高中数学 3．2 均值不等式 教学设计
教学分析
均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．
本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小) 问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A 、B 和习题都是基本题，要求全做．
鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab的联系．
三维目标
1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．
2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展
创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．
3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．
重点难点
教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b ≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问2题．
教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式
立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(直接引入) 像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．
思路2.(情境导入) 教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．
推进新课 a ＋b ab 等号成2 新知探究
提出问题
1 均值定理的内容是什么？怎样进行证明？
2 你能证明a 2＋b 2≥2ab吗？
3 你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？
4 均值不等式有哪些变形式？
活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正
a ＋b 实数a 、b 的a 、b 的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均2
值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a 、b 必须是正数，等号成立当且仅当a ＝b ，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．
利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a 2＋b 2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a 、b∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：
∵a2＋b 2－2ab ＝(a－b) 2，
当a≠b时，有(a－b) 2＞0.
当a ＝b 时，有(a－b) 2＝0，所以(a－b) 2≥0，即a 2＋b 2≥2ab.
这个不等式对任意实数a ，b 恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a 、b 为实数，等号成立的条件是当且仅当a ＝b 时成立．“当且仅当”即指充要条件．
下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．
如图1，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b. 过点C 作垂直于AB 的弦DD′，连结AD 、BD. 你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？
图1
(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)
这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD ab. 或由射影定理也可得到CD ＝ab. 从图中我们可直观地看到
a ＋b ab 表示的是半弦长，表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD 小2
于或等于圆的半径，用不等式表示为：
a ＋b ab. 2显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立． 还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a 、b∈R ＋，则ab ≤a ＋b 2当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a ab 或2ab ≤a＋b 等．
讨论结果：
(1)(2)略．
(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．
a ＋b (4)若a 、b∈R ，则ab ≤a ＝b 时，式中等号成立； 2＋若a 、b∈R ＋，则a ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立；
若a 、b∈R ，则a ＋b ≥2ab，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立． 22
应用示例
例1(教材本节例1)
活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的
b a b a 条件，本例中的和相当于均值不等式中的a 、b. 因此必须有R ＋. a b a b
点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.
例2已知(a＋b)(x＋y) ＞2(ay＋bx) ，求证：x －y a －b ＋≥2. a －b x －y
x －y a －b 活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意与a －b x －y
x －y a －b 互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明与a －b x －y 为正数开始证题．
证明：∵(a＋b)(x＋y) ＞2(ay＋bx) ，
∴ax＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx.
∴ax－ay ＋by －bx ＞0.
∴(ax－bx) －(ay－by) ＞0.
∴(a－b)(x－y) ＞0， 即a －b 与x －y 同号．
x －y a －b ∴与均为正数． a －b x －y
x －y a －b ∴＋a －b x －y
x －y a －b ∴＋≥2. a －b x －y
点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号x －y a －b x －y a －b 2(当且仅当＝时取“＝”)． a －b x －y a －b x －y
x －y a －b 来判断与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法． a －b x －y
1a ＋b 例3若a ＞b ＞1，P ＝lga·lgb，Q ＝(lga＋lgb) ，R ＝lg ，则( ) 22
A ．R ＜P ＜Q B．P ＜Q ＜R
C ．Q ＜P ＜R D．P ＜R ＜Q
活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P 、Q 、R 三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y ＝lgx 的单调性．
答案：B
解析：∵a＞b ＞1，
∴lga＞lgb ＞0.
11∴(lga＋lgb) ＞lga·lgb，即Q ＞P. 22又∵a ＋b ab ， 2a ＋b 1∴lg＞ab ＝(lga＋lgb) ． 22
∴R＞Q. 故P ＜Q ＜R.
点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式． 例4(教材本节例2)
活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．
点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．
知能训练
1a 1．“a＝”是“对任意的正数x,2x ＋( ) 8x
A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C ．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 答案：
1a 11．A 解析：一方面，当a ＝时，对任意的正数x ，有2x ＋＝2x ＋≥1；8x 8x
a a 1另一方面，对任意正数x ，都有2x ＋≥1，只要2x ＋2a ≥1，即得a≥. x x 8
2．[9，＋∞) ab ＝t(t＞0) ，
由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得t 2≥2t＋3，
解得t≥3，即ab ≥3，故ab≥9.
解法二：由已知得ab －b ＝a ＋3，b(a－1) ＝a ＋3，
∴b＝a ＋3(a＞1) ． a －1
a ＋3a ＋3a ＋3a －1＋4＝[(a－1) ＋1]＝a ＋3＋＝a －1＋4＋ a －1a －1a －1a －1
a－1 ·4＋5＝9. a －1∴ab＝a·＝a －1＋4a －1当且仅当a －1＝4a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9. a －1
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a ＋b 与ab 的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．
由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．
课堂小结
1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？
2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab；两正数a 、b 的算术平均数(a ＋b a ＋b ) ，几何平均数ab) 及它们的关系(ab) ．两关系式22成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．
作业
习题3—2A 组，4,5,6. 习题3—2B 组，1,2.
设计感想
1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y 都是正数；②积xy(或和x ＋y) 为定值；③x与y 必须能够相等．
2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入) 让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a ，b∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)；二是均值不等式：如果a ，
a ＋b a ＋b b 是正数，那么ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．22
为a ，b ab 为a ，b 的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a 2＋b 2≥2ab与a ＋b ab 成立的条件是不同的，前者2
只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．
a ＋b 思路2.(直接导入) 通过上节课a ＋b ≥2ab(a、b∈R ) 与≥ab(a＞0，b 222
＞0) 的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
错误!
活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a 2＋b 2≥2ab的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a 2＋b 2≥2ab都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ＝0，仍然能使a ＋b ab 成立． 2两个不等式中等号成立的条件都是a ＝b ，故a ＝b 是不等式中等号成立的充要条件．
在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．
本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．
讨论结果：
(1)(2)略．
(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．
应用示例
例1(教材本节例3)
活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．
点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.
51例2(1)已知x ＜，求函数y ＝4x －2＋ 44x －5
(2)已知a 、b 为实数，求函数y ＝(x－a) ＋(x－b) 的最小值．
活动：(1)因为4x －5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x－2)·14x －522是常数，所以应对4x －2进行拆(添) 项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x－a)
m 2＋n 2m ＋n 2＋(b－x) 为定值，则用变形不等式≥() 更简捷． 22
5
解：(1)∵x＜，∴5－4x ＞0.
4
11
∴y＝4x －2＋＝－(5－4x ＋) ＋3≤－2＋3＝1.
4x －55－4x 当且仅当5－4x ＝
1
x ＝1时，上式等号成立． 5－4x
∴当x ＝1时，y max ＝1.
(2)∵y＝(x－a) 2＋(x－b) 2＝(x－a) 2＋(b－x) 2 x－a ＋ b－x 2 a－b 2
≥2[]＝，
22当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝
a ＋b
时，上式等号成立． 2
a ＋b a－b 2
∴当x ＝y min ＝22
点评：若x 、y∈R ＋，x ＋y ＝s ，xy ＝p. 若p 为定值，则当且仅当x ＝y 时，s 的值最小；如果s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添) 项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.
x 2－3x ＋1例3当x ＞－1时，求函数f(x)＝的值域．
x ＋1
活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)x 2－3x ＋1 x＋1 2－5 x＋1 ＋55＝＝x ＋1＋－5.
x ＋1x ＋1x ＋1
这样就可以应用均值不等式了． 解：∵x＞－1， ∴x＋1＞0.
x 2－3x ＋1 x＋1 2－5 x＋1 ＋55∴f(x)＝＝＝x ＋1＋－
x ＋1x ＋1x ＋1 x＋1
5
5＝25－5，当且仅当(x＋1) 2＝5时，即x ＝5－1x ＋1
时取“＝”．
另一解x ＝－5－1＜－1(舍去) ，故函数值域为[25－5，＋∞)． 点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出
了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.
例4设0＜x ＜2，求函数f(x)3x 8－3x 的最大值，并求相应的x 值．试4
问0＜x ＜f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若
3有，请你求出来；若没有，请你说明理由．
活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x －9x 2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．
解：∵0＜x ＜2，∴8－3x ＞0. 3x 8－3x ≤
3x ＋8－3x 2
＝4， 2
4
当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝时取“＝”．
3
4
∴函数f(x)的最大值为4，此时x ＝3又f(x)＝－9x 2＋24x ＝－ 3x－4 2＋16， 44
∴当0＜x ＜f(x)递增；当x ＞时，f(x)递减．
334
∴当0＜x ＜f(x)没有最大值．
3当0＜x ≤1时，有最大值f(1)，即f(1)15.
点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添) 项或配凑因式．
知能训练
1．函数f(x)＝
x
( ) x ＋1
212
A. B. C. D．1 5221
2．求函数y ＝x ＋＞0) 的最小值，以及此时x 的值．
x 3．已知x 、y∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值． 答案：
1．B 解析：当x ＝0时，f(x)＝0；当x ＞0时，f(x)＝
x x ＋1
1≤，12x ＋
x 1
1
x ＝，即x ＝1时取等号．
x
1
2．解：∵x＞0，∴x＋x
1
x·2， x
1
当且仅当x ＝x ＝1时取等号．
x
1
∴当x ＝1时，x ＋的值最小，最小值是2.
x 3．解：由2x ＋8y －xy ＝0得y(x－8) ＝2x. ∵x＞0，y ＞0，∴x－8＞0.
2x 16
∴x＋y ＝＋x ＝x －8＋x －8x －8
16
x－8 ·＋10＝18，
x －8
16
当且仅当x －8＝x ＝12时，x ＋y 取最小值18.
x －8
课堂小结
1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？
2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．
作业
习题3—2A 组2、3、7、8、9；习题3—2B 组3、4.
设计感想
1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．
2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．
3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．
备课资料
一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)
(1)设a 1，a 2，a 3，„，a n 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平a 1＋a 2＋„＋ an n
均值记为G ，即A ＝，G ＝a 1a 2„an ，即A≥G，当且仅当a 1＝a 2
n a ＋b a ＋b ＋c 3
＝„＝a n 时，A ＝G. 特别地，当n ＝2≥ab ；当n ＝3≥abc.
23
(2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n 个正数不全相等．不失一般性，设0＜a 1≤a2≤„≤an ，易证a 1＜A ＜a n ，且a 1＜G ＜a n . 在这n 个数中去掉一个最小数a 1，将a 1换成A ，再去掉一个最大数a n ，将a n 换成a 1＋a n －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a 2，a 3，„，a n －1，a 1＋a n －A. 这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A 1，那么A 1＝A ＋a 2＋a 3＋„＋a n －1＋a 1＋a n －A
＝A ，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数
n n
的几何平均值为G 1，则G 1＝Aa 2a 3„an －1 a1＋a n －A ，
∵A(a1＋a n －A) －a 1a n ＝(A－a 1)(an －A) ，由a 1＜A ＜a n ，得(A－a 1)(an －A) ＞0，则A(a1＋a n －A) ＞a 1a n .∴Aa2a 3„an －1(a1＋a n －A) ＞a 1a 2„an －1·an ，即G 1＞G.
二、备用习题
1．已知a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则( )
11
A ．ab≤ B．ab≥．a 2＋b 2≥2 D．a 2
22＋b 2≤3
2．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab cd ，Q ＝ax ＋cy 则( )
A ．P ＝Q B．P ＜Q C．P≤Q D．P≥Q 11
3．若函数y ＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋2f x ( )
b d
x y
110A ．[，3] B．[2，]
2351010C ．[，] D．[3，]
233
4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．
5．直线l 过点M(2,1)且分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，O 为坐标原点，求△AOB面积最小时l 的方程．
6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时) 与汽车的平均速度v(千米/时) 之间的函数关系为y ＝
920v
(v＞0) ．
v ＋3v ＋1 600
2
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
参考答案：
a 2＋b 2＋a 2＋b 2a 2＋b 2＋2ab a＋b 2
1．C 解析：对于选项C ：a ＋b ＝＝
222
2
2
2. 故C 正确．
2．C 解析：∵a、b 、c 、d 、x 、y 是正实数， ax ＋cy ·
b d
＋ x y
ab ＋cd ＋
adx bcy y x
ab ＋cd ＋2abcd ab cd ＝P.
1
3．B 解析：令t ＝f(x)，则t∈[，3]．
2
1
∴F(x)＝G(t)＝t ＋. 该函数在t ＝1处取得最小值2，在t ＝3处取得最大
t 10值. 3
故选B.
4．20 解析：设一年总费用为y 万元，则y ＝4·
4001 600
＋4x ＝＋x x
1 6001 600
160，当且仅当4x ，即x ＝20时，等号成立． x x
5．解：设直线l 的方程为y －1＝k(x－2) ，即y ＝kx ＋1－2k(k＜0) ． 令x ＝0，得y ＝1－2k ； 2k －11
令y ＝0，得x ＝＝2－.
k k
111
∴S△AOB＝－2k)(2－＝2＋(－2k) ．
2k －2k ∵k＜0，∴－2k ＞0. ∴S△AOB≥2＋2＝4，当且仅当－1
此时l 的方程为y ＝－＋2.
26．解： (1)依题意，得y ＝
920920920
1 600833＋21 600
3＋ v＋v 11
2k ，即k ＝－时取等号． 2k 2
当且仅当v ＝
1 600
v ＝40时，上式等号成立， v
920
所以y max ＝≈11.1(千辆/时) ．
83(2)由条件得
920v
10，
v ＋3v ＋1 600
2
整理，得v 2－89v ＋1 600＜0，
即(v－25)(v－64) ＜0， 解得25＜v ＜64.
答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．
高中数学 3．2 均值不等式 教学设计
教学分析
均值不等式也称基本不等式．本节主要目标是使学生了解均值不等式的代数意义，几何的直观解释以及均值不等式的证明和应用．本节教材上一开始就开门见山地给出均值不等式及证明，在思考与讨论过渡下，给出均值不等式的一个几何直观解释，以加深学生对均值不等式的理解．教材用作差配方法证明均值不等式．作差配方法是证明不等式的基本方法，在整个不等式的教学中都要贯彻这一重要方法．在解题中要让学生注意使用均值不等式的条件，并掌握基本技能．一般说来，“见和想积，拆低次，凑积为定值，则和有最小值；见积想和，拆高次，凑和为定值，则积有最大值”．
本节的《新课标》要求是：探索并了解均值不等式的证明过程；会用均值不等式解决简单的最大(小) 问题．从历年的高考来看，均值不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等．不等式的证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点，题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点．几乎所有地区的高考题都能觅到它的踪影．书中练习A 、B 和习题都是基本题，要求全做．
鉴于均值不等式的特殊作用，因此本节设计为2课时完成，但仅限于基本方法和基本技能的掌握，不涉及高难度的技巧．第一课时重在均值不等式的探究，第二课时重在均值不等式的灵活运用．且在教学中，将本节教材中的思考与讨论一起拿到课堂上来，让学生通过思考与讨论建立均值不等式与不等式a 2＋b 2≥2ab的联系．
三维目标
1．通过本节探究，使学生学会推导并掌握均值不等式，理解这个均值不等式的几何意义，掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等．
2．通过对均值不等式的不同形式应用的研究，渗透“转化”的数学思想，提高学生运算能力和逻辑推理能力．引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展
创新精神，培养实事求是、理论与实际相结合的科学态度和科学道德．
3．通过本节学习，使学生体会数学来源于生活，帮助学生养成良好的学习习惯，形成积极探索的态度，逐步养成严谨的科学态度及良好的思维习惯．
重点难点
教学重点：用数形结合的思想理解均值不等式，并从不同角度探索不等式a ＋b ≥ab 的证明过程；用不等式求某些函数的最值及解决一些简单的实际问2题．
教学难点：用均值不等式求最大值和最小值，均值不等式
立条件的运用，应用均值不等式解决实际问题．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.(直接引入) 像教材那样，直接给出均值定理，然后引导学生利用上节课的基本性质来探究它的证明方法．因为有了上两节的不等式的探究学习，因此这样引入虽然直白却也是顺其自然．
思路2.(情境导入) 教师自制风车，让学生把教师自制的风车转起来，这是学生小时候玩过的得意玩具；手持风车把手，来了一个360°的旋转，不但风车转得漂亮，课堂气氛也活跃，学生在紧张的课堂氛围中马上变得自然和谐，情境引入达到高潮，此时教师再提出问题．
推进新课 a ＋b ab 等号成2 新知探究
提出问题
1 均值定理的内容是什么？怎样进行证明？
2 你能证明a 2＋b 2≥2ab吗？
3 你能尝试给出均值不等式的一个几何直观解释吗？
4 均值不等式有哪些变形式？
活动：教师引导学生阅读均值定理的内容，或直接用多媒体给出．点拨学生利用上两节课所学知识进行证明，这点学生会很容易做到，只需作差配方即可．接着让学生明确，这个结论就是均值不等式，也叫基本不等式．其中，任意两个正
a ＋b 实数a 、b 的a 、b 的算术平均值，数ab 叫做a 、b 的几何平均值．均2
值定理可以表述为：两个正数的算术平均值大于或等于它的几何平均值．强调这个结论的重要性，在证明不等式、求函数的最大值最小值时有着广泛的应用，是高考的一个热点．可以通过反例或特例让学生进一步认识这个结论成立的条件，a 、b 必须是正数，等号成立当且仅当a ＝b ，以加深学生对此结论的理解，为后面求最值时的“一正二定三相等”打下基础．
利用不等式的性质对均值不等式两边平方，则很容易得到a 2＋b 2≥2ab.这是一个很重要的结论．一般地，如果a 、b∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)也可让学生重新证明这个结论：
∵a2＋b 2－2ab ＝(a－b) 2，
当a≠b时，有(a－b) 2＞0.
当a ＝b 时，有(a－b) 2＝0，所以(a－b) 2≥0，即a 2＋b 2≥2ab.
这个不等式对任意实数a ，b 恒成立，是一个很重要的不等式，应用非常广泛．请同学们注意公式的结构形式，成立的条件是a 、b 为实数，等号成立的条件是当且仅当a ＝b 时成立．“当且仅当”即指充要条件．
下面我们对均值不等式的几何意义作进一步探究．
如图1，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，AC ＝a ，BC ＝b. 过点C 作垂直于AB 的弦DD′，连结AD 、BD. 你能利用这个图形得出均值不等式的几何解释吗？
图1
(本节课开展到这里，学生从均值不等式的证明过程中已体会到证明不等式的常用方法，对均值不等式也已经很熟悉，这就具备了探究这个问题的知识与情感基础)
这个图形是我们在初中非常熟悉的一个重要图形．容易证明△ACD∽△DCB.所以可得CD ab. 或由射影定理也可得到CD ＝ab. 从图中我们可直观地看到
a ＋b ab 表示的是半弦长，表示的是半径长．由于半弦长不大于半径，即CD 小2
于或等于圆的半径，用不等式表示为：
a ＋b ab. 2显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立． 还应让学生熟悉均值不等式的其他变形式．如若a 、b∈R ＋，则ab ≤a ＋b 2当且仅当a ＝b 时，式中等号成立．好多书上就把它称为基本不等式．在同样条件下还可写成：a ab 或2ab ≤a＋b 等．
讨论结果：
(1)(2)略．
(3)均值不等式的几何解释是：半径不小于半弦长．
a ＋b (4)若a 、b∈R ，则ab ≤a ＝b 时，式中等号成立； 2＋若a 、b∈R ＋，则a ab ，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立；
若a 、b∈R ，则a ＋b ≥2ab，当且仅当a ＝b 时，式中等号成立． 22
应用示例
例1(教材本节例1)
活动：本例是均值不等式的简单应用，教师点拨学生证明时注意式中成立的
b a b a 条件，本例中的和相当于均值不等式中的a 、b. 因此必须有R ＋. a b a b
点评：初用均值不等式，学生往往容易忽视不等式成立的条件，点拨学生注意，只要使用均值定理，马上先想到条件，养成良好的解题习惯.
例2已知(a＋b)(x＋y) ＞2(ay＋bx) ，求证：x －y a －b ＋≥2. a －b x －y
x －y a －b 活动：教师引导学生探究题目中的条件与结论．本题结论中，注意与a －b x －y
x －y a －b 互为倒数，它们的积为1，故此题应从已知条件出发，经过变形，说明与a －b x －y 为正数开始证题．
证明：∵(a＋b)(x＋y) ＞2(ay＋bx) ，
∴ax＋ay ＋bx ＋by ＞2ay ＋2bx.
∴ax－ay ＋by －bx ＞0.
∴(ax－bx) －(ay－by) ＞0.
∴(a－b)(x－y) ＞0， 即a －b 与x －y 同号．
x －y a －b ∴与均为正数． a －b x －y
x －y a －b ∴＋a －b x －y
x －y a －b ∴＋≥2. a －b x －y
点评：本题通过对已知条件变形，恰当地因式分解，从讨论因式乘积的符号x －y a －b x －y a －b 2(当且仅当＝时取“＝”)． a －b x －y a －b x －y
x －y a －b 来判断与是正还是负，是我们今后解题中常用的方法． a －b x －y
1a ＋b 例3若a ＞b ＞1，P ＝lga·lgb，Q ＝(lga＋lgb) ，R ＝lg ，则( ) 22
A ．R ＜P ＜Q B．P ＜Q ＜R
C ．Q ＜P ＜R D．P ＜R ＜Q
活动：这是均值不等式及其变形式的典型应用．根据P 、Q 、R 三个式子的结构特点，应考虑利用均值不等式，再运用函数y ＝lgx 的单调性．
答案：B
解析：∵a＞b ＞1，
∴lga＞lgb ＞0.
11∴(lga＋lgb) ＞lga·lgb，即Q ＞P. 22又∵a ＋b ab ， 2a ＋b 1∴lg＞ab ＝(lga＋lgb) ． 22
∴R＞Q. 故P ＜Q ＜R.
点评：应准确理解均值不等式成立的条件，创造性地应用均值不等式． 例4(教材本节例2)
活动：这是一个实际问题．教师引导学生分析，根据题意在(1)中，矩形的长与宽的积是一个常数，求长与宽的和的两倍的最小值；在(2)中，矩形的长与宽的和的两倍是一个常数，求长与宽的积的最大值．联想到均值不等式的两边恰是两个正数的和与积，因此建立均值不等式的数学模型．
点评：本例也可用函数模型解决，课后可让学生试一试．这里用均值不等式来解，一是说明利用均值不等式求最值的方法，二是说明这种方法的快捷．解完本例后，让学生领悟到：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．简单地说就是：在应用这个结论求最值时应把握“一正、二定、三相等”．正是正数，定是定值，相等是能取到等号．
知能训练
1a 1．“a＝”是“对任意的正数x,2x ＋( ) 8x
A ．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C ．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围是________． 答案：
1a 11．A 解析：一方面，当a ＝时，对任意的正数x ，有2x ＋＝2x ＋≥1；8x 8x
a a 1另一方面，对任意正数x ，都有2x ＋≥1，只要2x ＋2a ≥1，即得a≥. x x 8
2．[9，＋∞) ab ＝t(t＞0) ，
由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，得t 2≥2t＋3，
解得t≥3，即ab ≥3，故ab≥9.
解法二：由已知得ab －b ＝a ＋3，b(a－1) ＝a ＋3，
∴b＝a ＋3(a＞1) ． a －1
a ＋3a ＋3a ＋3a －1＋4＝[(a－1) ＋1]＝a ＋3＋＝a －1＋4＋ a －1a －1a －1a －1
a－1 ·4＋5＝9. a －1∴ab＝a·＝a －1＋4a －1当且仅当a －1＝4a ＝b ＝3时，ab 的最小值为9. a －1
∴ab的取值范围是[9，＋∞)．
点评：此题较全面地考查了均值不等式的应用及不等式的解法与运算能力．通过思考a ＋b 与ab 的关系联想到均值不等式，或建立在函数思想上，求函数的值域．
由于视角的不同，有多种方法，以上仅是其中的两种解法．
课堂小结
1．由学生自己理顺整合本节都学到了哪些知识方法？有哪些收获？
2．教师强调，本节课，我们学习了重要不等式a 2＋b 2≥2ab；两正数a 、b 的算术平均数(a ＋b a ＋b ) ，几何平均数ab) 及它们的关系(ab) ．两关系式22成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数．它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具．
作业
习题3—2A 组，4,5,6. 习题3—2B 组，1,2.
设计感想
1．本节设计突出重点．均值不等式的功能在于求最值，这是本节的重点，要牢牢地抓住．但使用均值不等式求函数最值时要注意：①x，y 都是正数；②积xy(或和x ＋y) 为定值；③x与y 必须能够相等．
2．本节课我们探究了均值不等式，拓展了我们的视野；证明不等式是高中数学的重点，也是难点，在设计中加强了证明不等式的题量，但难度并不大，重在让学生体会方法．将解题思路转化为解题过程，往往不是一帆风顺的，谈思路可能头头是道，具体求解却可能会处处碰壁，消除思路与求解的差异，要靠探究，在探究中不断更新，在探究中逐步完善．
(设计者：郑吉星)
第2课时
导入新课
思路1.(复习导入) 让学生回忆上节课我们探究的重要结果：一是如果a ，b∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)；二是均值不等式：如果a ，
a ＋b a ＋b b 是正数，那么ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．22
为a ，b ab 为a ，b 的几何平均数，这样均值不等式就有了几何意义：半弦长不大于半径．a 2＋b 2≥2ab与a ＋b ab 成立的条件是不同的，前者2
只要求a ，b 都是实数，而后者要求a ，b 都是正数．本节课我们进一步探究均值不等式的应用．由此展开新课．
a ＋b 思路2.(直接导入) 通过上节课a ＋b ≥2ab(a、b∈R ) 与≥ab(a＞0，b 222
＞0) 的探究证明，我们熟悉了不等式的一些证明方法．本节课我们进一步领悟不等式的证明思路、方法，进一步熟悉利用均值不等式解决函数的最值问题的思路．教师打开多媒体课件，从而展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
错误!
活动：教师引导学生回忆上节课我们共同探究的均值不等式，以及均值不等式与a 2＋b 2≥2ab的联系．给出了均值不等式的一个几何直观解释．均值不等式与a 2＋b 2≥2ab都有着广泛的应用．对这两个重要不等式，要明确它们成立的条件是不同的．后者成立的条件是a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的充分必要条件；而前者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正数是不等式成立的充分不必要条件，如a ＝0，b ＝0，仍然能使a ＋b ab 成立． 2两个不等式中等号成立的条件都是a ＝b ，故a ＝b 是不等式中等号成立的充要条件．
在使用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”这两个结论时，应把握“一正、二定、三相等”．当条件不完全具备时，应创造条件．
本节课我们将进一步探究均值不等式的应用．
讨论结果：
(1)(2)略．
(3)应注意不等式成立的条件，即把握好“一正，二定，三相等”．
应用示例
例1(教材本节例3)
活动：本例是求函数的最值．教师引导学生将f(x)变形，注意观察代数式中可否出现和或积的定值．本例可放手让学生自己探究，教师给予适当点拨．
点评：解完本例后，让学生反思并领悟在求函数最值时，如何使用均值不等式的条件，并掌握基本技能.
51例2(1)已知x ＜，求函数y ＝4x －2＋ 44x －5
(2)已知a 、b 为实数，求函数y ＝(x－a) ＋(x－b) 的最小值．
活动：(1)因为4x －5＜0，所以首先要“调整”符号．又(4x－2)·14x －522是常数，所以应对4x －2进行拆(添) 项“配凑”．(2)从函数解析式的特点看，本题可化为关于x 的二次函数，再通过配方法求其最小值．但若注意到(x－a)
m 2＋n 2m ＋n 2＋(b－x) 为定值，则用变形不等式≥() 更简捷． 22
5
解：(1)∵x＜，∴5－4x ＞0.
4
11
∴y＝4x －2＋＝－(5－4x ＋) ＋3≤－2＋3＝1.
4x －55－4x 当且仅当5－4x ＝
1
x ＝1时，上式等号成立． 5－4x
∴当x ＝1时，y max ＝1.
(2)∵y＝(x－a) 2＋(x－b) 2＝(x－a) 2＋(b－x) 2 x－a ＋ b－x 2 a－b 2
≥2[]＝，
22当且仅当x －a ＝b －x ，即x ＝
a ＋b
时，上式等号成立． 2
a ＋b a－b 2
∴当x ＝y min ＝22
点评：若x 、y∈R ＋，x ＋y ＝s ，xy ＝p. 若p 为定值，则当且仅当x ＝y 时，s 的值最小；如果s 为定值，则当且仅当x ＝y 时，p 的值最大．简称“和定积最大，积定和最小”．从本例的解答可以看出，求最值时往往需要拆(添) 项，其目的是创设应用均值不等式的情境和使等号成立的条件，即满足“一正，二定，三相等”的要求.
x 2－3x ＋1例3当x ＞－1时，求函数f(x)＝的值域．
x ＋1
活动：教师引导学生观察函数f(x)的分子、分母特点，可作如下变形：f(x)x 2－3x ＋1 x＋1 2－5 x＋1 ＋55＝＝x ＋1＋－5.
x ＋1x ＋1x ＋1
这样就可以应用均值不等式了． 解：∵x＞－1， ∴x＋1＞0.
x 2－3x ＋1 x＋1 2－5 x＋1 ＋55∴f(x)＝＝＝x ＋1＋－
x ＋1x ＋1x ＋1 x＋1
5
5＝25－5，当且仅当(x＋1) 2＝5时，即x ＝5－1x ＋1
时取“＝”．
另一解x ＝－5－1＜－1(舍去) ，故函数值域为[25－5，＋∞)． 点评：本题解法具有典型性，解后教师引导学生领悟反思．这种求值域的题目，在“函数”一章中我们接触较多，其常用方法有单调性、图象法，还有判别式法．利用判别式法不仅计算量大，而且极易因忽视某些条件而出错．本例给出
了用均值不等式法求值域的方法，既简单又不易出错．但提醒学生一定要注意必须满足的三个条件：①各项均为正数；②和或积有一个为定值；③等号一定取到，这三个条件缺一不可.
例4设0＜x ＜2，求函数f(x)3x 8－3x 的最大值，并求相应的x 值．试4
问0＜x ＜f(x)有没有最大值？0＜x≤1时，f(x)有没有最大值？若
3有，请你求出来；若没有，请你说明理由．
活动：对本例中的函数可变形为f(x)＝24x －9x 2，根号内是我们熟悉的二次函数，完全可以用二次函数的知识方法解决，这种方法学生很熟悉．教师可引导学生利用均值不等式求解，让学生自己探究，教师可适时地点拨．
解：∵0＜x ＜2，∴8－3x ＞0. 3x 8－3x ≤
3x ＋8－3x 2
＝4， 2
4
当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝时取“＝”．
3
4
∴函数f(x)的最大值为4，此时x ＝3又f(x)＝－9x 2＋24x ＝－ 3x－4 2＋16， 44
∴当0＜x ＜f(x)递增；当x ＞时，f(x)递减．
334
∴当0＜x ＜f(x)没有最大值．
3当0＜x ≤1时，有最大值f(1)，即f(1)15.
点评：通过本例再次加深对均值不等式条件的理解．体会不等式的功能在于“和与积”的互化，构造均值不等式，解题的技巧是拆(添) 项或配凑因式．
知能训练
1．函数f(x)＝
x
( ) x ＋1
212
A. B. C. D．1 5221
2．求函数y ＝x ＋＞0) 的最小值，以及此时x 的值．
x 3．已知x 、y∈R ＋，且2x ＋8y －xy ＝0，求x ＋y 的最小值． 答案：
1．B 解析：当x ＝0时，f(x)＝0；当x ＞0时，f(x)＝
x x ＋1
1≤，12x ＋
x 1
1
x ＝，即x ＝1时取等号．
x
1
2．解：∵x＞0，∴x＋x
1
x·2， x
1
当且仅当x ＝x ＝1时取等号．
x
1
∴当x ＝1时，x ＋的值最小，最小值是2.
x 3．解：由2x ＋8y －xy ＝0得y(x－8) ＝2x. ∵x＞0，y ＞0，∴x－8＞0.
2x 16
∴x＋y ＝＋x ＝x －8＋x －8x －8
16
x－8 ·＋10＝18，
x －8
16
当且仅当x －8＝x ＝12时，x ＋y 取最小值18.
x －8
课堂小结
1．由学生归纳整合本节课所用到的知识、思想方法，回顾本节课解决了哪些问题？应注意些什么？
2．教师点拨，本节课我们用均值不等式解决了函数的一些最值问题，在用均值不等式求函数的最值时，应注意考查下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(2)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(3)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值．即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正、二定、三相等．在利用均值不等式证明一些不等式时，也应注意均值不等式成立的条件及构建均值不等式结构．
作业
习题3—2A 组2、3、7、8、9；习题3—2B 组3、4.
设计感想
1．本节设计意在体现均值不等式的应用，因此用不等式求解函数的最值与证明不等式是穿插进行的，且强调一题多解的训练．
2．本节设计关注了教学进程的和谐发展．整个设计给人自然流畅的感觉，没有教师过分自我展示的味道，能使学生的思维得到充分的锻炼，能力得到很大的提高．
3．本节设计重视了学生的主体地位，从例题到变式训练，从新课导入到课堂小结，都注意了学生的主动思维活动，充分让学生占据思维的时空，这是提高学生思维能力的有效良方．
备课资料
一、算术平均数不小于几何平均数的一种证明方法(局部调整法)
(1)设a 1，a 2，a 3，„，a n 为正实数，这n 个数的算术平均值记为A ，几何平a 1＋a 2＋„＋ an n
均值记为G ，即A ＝，G ＝a 1a 2„an ，即A≥G，当且仅当a 1＝a 2
n a ＋b a ＋b ＋c 3
＝„＝a n 时，A ＝G. 特别地，当n ＝2≥ab ；当n ＝3≥abc.
23
(2)用局部调整法证明均值不等式A≥G.设这n 个正数不全相等．不失一般性，设0＜a 1≤a2≤„≤an ，易证a 1＜A ＜a n ，且a 1＜G ＜a n . 在这n 个数中去掉一个最小数a 1，将a 1换成A ，再去掉一个最大数a n ，将a n 换成a 1＋a n －A ，其余各数不变，于是得到第二组正数：A ，a 2，a 3，„，a n －1，a 1＋a n －A. 这一代换具有下列性质：①两组数的算术平均值不变，设第二组数的算术平均值为A 1，那么A 1＝A ＋a 2＋a 3＋„＋a n －1＋a 1＋a n －A
＝A ，②第二组数的几何平均值最大．设第二组数
n n
的几何平均值为G 1，则G 1＝Aa 2a 3„an －1 a1＋a n －A ，
∵A(a1＋a n －A) －a 1a n ＝(A－a 1)(an －A) ，由a 1＜A ＜a n ，得(A－a 1)(an －A) ＞0，则A(a1＋a n －A) ＞a 1a n .∴Aa2a 3„an －1(a1＋a n －A) ＞a 1a 2„an －1·an ，即G 1＞G.
二、备用习题
1．已知a≥0，b≥0，且a ＋b ＝2，则( )
11
A ．ab≤ B．ab≥．a 2＋b 2≥2 D．a 2
22＋b 2≤3
2．若a 、b 、c 、d 、x 、y 是正实数，且P ＝ab cd ，Q ＝ax ＋cy 则( )
A ．P ＝Q B．P ＜Q C．P≤Q D．P≥Q 11
3．若函数y ＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋2f x ( )
b d
x y
110A ．[，3] B．[2，]
2351010C ．[，] D．[3，]
233
4．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝__________吨．
5．直线l 过点M(2,1)且分别交x 轴，y 轴正半轴于点A ，B ，O 为坐标原点，求△AOB面积最小时l 的方程．
6．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量y(千辆/时) 与汽车的平均速度v(千米/时) 之间的函数关系为y ＝
920v
(v＞0) ．
v ＋3v ＋1 600
2
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？(精确到0.1千辆/时)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？
参考答案：
a 2＋b 2＋a 2＋b 2a 2＋b 2＋2ab a＋b 2
1．C 解析：对于选项C ：a ＋b ＝＝
222
2
2
2. 故C 正确．
2．C 解析：∵a、b 、c 、d 、x 、y 是正实数， ax ＋cy ·
b d
＋ x y
ab ＋cd ＋
adx bcy y x
ab ＋cd ＋2abcd ab cd ＝P.
1
3．B 解析：令t ＝f(x)，则t∈[，3]．
2
1
∴F(x)＝G(t)＝t ＋. 该函数在t ＝1处取得最小值2，在t ＝3处取得最大
t 10值. 3
故选B.
4．20 解析：设一年总费用为y 万元，则y ＝4·
4001 600
＋4x ＝＋x x
1 6001 600
160，当且仅当4x ，即x ＝20时，等号成立． x x
5．解：设直线l 的方程为y －1＝k(x－2) ，即y ＝kx ＋1－2k(k＜0) ． 令x ＝0，得y ＝1－2k ； 2k －11
令y ＝0，得x ＝＝2－.
k k
111
∴S△AOB＝－2k)(2－＝2＋(－2k) ．
2k －2k ∵k＜0，∴－2k ＞0. ∴S△AOB≥2＋2＝4，当且仅当－1
此时l 的方程为y ＝－＋2.
26．解： (1)依题意，得y ＝
920920920
1 600833＋21 600
3＋ v＋v 11
2k ，即k ＝－时取等号． 2k 2
当且仅当v ＝
1 600
v ＝40时，上式等号成立， v
920
所以y max ＝≈11.1(千辆/时) ．
83(2)由条件得
920v
10，
v ＋3v ＋1 600
2
整理，得v 2－89v ＋1 600＜0，
即(v－25)(v－64) ＜0， 解得25＜v ＜64.
答：当v ＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/时．如果要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应大于25千米/时且小于64千米/时．