几何证明选讲高考题型汇编

几何证明选讲

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（广东10年）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB =AD =a ，CD =

，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF = 2

15．（广东10年）在极坐标系（ρ，θ）（0≤θ＜2π）中，曲线

ρ(cos θ+sin θ)=1与ρ(sin θ-cos θ)=1的交点的极坐标为(1,)

52⎧⎧χ=cos θ⎪x =t

14．（广东11年）已知两曲线参数方程分别为⎨（0≤θ

⎩y =sin θ⎪⎩y =t

（t ∈R ）

，它们的交点坐标为 1⎛

⎝

⎫⎪⎪。 ⎭

15．（广东11年）如图4，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，CD=2．E,F 分别为AD ，

BC 上点，且EF=3，EF ∥AB ，则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为7：5 14. (广东12年) 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和

⎧x =1-⎪⎪2C :(t ⎨2⎧⎪x =θπ⎪y =-

是参数）C 2:⎨(θ是参数，0≤θ≤）和，它们的交点坐

2⎪⎪⎩2⎩y =θ

标为

(2,1)

_______.

15.(广东12年）如图3所示，直线PB 与圆O 想切于点B ，

D 是弦AC 上的点，∠PBA =∠DBA ，若AD =m , AC =n ，

则AB =。

14．（13年广东）已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2cos θ．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为

o s ⎧x =1+c θ

． ⎨

y =s i θn ⎩

15．（13年广东）如图3，在矩形ABCD

中，AB =

图 3

BC =3，BE ⊥AC ，垂足为E ，则ED =

⎧x =t ,

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎨

y =4+t ⎩

（t 为参数）；以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c 的极坐标

方程为ρ=θ+

15. (几何证明选讲选做题) 已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，

) ．则直线l 和曲线C 的公共点有

直线PO 交圆O 于B , C 两点，AC =2, ∠PAB =120，则圆O 的面积为 4π ．

14. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数

力程是⎨

⎧x =3+cos θ⎩y =1+sin θ

（θ为参数），以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则

圆心C 的极坐标是 (2,

) .

15. （几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 内接于

⊙O ，AB 为⊙O 的直径，直线MN 切⊙O 于D ，

∠MDA =60︒，则∠BCD 150 ．

14. (几何证明选讲选做题)

如图，P 是圆O 外的一点，PD 为切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O

，PF =6, PD =∠DFP =________.

15. (坐标系与参数方程选讲选做题)

在极坐标系中, 圆ρ=1上的点到直线ρcos θ+sin θ=6的距离的最小值是 2 ． 14．（坐标系与参数方程）在极坐标系中，直线l 过点(1,0)且与直线θ=则直线l 极坐标方程为

()

（ρ∈R ）垂直，

2ρs θi +(=

ρcos θsin θ=1） 15．（几何证明选讲）如图，M 是平行四边形ABCD 的边AB 的

中点，直线l 过点M 分别交AD , AC 于点E , F ．若AD =3AE ，则AF :FC = 1:4 ．

14．（坐标系与参数方程）已知直线l :x -y +4=0与圆C :

（)

21l

第15题图

C 1

{

x =1+2cos θ，

y =1+2sin θ

则C 上各点到l 的距离的最小值为__2_____． 15．（几何证明选讲）如图, 以AB =4为直径的圆与△ABC 的两边

分别交于E , F 两点，∠ACB =60，则EF = 第15题图

14. （几何证明选讲选做题）

如图2，已知AB 是⊙O 的一条弦，点P 为AB 上一点， PC ⊥OP ，PC 交⊙O 于C ，若AP =4，PB =2，则PC 的长是

15．（坐标系与参数方程选讲选做题）

C A

图2

⎧x =cos θ,

(θ为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极已知圆C 的参数方程为⎨

y =sin θ+2, ⎩

轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin θ+ρcos θ=1, 则直线l 截圆C 所得14．（坐标系与参数方程）直线2ρcos θ=1与圆ρ=2c o θs 相交的弦长为

15．(几何证明选讲选做题) 如图，已知AB 和AC 是圆的两

条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D ．过点C 作BD 的平行线与圆交于点E , 与AB 相交于点

F ，AF =3，FB =1，EF =，则线段CD 的长为3

⎧x =1+cos ϕ

⒕（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程是⎨（ϕ为参数，

y =sin ϕ⎩

，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 0≤ϕ

极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是ρ=2cos θ ．

⒖（几何证明选讲选做题）如图，AB 为圆O 的直径，

C 为圆O 上一点，CD 为圆O 的切线，AD

⊥CD 。

4x ＋

⎧⎪x ＝1－2t

14. (坐标系与参数方程选做题）若直线⎨(t 为参数) ⎪y ＝2＋3t ⎩

ky ＝1垂直，则常数k ＝_-6_______.

15. （几何证明选讲选做题）如图，已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，直线PO 交圆O 于B 、C 两点，AC ＝2，∠P AB ＝120°，

则圆O 的面积为___4π

14. （几何证明选讲选做题）如图, 在圆O 中, 直径AB 与弦CD 垂直,

垂足为E , EF ⊥DB , 垂足为F , 若圆O 半径为2，AE =1, 则

DF ⋅DB =

15. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 1的极坐标方程为ρ=6cos θ, 曲线C 2的极坐标方程为θ=

（ρ∈R ) ，曲线C 1

, C 2交于A , B 两点，则AB =14．（几何证明选讲选做题）如图，AB 为⊙O 的直径，AC 切⊙O 且AC =22cm ，过C 的割线

CMN 交AB 的延长线于点D ，

CM =MN =ND . AD 的长等于____cm .

15．（坐标系与参数方程选做题）已知直线

的方程为⎨

第14题图

⎧x =1+t

(t 为参数) ，

y =1-t ⎩

以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ=1，则圆C 上的点到直线l

⎧x =t +2

14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系x O y 中，已知曲线C 1：⎨ ,

y =1-2t ⎩

(t 为参数）与曲线C 2 ：⎨为 4 .

15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 是圆O 的直径，PB , PE 分别切圆O 于B , C ，若∠ACE =40，则∠P =__80_______．

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的坐标为 22,

⎧x =3cos θ

, （θ为参数）相交于两个点A 、B ，则线段AB 的长

⎩y =3sin θ

（第15题图）

⎛⎝

π⎫

⎪，曲线C 的方程4⎭

为ρ=4sin θ，则OA （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为__2

15．（几何证明选讲选做题）如图5所示，过圆C 外一点P 做一条

直线与圆C 交于A ，B 两点，BA =2AP ，PT 与圆C 相切于

2 .

T 点. 已知圆C 的半径为2，∠CAB =30 , 则PT =__3____ .

⎧x =2+cos θ

14. （坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为⎨（θ为参数）图5 ， y =sin θ⎩

则曲线C 上的点到直线3x -4y +4=0的距离的最

大值为___3______.

15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的直径AB =6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA =30︒，则PC=___33. ________.

14．在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin θ=3, 则点(2到直线l 的距离为。

15．如图所示, 圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，CD=4，BD=8，

则圆O 的半径等于 5 。

⎧x =t -1

14．（坐标系与参数方程选做题）已知直线l 的方程为⎨（t 为参数），以坐标原点为

y =t +1⎩

极点，x 轴正方向为极轴的极坐标中，圆的极坐标方程为ρ=2，则l 与该圆相交所得弦的弦长为

___．

15．（几何证明选讲选做题）如图1，A , B 是圆O 上的两点，且OA ⊥OB ，

OA =2，C 为OA 的中点，连接BC 并延长BC 交圆O 于点D ，

则CD =

． O 14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标xOy 中，曲线C 1的参数方程为

⎨为参数)

，曲线C 2的参数方程为⎨_____2_______.

⎧x =2+t 图1

y =-1-t ⎩

⎧x =3cos α

(α为参数) ，则曲线C 1与C 2的交点个数为

⎩y =3sin α

15．（几何证明选讲选做题）已知圆O 割线PAB 交圆O 于A , B (PA

，PO =10，则圆O 的半径是 3

14. （几何证明选讲）如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆上，CD ⊥AB

于点D ，且AD=3DB，设∠COD =θ，则tan

=____

____. 3

15. （坐标系与参数方程）已知直线l :ρcos θ-ρsin θ=4，

圆C :ρ=4cos θ，则直线l 与圆C 的位置关系是_相交_______.

⎧x =4t 2

14．（坐标系与参数方程选做题）若点P (3 , m ) 在以点F 为焦点的抛物线⎨(t 为

⎩y =4t

参数) 上，则|PF |= 4 ．

15．（几何证明选讲选做题）如右图，O 是半圆的圆心，直径AB =26，PB 是圆的一条切线，割线PA 与半圆交于点C ，AC =4，则PB =

23 ．

⎧x =1+cos θ14.(坐标系与参数方程选讲选做题) 圆C ：⎨(θ为参数) 的圆心到直线l

：

y =sin θ⎩

⎧⎪x =-3t

(t 为参数) 的距离为 2 . ⎨

⎪⎩y =1-3t

15.(几何证明选讲选做题) 如图，PC 切⊙O于点C ，割线PAB 经过

圆心O ，弦CD⊥AB于点E ，

PC=4，PB=8，则CD =__

14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点M (2,

E A D

24 _________. 5

θ+) 到直线l :ρsin(

) =

的距离为． 15. （几何证明选做题）

AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，

AD =2，AB =6，则AC 的长为

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点

π⎫⎛

⎪作圆ρ=4sin θ的切线，则切线的极坐标方程

4⎭⎝

是

ρcos θ=215．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径AB =6，C 为圆周上一点，BC =3，

过C 作圆的切线l ，过A 作l 的垂线AD ，垂足为D ，则∠DAC = 30︒ .

14. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过圆ρ=6cosθ的圆心和点(2, ) 的直线的极坐标方程为_ρsin θ-2ρcos θ

+6=O , _______，

15. （几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P ，若PB =1，PD =3，

则

BC 1

的值为____ AD 3

13, 已知圆C:x+y=12，直线l:4x+3y =25. (1)圆C 的圆心到直线，的距离为_5___．

(2)圆C 上任意一点A 到直线l 的距离小于2的概率为__

__． 6

14. 在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎨

x =2cos θ⎧

（θ为参数），以原点O 为极点，以 θ⎩y =2+2sin

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心的极坐标为 (2,

) 。 2

14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AC 和AB 分别是圆O 的切线，B 、C

为切点，且OC=3，AB=4，延长AO 到D 点，则△ABD的面积是

__________ 5

⎧x =2t +2a

y =-t ⎩

15. （坐标系与参数方程）在平面直角坐标系下，曲线C 1:⎨

（t 为参数），曲线C 2:⎨

⎧x =2cos B

(θ为参数) ．若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的

⎩y =2+2sin θ

≤a ≤25取值范围___2________

14．（坐标系与参数方程选做题）过点(2,

_ρsin

θ=．

15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，直线PO 交圆O 于B , C 两点，AC =2, ∠PAB =120，则圆O 的面积为 4π ．

14．（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，圆ρ=2cos θ的圆心到直线ρcos θ=2的距离是____1_________.

15．（几何证明选讲选做题）

如图，在△ABC 中，D 是

AC 的中点，E 是

) 且平行于极轴的直线的极坐标方程为

BD 的中点，AE 交BC 于F ，则

BF 1

=FC 2

14. （坐标系与参数方程选做题）已知圆C 的极坐标方程为ρ=2cos θ，则圆C 上点到直线

l :

ρcos θ-2ρsin θ+4=0的最短距离为

1 。

15. (几何证明选讲选做题) 如图3，PAB 、PCD 为⊙O的两条割线，

若 PA=5，AB=7，CD=11，AC =2，则BD 等于 6 .

图3