希尔伯特变换的定义和性质

1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分

设实值函数f(t),其中t(,),它的希尔伯特变换为

f(t)

f()

, (1) (t)



常记为

f(t)H[f(t)] (2)

由于f(t)是函数f(t)与

1

的卷积积分,故可写成 t

1

f(t)=f(t)* (3)

t

2) 2相位

设F(f)F[f(t)],根据(3)式和傅里叶变换性质可知,F(f)是f(t)的傅里叶变换F(f)和t的傅里叶变换的乘积。由

j,f0, (4)

F[t]jsgn(f)

j,f0.

F(f)[jsgn(f)]F(f).

jsgn(f)可表达为

j

e2,f0

B(f)jsgn(f) j

e2,f0.

或者

B(f)e

j

2

sgn(f)

2

所以B(f)是一个相移系统,即希尔伯特变换等效于

2

2

的相移,对

正频率产生的相移,对负频率产生相移,或者说,在时域信号

2

中每一频率成分移位波长。因此,希尔伯特变换又称为90度移相器。

3) 解析信号的虚部

为进一步理解希尔伯特变换的意义,引入解析函数Z(t):

Z(t)f(t)jf(t) (5)

14

也可以写成

Z(t)A(t)ej(t) 其中,A(t)称为希尔伯特变换的包络;(t)称为瞬时响应信号。希尔伯特变换包络A(t)定义为

A(t)

f2

(t)f2

(t) 相位定义为

(t)arctanf(t)

f(t) 

瞬时频率定义为

fd(f)

0

12dt

根据傅里叶变换式

Z(t)F1[Z(f)]

f(t)jf

(t)

f(t)Re[Z(t)]

f(t)Im[Z(t)] 为计算Z(f),由F

(f)[jsgn(f)]F(f).知

Z(f)[1sgn(f)]F(f)

B1(f)F(f) (6)

(7)

(8)

(9)

(10) (11)

其中

2,f0

B1(f)

0,f0

因此,可以简单地从F(f)得到Z(t),而Z(t)的虚部即f(t)。 2. 希尔伯特变换的性质 1) 线性性质

若a,b为任意常数,且f1(t)H[f1(t)],f2(t)H[f2(t)],则有

H[af1(t)bf2(t)]af1(t)bf2(t) (12)

2) 移位性质

H[f(ta)]f(ta) (13)

3) 希尔伯特变换的希尔伯特变换

H[f(t)]f(t) (14)

此性质表明,两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号,由此可以进一步得到

H2n[f(t)]j2nf(t) (15)

4) 逆希尔伯特变换

f(t)H1[f(t)]

1

f(t)为f(t)与的卷积,可表示为

t

f()

 (16) (t)



f(t)F[jsgn(f)F(f)] (17)

1

其中,F(f)F[f(t)]。 5) 奇偶特性

如果原函数f(t)是t的偶(奇),则其希尔伯特变换f(t)就是t的奇(偶)



函数,即

f(t)偶f(t)奇

(18) 

f(t)奇f(t)偶

6) 能量守恒

根据帕塞瓦尔定理可知



f2(t)dt|F(f)|2df



因而有



f(t)dt|F(f)|2df



2

7) 正交性质



f(t)dtf(t)dt (19)

2



2

8) 调制性质



f(t)f(t)dt0 (20)

对任意函数f(t),其傅里叶变换F(t)是带限的,即

F(t),|f|fm

F(t)

0,其他

则有

H[f(t)cos2f0t]f(t)sin2f0t

(21) 

H[f(t)sin2ft]f(t)cos2ft00

9) 卷积性质

H[f1(t)*f2(t)]f1(t)*f2(t) (22)

另外,希尔伯特变换具有周期性和同域性,即希尔伯特变换不改变原函数的周期性,也不改变域表示,而不像傅里叶变换那样,把时间函数(信号)从时域表示换成频域表示。

1 希尔伯特变换的定义 1) 卷积积分

设实值函数f(t),其中t(,),它的希尔伯特变换为

f(t)

f()

, (1) (t)



常记为

f(t)H[f(t)] (2)

由于f(t)是函数f(t)与

1

的卷积积分,故可写成 t

1

f(t)=f(t)* (3)

t

2) 2相位

设F(f)F[f(t)],根据(3)式和傅里叶变换性质可知,F(f)是f(t)的傅里叶变换F(f)和t的傅里叶变换的乘积。由

j,f0, (4)

F[t]jsgn(f)

j,f0.

F(f)[jsgn(f)]F(f).

jsgn(f)可表达为

j

e2,f0

B(f)jsgn(f) j

e2,f0.

或者

B(f)e

j

2

sgn(f)

2

所以B(f)是一个相移系统,即希尔伯特变换等效于

2

2

的相移,对

正频率产生的相移,对负频率产生相移,或者说,在时域信号

2

中每一频率成分移位波长。因此,希尔伯特变换又称为90度移相器。

3) 解析信号的虚部

为进一步理解希尔伯特变换的意义,引入解析函数Z(t):

Z(t)f(t)jf(t) (5)

14

也可以写成

Z(t)A(t)ej(t) 其中,A(t)称为希尔伯特变换的包络;(t)称为瞬时响应信号。希尔伯特变换包络A(t)定义为

A(t)

f2

(t)f2

(t) 相位定义为

(t)arctanf(t)

f(t) 

瞬时频率定义为

fd(f)

0

12dt

根据傅里叶变换式

Z(t)F1[Z(f)]

f(t)jf

(t)

f(t)Re[Z(t)]

f(t)Im[Z(t)] 为计算Z(f),由F

(f)[jsgn(f)]F(f).知

Z(f)[1sgn(f)]F(f)

B1(f)F(f) (6)

(7)

(8)

(9)

(10) (11)

其中

2,f0

B1(f)

0,f0

因此,可以简单地从F(f)得到Z(t),而Z(t)的虚部即f(t)。 2. 希尔伯特变换的性质 1) 线性性质

若a,b为任意常数,且f1(t)H[f1(t)],f2(t)H[f2(t)],则有

H[af1(t)bf2(t)]af1(t)bf2(t) (12)

2) 移位性质

H[f(ta)]f(ta) (13)

3) 希尔伯特变换的希尔伯特变换

H[f(t)]f(t) (14)

此性质表明,两重希尔伯特变换的结果仅使原函数加一负号,由此可以进一步得到

H2n[f(t)]j2nf(t) (15)

4) 逆希尔伯特变换

f(t)H1[f(t)]

1

f(t)为f(t)与的卷积,可表示为

t

f()

 (16) (t)



f(t)F[jsgn(f)F(f)] (17)

1

其中,F(f)F[f(t)]。 5) 奇偶特性

如果原函数f(t)是t的偶(奇),则其希尔伯特变换f(t)就是t的奇(偶)



函数,即

f(t)偶f(t)奇

(18) 

f(t)奇f(t)偶

6) 能量守恒

根据帕塞瓦尔定理可知



f2(t)dt|F(f)|2df



因而有



f(t)dt|F(f)|2df



2

7) 正交性质



f(t)dtf(t)dt (19)

2



2

8) 调制性质



f(t)f(t)dt0 (20)

对任意函数f(t),其傅里叶变换F(t)是带限的,即

F(t),|f|fm

F(t)

0,其他

则有

H[f(t)cos2f0t]f(t)sin2f0t

(21) 

H[f(t)sin2ft]f(t)cos2ft00

9) 卷积性质

H[f1(t)*f2(t)]f1(t)*f2(t) (22)

另外,希尔伯特变换具有周期性和同域性,即希尔伯特变换不改变原函数的周期性,也不改变域表示,而不像傅里叶变换那样,把时间函数(信号)从时域表示换成频域表示。


相关文章

  • 初等几何研究讲义(提纲)(函授用)
  • 初等几何研究讲义(提纲)(函授用) 引言 1. 本课程特点 : <初等几何研究>课主要是对中学几何内容的补充.深化.融会贯通.进一步明确初等几何的基本概念.思想方法.理论体系.为胜任中学几何教学打好基础. 2. 初等几何发展简史 ...查看


  • 解读特征向量
  • 数学上,线性变换的特征向量(本征向量)是一个非退化的向量,其方向在该变换[2]下不变.该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值(本征值). 图1给出了一幅图像的例子.一个变换通常可以由其特征值和特征向量完全描述.特征空间是相同特征值的特征向量 ...查看


  • 信号分析与处理答案整理(1)
  • 信号分析与处理 1.什么是信息?什么是信号?二者之间的区别与联系是什么?信号是如何分类的? 信息反映了一个物理系统的状态或特性,是自然界.人类社会和人类思维活动中普遍存在的物质和事物的属性. 信号是传载信息的物理量,是信息的表现形式. 信号 ...查看


  • 希尔伯特变换在信号解调中的应用
  • 第3卷 第4期 信息工程大学学报 Vol.3No.4 2002年12月 JournalofInformationEngineeringUniversity Dec.2002 希尔伯特变换在信号解调中的应用 李晶晶,江 桦,王明坤 (信息工程 ...查看


  • 广西民族大学
  • 广 西 民 族 大 学 2014年招收攻读硕士学位研究生专业目录 2 广 西 民 族 大 学 3 4 5 5 6 7 8 9 10 11 考试科目内容范围 初试考试大纲(不排除超出该范围的可能) 617体育学专业基础综合:(总分300分) ...查看


  • 广西民族大学专业目录
  • 广 西 民 族 大 学 2012年招收攻读硕士学位研究生专业目录 2 广 西 民 族 大 学 2012年招收攻读硕士学位研究生专业目录 1 2 3 广 西 民 族 大 学 2012年招收攻读硕士学位研究生专业目录 4 5 6 7 8 考试科 ...查看


  • 我所理解的线性空间
  • 我所理解的线性空间理论 线性空间是为了解决实际问题而引入的,它是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实际问题看作向量空间,进而通过研究向量空间来解决实际问题. 简单的说,线性空间是这样一种集合,其中任意两元素相加可构成此集合内的另一元素,任 ...查看


  • 随机过程及其应用
  • 解放军电子工程学院硕士研究生入学考试大纲 <随机过程及其应用> (2008年版) 一.参考教材 <随机过程及其应用>陆大淦著,清华大学出版社,2002年6月. 二.考试内容(参考教材第一章至第六章) 第一章 概论 熟 ...查看


  • 张量的基本概念(我觉得说的比较好,关键是通俗)
  • 简单的说:张量概念是矢量概念和矩阵概念的推广,标量是零阶张量,矢量是一阶张量,矩阵(方阵)是二阶张量,而三阶张量则好比立体矩阵,更高阶的张量用图形无法表达. 向量是在一个线性空间中定义的量,当这个线性空间的基变换时,向量的分量也跟着变换.而 ...查看


热门内容