抛物线及其性质
1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：
3．抛物线y 2=2px (p >0) 的几何性质：
(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：e =1，焦点F (
p p
,0) ，准线x =-，焦准距p ． 22
(4) 焦点弦：抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点弦AB ，A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , 则|AB |=x 1+x 2+p ． 弦长|AB|=x1+x2+p,当x 1=x2时，通径最短为2p 。
4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) ，焦点F (
2
p
,0) 2
p 2
(1)
若AB 是抛物线y =2px (p >0) 的焦点弦（过焦点的弦），且A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则：x 1x 2=，
4
y 1y 2=-p 2。
(2) 若AB 是抛物线y =2px (p >0) 的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则AB =(3) 已知直线AB 是过抛物线y 2=2px (p >0) 焦点F ,
2
2P （α≠0）。 2sin α
11AF +BF AB 2+=== AF BF AF ∙BF AF ∙BF p
(4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切：1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切. ○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，○以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
5．弦长公式：A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) 是抛物线上两点，则
AB ==+k 2|x 1-x 2|=+
1
|y 1-y 2| 2k
6. 直线与抛物线的位置关系 直线
，抛物线
，
，消y 得：
（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，
Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗? （不一定）
7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：y =kx +b 抛物线
① 联立方程法：
，(p 0)
⎧y =kx +b
⇒k 2x 2+2(kb -p ) x +b 2=0 ⎨2
⎩y =2px
设交点坐标为A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) ，则有∆ 0, 以及x 1+x 2, x 1x 2，还可进一步求出
y 1+y 2=kx 1+b +kx 2+b =k (x 1+x 2) +2b ，y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b ) =k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2) +b 2
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长
AB =+k 2x 1-x 2=+k 2(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=+k 2
∆ a
或 AB =+
11∆22
y -y =+(y +y ) -4y y =+k 12121222
k k a
x 1+x 2y +y 2
， y 0=1 22
b. 中点M (x 0, y 0) , x 0=
② 点差法：
设交点坐标为A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，代入抛物线方程，得
y 1=2px 1 y 2=2px 2 将两式相减，可得
(y 1-y 2)(y 1+y 2) =2p (x 1-x 2) y 1-y 22p
=
x 1-x 2y 1+y 2
22
2p
y 1+y 2
a. 在涉及斜率问题时，k AB =
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为M (x 0, y 0) ，
p ， y 0
y 1-y 22p 2p p
===， x 1-x 2y 1+y 22y 0y 0
即k AB =
同理，对于抛物线x 2=2py (p ≠0) ，若直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，点M (x 0, y 0) 是弦
AB 的中点，则有k AB =
x 1+x 22x 0x 0
== 2p 2p p
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
【经典例题】
（1）抛物线——二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合. 其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中. 由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.
【例1】P 为抛物线y 2=2px 上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ）
A . 相交 B . 相切 C . 相离 D . 位置由P 确定
【解析】如图，抛物线的焦点为F
⎛p ⎫
,0⎪，准线是 ⎝2⎭
p
. 作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF =PH ， 2
p
且QH =OF =. 作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的
2111
中位线，MN =(OF +PQ )=PH =PF . 故以
222l :x =-
l PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.
（2）焦点弦——常考常新的亮点弦
有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关. 理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.
【例2】 过抛物线y 2=2px (p 0)的焦点F 作直线交抛物线于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)两点，求证： （1）AB =x 1+x 2+p （2）
112
+= AF BF p
p ， 2
【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作
AA 1⊥l A 1, BB 1⊥l 于B 1，则AF =AA 1=x 1+
p
BF =BB 1=x 2+. 两式相加即得：
2
Y A 11
AB =x 1+x 2+p
（2）当AB ⊥x 轴时，有
12
l
∴AF =BF =p ，
112
+=成立；
AF BF p
当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：y =k x -
2
⎛⎝p ⎫
⎪. 代入抛物线方程： 2⎭
p 22p ⎫2222⎛k =0k x -⎪=2px . 化简得：k x -p (k +2)x +42⎝⎭
(1)
k 2
∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴x 1⋅x 2=.
4
x 1+x 2+p 111111
+=+=+=
p p 2 AF BF AA 1BB 1x +p x +p
x 1x 2+(x 1+x 2)+12
2224
x 1+x 2+p x 1+x 2+p 2
==. p p 2p p 2p (x 1+x 2+p )+(x 1+x 2)+
2424
=
故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有
112
+=成立. AF BF p
（3）切线——抛物线与函数有缘
有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关. 理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.
【例3】证明：过抛物线y 2=2px 上一点M （x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p（x+x0）
∴y '=【证明】对方程y 2=2px 两边取导数：2y ⋅y '=2p ，
p
. 切线的斜率 y
k =y '
x =x 0
=
p p . 由点斜式方程：y -y 0=(x -x 0)⇒y 0y =px -px 0+y 02y 0y 0
(1)
2
y0y=p（x+x0） y 0=2px 0，代入（）即得：1
（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值. 掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.
2
例如：1. 一动圆的圆心在抛物线y =8x 上，且动圆恒与直线x +2=0相切，则此动圆必过定点 （ ）
A . (4,0)B . (2,0)C . (0,2)D . (0, -2)
显然. 本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2. 抛物线y =2px 的通径长为2p ；
3. 设抛物线y =2px 过焦点的弦两端分别为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，那么：y 1y 2=-p 2
22
以下再举一例
【例4】设抛物线y 2=2px 的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点
【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A 1B 1=AB=2p，而A 1B 1与AB 的距离为p ，可知该圆必过抛物线的焦点. 由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点. 以下我们对AB 的一般情形给于证明.
【证明】如图设焦点两端分别为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，
2
那么：y 1y 2=-p 2⇒CA ⋅CB =y y =p . 1112
设抛物线的准线交x 轴于C ，那么CF =p .
1
∴∆A 1FB 1中CF =CA 1⋅CB 1. 故∠A 1FB 1=90︒.
2
这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.
● 通法 特法 妙法
（1）解析法——为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.
【例5】（10. 四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点
A 、B ，则|AB|等于（ ）
A.3 B. 4 C.3 D.42
【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.
【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：
B
X
l ÿx +y =0
⎧y =x +m 2
y =x +m . 由⎨⇒x +x +m -3=02
⎩y =-x +3
设方程（1）之两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=-1. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则x 0=
(1)
x 1+x 211⎛11⎫
=-. 代入x+y=0：y 0=. 故有M -, ⎪. 222⎝22⎭
2
从而m =y -x =1. 直线AB 的方程为：y =x +1. 方程（1）成为：x +x -2=0. 解得：
x =-2,1，从而y =-1, 2，故得：A （-2，-1），B （1，2）
. ∴AB =C.
（2）几何法——为解析法添彩扬威
虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏. 针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.
【例6】（11. 全国1卷.11题）抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F
抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△A K F 的面积（ ）
A ．4 B
． C
． D ．8
【解析】如图直线AF AFX=60°. △AFK 为正三角形. 设准线l 交x 轴于M ，则FM =p =2,
Y °
F(1,0)且∠KFM=60°，∴KF =4, S ∆AKF
2=4=选C. Y
【评注】（1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的 面积用公式S ∆=
2
计算. 4
（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，，再计算正三角形的边长和面积. 虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.
（3）定义法——追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难. 但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07. 湖北卷.7题）双曲线
x 2y 2
C 1:2-2=1(a >0，b >0) 的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为F 1和F 2；抛物线C 2的线为
a b l ，焦点为F 2；C 1与C 2的一个交点为M ，则
A ．-1 B ．1
F 1F 2MF 1
-
MF 1MF 2
1 2
等于（ ）
C ．-
D ．
1 2
【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.
如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c ，离心率为e ，作 MH ⊥l 于H ，令
MF 1=r 1, MF 2=r 2. ∵点M 在抛物线上，
r
∴MH =MF 2=r 2, 故==1=e ，
MH MF 2r 2
|MF 1|
这就是说：的实质是离心率e.
|MF 2|
其次，
MF 1MF 1
|F 1F 2|
与离心率e 有什么关系？注意到： |MF 1|
F 1F 2
2c e ⋅2a e (r 1+r 2)⎛1⎫====e 1-⎪=e -1. MF 1r 1r 1r 1⎝e ⎭
|F 1F 2||MF 1|
-=(e -1)+e =-1. ∴选 A..
|MF 1||MF 2|
这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于
（4）三角法——本身也是一种解析
三角学蕴藏着丰富的解题资源. 利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.
因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.
A
【例8】（09. 重庆文科.21题）如图，倾斜角为a 的直线经过物线y 2=8x 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。 （Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程； （Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交 x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。
【解析】（Ⅰ）焦点F （2，0），准线l ; x =-2. （Ⅱ）直线AB ：y =tan α(x -2)
抛
M
(1).
(2)
y 22x =代入（1），整理得：y tan α-8y -16tan α=0
8
8⎧
⎪y 1+y 2=
设方程（2）之二根为y 1，y 2，则⎨tan α.
⎪⎩y 1⋅y 2=-16y 1+y 24⎧y ===4cot α⎪0
设AB 中点为M (x 0, y 0), 则⎨ 2tan α
2⎪⎩x 0=cot α⋅y 0+2=4cot α+2
2
AB 的垂直平分线方程是：y -4cot α=-cot αx -4cot α-2.
()
22
令y=0，则x =4cot α+6，有P 4cot α+6，0
()
222
故FP =OP -OF =4cot α+6-2=4cot α+1=4cos α
()
于是|FP|-|FP|cos2a=4csc
2
α(1-cos2α)=4csc 2α⋅2sin 2α=8，故为定值.
（5）消去法——合理减负的常用方法.
避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题. 其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.
【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线l ：（1）l 与抛物线y =8x 有两个不同的交点A 和
2
B ；（2）线段AB 被直线l 1：x+5y-5=0垂直平分. 若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程.
【解析】假定在抛物线y 2=8x 上存在这样的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则有：
⎧y 12=8x 1(y 1-y 2)=8
⇒k =⇒y +y y -y =8x -x (12)(12)(12)⎨2AB
y =8x x 1-x 2y 1+y 2⎩22
∴k AB =5，即∵线段AB 被直线l 1：x+5y-5=0垂直平分，且k l 1=-，8⇒y 1+y 2=.
5
设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则y 0=
15
8
=5
y 1+y 2y 1+y 24
=. 代入x+5y-5=0得x=1.于是： 25
AB 中点为M 1⎪. 故存在符合题设条件的直线，其方程为： y -
⎛4⎫
⎝5⎭
4
=5(x -1)，即：25x -5y -21=0 5
（6）探索法——奔向数学方法的高深层次
有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”. 这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明. 终于发现“无限风光在险峰”.
【例10】（10. 安徽卷.14题）如图，抛物线y =-x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P 1, P 2, „, P n -1, 过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，„，Q n -1，从而得到n -1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2, „, △Q n -1P n -1P n -1, 当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .
1
【解析】∵OA =1，∴图中每个直角三角形的底边长均为
n
k 2⎛k ⎫2
设OA 上第k 个分点为P 0⎪. 代入y =-x +1：y =1-2. k ，
n ⎝n ⎭
第k 个三角形的面积为：a k =
11⎛k ⎫
⋅ 1-2⎪. 2n ⎝n ⎭
222⎡⎤(n -1)(4n +1)1+2++n -1()1
∴S n -1=. ⎢(n -1)-⎥=22
2n ⎢n 12n ⎥⎣⎦
故这些三角形的面积之和的极限S =lim
n →∞
(n -1)(4n +1)=
12n 2
11⎫1⎛1⎫⎛
lim 1-⎪4+⎪=
12n →∞⎝n ⎭⎝n ⎭3
抛物线及其性质
1．抛物线定义：平面内到一定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线． 2．抛物线四种标准方程的几何性质：
3．抛物线y 2=2px (p >0) 的几何性质：
(1)范围：因为p>0，由方程可知x ≥0，所以抛物线在y 轴的右侧， 当x 的值增大时，|y |也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：对称轴要看一次项，符号决定开口方向． (3)顶点（0，0），离心率：e =1，焦点F (
p p
,0) ，准线x =-，焦准距p ． 22
(4) 焦点弦：抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点弦AB ，A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , 则|AB |=x 1+x 2+p ． 弦长|AB|=x1+x2+p,当x 1=x2时，通径最短为2p 。
4．焦点弦的相关性质：焦点弦AB ，A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) ，焦点F (
2
p
,0) 2
p 2
(1)
若AB 是抛物线y =2px (p >0) 的焦点弦（过焦点的弦），且A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则：x 1x 2=，
4
y 1y 2=-p 2。
(2) 若AB 是抛物线y =2px (p >0) 的焦点弦，且直线AB 的倾斜角为α，则AB =(3) 已知直线AB 是过抛物线y 2=2px (p >0) 焦点F ,
2
2P （α≠0）。 2sin α
11AF +BF AB 2+=== AF BF AF ∙BF AF ∙BF p
(4) 焦点弦中通径最短长为2p 。通径：过焦点垂直于焦点所在的轴的焦点弦叫做通径．
(5) 两个相切：1以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切. ○2过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，○以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。
5．弦长公式：A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) 是抛物线上两点，则
AB ==+k 2|x 1-x 2|=+
1
|y 1-y 2| 2k
6. 直线与抛物线的位置关系 直线
，抛物线
，
，消y 得：
（1）当k=0时，直线l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k ≠0时，
Δ＞0，直线l 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线l 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l 与抛物线相离，无公共点。
（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗? （不一定）
7. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l ：y =kx +b 抛物线
① 联立方程法：
，(p 0)
⎧y =kx +b
⇒k 2x 2+2(kb -p ) x +b 2=0 ⎨2
⎩y =2px
设交点坐标为A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) ，则有∆ 0, 以及x 1+x 2, x 1x 2，还可进一步求出
y 1+y 2=kx 1+b +kx 2+b =k (x 1+x 2) +2b ，y 1y 2=(kx 1+b )(kx 2+b ) =k 2x 1x 2+kb (x 1+x 2) +b 2
在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB 的弦长
AB =+k 2x 1-x 2=+k 2(x 1+x 2) 2-4x 1x 2=+k 2
∆ a
或 AB =+
11∆22
y -y =+(y +y ) -4y y =+k 12121222
k k a
x 1+x 2y +y 2
， y 0=1 22
b. 中点M (x 0, y 0) , x 0=
② 点差法：
设交点坐标为A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，代入抛物线方程，得
y 1=2px 1 y 2=2px 2 将两式相减，可得
(y 1-y 2)(y 1+y 2) =2p (x 1-x 2) y 1-y 22p
=
x 1-x 2y 1+y 2
22
2p
y 1+y 2
a. 在涉及斜率问题时，k AB =
b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB 的中点为M (x 0, y 0) ，
p ， y 0
y 1-y 22p 2p p
===， x 1-x 2y 1+y 22y 0y 0
即k AB =
同理，对于抛物线x 2=2py (p ≠0) ，若直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，点M (x 0, y 0) 是弦
AB 的中点，则有k AB =
x 1+x 22x 0x 0
== 2p 2p p
（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）
【经典例题】
（1）抛物线——二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合. 其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中. 由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.
【例1】P 为抛物线y 2=2px 上任一点，F 为焦点，则以PF 为直径的圆与y 轴（ ）
A . 相交 B . 相切 C . 相离 D . 位置由P 确定
【解析】如图，抛物线的焦点为F
⎛p ⎫
,0⎪，准线是 ⎝2⎭
p
. 作PH ⊥l 于H ，交y 轴于Q ，那么PF =PH ， 2
p
且QH =OF =. 作MN ⊥y 轴于N 则MN 是梯形PQOF 的
2111
中位线，MN =(OF +PQ )=PH =PF . 故以
222l :x =-
l PF 为直径的圆与y 轴相切，选B.
【评注】相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则 分别是相离或相交的.
（2）焦点弦——常考常新的亮点弦
有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关. 理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.
【例2】 过抛物线y 2=2px (p 0)的焦点F 作直线交抛物线于A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)两点，求证： （1）AB =x 1+x 2+p （2）
112
+= AF BF p
p ， 2
【证明】（1）如图设抛物线的准线为l ，作
AA 1⊥l A 1, BB 1⊥l 于B 1，则AF =AA 1=x 1+
p
BF =BB 1=x 2+. 两式相加即得：
2
Y A 11
AB =x 1+x 2+p
（2）当AB ⊥x 轴时，有
12
l
∴AF =BF =p ，
112
+=成立；
AF BF p
当AB 与x 轴不垂直时，设焦点弦AB 的方程为：y =k x -
2
⎛⎝p ⎫
⎪. 代入抛物线方程： 2⎭
p 22p ⎫2222⎛k =0k x -⎪=2px . 化简得：k x -p (k +2)x +42⎝⎭
(1)
k 2
∵方程（1）之二根为x 1，x 2，∴x 1⋅x 2=.
4
x 1+x 2+p 111111
+=+=+=
p p 2 AF BF AA 1BB 1x +p x +p
x 1x 2+(x 1+x 2)+12
2224
x 1+x 2+p x 1+x 2+p 2
==. p p 2p p 2p (x 1+x 2+p )+(x 1+x 2)+
2424
=
故不论弦AB 与x 轴是否垂直，恒有
112
+=成立. AF BF p
（3）切线——抛物线与函数有缘
有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关. 理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.
【例3】证明：过抛物线y 2=2px 上一点M （x 0，y 0）的切线方程是：y 0y=p（x+x0）
∴y '=【证明】对方程y 2=2px 两边取导数：2y ⋅y '=2p ，
p
. 切线的斜率 y
k =y '
x =x 0
=
p p . 由点斜式方程：y -y 0=(x -x 0)⇒y 0y =px -px 0+y 02y 0y 0
(1)
2
y0y=p（x+x0） y 0=2px 0，代入（）即得：1
（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值. 掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.
2
例如：1. 一动圆的圆心在抛物线y =8x 上，且动圆恒与直线x +2=0相切，则此动圆必过定点 （ ）
A . (4,0)B . (2,0)C . (0,2)D . (0, -2)
显然. 本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2. 抛物线y =2px 的通径长为2p ；
3. 设抛物线y =2px 过焦点的弦两端分别为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，那么：y 1y 2=-p 2
22
以下再举一例
【例4】设抛物线y 2=2px 的焦点弦AB 在其准线上的射影是A 1B 1，证明：以A 1B 1为直径的圆必过一定点
【分析】假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A 1B 1=AB=2p，而A 1B 1与AB 的距离为p ，可知该圆必过抛物线的焦点. 由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点. 以下我们对AB 的一般情形给于证明.
【证明】如图设焦点两端分别为A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)，
2
那么：y 1y 2=-p 2⇒CA ⋅CB =y y =p . 1112
设抛物线的准线交x 轴于C ，那么CF =p .
1
∴∆A 1FB 1中CF =CA 1⋅CB 1. 故∠A 1FB 1=90︒.
2
这就说明：以A 1B 1为直径的圆必过该抛物线的焦点.
● 通法 特法 妙法
（1）解析法——为对称问题解困排难
解析几何是用代数的方法去研究几何，所以它能解决纯几何方法不易解决的几何问题（如对称问题等）.
【例5】（10. 四川文科卷.10题）已知抛物线 y=-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点
A 、B ，则|AB|等于（ ）
A.3 B. 4 C.3 D.42
【分析】直线AB 必与直线x+y=0垂直，且线段 AB 的中点必在直线x+y=0上，因得解法如下.
【解析】∵点A 、B 关于直线x+y=0对称，∴设直线AB 的方程为：
B
X
l ÿx +y =0
⎧y =x +m 2
y =x +m . 由⎨⇒x +x +m -3=02
⎩y =-x +3
设方程（1）之两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=-1. 设AB 的中点为M （x 0，y 0），则x 0=
(1)
x 1+x 211⎛11⎫
=-. 代入x+y=0：y 0=. 故有M -, ⎪. 222⎝22⎭
2
从而m =y -x =1. 直线AB 的方程为：y =x +1. 方程（1）成为：x +x -2=0. 解得：
x =-2,1，从而y =-1, 2，故得：A （-2，-1），B （1，2）
. ∴AB =C.
（2）几何法——为解析法添彩扬威
虽然解析法使几何学得到长足的发展，但伴之而来的却是难以避免的繁杂计算，这又使得许多考生对解析几何习题望而生畏. 针对这种现状，人们研究出多种使计算量大幅度减少的优秀方法，其中最有成效的就是几何法.
【例6】（11. 全国1卷.11题）抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，经过F
抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AK ⊥l ，垂足为K ，则△A K F 的面积（ ）
A ．4 B
． C
． D ．8
【解析】如图直线AF AFX=60°. △AFK 为正三角形. 设准线l 交x 轴于M ，则FM =p =2,
Y °
F(1,0)且∠KFM=60°，∴KF =4, S ∆AKF
2=4=选C. Y
【评注】（1）平面几何知识：边长为a 的正三角形的 面积用公式S ∆=
2
计算. 4
（2）本题如果用解析法，需先列方程组求点A 的坐标，，再计算正三角形的边长和面积. 虽不是很难，但决没有如上的几何法简单.
（3）定义法——追本求真的简单一着
许多解析几何习题咋看起来很难. 但如果返朴归真，用最原始的定义去做，反而特别简单. 【例7】（07. 湖北卷.7题）双曲线
x 2y 2
C 1:2-2=1(a >0，b >0) 的左准线为l ，左焦点和右焦点分别为F 1和F 2；抛物线C 2的线为
a b l ，焦点为F 2；C 1与C 2的一个交点为M ，则
A ．-1 B ．1
F 1F 2MF 1
-
MF 1MF 2
1 2
等于（ ）
C ．-
D ．
1 2
【分析】 这道题如果用解析法去做，计算会特别繁杂，而平面几何知识又一时用不上，那么就从最原始的定义方面去寻找出路吧.
如图，我们先做必要的准备工作：设双曲线的半 焦距c ，离心率为e ，作 MH ⊥l 于H ，令
MF 1=r 1, MF 2=r 2. ∵点M 在抛物线上，
r
∴MH =MF 2=r 2, 故==1=e ，
MH MF 2r 2
|MF 1|
这就是说：的实质是离心率e.
|MF 2|
其次，
MF 1MF 1
|F 1F 2|
与离心率e 有什么关系？注意到： |MF 1|
F 1F 2
2c e ⋅2a e (r 1+r 2)⎛1⎫====e 1-⎪=e -1. MF 1r 1r 1r 1⎝e ⎭
|F 1F 2||MF 1|
-=(e -1)+e =-1. ∴选 A..
|MF 1||MF 2|
这样，最后的答案就自然浮出水面了：由于
（4）三角法——本身也是一种解析
三角学蕴藏着丰富的解题资源. 利用三角手段，可以比较容易地将异名异角的三角函数转化为同名同角的三角函数，然后根据各种三角关系实施“九九归一”——达到解题目的.
因此，在解析几何解题中，恰当地引入三角资源，常可以摆脱困境，简化计算.
A
【例8】（09. 重庆文科.21题）如图，倾斜角为a 的直线经过物线y 2=8x 的焦点F ，且与抛物线交于A 、B 两点。 （Ⅰ）求抛物线的焦点F 的坐标及准线l 的方程； （Ⅱ）若a 为锐角，作线段AB 的垂直平分线m 交 x 轴于点P ，证明|FP|-|FP|cos2a 为定值，并求此定值。
【解析】（Ⅰ）焦点F （2，0），准线l ; x =-2. （Ⅱ）直线AB ：y =tan α(x -2)
抛
M
(1).
(2)
y 22x =代入（1），整理得：y tan α-8y -16tan α=0
8
8⎧
⎪y 1+y 2=
设方程（2）之二根为y 1，y 2，则⎨tan α.
⎪⎩y 1⋅y 2=-16y 1+y 24⎧y ===4cot α⎪0
设AB 中点为M (x 0, y 0), 则⎨ 2tan α
2⎪⎩x 0=cot α⋅y 0+2=4cot α+2
2
AB 的垂直平分线方程是：y -4cot α=-cot αx -4cot α-2.
()
22
令y=0，则x =4cot α+6，有P 4cot α+6，0
()
222
故FP =OP -OF =4cot α+6-2=4cot α+1=4cos α
()
于是|FP|-|FP|cos2a=4csc
2
α(1-cos2α)=4csc 2α⋅2sin 2α=8，故为定值.
（5）消去法——合理减负的常用方法.
避免解析几何中的繁杂运算，是革新、创新的永恒课题. 其中最值得推荐的优秀方法之一便是设而不求，它类似兵法上所说的“不战而屈人之兵”.
【例9】 是否存在同时满足下列两条件的直线l ：（1）l 与抛物线y =8x 有两个不同的交点A 和
2
B ；（2）线段AB 被直线l 1：x+5y-5=0垂直平分. 若不存在，说明理由，若存在，求出直线l 的方程.
【解析】假定在抛物线y 2=8x 上存在这样的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2). 则有：
⎧y 12=8x 1(y 1-y 2)=8
⇒k =⇒y +y y -y =8x -x (12)(12)(12)⎨2AB
y =8x x 1-x 2y 1+y 2⎩22
∴k AB =5，即∵线段AB 被直线l 1：x+5y-5=0垂直平分，且k l 1=-，8⇒y 1+y 2=.
5
设线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，则y 0=
15
8
=5
y 1+y 2y 1+y 24
=. 代入x+5y-5=0得x=1.于是： 25
AB 中点为M 1⎪. 故存在符合题设条件的直线，其方程为： y -
⎛4⎫
⎝5⎭
4
=5(x -1)，即：25x -5y -21=0 5
（6）探索法——奔向数学方法的高深层次
有一些解析几何习题，初看起来好似“树高荫深，叫樵夫难以下手”. 这时就得冷静分析，探索规律，不断地猜想——证明——再猜想——再证明. 终于发现“无限风光在险峰”.
【例10】（10. 安徽卷.14题）如图，抛物线y =-x 2+1与x 轴的正半轴交于点A ，将线段OA 的n 等分点从左至右依次记为P 1, P 2, „, P n -1, 过这些分点分别作x 轴的垂线，与抛物线的交点依次为Q 1，Q 2，„，Q n -1，从而得到n -1个直角三角形△Q 1OP 1, △Q 2P 1P 2, „, △Q n -1P n -1P n -1, 当n →∞时，这些三角形的面积之和的极限为 .
1
【解析】∵OA =1，∴图中每个直角三角形的底边长均为
n
k 2⎛k ⎫2
设OA 上第k 个分点为P 0⎪. 代入y =-x +1：y =1-2. k ，
n ⎝n ⎭
第k 个三角形的面积为：a k =
11⎛k ⎫
⋅ 1-2⎪. 2n ⎝n ⎭
222⎡⎤(n -1)(4n +1)1+2++n -1()1
∴S n -1=. ⎢(n -1)-⎥=22
2n ⎢n 12n ⎥⎣⎦
故这些三角形的面积之和的极限S =lim
n →∞
(n -1)(4n +1)=
12n 2
11⎫1⎛1⎫⎛
lim 1-⎪4+⎪=
12n →∞⎝n ⎭⎝n ⎭3