高数下复习重点
第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
1向量的模（向量的长度），单位向量，零向量，相等向量，自由向量，向量夹角，向量平行，向量垂直的概念
2向量的加法：交换律，结合律，︱a +b ︱≤a ︱+︱b ︱
3数乘：
–1a 称为a 的负向量
数乘满足：
⑴结合律
⑵分配律
⑶当a ≠0时，1/︱a ︱×a 是与a 同方向的单位向量
⑷a ≠0，a ∥b ～存在实数k 使a =kb
⑸向量的坐标运算
4向量的坐标表示
～向量的坐标运算
5向量的模与方向余弦平p277
第二节 向量的乘积
1向量的数量积及其满足的性质p279
2向量数量积的坐标运算
3向量的向量积定义，几何意义，满足的性质及运算法则p281
4向量的混合积的性质：
a ，b ，c 共面的充要条件为〔abc 〕=0
其几何意义：以a ，b ，c 为相邻三棱的平行六面体的体积
第三节 空间曲面
1平面方程：
点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
n =｛A,B,C ｝
一般式：Ax+By+Cz+D=0
三点式方程：〔AB AC AD〕=0
2两平面夹角：
Cos θ=︱n1.n2︱／︱n1︱︱n2︱ θ∈[0,∏∕2]
∏1∥∏2～A1/A2=B1/B2=C1/C2
∏1⊥∏2～A1A2+B1B2+C1C2=0
3点到平面的距离公式
d=︱Ax0+By0+Cz0+D︱/(A,B,C,的平方和开根号)
4柱面
其方程的特点：方程中缺一个字母
5旋转曲面
∑是由yoz 坐标面上曲线C ：f （y ，z ）=0绕z 轴旋转一周而成，期房称为f （±x ，y 的平方和开根号，z ）=0；若为绕y 轴则方程为f （y ，±x ，z 的平方和开根号）=0
第四节 空间曲线
1空间曲线方程：
一般方程
参数方程
2空间曲线在坐标面上的投影的算法
3空间直线方程：
一般式
点向式
参数方程
两点式
4两直线夹角
Cos θ=︱s1.s2︱/︱s1︱︱s2︱
L1⊥L2～m1m2+n1n2+p1p2=0
L1∥L2～m1/m2=n1/n2=p1/p2
L ⊥∏～m/A=n/B=p/C
L ∥∏～Am+Bn+Cp=0
典型例题p295 例题7
5平面束
典型例题p296 例题8，p290 2、（6）
第九章 多元函数微分学
第一节 多元函数的概念
1邻域，去心邻域，内点，聚点，边界点的概念及关系
2有界点集与无界点集
3开集，闭集，连通集，区域，开区域，闭区域
第二节 二元函数的极限与连续
典型例题p305例题4
定理
2讨论二元函数的连续性
3最值定理，有界定理，介值定理，零点定理
第三节 偏导数
1偏导数的定义
2可偏导，对x ，y 的偏导数都存在
3偏导数的几何意义：对某个未知量的偏导数就是在某点处的切线关于某轴的斜率 4偏导数的计算：实质为一元函数的求导
5定理1p313
第四节 全微分
1偏微分的概念
2全微分：等于各偏微分之和
dz=Adx+Bdy
2可微的必要条件p317
3可微的充要条件p318
4可微的充分条件p318
5推论p319
6利用全微分计算多元函数的函数近似值
第五节 多元复合函数的求导法则
1二元函数偏导数的求导法则（定理1p322）
2多元函数偏导数求导公式（定理2p327）
3全微分形式不变性p327
4若u=u（x ，y ），v=v（x ，y),z=f(u,v),则dz=du+dv=（u 对x 的偏导数dx+u对y 的偏导数dy ）+（v 对x 的偏导数dx+v对y 的偏导数dy ）
第六节 隐函数的微分法
1隐函数存在定理一p329
其本质是让等式两边同时对x 求导
2隐函数存在定理二p331
实质同一
3隐函数存在定理三p333
实质同一
4隐函数存在定理四p333
实质同一
“3-2”“4-2”型，其本质是解方程组
5全微分
典型例题p336 例题6
第七节 方向导数和梯度
1方向导数的求法 定理1p339
2方向导数推广到n 元函数
3梯度的概念p341
4梯度与方向导数的关系p341
5梯度推广至三元函数
6方向导数为梯度与单位方向向量的数量积，即梯度的模长
第九节 多元函数的极值
1极值存在的必要条件p347
2极值存在的第二充分条件p348
3条件极值的求法：
Lagrange 乘数法
4最值求解步骤：
①求出f （x ，y ）在D 内部所有可能极值点
②求出f （x ，y ）在D 边界上的所有可能条件极值点
③分别计算上述各点处的函数值，最大的就是f （x ，y ）在D 上的最大值，最小者就是f （x ，y ）在D 上的最小值
第十节 多元函数微分学的几何应用
1定理1p359
2法平面的概念：与曲线的切向量相垂直的面
3定理2p360
4定理3p360
5定理4p362
6定理5p363
7关系图p367
第十章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
1d σ=dxdy
曲顶柱体的体积v=⎰⎰f （x ，y)d σ
2二重积分的几何意义p372
3二重积分的性质p373
（积分中值定理）
4定理1,2（二重积分的对称性：奇偶对称性，轮轮换对称性）p373
第二节 二重积分的计算
1利用直角坐标计算
d σ=dxdy
2利用极坐标计算
d σ=rdrdθ
（被积函数中有x ，y 的平方和项）
第三节 三重积分的概念及性质（详见笔记)
1三重积分的性质p391
2奇偶对称性，轮换对称性
第四节 三重积分的计算
1利用直角坐标计算
dv=dxdydz
2先二后一
条件：穿过空间区域Ω的内部且平行于z 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点不超过两个 3利用柱面坐标计算
dv=rdrdθdz
4利用球面坐标计算
dv=p的平方sin φdpd φd θ
第五节 重积分的应用
空间曲面面积（详见笔记)
本章重点p411
第十一章 曲线积分
第一节 对弧长的曲线积分
高数下复习重点
第八章 向量代数与空间解析几何
第一节 向量及其线性运算
1向量的模（向量的长度），单位向量，零向量，相等向量，自由向量，向量夹角，向量平行，向量垂直的概念
2向量的加法：交换律，结合律，︱a +b ︱≤a ︱+︱b ︱
3数乘：
–1a 称为a 的负向量
数乘满足：
⑴结合律
⑵分配律
⑶当a ≠0时，1/︱a ︱×a 是与a 同方向的单位向量
⑷a ≠0，a ∥b ～存在实数k 使a =kb
⑸向量的坐标运算
4向量的坐标表示
～向量的坐标运算
5向量的模与方向余弦平p277
第二节 向量的乘积
1向量的数量积及其满足的性质p279
2向量数量积的坐标运算
3向量的向量积定义，几何意义，满足的性质及运算法则p281
4向量的混合积的性质：
a ，b ，c 共面的充要条件为〔abc 〕=0
其几何意义：以a ，b ，c 为相邻三棱的平行六面体的体积
第三节 空间曲面
1平面方程：
点法式：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
n =｛A,B,C ｝
一般式：Ax+By+Cz+D=0
三点式方程：〔AB AC AD〕=0
2两平面夹角：
Cos θ=︱n1.n2︱／︱n1︱︱n2︱ θ∈[0,∏∕2]
∏1∥∏2～A1/A2=B1/B2=C1/C2
∏1⊥∏2～A1A2+B1B2+C1C2=0
3点到平面的距离公式
d=︱Ax0+By0+Cz0+D︱/(A,B,C,的平方和开根号)
4柱面
其方程的特点：方程中缺一个字母
5旋转曲面
∑是由yoz 坐标面上曲线C ：f （y ，z ）=0绕z 轴旋转一周而成，期房称为f （±x ，y 的平方和开根号，z ）=0；若为绕y 轴则方程为f （y ，±x ，z 的平方和开根号）=0
第四节 空间曲线
1空间曲线方程：
一般方程
参数方程
2空间曲线在坐标面上的投影的算法
3空间直线方程：
一般式
点向式
参数方程
两点式
4两直线夹角
Cos θ=︱s1.s2︱/︱s1︱︱s2︱
L1⊥L2～m1m2+n1n2+p1p2=0
L1∥L2～m1/m2=n1/n2=p1/p2
L ⊥∏～m/A=n/B=p/C
L ∥∏～Am+Bn+Cp=0
典型例题p295 例题7
5平面束
典型例题p296 例题8，p290 2、（6）
第九章 多元函数微分学
第一节 多元函数的概念
1邻域，去心邻域，内点，聚点，边界点的概念及关系
2有界点集与无界点集
3开集，闭集，连通集，区域，开区域，闭区域
第二节 二元函数的极限与连续
典型例题p305例题4
定理
2讨论二元函数的连续性
3最值定理，有界定理，介值定理，零点定理
第三节 偏导数
1偏导数的定义
2可偏导，对x ，y 的偏导数都存在
3偏导数的几何意义：对某个未知量的偏导数就是在某点处的切线关于某轴的斜率 4偏导数的计算：实质为一元函数的求导
5定理1p313
第四节 全微分
1偏微分的概念
2全微分：等于各偏微分之和
dz=Adx+Bdy
2可微的必要条件p317
3可微的充要条件p318
4可微的充分条件p318
5推论p319
6利用全微分计算多元函数的函数近似值
第五节 多元复合函数的求导法则
1二元函数偏导数的求导法则（定理1p322）
2多元函数偏导数求导公式（定理2p327）
3全微分形式不变性p327
4若u=u（x ，y ），v=v（x ，y),z=f(u,v),则dz=du+dv=（u 对x 的偏导数dx+u对y 的偏导数dy ）+（v 对x 的偏导数dx+v对y 的偏导数dy ）
第六节 隐函数的微分法
1隐函数存在定理一p329
其本质是让等式两边同时对x 求导
2隐函数存在定理二p331
实质同一
3隐函数存在定理三p333
实质同一
4隐函数存在定理四p333
实质同一
“3-2”“4-2”型，其本质是解方程组
5全微分
典型例题p336 例题6
第七节 方向导数和梯度
1方向导数的求法 定理1p339
2方向导数推广到n 元函数
3梯度的概念p341
4梯度与方向导数的关系p341
5梯度推广至三元函数
6方向导数为梯度与单位方向向量的数量积，即梯度的模长
第九节 多元函数的极值
1极值存在的必要条件p347
2极值存在的第二充分条件p348
3条件极值的求法：
Lagrange 乘数法
4最值求解步骤：
①求出f （x ，y ）在D 内部所有可能极值点
②求出f （x ，y ）在D 边界上的所有可能条件极值点
③分别计算上述各点处的函数值，最大的就是f （x ，y ）在D 上的最大值，最小者就是f （x ，y ）在D 上的最小值
第十节 多元函数微分学的几何应用
1定理1p359
2法平面的概念：与曲线的切向量相垂直的面
3定理2p360
4定理3p360
5定理4p362
6定理5p363
7关系图p367
第十章 重积分
第一节 二重积分的概念与性质
1d σ=dxdy
曲顶柱体的体积v=⎰⎰f （x ，y)d σ
2二重积分的几何意义p372
3二重积分的性质p373
（积分中值定理）
4定理1,2（二重积分的对称性：奇偶对称性，轮轮换对称性）p373
第二节 二重积分的计算
1利用直角坐标计算
d σ=dxdy
2利用极坐标计算
d σ=rdrdθ
（被积函数中有x ，y 的平方和项）
第三节 三重积分的概念及性质（详见笔记)
1三重积分的性质p391
2奇偶对称性，轮换对称性
第四节 三重积分的计算
1利用直角坐标计算
dv=dxdydz
2先二后一
条件：穿过空间区域Ω的内部且平行于z 轴的直线与Ω的边界曲面∑的交点不超过两个 3利用柱面坐标计算
dv=rdrdθdz
4利用球面坐标计算
dv=p的平方sin φdpd φd θ
第五节 重积分的应用
空间曲面面积（详见笔记)
本章重点p411
第十一章 曲线积分
第一节 对弧长的曲线积分