材料力学
第4章
弯曲内力
§4-1 弯曲的概念和实例 §4-2 受弯构件的简化 §4-3 剪力和弯矩 §4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4-6 平面刚架和曲杆的内力图
材料力学
§4-1 弯曲的概念和实例
材料力学
一、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。 二、平面弯曲的概念：
材料力学
F1 q F2
M
纵向对称面
外力作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯曲后仍 在此对称平面内----平面弯曲或对称弯曲。
材料力学
§4-2
受弯构件的简化
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
火车轮轴简化实例
材料力学
一、梁支座的简化
a)可动铰支座 b)固定铰支座 c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
材料力学
二、载荷的简化
(a)集中荷载
F1
(b)分布荷载 集中力
M q(x) q
集中力偶
任意分布荷载
均布荷载
材料力学
三、静定梁的基本形式
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。 (a)悬臂梁 (b)简支梁 (c)外伸梁
超静定梁——仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。
跨长——梁在两支座间的长度。
材料力学
a A l FAX A FAY
§4-3
剪力和弯矩
[例] 已知：如图，F，a，l。
一、弯曲内力的确定（截面法）：
F B 求：距A端 x 处截面上内力。 解：①求外力（支座反力）
F
B FBY
∑ X = 0, ∴ F = 0 ∑ M = 0 , F l − Fa = 0 ∑Y = 0 , F − F + F = 0
AX
A BY AY BY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
Fa = , l
FAY
F (l − a) = l
材料力学
②求内力 FAX A FAY x A FAY M C FBY
Fs
m
F
B FBY
∑ Y = 0,
FAY − Fs = 0
F (l − a) l
Fs = FAY =
m
Fs －剪力，平行于横截面 的内力系的合力。
∑M
M
Fs
C
= 0,
M − FAY x = 0
C
F (l − a) x M = FAY x = l
F
M －弯矩，垂直于横截面 的内力系的合力偶矩。
材料力学
二、弯曲内力的正负号规定：
① 剪力Fs： Fs(+) Fs(+) ② 弯矩M ： M(+) M(+) Fs(–) Fs(–)
M(–)
M(–)
材料力学
例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN A FA 2m 1.5m 1 1 1.5m q=12kN/m 2 2 3m 1.5m B FB
解：1、求支反力
3 ∑ M B = 0 ⇒ F A × 6 − F × 4 .5 − q × 3 × 2 = 0 ⇒ F A = 15 kN ∑ Fy = 0 ⇒ F A + FB − F − q × 3 = 0 ⇒ FB = 29 kN
(也可由 ∑ M A = 0求 FB 或校核 FB的正误 )
材料力学
2、计算1-1截面的内力 FS1 = FA − F = 7 kN M 1 = FA × 2 − F × (2 − 1.5) = 26kN ⋅ m 3、计算2-2截面的内力
FS2 = q ×1.5 − FB = −11kN 1 .5 = 30kN ⋅ m M 2 = FB ×1.5 − q ×1.5 × 2
M2
FA F=8kN
M1
FS1
q=12kN/m
FS2
FB
说明： 求截面FS和M 时，均按规定正向假设。
材料力学
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和
弯矩图
⎧ FS = FS ( x) 剪力、弯矩方程： ⎨ ⎩M = M ( x)
反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变 化的函数式。
剪力、弯矩图： 显示剪力和弯矩随截面位置
的变化规律的图形，横轴沿轴线方向表示截面 的位置，纵轴为内力的大小。
注意： 不能用一个函数表达的要分段，分段点为： 集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终 点。
例1 图示简支梁受集度为q 的均布荷载作用。试作梁的剪力 图和弯矩图。
q A FA x
ql FA = FB = 2
l
B FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
q A FA x
M(x) FS(x)
ql FS ( x ) = FA − qx = − qx 2 x qlx qx 2 − M ( x ) = FA x − qx × = 2 2 2
3、作剪力图和弯矩图
q A
FS
l
ql FS ( x ) = − qx 2 B
qlx qx 2 M (x ) = − 2 2
ql 2
FS,max
M l/2
ql = 2
ql 2 = 8
ql2 8
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
M max
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
例2 图示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力 图和弯矩图。
a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA = l Fa FB = l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
Fb l Fb M (x ) = x l FS ( x ) =
M(x) FS(x)
Fa l
(0
(0 ≤ x ≤ a )
FS (x ) = − FB = −
(a
M(x) FS(x)
CB段 B FB
Fa (l − x ) M ( x ) = FB (l − x) = l (a ≤ x ≤ l )
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA
FS
Fb l
B FB
Fb FS1 ( x ) = l Fa FS2 ( x ) = − l Fb M 1 (x ) = x l Fa (l − x ) M 2 ( x) = l
* 在集中力F 作用处，剪力 图有突变，突 变值为集中力 的大小；弯矩 图有转折。
Fb l
x
Fab l
M
x
材料力学
例3 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。 试作梁的剪力图和弯矩图。 A FA
解： 1、求支反力
a
Me C l
b
B FB
∑M
A
=0
M e − FA × l = 0
Me (↓) FB = l
Me (↑) FA = l
2、列剪力方程和弯矩方程
A FA
a
x
b C l
M(x) M(x)
B FB
Me (0
A
FA x FS(x)
B
FS(x) FB
弯矩方程——两段： AC段：
Me (0 ≤ x
3、作剪力图和弯矩图 A a C l
Fs Me l
b
Me FS ( x ) = l Me B M (x ) = x (0 ≤ x
M (x ) = − Me (l − x ) l (a
x
Mea l
M
x
Meb l
* 集中力偶作 用点处剪力图 无影响，弯矩 图有突变，突 变值的大小等 于集中力偶的 大小。
材料力学 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q(x)
规定： q↑为 + 对dx 段进行平衡分析，有：
∑Y = 0
x dx q(x) Fs(x)+dFs (x) M(x) Fs(x) dx
A
Fs ( x ) + q ( x )dx − [Fs ( x ) + dFs ( x ) ] = 0
q ( x)dx = dFs ( x)
dFs ( x ) = q(x ) dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该点处荷载集度的大小。
M(x)+d M(x)
材料力
学
q(x) M(x) Fs(x) dx Fs(x)+dFs (x)
A
r ∑ M A ( Fi ) = 0 ,
[ M ( x) + dM ( x)] - Fs ( x)dx 1 − M ( x) − q ( x)(dx) 2 = 0 2
M(x)+d M(x)
dM ( x ) = Fs ( x) dx
q、Fs和M三者的微分关系：
dM 2 ( x ) = q( x) 2 dx
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
d M 2 ( x ) d Fs ( x ) = = q( x) 2 dx dx
材料力学
二、微分关系的应用---作Fs 图和 M 图（用于定形） q FS图 FS>0 M图 集中力(偶) FS图 M图 突变 转折 无变化 突变 FS0 FS0 FS0 q=const.
材料力学
三、简易法作内力图：
基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、根据载荷及约束力的作用位置，确定控制点；
控制点：端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值 点）等。
3、计算控制点处FS、M 值； 4、依据微分关系判定控制点间各段 FS、M图的形 状，连接各段曲线。
材料力学
控制点处FS、M 值的计算方法：
¾ 利用特殊点的内力值（截面法）来定值； ¾ 利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值。 积分关系：
dFs ( x ) Q = q (x ) dx ∴ ∫ dFs ( x ) = ∫ q ( x ) dx
Q1 x1 Q2 x2
dM ( x ) Q = Fs ( x ) dx ∴∫
M2 M1
dM ( x ) = ∫ Fs ( x ) dx
x1 x2 x1
x2
Fs 2 − Fs1 = ∫ q ( x ) dx
x1
x2
M 2 − M 1 = ∫ Fs ( x ) dx
梁上任意两截面的弯矩差等于 两截面间剪力图的面积。
梁上任意两截面的剪力差等于两 截面间分布载荷图形的面积。
例1 作图示外伸梁的FS、 M图。
解：1、求支座反力
q=10kN/m M=60kN·m 30kN
C FA F 2 m 1m 3 m B A D B E
ΣMA=2q+6×30-60-4FB=0 FB=35 kN ΣFy=2q+FA+FB-30=0
FA=-25 kN 2、画FS、M图 从左起，计算控制点的FS、 M 值。 由微分关系判断线形。 3、检查图形是否封闭。
2m
30
FS/kN 20
o
M/kN·m 20 15
5
x
o
45 60
x
例2 梁AC、CB在C 处铰接，试作内力图。 qa q 解：1、求支座反力
研究AC 段： FA =qa/2 研究整体： FB =3qa/2 MB=qa(3.5a)+qa(2a) -4aFA-qa2=2.5qa2 2、计算控制点的FS、M值， 由微分关系判断图形。 3、检查图形是否封闭。
特点：铰链传力不传力偶矩，与铰 相连的两横截面上，M = 0 , FS 不 一定为零。
A FA C
qa 2
a a
MB
B FB
a
a
FS 0.5qa
O
0.5qa
2 M qa /8 O
x 1.5qa qa2 x 2qa 2 2.5qa 2
0.5qa 2
材料力学
1、刚架
§4-6 平面刚架和曲杆的内力图
用刚性接头连接的杆系结构。 刚性接头的特点： z 约束－限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移。 z 受力－既可传力，也可传递力偶矩。 平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M、FN 。
材料力学
2、平面刚架内力图规定
弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值 画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
3、平面曲杆：轴线为
一条平面曲线的杆件。 4、平面曲杆内力图规定
弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受压的一侧。 剪力图及轴力图：与平面刚架相同。
B
ql 2 2
例1 已知平面刚架上的均布载荷集度 q,长度l。 试：画出刚架的内力图。 解：1、确定约束力 2、写出各段的内力方程 竖杆AB：A点向上为 y
y ql
ql 2 2
B FN(y) M(y) FS(y)
∑F
FS ( y ) = ql − qy
q
ql 2 2
y
ql
(0
x
=0
FS ( y ) + qy − ql = 0
B x
ql 2 2
横杆CB：C点向左为 x
y
∑F
ql
ql 2 2
FN ( x ) = 0
x
=0
(0 ≤ x ≤ l )
FS ( x ) + ql / 2 = 0
∑F
M(x)
FS ( x ) = − ql / 2
y
=0
(0
B FN(x) Fy S(x) x
ql 2 2
∑ M (x ) = 0
M ( x ) − qlx / 2 = 0
M ( x ) = qlx / 2
(0 ≤ x ≤ l )
B
x
y
根据各段的内力方程画内力图
ql 2 2
竖杆AB：
FS ( y ) = ql − qy
横杆CB：
FN ( x ) = 0
FS ( x ) = − ql / 2
ql
ql 2 2 ql 2
FN ( y ) = ql / 2
M ( y ) = qly − qy 2 / 2
ql 2
M ( x ) = qlx / 2
ql 2 2
－ ＋
ql 2
FN
ql 2
＋ ql
FS
M
材料力学
例2 作出该曲杆的内力图。
F
m m
ϕ
FS (ϕ ) FN (ϕ )
F
解：写出曲杆的内力方程
FN (ϕ ) = − F sin ϕ FS (ϕ ) = F cos ϕ
M (ϕ ) ϕ
R F
M (ϕ ) = FR sin ϕ
F
FR
FN FS
M
材料力学
第4章
弯曲内力
§4-1 弯曲的概念和实例 §4-2 受弯构件的简化 §4-3 剪力和弯矩 §4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 §4-6 平面刚架和曲杆的内力图
材料力学
§4-1 弯曲的概念和实例
材料力学
一、弯曲的概念：
受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。 二、平面弯曲的概念：
材料力学
F1 q F2
M
纵向对称面
外力作用在梁的纵向对称平面内，梁的轴线弯曲后仍 在此对称平面内----平面弯曲或对称弯曲。
材料力学
§4-2
受弯构件的简化
梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加到轴线上。
火车轮轴简化实例
材料力学
一、梁支座的简化
a)可动铰支座 b)固定铰支座 c)固定端
FRx
MR
FR
FRx
FRy
FRy
材料力学
二、载荷的简化
(a)集中荷载
F1
(b)分布荷载 集中力
M q(x) q
集中力偶
任意分布荷载
均布荷载
材料力学
三、静定梁的基本形式
静定梁——仅用静力平衡方程即可求得反力的梁。 (a)悬臂梁 (b)简支梁 (c)外伸梁
超静定梁——仅用静力平衡方程不能求得所有反力的梁。
跨长——梁在两支座间的长度。
材料力学
a A l FAX A FAY
§4-3
剪力和弯矩
[例] 已知：如图，F，a，l。
一、弯曲内力的确定（截面法）：
F B 求：距A端 x 处截面上内力。 解：①求外力（支座反力）
F
B FBY
∑ X = 0, ∴ F = 0 ∑ M = 0 , F l − Fa = 0 ∑Y = 0 , F − F + F = 0
AX
A BY AY BY
FBY
FAX =0 以后可省略不求
Fa = , l
FAY
F (l − a) = l
材料力学
②求内力 FAX A FAY x A FAY M C FBY
Fs
m
F
B FBY
∑ Y = 0,
FAY − Fs = 0
F (l − a) l
Fs = FAY =
m
Fs －剪力，平行于横截面 的内力系的合力。
∑M
M
Fs
C
= 0,
M − FAY x = 0
C
F (l − a) x M = FAY x = l
F
M －弯矩，垂直于横截面 的内力系的合力偶矩。
材料力学
二、弯曲内力的正负号规定：
① 剪力Fs： Fs(+) Fs(+) ② 弯矩M ： M(+) M(+) Fs(–) Fs(–)
M(–)
M(–)
材料力学
例 求下图所示简支梁1-1与2-2截面的剪力和弯矩。
F=8kN A FA 2m 1.5m 1 1 1.5m q=12kN/m 2 2 3m 1.5m B FB
解：1、求支反力
3 ∑ M B = 0 ⇒ F A × 6 − F × 4 .5 − q × 3 × 2 = 0 ⇒ F A = 15 kN ∑ Fy = 0 ⇒ F A + FB − F − q × 3 = 0 ⇒ FB = 29 kN
(也可由 ∑ M A = 0求 FB 或校核 FB的正误 )
材料力学
2、计算1-1截面的内力 FS1 = FA − F = 7 kN M 1 = FA × 2 − F × (2 − 1.5) = 26kN ⋅ m 3、计算2-2截面的内力
FS2 = q ×1.5 − FB = −11kN 1 .5 = 30kN ⋅ m M 2 = FB ×1.5 − q ×1.5 × 2
M2
FA F=8kN
M1
FS1
q=12kN/m
FS2
FB
说明： 求截面FS和M 时，均按规定正向假设。
材料力学
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和
弯矩图
⎧ FS = FS ( x) 剪力、弯矩方程： ⎨ ⎩M = M ( x)
反映梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变 化的函数式。
剪力、弯矩图： 显示剪力和弯矩随截面位置
的变化规律的图形，横轴沿轴线方向表示截面 的位置，纵轴为内力的大小。
注意： 不能用一个函数表达的要分段，分段点为： 集中力作用点、集中力偶作用点、分布力的起点、终 点。
例1 图示简支梁受集度为q 的均布荷载作用。试作梁的剪力 图和弯矩图。
q A FA x
ql FA = FB = 2
l
B FB
解：1、求支反力
2、列剪力方程和弯矩方程
q A FA x
M(x) FS(x)
ql FS ( x ) = FA − qx = − qx 2 x qlx qx 2 − M ( x ) = FA x − qx × = 2 2 2
3、作剪力图和弯矩图
q A
FS
l
ql FS ( x ) = − qx 2 B
qlx qx 2 M (x ) = − 2 2
ql 2
FS,max
M l/2
ql = 2
ql 2 = 8
ql2 8
* 剪力为零的截面弯矩有极值。
M max
* 载荷对称、结构对称则剪力图反对称，弯矩图对称
例2 图示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力 图和弯矩图。
a
F C
l
b
A FA
x
B FB
解：1、求支反力
Fb FA = l Fa FB = l
2、列剪力方程和弯矩方程 ——需分两段列出
a
F C
l
b
A FA AC段 A FA
x x
B FB
Fb l Fb M (x ) = x l FS ( x ) =
M(x) FS(x)
Fa l
(0
(0 ≤ x ≤ a )
FS (x ) = − FB = −
(a
M(x) FS(x)
CB段 B FB
Fa (l − x ) M ( x ) = FB (l − x) = l (a ≤ x ≤ l )
3、作剪力图和弯矩图 F b a A C x l FA
FS
Fb l
B FB
Fb FS1 ( x ) = l Fa FS2 ( x ) = − l Fb M 1 (x ) = x l Fa (l − x ) M 2 ( x) = l
* 在集中力F 作用处，剪力 图有突变，突 变值为集中力 的大小；弯矩 图有转折。
Fb l
x
Fab l
M
x
材料力学
例3 图示简支梁在C点受矩为Me 的集中力偶作用。 试作梁的剪力图和弯矩图。 A FA
解： 1、求支反力
a
Me C l
b
B FB
∑M
A
=0
M e − FA × l = 0
Me (↓) FB = l
Me (↑) FA = l
2、列剪力方程和弯矩方程
A FA
a
x
b C l
M(x) M(x)
B FB
Me (0
A
FA x FS(x)
B
FS(x) FB
弯矩方程——两段： AC段：
Me (0 ≤ x
3、作剪力图和弯矩图 A a C l
Fs Me l
b
Me FS ( x ) = l Me B M (x ) = x (0 ≤ x
M (x ) = − Me (l − x ) l (a
x
Mea l
M
x
Meb l
* 集中力偶作 用点处剪力图 无影响，弯矩 图有突变，突 变值的大小等 于集中力偶的 大小。
材料力学 §4-5 载荷集度、剪力和弯矩间的关系
一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q(x)
规定： q↑为 + 对dx 段进行平衡分析，有：
∑Y = 0
x dx q(x) Fs(x)+dFs (x) M(x) Fs(x) dx
A
Fs ( x ) + q ( x )dx − [Fs ( x ) + dFs ( x ) ] = 0
q ( x)dx = dFs ( x)
dFs ( x ) = q(x ) dx
剪力图上某点处的切线斜率等 于该点处荷载集度的大小。
M(x)+d M(x)
材料力
学
q(x) M(x) Fs(x) dx Fs(x)+dFs (x)
A
r ∑ M A ( Fi ) = 0 ,
[ M ( x) + dM ( x)] - Fs ( x)dx 1 − M ( x) − q ( x)(dx) 2 = 0 2
M(x)+d M(x)
dM ( x ) = Fs ( x) dx
q、Fs和M三者的微分关系：
dM 2 ( x ) = q( x) 2 dx
弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
d M 2 ( x ) d Fs ( x ) = = q( x) 2 dx dx
材料力学
二、微分关系的应用---作Fs 图和 M 图（用于定形） q FS图 FS>0 M图 集中力(偶) FS图 M图 突变 转折 无变化 突变 FS0 FS0 FS0 q=const.
材料力学
三、简易法作内力图：
基本步骤： 1、确定梁上所有外力（求支座反力）； 2、根据载荷及约束力的作用位置，确定控制点；
控制点：端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值 点）等。
3、计算控制点处FS、M 值； 4、依据微分关系判定控制点间各段 FS、M图的形 状，连接各段曲线。
材料力学
控制点处FS、M 值的计算方法：
¾ 利用特殊点的内力值（截面法）来定值； ¾ 利用剪力、弯矩与分布荷载间积分关系定值。 积分关系：
dFs ( x ) Q = q (x ) dx ∴ ∫ dFs ( x ) = ∫ q ( x ) dx
Q1 x1 Q2 x2
dM ( x ) Q = Fs ( x ) dx ∴∫
M2 M1
dM ( x ) = ∫ Fs ( x ) dx
x1 x2 x1
x2
Fs 2 − Fs1 = ∫ q ( x ) dx
x1
x2
M 2 − M 1 = ∫ Fs ( x ) dx
梁上任意两截面的弯矩差等于 两截面间剪力图的面积。
梁上任意两截面的剪力差等于两 截面间分布载荷图形的面积。
例1 作图示外伸梁的FS、 M图。
解：1、求支座反力
q=10kN/m M=60kN·m 30kN
C FA F 2 m 1m 3 m B A D B E
ΣMA=2q+6×30-60-4FB=0 FB=35 kN ΣFy=2q+FA+FB-30=0
FA=-25 kN 2、画FS、M图 从左起，计算控制点的FS、 M 值。 由微分关系判断线形。 3、检查图形是否封闭。
2m
30
FS/kN 20
o
M/kN·m 20 15
5
x
o
45 60
x
例2 梁AC、CB在C 处铰接，试作内力图。 qa q 解：1、求支座反力
研究AC 段： FA =qa/2 研究整体： FB =3qa/2 MB=qa(3.5a)+qa(2a) -4aFA-qa2=2.5qa2 2、计算控制点的FS、M值， 由微分关系判断图形。 3、检查图形是否封闭。
特点：铰链传力不传力偶矩，与铰 相连的两横截面上，M = 0 , FS 不 一定为零。
A FA C
qa 2
a a
MB
B FB
a
a
FS 0.5qa
O
0.5qa
2 M qa /8 O
x 1.5qa qa2 x 2qa 2 2.5qa 2
0.5qa 2
材料力学
1、刚架
§4-6 平面刚架和曲杆的内力图
用刚性接头连接的杆系结构。 刚性接头的特点： z 约束－限制相连杆端截面间的相对线位移与角位移。 z 受力－既可传力，也可传递力偶矩。 平面刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点：刚架各杆横截面上的内力有：Fs、M、FN 。
材料力学
2、平面刚架内力图规定
弯矩图：画在各杆的受压一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值 画在刚架的外侧），但须注明正、负号。
3、平面曲杆：轴线为
一条平面曲线的杆件。 4、平面曲杆内力图规定
弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受压的一侧。 剪力图及轴力图：与平面刚架相同。
B
ql 2 2
例1 已知平面刚架上的均布载荷集度 q,长度l。 试：画出刚架的内力图。 解：1、确定约束力 2、写出各段的内力方程 竖杆AB：A点向上为 y
y ql
ql 2 2
B FN(y) M(y) FS(y)
∑F
FS ( y ) = ql − qy
q
ql 2 2
y
ql
(0
x
=0
FS ( y ) + qy − ql = 0
B x
ql 2 2
横杆CB：C点向左为 x
y
∑F
ql
ql 2 2
FN ( x ) = 0
x
=0
(0 ≤ x ≤ l )
FS ( x ) + ql / 2 = 0
∑F
M(x)
FS ( x ) = − ql / 2
y
=0
(0
B FN(x) Fy S(x) x
ql 2 2
∑ M (x ) = 0
M ( x ) − qlx / 2 = 0
M ( x ) = qlx / 2
(0 ≤ x ≤ l )
B
x
y
根据各段的内力方程画内力图
ql 2 2
竖杆AB：
FS ( y ) = ql − qy
横杆CB：
FN ( x ) = 0
FS ( x ) = − ql / 2
ql
ql 2 2 ql 2
FN ( y ) = ql / 2
M ( y ) = qly − qy 2 / 2
ql 2
M ( x ) = qlx / 2
ql 2 2
－ ＋
ql 2
FN
ql 2
＋ ql
FS
M
材料力学
例2 作出该曲杆的内力图。
F
m m
ϕ
FS (ϕ ) FN (ϕ )
F
解：写出曲杆的内力方程
FN (ϕ ) = − F sin ϕ FS (ϕ ) = F cos ϕ
M (ϕ ) ϕ
R F
M (ϕ ) = FR sin ϕ
F
FR
FN FS
M