覆杯实验的科学解释
王绍符1 刘 升2 张喜荣3
（1. 河北大学 河北保定 071002； 2. 河北广播电视大学 河北石家庄 050000，3. 保定师专 河北保定 071051）
有句格言说“首先发现水的绝不是鱼.”是的，同样道理，人类认识大气压强的存在经历了漫长的时间．能直立行走使用工具的人在地球上出现距今已有二、三百万年，可是直到360年以前的1643年才有托里拆利(E．Torricelli，1608～1647)第一次揭示了大气压强的真实存在，并测定了其值与76 cm高水银柱的压强相当．但是这一发现在当时并没有被广泛接受而流传，此后又过了11年，德国的格里克(Otto von Guericke，1602～1686)在马德堡做半球实验时还是使人们大为惊诧不已．就是在今天，对刚开始接受科学教育的儿童少年，讲述大气作用在我们人的身体上，每一个指甲大小的地方就有相当1公斤重物的压力，也会使他们半信半疑．这真是“不识庐山真面目，只缘身在此山中．”于是各种说明大气压存在的实验应运而生，而其中的覆杯实验以其惊险、奇妙制胜,倍受青睐，被广泛用于小学自然和初中物理的教学中．
图-1 覆杯实验照片
如图1所示，将一个杯子灌满水，取一纸片(或玻璃片、薄铁片)盖于杯口．然后用手扶着纸片将杯子缓慢倒置后，再放开扶纸片的手．水竟不落下来! 如此说明空气对纸片有压力，即说明大气压强的存在．
以上实验及说明一般对小学和初中学生来说也就够了，但却也留下了一些似乎不甚得其解的思考．于是常见一些书刊中对此问题进行讨论．在这里笔者从以下几方面提出自己的认识，是否妥当还望得到批评指正．
1 相互平衡的力
对这个实验常见有一种的解释，说：“大气压强相当10 m高水柱的压强，杯子里的水一般只有约0．1 m高，压强比大气压强小得多，所以水不会落下来．”这种解释很容易被接受，但却是不恰当的．
覆杯实验中，无论是杯子、水还是纸片都处于静止平衡状态，因而它们各自所受的力都是相互平衡的力．就纸片而言它受向下的重力G，向下的水的压力p水S (S为杯口的面积)
和向上的大气压力p0S,如图2 示．（杯口面积S以外，纸面上下都有大气压的作用，故这里不再考虑）
图-2 纸片受力图
纸片是否受杯口的作用力呢?不受．仔细观察可以发现纸片并不与杯口直接接触（如果用玻璃片则此现象更为明显），而是有个缝隙，其间是水．所以纸片只受上述三个力，由于平衡则有
如果考虑到纸片很轻，则可知作用在纸片上的水的压强p水近似与大气压强p0相等，而不是小得很多．
2 相对压强和绝对压强
液体静力学中有一个基本方程——静液平衡方程[1]
p2 － p1 =ρgh (2)
式中p1，p2为静止液体中任意两点，即点1和点2（点1在上，点2在下）的压强；ρ为液体的密度．
根据静液平衡方程可知，对于封闭在覆杯中的水来说，水柱高度只决定下口处与上底处 的压强差(ρgh )，这是相对压强，并不决定下口处水的实际压强，也就是绝对压强的大小．其下口处(以及上底处)的绝对压强则由所处具体条件所形成的挤压程度决定[2]．
为了讨论覆杯下口水的压强，让我们先做些假设，这样可以使问题得到简化且不致发生歪曲．第一，假设杯子上下粗细均匀，截面面积S为一定值．如此可避免由于杯子粗细不均
带来处理上的麻烦．第二，假设杯中的水是满的，盖上纸片，以及倒置以后，手没有离开纸p水S +G = p0S (1)
片以前水的体积没有发生丝毫变化．
在上述假设条件下，原来杯子没有倒置以前水面处的压强等于大气压强p0．而杯底处由于重力作用水的挤压程度较大，其压强大小等于p0+ρgh，大于大气压强.
倒置以后由于水的压强分布仍应是上端(现在是杯底处)压强接近于p0，下端(现在是杯口处)压强接近于p0+ρgh，这也就是水作用于纸片上的压强，即约为
p水=p0+ρgh （3）
此处的讨论也可以假设杯子是一个上下开口粗细均匀的玻璃筒．先在下口垫上纸片将其封闭，然后倒满水，再用玻璃片将上口封闭．这样省去倒置过程，却可以得到同样的结论．
由以上讨论我们可以清楚地认识到，在这种情况下杯中的水作用在纸片上的压力p水S不是小于大气压力而是大于大气压力p0S！那么，杯中的水作用在纸片上的这个压力又是怎样变小的呢?
3 杯中水的挤压程度与表面张力附加压强
在做覆杯实验的过程中，将杯子倒置以后放开扶着纸片的手时，纸片将稍许下沉与杯口 脱离接触，形成一个充满水的缝隙，这时纸片甚至可以在水平方向自由移动，如果用玻璃片代替纸片做实验，这种现象更明显．这说明杯子中水的挤压程度发生了变化，减小了压强.对于液体来说，体积微小无法察觉的变化都会引起压强很大的变化.
仔细观察，缝隙中水的表面呈凹形曲面，如图3所示．这个缝隙里水的表面张力产生的附加压强也会对杯内水的压强起到了调节作用．
图-3缝隙中水的表面呈凹形曲面
在这种情况下水的表面张力产生的附加压强为
ps=-2αcosθd （4）
式中“－”号表示为负压，此附加压强使水内压强减小；α为水的表面张力系数；θ为接触角；d为凹形曲面宽度．
由以上分析可知，当外界大气压强为p0时，则纸片（玻璃片、铁片等都一样）上方水的压强为p水 ＝ p0 +ps，即
p水=p0-2αcosθd (5)
片保持静态平衡． 式（5）显示表面张力产生的附加压强使纸片上方水的压强减小，从而满足(1)式，使纸
由此可见，表面张力作用不可忽视，实验中的液体必须与杯子、纸片润湿，笔者曾用荷叶代替纸片，结果实验失败.
4 空气柱体积的调节作用
做覆杯实验杯中水不满(多数情形正是如此)亦可获得成功．这是由于杯子倒置后放开扶着纸片的手时，纸片下沉，使封在水上方的空气柱体积有所增加，从而压强减小的缘故．其压强减小量只需∆p=ρgh+G
S，在一般情况下△p与p0之比的数量级为10，从而可以根-2
据气体定律算出空气柱的伸长量一般小于1 mm. 还应当说明的是，在这种情况下空气柱体积的增加与表面张力产生的附加压强，其作用结果是同一的，自恰的，纸片上水的压强既符合（5）式，也符合（2）式.
5 纸片的作用
有意思的是经过讲解，使覆杯实验的惊险奇妙化解如释以后，还有一个问题常使我们的教师困惑难对．这就是：“既然大气压能托住杯内的水柱，那么要纸片干什么?”
我们知道静液压强分布特点之一是水平分布均匀，即静止的液体内任一水平面上各点 的压强是相等的，也就是说是个等压面，否则将失去平衡而流动．如此说来，不用纸片，只要杯口水面是水平的，各处压强相等，均等于大气压强p0，则水柱可以保持静止而不下落．但 是，这种平衡是不稳平衡，不稳平衡实现的概率为0，只要稍有扰动，水面就有起伏涨落不再是等压面，就会产生像虹吸现象一样的效应，杯内的水会从某一边往下流直到流完为止．
不稳平衡只在理论上成立，在真实生活中并不存在．就像一个人在钢丝上，理论上只要人所受重力的作用线通过钢丝，人就可以在其上平衡．实际上人不可能停留在此种状态，各种随机的因素都会使其失去平衡且不能恢复．
我们知道走钢丝的杂技演员手中总是拿一根长竹竿，边走边左右晃动，借此可以调整重心，使其可以在不断失去平衡的情况下又不断地恢复平衡．纸片的作用恰似竹竿．纸片的弹性形变可以抑制水面的起伏涨落．当水面某处随机凹进去时，纸片跟着发生凹进形变而产生负压将凹进去的水拉回来；当水面某处随机凸出来时，纸片跟着发生凸出形变而产生正压
将凸出来的水压回去(当纸片较薄时这中凹或凸的动态形变很明显)．就这样动态地使水面维持着一个等压面，保证了杯内水柱的稳定平衡而不下落．由此可知纸片的作用不是可有可无的，实验成功纸片不可或缺．
参考文献
[1]李玉柱，苑明顺．流体力学[M]．北京：高等教育出版社，1998
[2]王绍符.初中物理静流体压强宏观解释的思考[J].物理通报，1996，（6，7）
（1998年初稿，2003年修改，并发表在2003《物理通报》第5期）
覆杯实验的科学解释
王绍符1 刘 升2 张喜荣3
（1. 河北大学 河北保定 071002； 2. 河北广播电视大学 河北石家庄 050000，3. 保定师专 河北保定 071051）
有句格言说“首先发现水的绝不是鱼.”是的，同样道理，人类认识大气压强的存在经历了漫长的时间．能直立行走使用工具的人在地球上出现距今已有二、三百万年，可是直到360年以前的1643年才有托里拆利(E．Torricelli，1608～1647)第一次揭示了大气压强的真实存在，并测定了其值与76 cm高水银柱的压强相当．但是这一发现在当时并没有被广泛接受而流传，此后又过了11年，德国的格里克(Otto von Guericke，1602～1686)在马德堡做半球实验时还是使人们大为惊诧不已．就是在今天，对刚开始接受科学教育的儿童少年，讲述大气作用在我们人的身体上，每一个指甲大小的地方就有相当1公斤重物的压力，也会使他们半信半疑．这真是“不识庐山真面目，只缘身在此山中．”于是各种说明大气压存在的实验应运而生，而其中的覆杯实验以其惊险、奇妙制胜,倍受青睐，被广泛用于小学自然和初中物理的教学中．
图-1 覆杯实验照片
如图1所示，将一个杯子灌满水，取一纸片(或玻璃片、薄铁片)盖于杯口．然后用手扶着纸片将杯子缓慢倒置后，再放开扶纸片的手．水竟不落下来! 如此说明空气对纸片有压力，即说明大气压强的存在．
以上实验及说明一般对小学和初中学生来说也就够了，但却也留下了一些似乎不甚得其解的思考．于是常见一些书刊中对此问题进行讨论．在这里笔者从以下几方面提出自己的认识，是否妥当还望得到批评指正．
1 相互平衡的力
对这个实验常见有一种的解释，说：“大气压强相当10 m高水柱的压强，杯子里的水一般只有约0．1 m高，压强比大气压强小得多，所以水不会落下来．”这种解释很容易被接受，但却是不恰当的．
覆杯实验中，无论是杯子、水还是纸片都处于静止平衡状态，因而它们各自所受的力都是相互平衡的力．就纸片而言它受向下的重力G，向下的水的压力p水S (S为杯口的面积)
和向上的大气压力p0S,如图2 示．（杯口面积S以外，纸面上下都有大气压的作用，故这里不再考虑）
图-2 纸片受力图
纸片是否受杯口的作用力呢?不受．仔细观察可以发现纸片并不与杯口直接接触（如果用玻璃片则此现象更为明显），而是有个缝隙，其间是水．所以纸片只受上述三个力，由于平衡则有
如果考虑到纸片很轻，则可知作用在纸片上的水的压强p水近似与大气压强p0相等，而不是小得很多．
2 相对压强和绝对压强
液体静力学中有一个基本方程——静液平衡方程[1]
p2 － p1 =ρgh (2)
式中p1，p2为静止液体中任意两点，即点1和点2（点1在上，点2在下）的压强；ρ为液体的密度．
根据静液平衡方程可知，对于封闭在覆杯中的水来说，水柱高度只决定下口处与上底处 的压强差(ρgh )，这是相对压强，并不决定下口处水的实际压强，也就是绝对压强的大小．其下口处(以及上底处)的绝对压强则由所处具体条件所形成的挤压程度决定[2]．
为了讨论覆杯下口水的压强，让我们先做些假设，这样可以使问题得到简化且不致发生歪曲．第一，假设杯子上下粗细均匀，截面面积S为一定值．如此可避免由于杯子粗细不均
带来处理上的麻烦．第二，假设杯中的水是满的，盖上纸片，以及倒置以后，手没有离开纸p水S +G = p0S (1)
片以前水的体积没有发生丝毫变化．
在上述假设条件下，原来杯子没有倒置以前水面处的压强等于大气压强p0．而杯底处由于重力作用水的挤压程度较大，其压强大小等于p0+ρgh，大于大气压强.
倒置以后由于水的压强分布仍应是上端(现在是杯底处)压强接近于p0，下端(现在是杯口处)压强接近于p0+ρgh，这也就是水作用于纸片上的压强，即约为
p水=p0+ρgh （3）
此处的讨论也可以假设杯子是一个上下开口粗细均匀的玻璃筒．先在下口垫上纸片将其封闭，然后倒满水，再用玻璃片将上口封闭．这样省去倒置过程，却可以得到同样的结论．
由以上讨论我们可以清楚地认识到，在这种情况下杯中的水作用在纸片上的压力p水S不是小于大气压力而是大于大气压力p0S！那么，杯中的水作用在纸片上的这个压力又是怎样变小的呢?
3 杯中水的挤压程度与表面张力附加压强
在做覆杯实验的过程中，将杯子倒置以后放开扶着纸片的手时，纸片将稍许下沉与杯口 脱离接触，形成一个充满水的缝隙，这时纸片甚至可以在水平方向自由移动，如果用玻璃片代替纸片做实验，这种现象更明显．这说明杯子中水的挤压程度发生了变化，减小了压强.对于液体来说，体积微小无法察觉的变化都会引起压强很大的变化.
仔细观察，缝隙中水的表面呈凹形曲面，如图3所示．这个缝隙里水的表面张力产生的附加压强也会对杯内水的压强起到了调节作用．
图-3缝隙中水的表面呈凹形曲面
在这种情况下水的表面张力产生的附加压强为
ps=-2αcosθd （4）
式中“－”号表示为负压，此附加压强使水内压强减小；α为水的表面张力系数；θ为接触角；d为凹形曲面宽度．
由以上分析可知，当外界大气压强为p0时，则纸片（玻璃片、铁片等都一样）上方水的压强为p水 ＝ p0 +ps，即
p水=p0-2αcosθd (5)
片保持静态平衡． 式（5）显示表面张力产生的附加压强使纸片上方水的压强减小，从而满足(1)式，使纸
由此可见，表面张力作用不可忽视，实验中的液体必须与杯子、纸片润湿，笔者曾用荷叶代替纸片，结果实验失败.
4 空气柱体积的调节作用
做覆杯实验杯中水不满(多数情形正是如此)亦可获得成功．这是由于杯子倒置后放开扶着纸片的手时，纸片下沉，使封在水上方的空气柱体积有所增加，从而压强减小的缘故．其压强减小量只需∆p=ρgh+G
S，在一般情况下△p与p0之比的数量级为10，从而可以根-2
据气体定律算出空气柱的伸长量一般小于1 mm. 还应当说明的是，在这种情况下空气柱体积的增加与表面张力产生的附加压强，其作用结果是同一的，自恰的，纸片上水的压强既符合（5）式，也符合（2）式.
5 纸片的作用
有意思的是经过讲解，使覆杯实验的惊险奇妙化解如释以后，还有一个问题常使我们的教师困惑难对．这就是：“既然大气压能托住杯内的水柱，那么要纸片干什么?”
我们知道静液压强分布特点之一是水平分布均匀，即静止的液体内任一水平面上各点 的压强是相等的，也就是说是个等压面，否则将失去平衡而流动．如此说来，不用纸片，只要杯口水面是水平的，各处压强相等，均等于大气压强p0，则水柱可以保持静止而不下落．但 是，这种平衡是不稳平衡，不稳平衡实现的概率为0，只要稍有扰动，水面就有起伏涨落不再是等压面，就会产生像虹吸现象一样的效应，杯内的水会从某一边往下流直到流完为止．
不稳平衡只在理论上成立，在真实生活中并不存在．就像一个人在钢丝上，理论上只要人所受重力的作用线通过钢丝，人就可以在其上平衡．实际上人不可能停留在此种状态，各种随机的因素都会使其失去平衡且不能恢复．
我们知道走钢丝的杂技演员手中总是拿一根长竹竿，边走边左右晃动，借此可以调整重心，使其可以在不断失去平衡的情况下又不断地恢复平衡．纸片的作用恰似竹竿．纸片的弹性形变可以抑制水面的起伏涨落．当水面某处随机凹进去时，纸片跟着发生凹进形变而产生负压将凹进去的水拉回来；当水面某处随机凸出来时，纸片跟着发生凸出形变而产生正压
将凸出来的水压回去(当纸片较薄时这中凹或凸的动态形变很明显)．就这样动态地使水面维持着一个等压面，保证了杯内水柱的稳定平衡而不下落．由此可知纸片的作用不是可有可无的，实验成功纸片不可或缺．
参考文献
[1]李玉柱，苑明顺．流体力学[M]．北京：高等教育出版社，1998
[2]王绍符.初中物理静流体压强宏观解释的思考[J].物理通报，1996，（6，7）
（1998年初稿，2003年修改，并发表在2003《物理通报》第5期）