格品，检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.02，一个 次品被误判为合格品的概率为0.03，求： （10分）
(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；
(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率． 答案：(1)0.9325； (2)0.9984
六．袋中有2个白球，3个红球，现从袋中随机地抽取2个球，以表示取到的红球，求的分布律（10分） 答案：
0 1
2
七．设(1) (2)
的概率密度为的分布函数
；
．
, 求：（10分）
答案：
(1)
八．已知某种类型电子元件的寿命
； (2)0.625，0.625
（单位：小时）服从指数分布，它的概率密度为
，一台仪器装有4个此种类型的电子元件，其中任意
一个损坏时仪器便不能正常工作，假设4个电子元件损坏与否互相独立。试求：（13分） (1)一个此种类型电子元件能工作2000小时以上的概率
答案：
(1)
(2)（一台仪器能正常工作2000小时以上的概率
第12部分 线性代数 （单元自测题）
答案
(2)
一、单项选择题 (15分)
1．如果将阶行列式中所有元素都变号，该行列式的值的变化情况为（ C ） A ．不变 B ．变号
C ．若为奇数，行列式变号；若为偶数，行列式不变 D ．若为奇数，行列式不变；若为偶数，行列式变号
2．设A ，B ，C ，D 均为阶矩阵，E 为阶单位方阵，下列命题正确的是（ D ） A ．若C ．若3．设A 为
，则，且
；B ．若，则
，则；D ．若
或
，则
只有零解，则对任意
维非零列向量b ，
矩阵，若齐次线性方程组
非齐次线性方程组（ D ）
A ．必有唯一解 B ．必无解；C ．必有无穷多解 D ．可能有解，也可能无解 二、填空题(25分)
4
．
5．三阶行列式
6．设A ，B 均为阶矩阵，7．设A 为阶方阵，且
，则
，则
，
____0______ =___
_______
=______
___
为A 的伴随矩阵，则
8．设矩阵三、计算题
的秩为2，则=____-2_______
9．计算4阶行列式答案：
（10分）
10．设，又，求（10分）答案：
11．设向量组（10分）答案：
，，，，求该向量组的秩
12．设，求矩阵B ，使（10分）
答案：
13．当A 为2阶方阵，且满足
其中
，求矩阵A （10分）
答案：
14．当为何值时，方程组
有无穷多解？
此时，求方程组的通解．（10分）
答案：, 或者