750力学与实践2015年第37卷
基于MATLAB 的悬臂梁大变形分析
王逸维1)
王杰沈杰陈梦羽余晓平
(南京航空航天大学能源与动力学院, 南京210016)
[2]
摘要主要研究悬臂梁大变形的挠度求解问题. 通过推导悬臂梁自由端受集中力时的绕曲线方程，得出一种较为简便的大变形问题求解方法. 编写程序利用黎曼积分配合二分法迭代出解，并和传统小变形解法进行了比较. 同时，利用ANSYS 软件建模证明了本文方法在一定范围的正确性. 关键词悬臂梁大变形问题，黎曼积分中图分类号：O341
文献标识码：A
方程可以写成下式
1+
d 2ω
M (x ) d x 2
1. 5=
EI d ω 2d x
(1)
doi ：10.6052/1000-0879-14-312
引言
在实际工程分析中，大部分实际工程受力部件
都可以简化为悬臂梁. 然而, 很多时候弯曲杆件往往不是小变形, 按照小挠度假设设计杆件截面往往过大, 为了保证设计经济合理, 采用梁的大挠度理论来设计计算. 近年来，随着现代工业的发展，越来越多的工程问题涉及到大变形的情形. 快速发展的航空航天领域中越来越多地使用大型柔性构件，而且能在发生大变形时而不超出弹性极限的复合材料越来越广泛地应用，悬臂梁结构大变形这一几何非线性问题已成为力学、机械及航空航天等领域研究的热点和难点问题之一. 文献[1]利用较为精确且简便的方法解决悬臂梁大变形挠度问题，将对现代工业的发展有很大的帮助.
本文即通过对悬臂梁的大变形问题进行深入研究, 从悬臂梁的非线性挠曲线微分方程出发, 进行一定的简化，提出一种求解梁挠度的简便有效的方法.
1方程组的推导
1.1挠曲线微分方程的推导
图1大柔度悬臂梁
又弯矩公式
M (x ) =−P (L 0−u −x )
(2)
因为M (x ) 中含有未知量u ，所以式(1)无法直接求解. 考虑到当梁的参数一定，并且加上一定的力之后，绕曲线方程唯一确定. 根据这一结论，对于任意一个P ，可将式(2)中(L 0−u ) =L 看成一个常数，这时就可以求出含L 的挠曲线方程，进而求出L 确定挠曲线方程.
1.2求悬臂梁变形后水平方向的长度L
由图1知
L +u =L 0
(3)
如图1所示，以固定端端点A 点为原点，以变形前的梁轴线为X 轴，垂直向下的轴为Y 轴，建立如图所示平面直角坐标系. 变形后挠曲线上横坐标为X 的任意点的挠度，用ω表示，这样，挠曲线的
2014–10–06收到第1稿，2015–01–09收到修改稿. 1) E-mail:nuaa 提出假设：不考虑悬臂梁弯曲变形后的长度变
化. 则由图中几何关系得
L
d s =L 0(4)
引用格式：王逸维, 王杰, 沈杰等. 基于MATLAB 的悬臂梁大变形分析. 力学与实践, 2015, 37(6):750-753
Wang Yiwei, Wang Jie, Shen Jie, et al. Cantilever large deformation analysis based on MATLAB. Mechanics in Engineering , 2015, 37(6):750-753
第6期王逸维等：基于MATLAB
的悬臂梁大变形分析751
进而可得
0L
1+
d ω2d x
d x =L 0(5)
根据此积分即可求得近似解L ，从而得到u ，再将新的(L 0−u ) 代入式(5)中利用迭代法就可以求出更加精确的L 和u .
1.3利用Matlab 和
Maple 进行求解
将上面的思路进行整理可以得到，我们最终要求解的是如下方程组
d 2ω
−P (L −x ) 2
=
EI d ω 2d x 1+
图2界面1
2.2大变形下算例
(6)
1+
L
取相同悬臂梁，其余条件不变，只将端点集中力
P 改为10N.
按大变形计算方法，梁水平方向长度为0.96875m ，梁端点挠度为0.31105m ，若以小变形计算，用挠曲线近似微分方程得梁端点挠度为0.31105m. 相对误差为2.0591%.
该算例Matlab 的图形界面如图3所示.
d ω2d x
d x =L 0(7)
方程(6)是非线性微分方程，利用Maple 可以得到其方程解
ω=±
P (2Lx −x 2)
d x
−4P 2L 2x 2+4P 2Lx 3−P 2x 4+4E 2I 2
(8)
对将式(7)代入式(6)，得到方程 L 2
P (2Lx −x 2)
1+d x =
−4P 2L 2x 2+4P 2Lx 3−P 2x 4+4E 2I 20
L 0
(9)
那么，利用黎曼积分则求解出式(9)左边关于
L 的积分解，并通过二分法迭代求解出L .
2数值算例2.1小变形下算例
图3界面2
取悬臂梁弹性模量E 为210GPa ，截面惯性矩I 为0.005cm 4，原长L 0为1m ，当端点受集中力P 为1N 时，按大变形计算方法，梁水平方向长度为0.999023m ，梁端点挠度为0.0317m ，若以小变形计算，用挠曲线近似微分方程得梁端点挠度为0.031746m. 相对误差为0. 14%.
该算例Matlab 的图形界面如图2所示.
3误差分析及使用挠曲线近似微分方程的条件P
考虑到式(6)等号右边可以看成一个整
EI
EI
，则T 和L 0可以看成影响L 和体，令T =P
自由端挠度的两个变量. 在此，仅考虑自由端挠度在小变形和大变形两种情形下的相对误差. 由Matlab 做出图形，如图4.
752
力学与实践
2015年第37卷
图4T 和L 0变化下的相对误差图图5自由端受1N 的计算结果
由图4可知，误差随着T 的变小、L 0的变大而增加，即随着EI 的变小、P 的变大、L 0变大而增
EI
加. 当T =相对误差随着L 0变大而增不变时，
P
加；当L 0不变时，相对误差随着T 变大而减小. 在实际情况下，即材料刚度变小、受力变大、材料原长变长下，相对误差变大. 根据工程需要可以得到所能接受的误差范围内的T 和L 0的范围. 工程分析中可以利用上图得出能够使用挠曲线近似微分方程的范围，即近似微分方程的使用条件.
4大变形问题和小变形问题的差异
表1两种方法的悬臂梁自由端在不同载荷下的挠度比较
载荷大小/N
−2−4−6−8−9
本文方法自由端挠度/m−0. 063359−0. 12561−0. 18673−0. 24178−0. 31105
ANSYS 模型自由端挠度/m−0. 062592−0. 125183−0. 187775−0. 248118−0. 312958
绘制成图6.
利用挠曲线近似微分方程实际上是忽略了施加集中力后悬臂梁在水平方向的变化，认为在水平方向上的投影仍为L 0，那么，按这种方法计算，梁的
长度增大了. 事实上，当梁发生小变形时，u 很小，L 近似等于L 0，计算误差不大，在一定范围内可以接受；但是当梁发生大变形时，如果仍然认为L 与
2此时L 0相等，那么计算梁的长度L 1=L 20+ωL 0，
ωL 0已经很大，即L 1比L 0大很多，梁发生如此大的变形，这明显与事实不相符. 与此同时，在整理数据的过程中发现，图4中类似于台阶状的误差值，每个相邻台阶上的误差值几乎为两倍的关系.
5基于ANSYS 模型的方法校验
图6两种方法的悬臂梁自由端在不同载荷下的挠度比较
由比较结果可见，在一定范围内，本文的方法具有一定的正确性.
6方法的拓展
为了验证本文方法的正确性，在此基于ANSYS 对本文方法进行校核.
在ANSYS 中建立一个宽和高b =h =0. 00495m ，长度L =1m 的悬臂梁，自由端分别施加不同的力，与本文的方法进行比较，得到表1. 图5为自由端受1N 的集中力下的ANSYS 计算结果. 其中，材料的弹性系数E =210GPa ，泊松比µ=0. 25.
上述方法考虑了悬臂梁端部受集中力作用的大
变形问题，而悬臂梁受其他类型的作用力也可以利用本文的思路进行计算. 对于具体的悬臂梁问题，则可以求得其弯矩M (x ) 代入式(1)后与式(5)组成方程组求解. 按照上文的方法求出挠度曲线ω，进而求出类似于式(9)的方程，利用黎曼积分配合二分法迭代出精确解.
第6期李训涛等：DZ-I 型单自由度振动实验装置753
7结束语
本文利用悬臂梁大变形分析方法，考虑了变形时梁沿水平方向投影长度的缩短，是符合事实的. 但是由于这种方法计算量大，手算是很困难甚至解不出的，只能用数学软件计算. 此外，本文方法的精度还取决于黎曼积分的精度. 综上所述，利用挠曲线近似微分方程和本文所研究大变形悬臂梁的分析方
法是各有利弊的，利用近似微分方程求解时计算简便，但会有误差；而本文研究的方法较为准确，但计算复杂.
参考文献
1吴国荣. 柔性梁大变形分析的线性方法. 浙江海洋学院学报(自然科学版) ，2008, 27(1):1-4
2刘鸿文. 材料力学I. 北京：高等教育出版社，2011. 174-177
(责任编辑:胡漫)
DZ-I 型单自由度振动实验装置
李训涛2)
王妮
(南京航空航天大学航空宇航学院，南京210016)
1)
摘要为了提高单自由度系统实验装置模型精度与测量精
性认识，并且开拓思路培养学生的创新能力[1-2].
1系统机械结构
DZ-I 型单自由度振动实验装置机械结构如图1
度，设计了新型数字型实验装置，该装置由扭振系统、激振系统、检测系统、阻尼系统等组成. 可以自动测量系统自由振动的固有频率；测量阻尼振动的阻尼大小及阻尼受迫振动的幅频响应与相频响应, 提高了系统结构模型的激励测量精度与准确度，从而增进学生对单自由度系统在简谐激励下受迫振动规律的感性认识，提高学习兴趣.
关键词单自由度，阻尼受迫振动，幅频响应，相频响应中图分类号：O32, TP311.51
文献标识码：A
doi ：10.6052/1000-0879-14-259
理论力学为航空、航天、机械、控制、力学等专
业的重要基础课. 原有的理论力学缺乏实验与实践性教学，现有的实验以演示实验为主. 单自由度振动实验装置以质量--弹簧系统作为动力学模型，以扭转弹簧与摆盘作为实际模型，以便减小摩擦. DZ-I 型单自由度振动实验装置由扭振系统、激振系统、检测系统、阻尼系统等组成，可以对扭振系统进行固有频率测定；可以施加阻尼及测量阻尼大小；可以施加受迫振动及测量有阻尼有受迫振动的幅频响应和相频响应. 从而使学生对理论力学的基本理论有初步的感
本文于2014–07–30收到.
1) 江苏高校优势学科建设工程资助项目.
所示，主要有阻尼器①，带有测量齿轮的摆盘②，扭转弹簧③，激励电机④，测量光眼⑤，指示指针⑥和⑦. 摆盘作为研究对象相当于质量--弹簧系统的质量，在摆盘上刻满一圈大小均匀的凹齿，以便测量系统能够测量摆盘的所在位置，这里采用类似机械钟表中摆轮轴杆结构将摆盘固定在仪表架上，目的是为了尽量减小摆盘转动时的摩擦力；阻尼器采用磁铁作为黏性阻尼，摆盘在磁场中摆动而切割磁力线时，摆盘中产生电涡流，从而产生阻尼，旋转阻尼器改变磁铁与摆盘的磁通面积即可以改变阻尼大小；激励电机采用步进电机，将步进电机转动规律按照正弦规律左右摆动，摆动的幅值固定，摆动周期可以根据用户设置改变；一对测量光眼测量摆盘的齿轮可以判断摆盘转动的瞬时角度与方向，为系统自动测量摆盘的固有频率、阻尼大小与幅频、相频响应等提供重要参数；指示指针分为激励幅值指针与摆盘响应指示指针，以方便学生观察系统的振动规律.
2) 李训涛，实验师，硕士研究生学历，主要从事测试技术与传感器研究. E-mail:[email protected]引用格式：李训涛, 王妮. DZ-I 型单自由度振动实验装置. 力学与实践, 2015, 37(6):753-756
Li Xuntao, Wang Ni. The experimental equipment for type DZ-I single-freedom vibration. Mechanics in Engineering , 2015, 37(6):753-756
750力学与实践2015年第37卷
基于MATLAB 的悬臂梁大变形分析
王逸维1)
王杰沈杰陈梦羽余晓平
(南京航空航天大学能源与动力学院, 南京210016)
[2]
摘要主要研究悬臂梁大变形的挠度求解问题. 通过推导悬臂梁自由端受集中力时的绕曲线方程，得出一种较为简便的大变形问题求解方法. 编写程序利用黎曼积分配合二分法迭代出解，并和传统小变形解法进行了比较. 同时，利用ANSYS 软件建模证明了本文方法在一定范围的正确性. 关键词悬臂梁大变形问题，黎曼积分中图分类号：O341
文献标识码：A
方程可以写成下式
1+
d 2ω
M (x ) d x 2
1. 5=
EI d ω 2d x
(1)
doi ：10.6052/1000-0879-14-312
引言
在实际工程分析中，大部分实际工程受力部件
都可以简化为悬臂梁. 然而, 很多时候弯曲杆件往往不是小变形, 按照小挠度假设设计杆件截面往往过大, 为了保证设计经济合理, 采用梁的大挠度理论来设计计算. 近年来，随着现代工业的发展，越来越多的工程问题涉及到大变形的情形. 快速发展的航空航天领域中越来越多地使用大型柔性构件，而且能在发生大变形时而不超出弹性极限的复合材料越来越广泛地应用，悬臂梁结构大变形这一几何非线性问题已成为力学、机械及航空航天等领域研究的热点和难点问题之一. 文献[1]利用较为精确且简便的方法解决悬臂梁大变形挠度问题，将对现代工业的发展有很大的帮助.
本文即通过对悬臂梁的大变形问题进行深入研究, 从悬臂梁的非线性挠曲线微分方程出发, 进行一定的简化，提出一种求解梁挠度的简便有效的方法.
1方程组的推导
1.1挠曲线微分方程的推导
图1大柔度悬臂梁
又弯矩公式
M (x ) =−P (L 0−u −x )
(2)
因为M (x ) 中含有未知量u ，所以式(1)无法直接求解. 考虑到当梁的参数一定，并且加上一定的力之后，绕曲线方程唯一确定. 根据这一结论，对于任意一个P ，可将式(2)中(L 0−u ) =L 看成一个常数，这时就可以求出含L 的挠曲线方程，进而求出L 确定挠曲线方程.
1.2求悬臂梁变形后水平方向的长度L
由图1知
L +u =L 0
(3)
如图1所示，以固定端端点A 点为原点，以变形前的梁轴线为X 轴，垂直向下的轴为Y 轴，建立如图所示平面直角坐标系. 变形后挠曲线上横坐标为X 的任意点的挠度，用ω表示，这样，挠曲线的
2014–10–06收到第1稿，2015–01–09收到修改稿. 1) E-mail:nuaa 提出假设：不考虑悬臂梁弯曲变形后的长度变
化. 则由图中几何关系得
L
d s =L 0(4)
引用格式：王逸维, 王杰, 沈杰等. 基于MATLAB 的悬臂梁大变形分析. 力学与实践, 2015, 37(6):750-753
Wang Yiwei, Wang Jie, Shen Jie, et al. Cantilever large deformation analysis based on MATLAB. Mechanics in Engineering , 2015, 37(6):750-753
第6期王逸维等：基于MATLAB
的悬臂梁大变形分析751
进而可得
0L
1+
d ω2d x
d x =L 0(5)
根据此积分即可求得近似解L ，从而得到u ，再将新的(L 0−u ) 代入式(5)中利用迭代法就可以求出更加精确的L 和u .
1.3利用Matlab 和
Maple 进行求解
将上面的思路进行整理可以得到，我们最终要求解的是如下方程组
d 2ω
−P (L −x ) 2
=
EI d ω 2d x 1+
图2界面1
2.2大变形下算例
(6)
1+
L
取相同悬臂梁，其余条件不变，只将端点集中力
P 改为10N.
按大变形计算方法，梁水平方向长度为0.96875m ，梁端点挠度为0.31105m ，若以小变形计算，用挠曲线近似微分方程得梁端点挠度为0.31105m. 相对误差为2.0591%.
该算例Matlab 的图形界面如图3所示.
d ω2d x
d x =L 0(7)
方程(6)是非线性微分方程，利用Maple 可以得到其方程解
ω=±
P (2Lx −x 2)
d x
−4P 2L 2x 2+4P 2Lx 3−P 2x 4+4E 2I 2
(8)
对将式(7)代入式(6)，得到方程 L 2
P (2Lx −x 2)
1+d x =
−4P 2L 2x 2+4P 2Lx 3−P 2x 4+4E 2I 20
L 0
(9)
那么，利用黎曼积分则求解出式(9)左边关于
L 的积分解，并通过二分法迭代求解出L .
2数值算例2.1小变形下算例
图3界面2
取悬臂梁弹性模量E 为210GPa ，截面惯性矩I 为0.005cm 4，原长L 0为1m ，当端点受集中力P 为1N 时，按大变形计算方法，梁水平方向长度为0.999023m ，梁端点挠度为0.0317m ，若以小变形计算，用挠曲线近似微分方程得梁端点挠度为0.031746m. 相对误差为0. 14%.
该算例Matlab 的图形界面如图2所示.
3误差分析及使用挠曲线近似微分方程的条件P
考虑到式(6)等号右边可以看成一个整
EI
EI
，则T 和L 0可以看成影响L 和体，令T =P
自由端挠度的两个变量. 在此，仅考虑自由端挠度在小变形和大变形两种情形下的相对误差. 由Matlab 做出图形，如图4.
752
力学与实践
2015年第37卷
图4T 和L 0变化下的相对误差图图5自由端受1N 的计算结果
由图4可知，误差随着T 的变小、L 0的变大而增加，即随着EI 的变小、P 的变大、L 0变大而增
EI
加. 当T =相对误差随着L 0变大而增不变时，
P
加；当L 0不变时，相对误差随着T 变大而减小. 在实际情况下，即材料刚度变小、受力变大、材料原长变长下，相对误差变大. 根据工程需要可以得到所能接受的误差范围内的T 和L 0的范围. 工程分析中可以利用上图得出能够使用挠曲线近似微分方程的范围，即近似微分方程的使用条件.
4大变形问题和小变形问题的差异
表1两种方法的悬臂梁自由端在不同载荷下的挠度比较
载荷大小/N
−2−4−6−8−9
本文方法自由端挠度/m−0. 063359−0. 12561−0. 18673−0. 24178−0. 31105
ANSYS 模型自由端挠度/m−0. 062592−0. 125183−0. 187775−0. 248118−0. 312958
绘制成图6.
利用挠曲线近似微分方程实际上是忽略了施加集中力后悬臂梁在水平方向的变化，认为在水平方向上的投影仍为L 0，那么，按这种方法计算，梁的
长度增大了. 事实上，当梁发生小变形时，u 很小，L 近似等于L 0，计算误差不大，在一定范围内可以接受；但是当梁发生大变形时，如果仍然认为L 与
2此时L 0相等，那么计算梁的长度L 1=L 20+ωL 0，
ωL 0已经很大，即L 1比L 0大很多，梁发生如此大的变形，这明显与事实不相符. 与此同时，在整理数据的过程中发现，图4中类似于台阶状的误差值，每个相邻台阶上的误差值几乎为两倍的关系.
5基于ANSYS 模型的方法校验
图6两种方法的悬臂梁自由端在不同载荷下的挠度比较
由比较结果可见，在一定范围内，本文的方法具有一定的正确性.
6方法的拓展
为了验证本文方法的正确性，在此基于ANSYS 对本文方法进行校核.
在ANSYS 中建立一个宽和高b =h =0. 00495m ，长度L =1m 的悬臂梁，自由端分别施加不同的力，与本文的方法进行比较，得到表1. 图5为自由端受1N 的集中力下的ANSYS 计算结果. 其中，材料的弹性系数E =210GPa ，泊松比µ=0. 25.
上述方法考虑了悬臂梁端部受集中力作用的大
变形问题，而悬臂梁受其他类型的作用力也可以利用本文的思路进行计算. 对于具体的悬臂梁问题，则可以求得其弯矩M (x ) 代入式(1)后与式(5)组成方程组求解. 按照上文的方法求出挠度曲线ω，进而求出类似于式(9)的方程，利用黎曼积分配合二分法迭代出精确解.
第6期李训涛等：DZ-I 型单自由度振动实验装置753
7结束语
本文利用悬臂梁大变形分析方法，考虑了变形时梁沿水平方向投影长度的缩短，是符合事实的. 但是由于这种方法计算量大，手算是很困难甚至解不出的，只能用数学软件计算. 此外，本文方法的精度还取决于黎曼积分的精度. 综上所述，利用挠曲线近似微分方程和本文所研究大变形悬臂梁的分析方
法是各有利弊的，利用近似微分方程求解时计算简便，但会有误差；而本文研究的方法较为准确，但计算复杂.
参考文献
1吴国荣. 柔性梁大变形分析的线性方法. 浙江海洋学院学报(自然科学版) ，2008, 27(1):1-4
2刘鸿文. 材料力学I. 北京：高等教育出版社，2011. 174-177
(责任编辑:胡漫)
DZ-I 型单自由度振动实验装置
李训涛2)
王妮
(南京航空航天大学航空宇航学院，南京210016)
1)
摘要为了提高单自由度系统实验装置模型精度与测量精
性认识，并且开拓思路培养学生的创新能力[1-2].
1系统机械结构
DZ-I 型单自由度振动实验装置机械结构如图1
度，设计了新型数字型实验装置，该装置由扭振系统、激振系统、检测系统、阻尼系统等组成. 可以自动测量系统自由振动的固有频率；测量阻尼振动的阻尼大小及阻尼受迫振动的幅频响应与相频响应, 提高了系统结构模型的激励测量精度与准确度，从而增进学生对单自由度系统在简谐激励下受迫振动规律的感性认识，提高学习兴趣.
关键词单自由度，阻尼受迫振动，幅频响应，相频响应中图分类号：O32, TP311.51
文献标识码：A
doi ：10.6052/1000-0879-14-259
理论力学为航空、航天、机械、控制、力学等专
业的重要基础课. 原有的理论力学缺乏实验与实践性教学，现有的实验以演示实验为主. 单自由度振动实验装置以质量--弹簧系统作为动力学模型，以扭转弹簧与摆盘作为实际模型，以便减小摩擦. DZ-I 型单自由度振动实验装置由扭振系统、激振系统、检测系统、阻尼系统等组成，可以对扭振系统进行固有频率测定；可以施加阻尼及测量阻尼大小；可以施加受迫振动及测量有阻尼有受迫振动的幅频响应和相频响应. 从而使学生对理论力学的基本理论有初步的感
本文于2014–07–30收到.
1) 江苏高校优势学科建设工程资助项目.
所示，主要有阻尼器①，带有测量齿轮的摆盘②，扭转弹簧③，激励电机④，测量光眼⑤，指示指针⑥和⑦. 摆盘作为研究对象相当于质量--弹簧系统的质量，在摆盘上刻满一圈大小均匀的凹齿，以便测量系统能够测量摆盘的所在位置，这里采用类似机械钟表中摆轮轴杆结构将摆盘固定在仪表架上，目的是为了尽量减小摆盘转动时的摩擦力；阻尼器采用磁铁作为黏性阻尼，摆盘在磁场中摆动而切割磁力线时，摆盘中产生电涡流，从而产生阻尼，旋转阻尼器改变磁铁与摆盘的磁通面积即可以改变阻尼大小；激励电机采用步进电机，将步进电机转动规律按照正弦规律左右摆动，摆动的幅值固定，摆动周期可以根据用户设置改变；一对测量光眼测量摆盘的齿轮可以判断摆盘转动的瞬时角度与方向，为系统自动测量摆盘的固有频率、阻尼大小与幅频、相频响应等提供重要参数；指示指针分为激励幅值指针与摆盘响应指示指针，以方便学生观察系统的振动规律.
2) 李训涛，实验师，硕士研究生学历，主要从事测试技术与传感器研究. E-mail:[email protected]引用格式：李训涛, 王妮. DZ-I 型单自由度振动实验装置. 力学与实践, 2015, 37(6):753-756
Li Xuntao, Wang Ni. The experimental equipment for type DZ-I single-freedom vibration. Mechanics in Engineering , 2015, 37(6):753-756