求函数值域方法小结
1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1
例1 求函数y = 的值域 例2 求函数y = 3 -x 的值域。
x 2 、配方法 例3 、求函数y=x 2-2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
1+x +x 2
3 、判别式法 例4 求函数y = 的值域。
1+x 2
解：原函数化为关x 的一元二次方程（y-1 )x 2+（y - 1 ）x= 0 （1）当y ≠1时， x∈R ,△ = (-1)2-4(y-1)(y-1) ≥0 解得：
13≤y ≤ 22
（2）当y=1，时，x = 0,而1∈[
1313
, ] 故函数的值域为[，] 2222
4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x +4
例5 求函数y=值域。
5x +6 解：由原函数式可得：x =
4-6y 4-6y
, 则其反函数为：y =
5x -35y -3
333
其定义域为：x ≠, 故所求函数的值域为：（- ∞，）U (,+∞)
555
5 、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性来确定函数的值域。
e x -1 例6 求函数y = x 的值域。
e +1
解：由原函数式可得：e x =
y +1y +1
e x ＞0，∴
故所求函数的值域为( - 1 , -1 ) . cos x
例7 求函数y = 的值域。 解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y
sin x -3可化为：y 2+1 sinx（x+β）=3y 即 sinx（x+β）=
3y y +1
2
∵x ∈R ，
∴sinx （x+β）∈[-1，1]。即-1≤ 6 、函数单调性法 例8 求函数y = 2
x -5
3y y 2+1
≤1 解得：-
2222
≤y ≤ 故函数的值域为[-]。 4444
+log 3
x -1 （2≤x ≤10）的值域
1
解：令y 1=2
x -5
，y 2= log
3
x -1，则 y1 ， y 2在[ 2， 10 ]上都是增函数。
1
-1= ，
8
所以y= y1 +y 2在[ 2 ，10 ]上是增函数。当x = 2 时，y min = 2-3+log 当x = 10 时，y max = 25+log
3
3
1
9=33。 故所求函数的值域为：[ ，33]。
8
例9 求函数y= x +1-x -1的值域。 解：原函数可化为： y=
2x +1+x -1
令y 1 = x +1，y 2= x -1，显然y 1 ，y 2在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y1 +y 2在
[1，+∞）上也为无上界的增函数。所以当x = 1时，y=y1 +y 2有最小值2，原函数有最大值
22
= 2。 显然y ＞0，故原函数的值域为( 0 , 2]。
7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例10 求函数y = x + x -1的值域。解：令x-1=t，（t ≥0）则x=t 2+1
13
∵y=t 2+t+1=(t +) 2+，又t ≥0，由二次函数的性质可知, 当t=0时，y min = 1，
24
当t →+∞时，y →+∞。故函数的值域为[ 1 ，+∞）。
例11 求函数y =x+2+-(x +1) 2的值域 解：因1-(x +1) 2≥0 ，即(x +1) 2≤1
故可令x+1=cosβ，β∈[ 0 ，∏] 。 ∴y=cosβ+1+-cos 2B =sinβ+cosβ+1=2sin （β+∏
/ 4 ）+1∵0≤β≤∏， ∏/ 4≤β+∏/4≤5∏/4 ∴ -
2
≤sin （β+∏/4）≤1 2
∴ 0 ≤2sin （β+∏/4）+1≤1+2。 故所求函数的值域为[0，1+2]。 例12 求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x ∈[-∏/12，∏/2]的值域。
1 解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（t 2-1）
2
11
y = （t 2-1）+t+1= (t +1) 2 由t=sinx+cosx=2sin （x+∏/4）且x ∈[- ∏/12，∏/2]
22
可得：
22233
≤t ≤2 ∴当t=2时，y max =+2，当t=时，y=+
24222
2
故所求函数的值域为[
233+ ，+2] 。 422
例13 求函数y=x+4+5-x 2的值域 解：由5-x ≥0 ，可得∣x ∣≤
5, 故可令
x =cos β，β∈[0，∏],
y=5cos β+4+5sin β=sin （β+∏/4）+ 4 ∵ 0 ≤β≤∏， ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4 当β=∏/4时，y max =4+，当β=∏时，y min =4-。故所求函数的值域为：[4-5，4+]。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率
等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例14 求函数y=
(x -2)
2
2
+
(x
+8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2 ），B （- 8 ）
间的距离之和。故所求函数的值域为：[10，+∞） 例15 求函数y=
x
-6x +13 +
x
2
2
+4x +5的值域
2
解：原函数可变形为：y=
(x -3) +(0-2) +x +2)
2
+(0+1)
2
上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和，
由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时， y min =∣AB ∣=
(3+2) +(2+1)
x
2
22
=43，故所求函数的值域为[43，+∞）。
例16 求函数y= -6x +13 -
x
2
2
+4x +5的值域
2
解：将函数变形为：y=
(x -3) +(0-2) -x +2)
2
+(0-1)
2
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之
差。即：y=∣AP ∣-∣BP ∣ 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P ¹，则构成△ABP ¹，根据三角形两边之差小于第三边， 有 ∣∣AP ¹∣-∣BP ¹∣∣＜∣AB ∣= 即：-26＜y ＜
(3+2)
2
+(2-1)
2
= 26
26(2)当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时， 有
∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。 综上所述，可知函数的值域为：（-26，-26]。 9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2ab ，a+b+c≥33abc （a ，b ，c ∈R ），柯西不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
3
+
例17 求函y=（sinx +1/sinx）^2+（cosx+1/cosx）^2的值域 [ 9，+∞）。 例18 求函数y=2sinxsin2x的值域
解：y=2sinxsinxcos =4sin x cosx
2
y
2
=16sin x cos x =8sin x sin x （2-2sin x ）≤8（sin x +sin x +2- sin x ）
2
2
2
42222222
=8[（sin x +sin x +2- sin x ）/3]
2
2
2
3
=
64 27
当且当sin x =2-2sin x ，即当sin x =时，等号成立。 由y ≤
2
648888，可得：-≤y ≤故原函数的值域为：[-，）。
279999
10、多种方法综合运用 例19 求函数y=
x +2
的值域 x +3
解：令t=x +2 （t ≥0），则x+3=t 2+1 （1） 当t ＞0时，y=
11
≤， 当且仅当t=1，即x=-1时取等号 2
t +1t +1/t 2
t
=
所以0＜y ≤
11。（2） 当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：[0，]。 22
注：先换元，后用不等式法。
例20（用导数求函数的极值及最值）、
求函数y =x 4-2x 2+5在区间[-2, 2]上的最大值与最小值。
解：先求导数，得y /=4x 3-4x
令y /＝0即4x 3-4x =0解得x 1=-1, x 2=0, x 3=1 导数y /的正负以及f (-2) ，f (2) 如下表
从上表知，当x =±2时，函数有最大值13，当x =±1时，函数有最小值4
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
4
求函数值域方法小结
1、直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
1
例1 求函数y = 的值域 例2 求函数y = 3 -x 的值域。
x 2 、配方法 例3 、求函数y=x 2-2x+5，x ∈[-1，2]的值域。
1+x +x 2
3 、判别式法 例4 求函数y = 的值域。
1+x 2
解：原函数化为关x 的一元二次方程（y-1 )x 2+（y - 1 ）x= 0 （1）当y ≠1时， x∈R ,△ = (-1)2-4(y-1)(y-1) ≥0 解得：
13≤y ≤ 22
（2）当y=1，时，x = 0,而1∈[
1313
, ] 故函数的值域为[，] 2222
4、反函数法 直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x +4
例5 求函数y=值域。
5x +6 解：由原函数式可得：x =
4-6y 4-6y
, 则其反函数为：y =
5x -35y -3
333
其定义域为：x ≠, 故所求函数的值域为：（- ∞，）U (,+∞)
555
5 、函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性来确定函数的值域。
e x -1 例6 求函数y = x 的值域。
e +1
解：由原函数式可得：e x =
y +1y +1
e x ＞0，∴
故所求函数的值域为( - 1 , -1 ) . cos x
例7 求函数y = 的值域。 解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y
sin x -3可化为：y 2+1 sinx（x+β）=3y 即 sinx（x+β）=
3y y +1
2
∵x ∈R ，
∴sinx （x+β）∈[-1，1]。即-1≤ 6 、函数单调性法 例8 求函数y = 2
x -5
3y y 2+1
≤1 解得：-
2222
≤y ≤ 故函数的值域为[-]。 4444
+log 3
x -1 （2≤x ≤10）的值域
1
解：令y 1=2
x -5
，y 2= log
3
x -1，则 y1 ， y 2在[ 2， 10 ]上都是增函数。
1
-1= ，
8
所以y= y1 +y 2在[ 2 ，10 ]上是增函数。当x = 2 时，y min = 2-3+log 当x = 10 时，y max = 25+log
3
3
1
9=33。 故所求函数的值域为：[ ，33]。
8
例9 求函数y= x +1-x -1的值域。 解：原函数可化为： y=
2x +1+x -1
令y 1 = x +1，y 2= x -1，显然y 1 ，y 2在[1，+∞）上为无上界的增函数，所以y= y1 +y 2在
[1，+∞）上也为无上界的增函数。所以当x = 1时，y=y1 +y 2有最小值2，原函数有最大值
22
= 2。 显然y ＞0，故原函数的值域为( 0 , 2]。
7、换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。 例10 求函数y = x + x -1的值域。解：令x-1=t，（t ≥0）则x=t 2+1
13
∵y=t 2+t+1=(t +) 2+，又t ≥0，由二次函数的性质可知, 当t=0时，y min = 1，
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当t →+∞时，y →+∞。故函数的值域为[ 1 ，+∞）。
例11 求函数y =x+2+-(x +1) 2的值域 解：因1-(x +1) 2≥0 ，即(x +1) 2≤1
故可令x+1=cosβ，β∈[ 0 ，∏] 。 ∴y=cosβ+1+-cos 2B =sinβ+cosβ+1=2sin （β+∏
/ 4 ）+1∵0≤β≤∏， ∏/ 4≤β+∏/4≤5∏/4 ∴ -
2
≤sin （β+∏/4）≤1 2
∴ 0 ≤2sin （β+∏/4）+1≤1+2。 故所求函数的值域为[0，1+2]。 例12 求函数y=（sinx+1）（cosx+1），x ∈[-∏/12，∏/2]的值域。
1 解：y=（sinx+1）（cosx+1）=sinxcosx+sinx+cosx+1 令sinx+cosx=t，则sinxcosx=（t 2-1）
2
11
y = （t 2-1）+t+1= (t +1) 2 由t=sinx+cosx=2sin （x+∏/4）且x ∈[- ∏/12，∏/2]
22
可得：
22233
≤t ≤2 ∴当t=2时，y max =+2，当t=时，y=+
24222
2
故所求函数的值域为[
233+ ，+2] 。 422
例13 求函数y=x+4+5-x 2的值域 解：由5-x ≥0 ，可得∣x ∣≤
5, 故可令
x =cos β，β∈[0，∏],
y=5cos β+4+5sin β=sin （β+∏/4）+ 4 ∵ 0 ≤β≤∏， ∴ ∏/4≤β+∏/4≤5∏/4 当β=∏/4时，y max =4+，当β=∏时，y min =4-。故所求函数的值域为：[4-5，4+]。 8 数形结合法 其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率
等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。 例14 求函数y=
(x -2)
2
2
+
(x
+8)
2
的值域。
解：原函数可化简得：y=∣x-2∣+∣x+8∣ 上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2 ），B （- 8 ）
间的距离之和。故所求函数的值域为：[10，+∞） 例15 求函数y=
x
-6x +13 +
x
2
2
+4x +5的值域
2
解：原函数可变形为：y=
(x -3) +(0-2) +x +2)
2
+(0+1)
2
上式可看成x 轴上的点P （x ，0）到两定点A （3，2），B （-2 ，-1 ）的距离之和，
由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时， y min =∣AB ∣=
(3+2) +(2+1)
x
2
22
=43，故所求函数的值域为[43，+∞）。
例16 求函数y= -6x +13 -
x
2
2
+4x +5的值域
2
解：将函数变形为：y=
(x -3) +(0-2) -x +2)
2
+(0-1)
2
上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0 ）的距离与定点B （-2，1）到点P （x ，0）的距离之
差。即：y=∣AP ∣-∣BP ∣ 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点P ¹，则构成△ABP ¹，根据三角形两边之差小于第三边， 有 ∣∣AP ¹∣-∣BP ¹∣∣＜∣AB ∣= 即：-26＜y ＜
(3+2)
2
+(2-1)
2
= 26
26(2)当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时， 有
∣∣AP ∣-∣BP ∣∣= ∣AB ∣= 26。 综上所述，可知函数的值域为：（-26，-26]。 9 、不等式法
利用基本不等式a+b≥2ab ，a+b+c≥33abc （a ，b ，c ∈R ），柯西不等式，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
3
+
例17 求函y=（sinx +1/sinx）^2+（cosx+1/cosx）^2的值域 [ 9，+∞）。 例18 求函数y=2sinxsin2x的值域
解：y=2sinxsinxcos =4sin x cosx
2
y
2
=16sin x cos x =8sin x sin x （2-2sin x ）≤8（sin x +sin x +2- sin x ）
2
2
2
42222222
=8[（sin x +sin x +2- sin x ）/3]
2
2
2
3
=
64 27
当且当sin x =2-2sin x ，即当sin x =时，等号成立。 由y ≤
2
648888，可得：-≤y ≤故原函数的值域为：[-，）。
279999
10、多种方法综合运用 例19 求函数y=
x +2
的值域 x +3
解：令t=x +2 （t ≥0），则x+3=t 2+1 （1） 当t ＞0时，y=
11
≤， 当且仅当t=1，即x=-1时取等号 2
t +1t +1/t 2
t
=
所以0＜y ≤
11。（2） 当t=0时，y=0。综上所述，函数的值域为：[0，]。 22
注：先换元，后用不等式法。
例20（用导数求函数的极值及最值）、
求函数y =x 4-2x 2+5在区间[-2, 2]上的最大值与最小值。
解：先求导数，得y /=4x 3-4x
令y /＝0即4x 3-4x =0解得x 1=-1, x 2=0, x 3=1 导数y /的正负以及f (-2) ，f (2) 如下表
从上表知，当x =±2时，函数有最大值13，当x =±1时，函数有最小值4
总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。
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