1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分
设实值函数f(t),其中t(,),它的希尔伯特变换为
f(t)
f()
, (1) (t)
常记为
f(t)H[f(t)] (2)
由于f(t)是函数f(t)与
1
的卷积积分,故可写成 t
1
f(t)=f(t)* (3)
t
2) 2相位
设F(f)F[f(t)],根据(3)式和傅里叶变换性质可知,F(f)是f(t)的傅里叶变换F(f)和t的傅里叶变换的乘积。由
j,f0, (4)
F[t]jsgn(f)
j,f0.
得
F(f)[jsgn(f)]F(f).
jsgn(f)可表达为
j
e2,f0
B(f)jsgn(f) j
e2,f0.
或者
B(f)e
j
2
sgn(f)
2
所以B(f)是一个相移系统,即希尔伯特变换等效于
2
2
的相移,对
正频率产生的相移,对负频率产生相移,或者说,在时域信号
2
中每一频率成分移位波长。因此,希尔伯特变换又称为90度移相器。
3) 解析信号的虚部
为进一步理解希尔伯特变换的意义,引入解析函数Z(t):
Z(t)f(t)jf(t) (5)
14
也可以写成
Z(t)A(t)ej(t) 其中,A(t)称为希尔伯特变换的包络;(t)称为瞬时响应信号。希尔伯特变换包络A(t)定义为
A(t)
f2
(t)f2
(t) 相位定义为
(t)arctanf(t)
f(t)
瞬时频率定义为
fd(f)
0
12dt
根据傅里叶变换式
Z(t)F1[Z(f)]
f(t)jf
(t)
f(t)Re[Z(t)]
f(t)Im[Z(t)] 为计算Z(f),由F
(f)[jsgn(f)]F(f).知
Z(f)[1sgn(f)]F(f)
B1(f)F(f) (6)
(7)
(8)
(9)
(10) (11)
其中
2,f0
B1(f)
0,f0
因此,可以简单地从F(f)得到Z(t),而Z(t)的虚部即f(t)。 2. 希尔伯特变换的性质 1) 线性性质
若a,b为任意常数,且f1(t)H[f1(t)],f2(t)H[f2(t)],则有
H[af1(t)bf2(t)]af1(t)bf2(t) (12)
2) 移位性质
H[f(ta)]f(ta) (13)
3) 希尔伯特变换的希尔伯特变换
H[f(t)]f(t) (14)
此性质表明,两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号,由此可以进一步得到
H2n[f(t)]j2nf(t) (15)
4) 逆希尔伯特变换
f(t)H1[f(t)]
1
f(t)为f(t)与的卷积,可表示为
t
f()
(16) (t)
f(t)F[jsgn(f)F(f)] (17)
1
其中,F(f)F[f(t)]。 5) 奇偶特性
如果原函数f(t)是t的偶(奇),则其希尔伯特变换f(t)就是t的奇(偶)
函数,即
f(t)偶f(t)奇
(18)
f(t)奇f(t)偶
6) 能量守恒
根据帕塞瓦尔定理可知
和
f2(t)dt|F(f)|2df
因而有
f(t)dt|F(f)|2df
2
7) 正交性质
f(t)dtf(t)dt (19)
2
2
8) 调制性质
f(t)f(t)dt0 (20)
对任意函数f(t),其傅里叶变换F(t)是带限的,即
F(t),|f|fm
F(t)
0,其他
则有
H[f(t)cos2f0t]f(t)sin2f0t
(21)
H[f(t)sin2ft]f(t)cos2ft00
9) 卷积性质
H[f1(t)*f2(t)]f1(t)*f2(t) (22)
另外,希尔伯特变换具有周期性和同域性,即希尔伯特变换不改变原函数的周期性,也不改变域表示,而不像傅里叶变换那样,把时间函数(信号)从时域表示换成频域表示。
1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分
设实值函数f(t),其中t(,),它的希尔伯特变换为
f(t)
f()
, (1) (t)
常记为
f(t)H[f(t)] (2)
由于f(t)是函数f(t)与
1
的卷积积分,故可写成 t
1
f(t)=f(t)* (3)
t
2) 2相位
设F(f)F[f(t)],根据(3)式和傅里叶变换性质可知,F(f)是f(t)的傅里叶变换F(f)和t的傅里叶变换的乘积。由
j,f0, (4)
F[t]jsgn(f)
j,f0.
得
F(f)[jsgn(f)]F(f).
jsgn(f)可表达为
j
e2,f0
B(f)jsgn(f) j
e2,f0.
或者
B(f)e
j
2
sgn(f)
2
所以B(f)是一个相移系统,即希尔伯特变换等效于
2
2
的相移,对
正频率产生的相移,对负频率产生相移,或者说,在时域信号
2
中每一频率成分移位波长。因此,希尔伯特变换又称为90度移相器。
3) 解析信号的虚部
为进一步理解希尔伯特变换的意义,引入解析函数Z(t):
Z(t)f(t)jf(t) (5)
14
也可以写成
Z(t)A(t)ej(t) 其中,A(t)称为希尔伯特变换的包络;(t)称为瞬时响应信号。希尔伯特变换包络A(t)定义为
A(t)
f2
(t)f2
(t) 相位定义为
(t)arctanf(t)
f(t)
瞬时频率定义为
fd(f)
0
12dt
根据傅里叶变换式
Z(t)F1[Z(f)]
f(t)jf
(t)
f(t)Re[Z(t)]
f(t)Im[Z(t)] 为计算Z(f),由F
(f)[jsgn(f)]F(f).知
Z(f)[1sgn(f)]F(f)
B1(f)F(f) (6)
(7)
(8)
(9)
(10) (11)
其中
2,f0
B1(f)
0,f0
因此,可以简单地从F(f)得到Z(t),而Z(t)的虚部即f(t)。 2. 希尔伯特变换的性质 1) 线性性质
若a,b为任意常数,且f1(t)H[f1(t)],f2(t)H[f2(t)],则有
H[af1(t)bf2(t)]af1(t)bf2(t) (12)
2) 移位性质
H[f(ta)]f(ta) (13)
3) 希尔伯特变换的希尔伯特变换
H[f(t)]f(t) (14)
此性质表明,两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号,由此可以进一步得到
H2n[f(t)]j2nf(t) (15)
4) 逆希尔伯特变换
f(t)H1[f(t)]
1
f(t)为f(t)与的卷积,可表示为
t
f()
(16) (t)
f(t)F[jsgn(f)F(f)] (17)
1
其中,F(f)F[f(t)]。 5) 奇偶特性
如果原函数f(t)是t的偶(奇),则其希尔伯特变换f(t)就是t的奇(偶)
函数,即
f(t)偶f(t)奇
(18)
f(t)奇f(t)偶
6) 能量守恒
根据帕塞瓦尔定理可知
和
f2(t)dt|F(f)|2df
因而有
f(t)dt|F(f)|2df
2
7) 正交性质
f(t)dtf(t)dt (19)
2
2
8) 调制性质
f(t)f(t)dt0 (20)
对任意函数f(t),其傅里叶变换F(t)是带限的,即
F(t),|f|fm
F(t)
0,其他
则有
H[f(t)cos2f0t]f(t)sin2f0t
(21)
H[f(t)sin2ft]f(t)cos2ft00
9) 卷积性质
H[f1(t)*f2(t)]f1(t)*f2(t) (22)
另外,希尔伯特变换具有周期性和同域性,即希尔伯特变换不改变原函数的周期性,也不改变域表示,而不像傅里叶变换那样,把时间函数(信号)从时域表示换成频域表示。