第七章 实验 利用单摆测重力加速度
1．在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测 量结果精度有利的是
A ．适当加长摆线
B ．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C ．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D ．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作 为单摆振动的周期
解析：单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度．适 当加长摆线长度有利于把摆球看成质点，在摆角小于10°的条件下，摆球的空间位置 变化较大，便于观察，选项A 对．
摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大，选项B 错． 只有在小角度的情形下，单摆的周期才满足T ＝2π l C 对． g ( )
本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于球过平衡位置时速度较大， 难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，选项D 错． 答案：AC
2．(2010·北京海淀区测试) 某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时，测得的重力 加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值．造成这一情况的可能原因是( )
A ．测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成摆长
B ．测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，此后摆球第30次通过平衡位置
t 时制动秒表，读出经历的时间为t ，并由计算式T 30
C ．开始摆动时振幅过小
D ．所用摆球的质量过大
解析：由T ＝2π4π2
g 得g ＝T l ，g 值偏大说明l 偏大或T 偏小．把悬挂状态的摆线长
当成摆长，会使l 偏小，g 值偏小，A 错；摆球第30次通过平衡位置时，实际上共 完成15次全振动，周期T ＝t 30次全振动，T 变小引起g 值明显偏大，B 15
对；单摆周期与振幅和摆球质量无关，C 、D 错误．
答案：B
3．(1)在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，用主尺最小分度为1 mm、游标尺上 有20个分度的卡尺测量金属球的直径，结果如图实－6甲所示，可以读出此金属球 的直径为______ mm.
(2)单摆细绳的悬点与拉力传感器相连，将摆球拉开一小角度使单摆做简谐运动后， 从某时刻开始计时，拉力传感器记录了拉力随时间变化的情况，如图实－6乙所示， 则该单摆的周期为
________ s.
图实－6
解析：(1)球的直径为
14 mm＋0.05 mm×7＝14.35 mm.
(2)由单摆的周期性结合F －t 图象可以得出，该单摆的周期为2.0 s.
答案：(1)14.35 (2)2.0
4．某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时
摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当
作摆长L ，通过改变摆线的长度，测得6组L 和对应的周
期T ，画出L －T 2图线，然后在图线上选取A 、B 两个点，
坐标如图实－7所示．他采用恰当的数据处理方法，则计
算重力加速度的表达式应为g ＝________.请你判断该同
学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________(填“偏大”“偏 小”或“相同”) ．
解析：由单摆的周期公式T ＝2π L L L L 得T 2＝4π2T A 2＝4π2T B 2＝4π2，可 g g g g
4π2(L B －L A )得g ＝，由此式可知测得的g 与某一次的摆长无关，与两次实验中的摆长 T B －T A 差有关，所以g 值与摆球重心在不在球心处无关．
4π2(L B －L A ) 相同 T B －T A 5．下面是“用单摆测定重力加速度”的实验中获得的有关数据：
(1)利用上述数据在图实－8所示的坐标中作出l －T 2图象．
图实－8
(2)利用图象，取T 2＝0.1×4π2＝3.95 s2，求出重力加速度的值．
解析：(1)图象如图所示．
(2)由图象中读出：当T 2＝3.95 s2时，l ＝0.96 m，
则重力加速度
24π2l 4π×0.9622g ＝ m/s＝9.6 m/s. T 0.1×4π答案：(1)见解析图 (2)9.6 m/s2
6．某同学想在家里做“用单摆测定重力加速度”的实验，但没
有合适的摆球，他找到了一块大小约为3 cm、外形不规则的
大理石代替小球．他设计的实验步骤如下：
A ．将石块和细尼龙线系好，结点为M ，将尼龙线的上端固
定于O 点，如图实－9所示；
B ．用刻度尺测量OM 间尼龙线的长度L 作为摆长；
C ．将石块拉开一个大约α＝5°的角度，然后由静止释放；
D ．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总
时间t ，由T ＝t 30
E ．改变OM 间尼龙线的长度再做几次实验，记下每次相应的l 和T ；
F ．求出多次实验中测得的l 和T 的平均值，作为计算时用的数据，代入公式g ＝T ) 2l ，
求出重力加速度g .
(1)该同学以上实验步骤中有重大错误的是__________________________________．
(2)该同学用OM 的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比
真实值__________(填“偏大”或“偏小”) ．
(3)用什么方法可以解决摆长无法准确测量的困难？
解析：(1)摆长应为石块质心到悬点的距离，故B 步骤错误；计时开始的位置应为摆
2π球振动的平衡位置，故D 步骤错误；在用公式g ＝T ) 2l 计算g 时，应将各项的l 和
T 单独代入求解g 值，不能求l 、T 的平均值再代入求解，故F 步骤也错误．
(2)因为用OM 作为摆长，比摆的实际摆长偏小，因此计算出的重力加速度的值比实 际值偏小．
(3)可采用图象法，以T 2为纵轴，以l 为横轴，作出多次测量得到的T 2－l 图线，求
4π24π2出图线斜率k . 再由k ＝得g ＝k 值不受悬点不确定因素的影响，因此可以解决 g k
摆长无法准确测量的困难．
答案：(1)BDF (2)偏小 (3)见解析
7．将一单摆装置竖直挂于某一深度h (未知) 且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒 外) ，如图实－10甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振 动过程中悬线不会碰到筒壁，测量出筒的下端口到摆球球心的距离l ，并通过改变l 而测出对应的周期T ，再以T 2为纵轴、l 为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过 此图象得出小筒的深度h 和当地的重力加速度．(取π2＝9.86)
图实－10
(1)如果实验中所得到的T 2－l 关系图象如图乙所示，那么正确的图象应是a 、b 、c 中的________．
(2)由图象可知，小筒的深度h ＝________m，当地的重力加速度g ＝________m/s2. 解析：(1)由单摆周期公式T ＝2π
＋
4π24π2
h ) ，即T ＝g l ＋g h ，正确图象应是a . 22L 4π224π2g T ＝g ，而L ＝l ＋h ，所以T ＝g (l
4π2h 4π21.20(2)由图象知g 1.20，g g ＝π2＝9.86 m/s2，h ＝0.30 m. 0.3
答案：(1)a (2)0.30 9.86
8．某同学利用如图实－11所示的装置测量当地的重力加速度．实验步骤如下：
A ．按装置图安装好实验装置
B ．用游标卡尺测量小球的直径d
C ．用米尺测量悬线的长度l
D ．让小球在竖直平面内小角度摆动．当小球经过最低点
时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一
次，依次计数1、2、3„. 当数到20时，停止计时，
测得时间为t
E ．多次改变悬线长度，对应每个悬线长度都重复
实验步骤C 、D
F ．计算出每个悬线长度对应的t 2
G ．以t 2为纵坐标、l 为横坐标，作出t 2－l 图线
结合上述实验，完成下列任务：
(1)用游标为10分度(测量值可准确到0.1 mm)的卡尺测量小球的直径．某次测量的示 数如图实－12所示，读出小球直径d 的值为________cm.
图实－12
(2)该同学根据实验数据，利用计算机作出t 2－l 图线如图实－13所示．根据图线拟合 得到方程t 2＝404.0l ＋3.5. 由此可以得出当地的重力加速度g ＝______m/s2.(取π2＝
9.86，结果保留3位有效数字
)
图实－13
(3)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是________．
A ．不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点开始计时
B ．开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数
C ．不应作t 2－l 图线，而应作t －l 图线
1D ．不应作t 2－l 图线，而应作t 2－(l ＋d ) 图线 2
解析：(1)依据游标卡尺读数原理知，d ＝(15＋0.1×2)mm ＝15.2 mm＝1.52 cm.
t t ＝2π 1010l ＋22 ，所以t g (2)根据实验操作可知单摆周期T ＝
400π2200π2d 400π2400π2
＝＋，参考拟合方程得＝404.0，所以g ＝≈9.76 m/s2. g g g 404.0
(3)根据实验操作和实验原理可知D 选项说法正确．
答案：(1)1.52 (2)9.76 (3)D
第七章 实验 利用单摆测重力加速度
1．在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测 量结果精度有利的是
A ．适当加长摆线
B ．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C ．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D ．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作 为单摆振动的周期
解析：单摆实验的精确度取决于实验装置的理想化程度及相关物理量的测量精度．适 当加长摆线长度有利于把摆球看成质点，在摆角小于10°的条件下，摆球的空间位置 变化较大，便于观察，选项A 对．
摆球体积越大，所受空气阻力越大，对质量相同的摆球其影响越大，选项B 错． 只有在小角度的情形下，单摆的周期才满足T ＝2π l C 对． g ( )
本实验采用累积法测量周期，若仅测量一次全振动，由于球过平衡位置时速度较大， 难以准确记录，且一次全振动的时间太短，偶然误差较大，选项D 错． 答案：AC
2．(2010·北京海淀区测试) 某同学做“用单摆测定重力加速度”的实验时，测得的重力 加速度数值明显大于当地的重力加速度的实际值．造成这一情况的可能原因是( )
A ．测量摆长时，把悬挂状态的摆线长当成摆长
B ．测量周期时，当摆球通过平衡位置时启动秒表，此后摆球第30次通过平衡位置
t 时制动秒表，读出经历的时间为t ，并由计算式T 30
C ．开始摆动时振幅过小
D ．所用摆球的质量过大
解析：由T ＝2π4π2
g 得g ＝T l ，g 值偏大说明l 偏大或T 偏小．把悬挂状态的摆线长
当成摆长，会使l 偏小，g 值偏小，A 错；摆球第30次通过平衡位置时，实际上共 完成15次全振动，周期T ＝t 30次全振动，T 变小引起g 值明显偏大，B 15
对；单摆周期与振幅和摆球质量无关，C 、D 错误．
答案：B
3．(1)在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，用主尺最小分度为1 mm、游标尺上 有20个分度的卡尺测量金属球的直径，结果如图实－6甲所示，可以读出此金属球 的直径为______ mm.
(2)单摆细绳的悬点与拉力传感器相连，将摆球拉开一小角度使单摆做简谐运动后， 从某时刻开始计时，拉力传感器记录了拉力随时间变化的情况，如图实－6乙所示， 则该单摆的周期为
________ s.
图实－6
解析：(1)球的直径为
14 mm＋0.05 mm×7＝14.35 mm.
(2)由单摆的周期性结合F －t 图象可以得出，该单摆的周期为2.0 s.
答案：(1)14.35 (2)2.0
4．某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时
摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当
作摆长L ，通过改变摆线的长度，测得6组L 和对应的周
期T ，画出L －T 2图线，然后在图线上选取A 、B 两个点，
坐标如图实－7所示．他采用恰当的数据处理方法，则计
算重力加速度的表达式应为g ＝________.请你判断该同
学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________(填“偏大”“偏 小”或“相同”) ．
解析：由单摆的周期公式T ＝2π L L L L 得T 2＝4π2T A 2＝4π2T B 2＝4π2，可 g g g g
4π2(L B －L A )得g ＝，由此式可知测得的g 与某一次的摆长无关，与两次实验中的摆长 T B －T A 差有关，所以g 值与摆球重心在不在球心处无关．
4π2(L B －L A ) 相同 T B －T A 5．下面是“用单摆测定重力加速度”的实验中获得的有关数据：
(1)利用上述数据在图实－8所示的坐标中作出l －T 2图象．
图实－8
(2)利用图象，取T 2＝0.1×4π2＝3.95 s2，求出重力加速度的值．
解析：(1)图象如图所示．
(2)由图象中读出：当T 2＝3.95 s2时，l ＝0.96 m，
则重力加速度
24π2l 4π×0.9622g ＝ m/s＝9.6 m/s. T 0.1×4π答案：(1)见解析图 (2)9.6 m/s2
6．某同学想在家里做“用单摆测定重力加速度”的实验，但没
有合适的摆球，他找到了一块大小约为3 cm、外形不规则的
大理石代替小球．他设计的实验步骤如下：
A ．将石块和细尼龙线系好，结点为M ，将尼龙线的上端固
定于O 点，如图实－9所示；
B ．用刻度尺测量OM 间尼龙线的长度L 作为摆长；
C ．将石块拉开一个大约α＝5°的角度，然后由静止释放；
D ．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总
时间t ，由T ＝t 30
E ．改变OM 间尼龙线的长度再做几次实验，记下每次相应的l 和T ；
F ．求出多次实验中测得的l 和T 的平均值，作为计算时用的数据，代入公式g ＝T ) 2l ，
求出重力加速度g .
(1)该同学以上实验步骤中有重大错误的是__________________________________．
(2)该同学用OM 的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比
真实值__________(填“偏大”或“偏小”) ．
(3)用什么方法可以解决摆长无法准确测量的困难？
解析：(1)摆长应为石块质心到悬点的距离，故B 步骤错误；计时开始的位置应为摆
2π球振动的平衡位置，故D 步骤错误；在用公式g ＝T ) 2l 计算g 时，应将各项的l 和
T 单独代入求解g 值，不能求l 、T 的平均值再代入求解，故F 步骤也错误．
(2)因为用OM 作为摆长，比摆的实际摆长偏小，因此计算出的重力加速度的值比实 际值偏小．
(3)可采用图象法，以T 2为纵轴，以l 为横轴，作出多次测量得到的T 2－l 图线，求
4π24π2出图线斜率k . 再由k ＝得g ＝k 值不受悬点不确定因素的影响，因此可以解决 g k
摆长无法准确测量的困难．
答案：(1)BDF (2)偏小 (3)见解析
7．将一单摆装置竖直挂于某一深度h (未知) 且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒 外) ，如图实－10甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振 动过程中悬线不会碰到筒壁，测量出筒的下端口到摆球球心的距离l ，并通过改变l 而测出对应的周期T ，再以T 2为纵轴、l 为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过 此图象得出小筒的深度h 和当地的重力加速度．(取π2＝9.86)
图实－10
(1)如果实验中所得到的T 2－l 关系图象如图乙所示，那么正确的图象应是a 、b 、c 中的________．
(2)由图象可知，小筒的深度h ＝________m，当地的重力加速度g ＝________m/s2. 解析：(1)由单摆周期公式T ＝2π
＋
4π24π2
h ) ，即T ＝g l ＋g h ，正确图象应是a . 22L 4π224π2g T ＝g ，而L ＝l ＋h ，所以T ＝g (l
4π2h 4π21.20(2)由图象知g 1.20，g g ＝π2＝9.86 m/s2，h ＝0.30 m. 0.3
答案：(1)a (2)0.30 9.86
8．某同学利用如图实－11所示的装置测量当地的重力加速度．实验步骤如下：
A ．按装置图安装好实验装置
B ．用游标卡尺测量小球的直径d
C ．用米尺测量悬线的长度l
D ．让小球在竖直平面内小角度摆动．当小球经过最低点
时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一
次，依次计数1、2、3„. 当数到20时，停止计时，
测得时间为t
E ．多次改变悬线长度，对应每个悬线长度都重复
实验步骤C 、D
F ．计算出每个悬线长度对应的t 2
G ．以t 2为纵坐标、l 为横坐标，作出t 2－l 图线
结合上述实验，完成下列任务：
(1)用游标为10分度(测量值可准确到0.1 mm)的卡尺测量小球的直径．某次测量的示 数如图实－12所示，读出小球直径d 的值为________cm.
图实－12
(2)该同学根据实验数据，利用计算机作出t 2－l 图线如图实－13所示．根据图线拟合 得到方程t 2＝404.0l ＋3.5. 由此可以得出当地的重力加速度g ＝______m/s2.(取π2＝
9.86，结果保留3位有效数字
)
图实－13
(3)从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是________．
A ．不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点开始计时
B ．开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数
C ．不应作t 2－l 图线，而应作t －l 图线
1D ．不应作t 2－l 图线，而应作t 2－(l ＋d ) 图线 2
解析：(1)依据游标卡尺读数原理知，d ＝(15＋0.1×2)mm ＝15.2 mm＝1.52 cm.
t t ＝2π 1010l ＋22 ，所以t g (2)根据实验操作可知单摆周期T ＝
400π2200π2d 400π2400π2
＝＋，参考拟合方程得＝404.0，所以g ＝≈9.76 m/s2. g g g 404.0
(3)根据实验操作和实验原理可知D 选项说法正确．
答案：(1)1.52 (2)9.76 (3)D