小升初数学专题训练冲刺 第一讲 分数的拆分
【思维规律】
110+115=12⨯5+13⨯5=1⨯32⨯3⨯5+1⨯22⨯3⨯5=52⨯3⨯5=5130=6
怎样才能把一个分数拆成两个不同分数和的形式呢？我们仍以
111
6=() +
()
为例。因为
16=12⨯3=52⨯3⨯5
（扩分） =2+32⨯3⨯5=22⨯3⨯5+3
2⨯3⨯5（拆开）
=
230+31130=15+10
（约分） 所以
16=11(15)+(10)
通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤：
○
1 把1116的分母写成质因数乘积的形式。即：6=2⨯3
○
2 把12⨯3的分子和分母同时乘以5，成为1⨯5
2⨯3⨯5
的形式，这叫做扩分。 注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。 ○
3 把分子拆成分母的两个质因数的和。再拆成两个分数的和。即： 1⨯5232⨯3⨯5=2⨯3⨯5+2⨯3⨯5
○4 把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。
【重点点拨】 ·例1· 填空：
111
，并写出过程。 =+
14() ()
·例2· 填空：
111
。 =+
18() ()
·例3· 填空：
1111
。 =++
18() () ()
·例4· 1=
1()
+
1()
+
1()
+
1()
+
1()
+
1()
。
能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。
11111
= -= 1⨯2212211111
= -= 2⨯3623611111
= -=
3⨯4123412
1）
·例5· 填空：○1
111111111
；○2 =； ○3 =。 =---
6() () 12() () 56() ()
551116-115
== -= 11⨯[**************]
663118-263== -=== 2⨯[**************]9-72
== -=
7⨯963796363
2） ·例6· 把下面各分数写成两个分数差的形式。 ○1 524
·例7·
·例8·
·例9·
·例10·
·例11·
○2 328 ○3 263
○4 718 计算：1111988⨯1989+1989⨯1990+1990⨯1991+1
1991
计算：1111112+6+12+20+30+42
计算：212⨯14+214⨯16+221
16⨯18+18⨯20+20
计算：11⨯5+11115⨯9+9⨯13+13⨯17+17⨯21 计算：11+12+22+1
2
+
+11991
++
19911991+1990
1991
++11991
·例12· 计算：(12+22+12) +(13+23+33+23+13) +(1234321
4+4+4+4+4+4+4)
【培优高手】
1. 在下列各式的括号内填上适当的整数。 ○
1 11128=() +() ○2 115=1() +
1()
○
3 111111132=() +() +() ○4 24=() +() +
1
()
2. 1=1+1+1()
()
()
+1+1+1+1()
()
()
()
3.
11111
6=() +() +() +
()
4. 把下面各分数写成两个分数差的形式。 ○1 245 ○2 172
5. 110⨯11+111⨯12+112⨯13+113⨯14+1114⨯15 6. 1⨯4+1111
4⨯7+7⨯10+10⨯13+13⨯16
7. 11111
1创2+23+3创4+L +9899+99 100
8. 已知a 和b 都是自然数，且
9. 三个质数的倒数之和是
第二讲 分数运算技巧
【思维规律】
在小学数学计算问题中，有关分数巧算的题很常见，这就需要我们掌握分数运算的技巧，养成速算、巧算的习惯，根据算式的结构特点，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，使算式化难为易。
交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法
1、运算定律
结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）交换律：a×b ＝b×a
b ）×c ＝a×（b×c ）乘法结合律：（a×
分配律：（a×b ）＋c ＝a×c ＋b×c
111
=+，试求a 与b 的和。 45a b
A
，则A 是多少？ 231
商的不变性：同大同小商不变。
2、运算性质
积的不变性：一大一小积不变。
如：
）
）
3、同级运算添去括号技巧
括号前是加号、乘号，添去括号不变号； 括号前是减号、除号，添去括号变反号；
a 减、除
加号反号是减号，乘号反号是除号。 4、代数法巧解
a 有些四则混合计算题步骤多而复杂，计算繁而难，把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可以化繁为简，化难为易。
5、熟记常用数据：
131234135
=0.25，=0.75，=0.2，=0.4，=0.6，=0.8，=0.125，=0.375，=0.625，[1**********]312=0.875，=0.05，=0.15，=0.04，=0.08 820202525
6、计算中的注意事项：
（1） 全面审题，先算哪一步，再算哪一步，最后算哪一步，运算顺序不能错；
（2） 观察题目中的结构和特征，分析题中数与数之间的运算关系，判断是否用定律、性质，尽量选择简便方法计算；
（3） 掌握一定巧算方法和运算技巧，提高计算速度。 【重点点拨】
371413263·例1· （1）4-9+(8-2) （2）⨯39+⨯25+⨯
[1**********]
·例2· （1）
·例3· （1）73
·例4· （1）166
·例5·
4453⨯37 （2）77⨯ 4576
111
⨯ （2）2011÷2 1582010
12011
÷41 （2）2011÷2011 202012
2006⨯2007-11111111
·例6· ++++++
2006+2005⨯[**************]8
【培优高手】
5849818
（1）7-2+(2-1) （2）13-(4+3) -0.75
[1**********]
（3）[1**********]++++++ （4）⨯39+⨯27 [1**********]949 （5）316⨯35+1516⨯25
（注：1——6题参照例1） （7）55⨯5556 （8）57⨯3358
（注：7——10题参照例2）
（11）
64117⨯19 （12）22120⨯121
（注：11——14题参照例3）
（15）5425÷17 （16）4447÷39
（注：15——18题参照例4）
44
（6）13
5⨯27+5⨯41 （9）31⨯2930 （10）8
35⨯71 （1317⨯5716 （14）4113⨯34+5114⨯4
517）238÷238238239 （18）2000÷[1**********]1
（
1993⨯1994-11998+1998⨯20002006⨯(4.3⨯87+4.4)
（19）1993+1992⨯1994 （20）1999⨯2000-1 （21）4.3⨯87-4.3（注：19——21题参照例5）
（22）1111118+16+32+64+128+256 （23）23+29+
227+2
81
（注：22——23题参照例6） （24）(1+
12005+12006+12007) ⨯(1111111
2005+2006+2007+2008) -(1-2005+2006+2007
+ 12008) ⨯(1112005+2006+2007
)
（注：23——24题参照例5）
第三讲 列方程解应用题
【知识巩固】 解下列关于x 的方程：
（1）6x -7=5x +4 （2）4(4x -1) =3(22-2x )
（3）7(2x -6) =84 （4）9(2x -3) -2=5(2x -1)
（5）5(x -8) =3x （6）4.2x -9=2.5x +2.9
【思维规律】
在一些数量关系比较复杂的数学题中，要列出算式来解答难较大，有时甚至要无法列出，这时我们可以考虑用列方程的方法来解答。
列方程解应用题的一般方法是：先设未知数，然后把未知数和已知数同等看待，根据题意求出方程的解。列方程解应用题是小学数学中一个比较重要的数学思想方法。 【例题讲练】
·例1· 小惠今年6岁，爸爸今年的年龄是她的5倍，几年后爸爸的年龄是小惠年龄的3倍？
·例2· 甲乙两筐有苹果若干千克，甲筐重量是乙筐的3倍。如果甲筐取出150千克，乙筐增加50千克，甲、乙两筐的重量就相等，求甲、乙两筐原重各多少千克？
·例3· 小华看一本书，如果每天看30页，则最后一天要多看17页；如果每天看35页，则最后一天要少看18页。这本书有多少页？计划看多少天？
·例4· 幼儿园分四个买来一些苹果，如果每个小朋友分4个，则多4个；如果每个小朋友分5个，则又少20个，问幼儿园有几个小朋友？买了多少个苹果？（盈亏问题）
·例5· 某车间生产甲乙两种零件，生产的甲零件比乙零件多12个，乙零件全部合格，甲
4
零件只有合格，两种合格的零件一共有42个，两种零件各生产了多少个？
5
3
·例6· 甲乙两个商店共有电视机118台，甲商店卖出原有的，乙商店卖出6台，则甲
5
乙两家商店剩下的电视机数相同，甲乙两家商店原有各有电视机多少台？
11
·例7· 甲乙两校共有22人参加数学竞赛，甲校参加人数的比乙校参加人数的少1人，
54
甲乙两校各有多少人参加数学竞赛？
2
多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，男女3
生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？
·例8· 一个班的女同学比男同学的
4
多16人，如果从第二车间调40人到第一车5
间，这时两个车间的人数正好相等，原来两个车间各有多少人？
·例9· 某工厂第一车间人数比第二车间的
·例10· 生产一批零件，第一天生产了180件，第二天生产的是总数的
1
共生产了总数的，这批零件共有多少个？
3
1
少30个，两天4
【培优高手】
1. 某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的一共有42人，男、女生参加数学竞赛的各有多少人？
3
得优，男女生得优的4
11
2. 六年级甲班比乙班少4人，甲班有的人，乙班有的人参加了课外数学组。两个班参加
34
课外数学组的共有29人，甲乙两班共有多少人？
3. 图书馆看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少女生人数相等，原来一共有多少个学生？
53
4. 原来甲乙两个书架上共有图书900本，将甲书架的书增加，乙书架上的书增加，这
810
样书架上的书就一样多。原来甲乙两个书架各有图书多少本？
11
，女生减少，剩下的男、46
5. 一个书有两层书，上层的书占总数的40%；若从上层取48本放入下层，这时下层的书占总数的75%。这个书架共有多少本书？
6. 甲乙两个书架上共有书270本，甲被借去两个书架原来各有多少本书？
43
，乙被借去，两个书架剩下的书正好相等。54
7. 甲乙两人共存款108元。如果甲取出自己存款的相等。求甲乙两人原来各存款多少元？
54
8. 甲书架上的书是乙书架上的，两个书架上各拿出154本，甲书架上的书是乙书架上的。
67
甲乙两个书架上原有书各多少本？
2
，乙取出12元，那么两人所存的钱数5
9. 某校六年级男生人数是女生人数的
2
，后来转进来2名男生，转走3名女生，这时男生人3
3
数是女生的。原来男、女生名多少人？
4
10. 某学校的男教师比女教师多8人，如果女教师减少4人，男教师增加8人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
11. 某工厂第一车间的人数比第二车间人数的则第一车间的人数是第二车间人数的
4
少30人，若从第二车间调10人到第一车间，5
3
，求各车间的人数。（2006年联考试题） 4
第四讲 平均数问题
【思维规律】
1. 平均数问题是指几个不相等的同类数量通过移多补少，使它们完全相等，最后求得这几个数的平均数。
2. 简单的平均数应用题又称算术平均数问题，题中提供的条件使我们比较容易地求出总和与相应的加数个数，我们再根据基本关系式就可直接求出平均数。
3. 较复杂的平均数应用题又称加权平均数问题，求平均数时，先根据题意找出总数量及总数量对应的总份数，然后再求解。
4. 有一些问题有时求部分平均数，有时根据平均数求个别数量，这样的题中往往提供几个部分平均数或全体平均数，然后围绕这些不同的平均数提出问题，数量关系相对复杂。 5. 相关公式：
总数量÷总份数＝平均数 总数量÷平均数＝总份数 平均数×总份数＝总数量 【重点点拨】
·例1· 三个数的平均数是120，加上多少后，则四个数的平均数是150？
·例2· 甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分数是90分。可是，丙在抄分数时，把甲的成绩错抄成87分，因此算得四人的平均分为88分。求甲在这次考试中得了多少分？
·例3· 有七个排成一排的数，它们的平均数是30，前三个数的平均数是28，后五个数的平均数是33，求第三个数。
·例4· 小强10次测验的平均分是82分，前六次的平均分是83分，后六次的平均分是80分，那么他第5次和第6次测验的平均分是多少分？
·例5· 小叮当参加了五次英语测验，平均分是78分，他想在下次英语测验后使六次的平均分不低于80分，小叮当第六次英语测验至少要得多少分？
·例6· 甲、乙两个数的平均数是94，乙、丙两个数的平均数是88，甲、丙两个数的平均数是86. 甲、乙、丙三个数各是多少？
·例7· 一个旅游团出游，平均每人应付车费40元。后来又增加了8人，这样每人应付车费是35元，租车费是多少元？
·例8· 小红测试每分钟跳绳的次数，前四次跳的分别是180下、180下、175下、185下，第五次比全部跳的平均数还多32下。那么全部五次跳的平均数是多少下？
·例9· 明明爬山，上山的速度是3千米/小时，到达山顶后立即返回，下山速度是5千米/小时，明明上下山的平均速度是多少？
【培优高手】 一、解决问题。
1. 小明参加了四次语文测验，平均成绩是68分，他想通过一次语文测验，将五次的平均成绩提高到最少70。那么，在下次测验中，他至少要得多少分？
2. 把五个数从小到大排列，其平均数是38。已知前三个数的平均数是28，后三个数的平均数是47。问中间一个数是多少？
3. 把四个数排成一排，前两个数的平均数是70，中间两个数的平均数是23，最后两个数的平均数是84。求第一个数与最后一个数的平均数是多少？
4. 在一次登山比赛中，小刚上山每分钟走40米，到达山顶后立即返回，下山以每分钟走60米的速度按原路下山，小刚上、下山的平均速度是多少？
【真题链接】
1. 张军、邓明、刘华三位小朋友储蓄钱数之比是1：3：4，他们储蓄的平均数是320元，邓明储蓄了_________元。（2008年联考试题）
2. 一对糖果分给甲、乙两个班，两个班学生平均分，每人可分6个，如果只分给甲班，每人平均分得10个，假使只分给乙班，每人可分得多少个？（2006年联考试题）
3. 小明统计班里的数学成绩，平均分为85.74分，后来发现一个同学原来的分数是97分，统计时误统计成67分，重新统计后平均分为86.49分，此班共有多少个学生?
4. 某班在一次数学考试中，平均分是78分，男生平均分是75.5分，女生平均分是81分，这个班男、女生人数的比是多少？
5. 在一次数学测试中，六（1）班的平均分是84分，其中男生的平均分是84.6分，女生的平均分是83.6分。已知六（1）班有学生45人。六（1）班有男生多少人？
第五讲 行程问题——相遇专题
【思维规律】
甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A 、B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么
AB 之间的路程＝甲走的路程＋乙走的路程
＝甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间 ＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间 【基础回顾】
1. 甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？
2. 两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇。两个车站之间的铁路长多少千米？
3. 甲、乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇。甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？
【重点点拨】
·例1· 甲乙两辆汽车同时从A 、B 两地相对开出，甲车每小时行42.5千米，乙车每小时行38千米，4小时后，两车还相距35.5千米，求A 、B 两地的距离？
·例2· 一辆公共汽车和辆小轿车同时从相距360千米的两地相向而行，公共汽车每小时行35千米，小轿车每小时行55千米，几小时后两车相距90千米？
·例3· 甲乙两地的公路长195千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时30千米，途中乙车出现故障，修车用了1小时，两车从出发到相遇经过了几小时？
·例4· 兰兰和红红是邻居，一天早晨两人同时上学，兰兰骑自行车每分钟行300米，红红步行，每分钟走60米，兰兰到学校后发现自己的红领巾忘记带了，于是骑自行车沿原路返回，如果从家到学校的的路程长3600米，兰兰返回时和红红相遇时距离学校多远？
·例5· 姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770米。妹妹步行每分钟行60，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇。这时妹妹走了几分钟？
·例6· 一列快车和一列慢车同时从甲乙两站出发，相向而行，经过6小时相遇。相遇后快车继续行驶了3小时后到达乙站，已知慢车每小时行45千米，甲乙两站相距多少千米？
·例7· 甲乙两车同时从东、西两城相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在距离中点32千米处相遇，求东、西两地间的公路长多少千米？
·例8· 两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行。各自到达目的地后又立即返回，经过8小时后它们第二次相遇。已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？
·例9· 小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15处第二次相遇。甲、乙两地相距多少米？
·例10· 甲乙两人同时从相距1000米的两地相向而行，甲每分钟行120米，乙每分钟行80米。如果有一只狗与甲车同时同向而行，每分钟行500米，遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇到甲后又立即回头向乙跑去，这样不断来回，直到两人相遇为止，这时狗共跑了多少米？
·例11· 骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
第六讲 行程问题——追及专题
【思维规律】
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他，这就产生了“追及问题”。实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走路程，也就是要计算两人走的速度之差。如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间（追及时间）内：
追及路程＝甲走的路程－乙走的路程
＝甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度－乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间 “追及问题”的核心的速度差的问题。 【重点点拨】
·例1· 甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙般在前，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米?
·例2· 小明步行上学，每分钟走75米，小明离家12分后，爸爸发现小明忘带数学课讲义了，爸爸骑自行车去追，每分钟行375米，爸爸出发多少分钟后能追上小明？
小结：在追及问题中，关键是要找出开始追时两人（或两车等）相距多少（距离差）以及单位时间里能追上多少（速度差），有了这两个量，就可以用除法求出追上时所需要的时间。 追及问题的基本关系式：路程差＝速度差×追及时间
速度差＝路程差÷追及时间 追及时间＝路程差÷速度差
·例3· 两辆汽车运送货物，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，2小时后小卡车以每小时48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时离甲地多远？
·例4· 上午8点零8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上水上明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
小结：解答题目条件比较复杂的追及问题时，我们也可以通过画线段图来帮助理解题意，把所求问题转化为已经掌握的或容易解的问题。
·例5· 一条长400米的环形跑道，欣欣在练习骑自行车，他每分钟行560米，彬彬在练习长跑，他每分钟跑240米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人可以相遇？再经过多长时间第二次相遇？
小结：解答环形跑道的追及问题，关键是要掌握从同时出发到第一次相遇，快的人比慢的人林多跑一圈。
·例6· 甲乙两人在周长600米的水池边上玩，两人从一点出发，同向而行30分钟后又走到一起，背向而行4分钟相遇，求两人每分钟各行多少米？
第七讲 工程问题
【思维规律】
“工程问题”指的都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延伸到相遇运动和向水池注水等等，解答工程问题时，一般都是把总工作量看作单位“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒数。 工作问题的关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间
或 工作总量÷工作效率和＝合作时间
有关先合作再单独做或者先独做后合作完成工作总量的总量，可以有两种考虑思路。 合作的工作量＋单独做的工作量＝1 或者 甲的工作总量＋乙的工作总量＝1 【重点点拨】
·例1· 加工360个零件，单独完成这批任务，甲需要20天，乙需要30天，两人共同工作，需要多少天才能完成任务？
·例2· 加工一批零件，单独完成这批任务，甲需要20天，乙需要30天，两人共同工作，需要多少天才能完成任务？
·例3· 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合做50天后，剩下的工程给乙队单独做还需多少天完成？
·例4· 单独完成某项工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一直做，因工作需要甲甲队中途撤走了，结果一共用6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？
·例5· 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后再由甲队做4
13
天，共完成这项工程的，如果把其余的工程交给乙队单独做，那么还要几天才能完成？
15
·例6· 有一项工作，甲需要6天完成，乙需要30天完成。现在甲、乙合做这项工作，但是中途甲休息了一天，问完成这项工作用了几天时间？
·例7· 一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
·例8· 一个水池安装甲、乙两个进水管和丙放水管，单开甲管4小时能把空池注满水，单开乙管5小时能把空池注满水，单开丙管3小时能把满池水放完。现在三管同时打开，几小时能把空池注满？
·例9· 一项工程，甲单独做需要20天，乙单独做需要30天，现在由他们两人合做，又知在工作途中甲先请了3天事假，后因公事出差2天。求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？
·例10· 有A 、B 两项工作，王师傅独做A 项工作要9天完成，独做B 项工作要12天完成；李师傅独做A 项工作要3天完成，独做B 项工作要15天完成。如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？
第十讲 倒推法解题
【思维规律】
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步的推算，这种思考问题的方法叫做倒推法。 【重点点拨】
13
·例1· 一本文艺书，小明第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩下48页，这
35
本书共有多少页？
12
·例2· 筑路队修一段路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下的，还剩下
57
500米，这段公路全长多少米？
11
·例3· 有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲桶，这时两桶
35
油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
第十一讲 平面图形的面积
【思维规律】
在小学里，我们学过了正方形、长方形、梯形、平行四边形、三角形、圆形以及扇形的面积计算，实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合，拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。一般我们称这样的图形为不规则图形。
本专题介绍一些较复杂、不规则图形的面积的求法，主要通过将复杂图形分解成熟悉的基本，或将不规则图形进行划归为基本图形，或者用等积变换等方法进行转化。
【重点点拨】
·例1· 甲和乙都是正方形。甲的边长为4厘米，乙的边长为6厘米，求阴影部分的面积。
思考：如果只知道甲的边长为4厘米，是否还可以求出阴影部分的面积？
·例2· 如右图，正方形ABCD 的边长为6厘米，△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，求△AEF 的面积。
·例3· 如右图，A 为△CDE 的DE 边上的中点，3BC ＝CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积。
·例4· 如下图，已知ABCD 是平行黑眼圈这形，AC 是对角线，AC ＝3CG ，AE ＝EF ＝FB ，△EFG 的面积是6平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积。
·例5· 如图，△ABC 的面积是1平方厘米，DC ＝2BD ，AE ＝3ED ，则△ACE 的面积是______平方厘米。
·例6· 如图，长方形ABCCD 中，△ABP 的面积为20平方厘米，△CDQ 的面积为35平方厘米，则阴影四边形的面积等于________厘米。
·例7· 如图，长方形被其内的一些直线划分了若干块，已知边上有3块面积分别是13、35、49. 那么图中阴影部分的面积是多少？
·例8· 有四条线段的长度已知知道，还有两个角是直角，那么四边形（阴影部分）的面积是多少？
·例9· 在各图中，ABCD 是长方形，三长线段贩长度如图所示，M 是线段DE 的中点，求边开边ABMD （阴影部分）的面积。
【培优高手】
1. 求阴影部分的面积。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
2. 图中ABCD 是梯形，AECD 是平行四边形，则阴影部分的面积是_________平方厘米。（单位：厘米）
3. 图中的每个小正形的面积都是2平方厘米，则图中阴影部分的面积是______平方厘米。
4. 长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为这AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积。
5. 在△ABC 中，D 、E 和F 分别为AC 、AB 、AD 的中点。△DEF 的面积是4平方厘米。BC ＝5厘米，求△ABC 以BC 为底时，它的高是多少厘米？
6. 在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的三等分点，且S 四边形ABCD ＝54平方厘米，求S
△BEF
。
7. 如图，BD 、DE 、EC 的长分别是2、4、2，F 是线段AE 的中点，三角形ABC 的高为4，求三角形DFE 的面积。
8. 两个相同的直角三角开如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积？
9. 在图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四男家形ABCD 的面积。
10. 在右图中，AB ＝8厘米，CD ＝4厘米，BC ＝6厘米，三角形AFB 比三角形EFD 的面积大18平方厘米。求ED 的长。
11. 长方形ABCD 的长为8厘米，宽为6厘米，E 、F 分别为所在边的中点，求阴影部分的面积。
12. 右图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36平方厘米，上底为3厘米，求下底和高分别是多少厘米？
13. 已知BD 长是２厘米，DC 长是３厘米，E 是AD 的中点，如果三角形ABD 的面积是5平方厘米，那么三角形DEC 的面积是多少？
14. 下图中，有四条线段的长度已知，还有两个角是直角，那么四边形ABCD （阴影部分）的面积是多少？
15. 右图中三角形ABC ，D 是AC 的中点，E 是AB 的三等分点，三角形ABC 的面积是三角形AED 的几倍？
16. 将右图中的三角形ABC 各条边都延长一倍至A 1、B 1、C 1，得到一个新的三角形A 1 B1 C1，若三角形ABC 的面积是1，求三角形A 1 B1 C1的面积。
17. 如右图，正方形ABCD 的边长为5厘米，△CEF 的面积比△ADF 的面积大5平方厘米。求CE 的长。
18. 如右图，直角梯形ABCD 的上底BC ＝10厘米，下底AD ＝14厘米，高CD ＝5厘米，又三角形ABF 、三角形BCE 和四边形BEDF 的面积相等。求三角形DEF 的面积。
19. 如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米。求长方形的长、宽各是多少？
20. 两个等腰直角三角形ABC 和DEF 的直角边分别为8㎝和6㎝，求阴影部分的面积。
21. 如下图是一块正方形耕地，它是由四块小长方形组成的，其中三块地的面积分别是15、18、30亩。求第四块耕地的面积是多少亩？
第十二讲 盈亏问题
【思维规律】
两次分配的结果差÷两次分配数差＝人数
或，由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品总数不变，因此，可根据
第一种分法的人数＝第二种分法的人数
第一种分法物品总数＝第二种分法物品总数，列出方程来解。 【重点点拨】
·例1· 一批树苗，如果每人种树苗，则缺少3棵；如果每人种7棵，则有4棵没人种。求参加种树的人数是多少人？这批树苗共有多少棵？
·例2· 幼儿园教师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分6个，则少10个；每人分4个，还多2个。有多少个小朋友？有多少个苹果？
·例3· 学校安排新生住宿，若每间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍，求住宿的学生和宿舍各有多少？
·例4· 学生分练习本，其中两个人每人分6本，其余每人分4本，则多2本；如果有一个学生分8本，其余每人分6本，则不足18本。学生有多少人？练习本有多少本？
·例5· 一工人加工一批机器零件，限期完成。他计划每小时做10个，还差3个零件完成任务 每小时做11个，恰好限期内完成了任务。他加工的零件是多少个？限几小时完成？
·例6· 小红家买来一篮橘子分给全家人，如果每人3只则多了5只，如果其中二人每人分2只，蓝丰生化每人分4只则多1只，小红家买来多少只橘子？小红家共有多少人？
·例7· 在一次大扫除中，教师分配若干人擦玻璃，如果其中二人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。
小升初数学专题训练冲刺 第一讲 分数的拆分
【思维规律】
110+115=12⨯5+13⨯5=1⨯32⨯3⨯5+1⨯22⨯3⨯5=52⨯3⨯5=5130=6
怎样才能把一个分数拆成两个不同分数和的形式呢？我们仍以
111
6=() +
()
为例。因为
16=12⨯3=52⨯3⨯5
（扩分） =2+32⨯3⨯5=22⨯3⨯5+3
2⨯3⨯5（拆开）
=
230+31130=15+10
（约分） 所以
16=11(15)+(10)
通过上题可以看出，拆分主要有以下几个步骤：
○
1 把1116的分母写成质因数乘积的形式。即：6=2⨯3
○
2 把12⨯3的分子和分母同时乘以5，成为1⨯5
2⨯3⨯5
的形式，这叫做扩分。 注意：为什么要乘以5？因为5正好是分母6的两个质因数的和。 ○
3 把分子拆成分母的两个质因数的和。再拆成两个分数的和。即： 1⨯5232⨯3⨯5=2⨯3⨯5+2⨯3⨯5
○4 把拆开后的两个分数约分，化成最简分数。
【重点点拨】 ·例1· 填空：
111
，并写出过程。 =+
14() ()
·例2· 填空：
111
。 =+
18() ()
·例3· 填空：
1111
。 =++
18() () ()
·例4· 1=
1()
+
1()
+
1()
+
1()
+
1()
+
1()
。
能不能把一个分数拆成两个分数差的形式呢？观察下面的分数运算，看左右两边有什么关系。
11111
= -= 1⨯2212211111
= -= 2⨯3623611111
= -=
3⨯4123412
1）
·例5· 填空：○1
111111111
；○2 =； ○3 =。 =---
6() () 12() () 56() ()
551116-115
== -= 11⨯[**************]
663118-263== -=== 2⨯[**************]9-72
== -=
7⨯963796363
2） ·例6· 把下面各分数写成两个分数差的形式。 ○1 524
·例7·
·例8·
·例9·
·例10·
·例11·
○2 328 ○3 263
○4 718 计算：1111988⨯1989+1989⨯1990+1990⨯1991+1
1991
计算：1111112+6+12+20+30+42
计算：212⨯14+214⨯16+221
16⨯18+18⨯20+20
计算：11⨯5+11115⨯9+9⨯13+13⨯17+17⨯21 计算：11+12+22+1
2
+
+11991
++
19911991+1990
1991
++11991
·例12· 计算：(12+22+12) +(13+23+33+23+13) +(1234321
4+4+4+4+4+4+4)
【培优高手】
1. 在下列各式的括号内填上适当的整数。 ○
1 11128=() +() ○2 115=1() +
1()
○
3 111111132=() +() +() ○4 24=() +() +
1
()
2. 1=1+1+1()
()
()
+1+1+1+1()
()
()
()
3.
11111
6=() +() +() +
()
4. 把下面各分数写成两个分数差的形式。 ○1 245 ○2 172
5. 110⨯11+111⨯12+112⨯13+113⨯14+1114⨯15 6. 1⨯4+1111
4⨯7+7⨯10+10⨯13+13⨯16
7. 11111
1创2+23+3创4+L +9899+99 100
8. 已知a 和b 都是自然数，且
9. 三个质数的倒数之和是
第二讲 分数运算技巧
【思维规律】
在小学数学计算问题中，有关分数巧算的题很常见，这就需要我们掌握分数运算的技巧，养成速算、巧算的习惯，根据算式的结构特点，灵活运用运算法则、定律、性质和某些公式，使算式化难为易。
交换律：a ＋b ＝b ＋a 加法
1、运算定律
结合律：（a ＋b ）＋c ＝a ＋（b ＋c ）交换律：a×b ＝b×a
b ）×c ＝a×（b×c ）乘法结合律：（a×
分配律：（a×b ）＋c ＝a×c ＋b×c
111
=+，试求a 与b 的和。 45a b
A
，则A 是多少？ 231
商的不变性：同大同小商不变。
2、运算性质
积的不变性：一大一小积不变。
如：
）
）
3、同级运算添去括号技巧
括号前是加号、乘号，添去括号不变号； 括号前是减号、除号，添去括号变反号；
a 减、除
加号反号是减号，乘号反号是除号。 4、代数法巧解
a 有些四则混合计算题步骤多而复杂，计算繁而难，把算式中相同的一部分式子，设字母代替，可以化繁为简，化难为易。
5、熟记常用数据：
131234135
=0.25，=0.75，=0.2，=0.4，=0.6，=0.8，=0.125，=0.375，=0.625，[1**********]312=0.875，=0.05，=0.15，=0.04，=0.08 820202525
6、计算中的注意事项：
（1） 全面审题，先算哪一步，再算哪一步，最后算哪一步，运算顺序不能错；
（2） 观察题目中的结构和特征，分析题中数与数之间的运算关系，判断是否用定律、性质，尽量选择简便方法计算；
（3） 掌握一定巧算方法和运算技巧，提高计算速度。 【重点点拨】
371413263·例1· （1）4-9+(8-2) （2）⨯39+⨯25+⨯
[1**********]
·例2· （1）
·例3· （1）73
·例4· （1）166
·例5·
4453⨯37 （2）77⨯ 4576
111
⨯ （2）2011÷2 1582010
12011
÷41 （2）2011÷2011 202012
2006⨯2007-11111111
·例6· ++++++
2006+2005⨯[**************]8
【培优高手】
5849818
（1）7-2+(2-1) （2）13-(4+3) -0.75
[1**********]
（3）[1**********]++++++ （4）⨯39+⨯27 [1**********]949 （5）316⨯35+1516⨯25
（注：1——6题参照例1） （7）55⨯5556 （8）57⨯3358
（注：7——10题参照例2）
（11）
64117⨯19 （12）22120⨯121
（注：11——14题参照例3）
（15）5425÷17 （16）4447÷39
（注：15——18题参照例4）
44
（6）13
5⨯27+5⨯41 （9）31⨯2930 （10）8
35⨯71 （1317⨯5716 （14）4113⨯34+5114⨯4
517）238÷238238239 （18）2000÷[1**********]1
（
1993⨯1994-11998+1998⨯20002006⨯(4.3⨯87+4.4)
（19）1993+1992⨯1994 （20）1999⨯2000-1 （21）4.3⨯87-4.3（注：19——21题参照例5）
（22）1111118+16+32+64+128+256 （23）23+29+
227+2
81
（注：22——23题参照例6） （24）(1+
12005+12006+12007) ⨯(1111111
2005+2006+2007+2008) -(1-2005+2006+2007
+ 12008) ⨯(1112005+2006+2007
)
（注：23——24题参照例5）
第三讲 列方程解应用题
【知识巩固】 解下列关于x 的方程：
（1）6x -7=5x +4 （2）4(4x -1) =3(22-2x )
（3）7(2x -6) =84 （4）9(2x -3) -2=5(2x -1)
（5）5(x -8) =3x （6）4.2x -9=2.5x +2.9
【思维规律】
在一些数量关系比较复杂的数学题中，要列出算式来解答难较大，有时甚至要无法列出，这时我们可以考虑用列方程的方法来解答。
列方程解应用题的一般方法是：先设未知数，然后把未知数和已知数同等看待，根据题意求出方程的解。列方程解应用题是小学数学中一个比较重要的数学思想方法。 【例题讲练】
·例1· 小惠今年6岁，爸爸今年的年龄是她的5倍，几年后爸爸的年龄是小惠年龄的3倍？
·例2· 甲乙两筐有苹果若干千克，甲筐重量是乙筐的3倍。如果甲筐取出150千克，乙筐增加50千克，甲、乙两筐的重量就相等，求甲、乙两筐原重各多少千克？
·例3· 小华看一本书，如果每天看30页，则最后一天要多看17页；如果每天看35页，则最后一天要少看18页。这本书有多少页？计划看多少天？
·例4· 幼儿园分四个买来一些苹果，如果每个小朋友分4个，则多4个；如果每个小朋友分5个，则又少20个，问幼儿园有几个小朋友？买了多少个苹果？（盈亏问题）
·例5· 某车间生产甲乙两种零件，生产的甲零件比乙零件多12个，乙零件全部合格，甲
4
零件只有合格，两种合格的零件一共有42个，两种零件各生产了多少个？
5
3
·例6· 甲乙两个商店共有电视机118台，甲商店卖出原有的，乙商店卖出6台，则甲
5
乙两家商店剩下的电视机数相同，甲乙两家商店原有各有电视机多少台？
11
·例7· 甲乙两校共有22人参加数学竞赛，甲校参加人数的比乙校参加人数的少1人，
54
甲乙两校各有多少人参加数学竞赛？
2
多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，男女3
生人数正好相等。这个班男、女生各有多少人？
·例8· 一个班的女同学比男同学的
4
多16人，如果从第二车间调40人到第一车5
间，这时两个车间的人数正好相等，原来两个车间各有多少人？
·例9· 某工厂第一车间人数比第二车间的
·例10· 生产一批零件，第一天生产了180件，第二天生产的是总数的
1
共生产了总数的，这批零件共有多少个？
3
1
少30个，两天4
【培优高手】
1. 某校参加数学竞赛的女生比男生多28人，男生全部得优，女生的一共有42人，男、女生参加数学竞赛的各有多少人？
3
得优，男女生得优的4
11
2. 六年级甲班比乙班少4人，甲班有的人，乙班有的人参加了课外数学组。两个班参加
34
课外数学组的共有29人，甲乙两班共有多少人？
3. 图书馆看书的学生中，男生比女生多10人，后来男生减少女生人数相等，原来一共有多少个学生？
53
4. 原来甲乙两个书架上共有图书900本，将甲书架的书增加，乙书架上的书增加，这
810
样书架上的书就一样多。原来甲乙两个书架各有图书多少本？
11
，女生减少，剩下的男、46
5. 一个书有两层书，上层的书占总数的40%；若从上层取48本放入下层，这时下层的书占总数的75%。这个书架共有多少本书？
6. 甲乙两个书架上共有书270本，甲被借去两个书架原来各有多少本书？
43
，乙被借去，两个书架剩下的书正好相等。54
7. 甲乙两人共存款108元。如果甲取出自己存款的相等。求甲乙两人原来各存款多少元？
54
8. 甲书架上的书是乙书架上的，两个书架上各拿出154本，甲书架上的书是乙书架上的。
67
甲乙两个书架上原有书各多少本？
2
，乙取出12元，那么两人所存的钱数5
9. 某校六年级男生人数是女生人数的
2
，后来转进来2名男生，转走3名女生，这时男生人3
3
数是女生的。原来男、女生名多少人？
4
10. 某学校的男教师比女教师多8人，如果女教师减少4人，男教师增加8人，男、女教师人数正好相等。这个学校男、女教师各有多少人？
11. 某工厂第一车间的人数比第二车间人数的则第一车间的人数是第二车间人数的
4
少30人，若从第二车间调10人到第一车间，5
3
，求各车间的人数。（2006年联考试题） 4
第四讲 平均数问题
【思维规律】
1. 平均数问题是指几个不相等的同类数量通过移多补少，使它们完全相等，最后求得这几个数的平均数。
2. 简单的平均数应用题又称算术平均数问题，题中提供的条件使我们比较容易地求出总和与相应的加数个数，我们再根据基本关系式就可直接求出平均数。
3. 较复杂的平均数应用题又称加权平均数问题，求平均数时，先根据题意找出总数量及总数量对应的总份数，然后再求解。
4. 有一些问题有时求部分平均数，有时根据平均数求个别数量，这样的题中往往提供几个部分平均数或全体平均数，然后围绕这些不同的平均数提出问题，数量关系相对复杂。 5. 相关公式：
总数量÷总份数＝平均数 总数量÷平均数＝总份数 平均数×总份数＝总数量 【重点点拨】
·例1· 三个数的平均数是120，加上多少后，则四个数的平均数是150？
·例2· 甲、乙、丙、丁四位同学，在一次考试中四人的平均分数是90分。可是，丙在抄分数时，把甲的成绩错抄成87分，因此算得四人的平均分为88分。求甲在这次考试中得了多少分？
·例3· 有七个排成一排的数，它们的平均数是30，前三个数的平均数是28，后五个数的平均数是33，求第三个数。
·例4· 小强10次测验的平均分是82分，前六次的平均分是83分，后六次的平均分是80分，那么他第5次和第6次测验的平均分是多少分？
·例5· 小叮当参加了五次英语测验，平均分是78分，他想在下次英语测验后使六次的平均分不低于80分，小叮当第六次英语测验至少要得多少分？
·例6· 甲、乙两个数的平均数是94，乙、丙两个数的平均数是88，甲、丙两个数的平均数是86. 甲、乙、丙三个数各是多少？
·例7· 一个旅游团出游，平均每人应付车费40元。后来又增加了8人，这样每人应付车费是35元，租车费是多少元？
·例8· 小红测试每分钟跳绳的次数，前四次跳的分别是180下、180下、175下、185下，第五次比全部跳的平均数还多32下。那么全部五次跳的平均数是多少下？
·例9· 明明爬山，上山的速度是3千米/小时，到达山顶后立即返回，下山速度是5千米/小时，明明上下山的平均速度是多少？
【培优高手】 一、解决问题。
1. 小明参加了四次语文测验，平均成绩是68分，他想通过一次语文测验，将五次的平均成绩提高到最少70。那么，在下次测验中，他至少要得多少分？
2. 把五个数从小到大排列，其平均数是38。已知前三个数的平均数是28，后三个数的平均数是47。问中间一个数是多少？
3. 把四个数排成一排，前两个数的平均数是70，中间两个数的平均数是23，最后两个数的平均数是84。求第一个数与最后一个数的平均数是多少？
4. 在一次登山比赛中，小刚上山每分钟走40米，到达山顶后立即返回，下山以每分钟走60米的速度按原路下山，小刚上、下山的平均速度是多少？
【真题链接】
1. 张军、邓明、刘华三位小朋友储蓄钱数之比是1：3：4，他们储蓄的平均数是320元，邓明储蓄了_________元。（2008年联考试题）
2. 一对糖果分给甲、乙两个班，两个班学生平均分，每人可分6个，如果只分给甲班，每人平均分得10个，假使只分给乙班，每人可分得多少个？（2006年联考试题）
3. 小明统计班里的数学成绩，平均分为85.74分，后来发现一个同学原来的分数是97分，统计时误统计成67分，重新统计后平均分为86.49分，此班共有多少个学生?
4. 某班在一次数学考试中，平均分是78分，男生平均分是75.5分，女生平均分是81分，这个班男、女生人数的比是多少？
5. 在一次数学测试中，六（1）班的平均分是84分，其中男生的平均分是84.6分，女生的平均分是83.6分。已知六（1）班有学生45人。六（1）班有男生多少人？
第五讲 行程问题——相遇专题
【思维规律】
甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A 、B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么
AB 之间的路程＝甲走的路程＋乙走的路程
＝甲的速度×相遇时间＋乙的速度×相遇时间 ＝（甲的速度＋乙的速度）×相遇时间 ＝速度和×相遇时间 【基础回顾】
1. 甲、乙两列火车同时从相距700千米的两地相向而行，甲列车每小时行85千米，乙列车每小时行90千米，几小时两列火车相遇？
2. 两列火车从两个车站同时相向出发，甲车每小时行48千米，乙车每小时行78千米，经过2.5小时两车相遇。两个车站之间的铁路长多少千米？
3. 甲、乙两列火车同时从相距988千米的两地相向而行，经过5.2小时两车相遇。甲列车每小时行93千米，乙列车每小时行多少千米？
【重点点拨】
·例1· 甲乙两辆汽车同时从A 、B 两地相对开出，甲车每小时行42.5千米，乙车每小时行38千米，4小时后，两车还相距35.5千米，求A 、B 两地的距离？
·例2· 一辆公共汽车和辆小轿车同时从相距360千米的两地相向而行，公共汽车每小时行35千米，小轿车每小时行55千米，几小时后两车相距90千米？
·例3· 甲乙两地的公路长195千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时30千米，途中乙车出现故障，修车用了1小时，两车从出发到相遇经过了几小时？
·例4· 兰兰和红红是邻居，一天早晨两人同时上学，兰兰骑自行车每分钟行300米，红红步行，每分钟走60米，兰兰到学校后发现自己的红领巾忘记带了，于是骑自行车沿原路返回，如果从家到学校的的路程长3600米，兰兰返回时和红红相遇时距离学校多远？
·例5· 姐妹俩同时从家里到少年宫，路程全长770米。妹妹步行每分钟行60，姐姐骑自行车以每分钟160米的速度到达少年宫后立即返回，途中与妹妹相遇。这时妹妹走了几分钟？
·例6· 一列快车和一列慢车同时从甲乙两站出发，相向而行，经过6小时相遇。相遇后快车继续行驶了3小时后到达乙站，已知慢车每小时行45千米，甲乙两站相距多少千米？
·例7· 甲乙两车同时从东、西两城相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，两车在距离中点32千米处相遇，求东、西两地间的公路长多少千米？
·例8· 两地相距300千米，两辆汽车同时从两地出发，相向而行。各自到达目的地后又立即返回，经过8小时后它们第二次相遇。已知甲车每小时行45千米，乙车每小时行多少千米？
·例9· 小张、小明两人同时从甲、乙两地出发相向而行，两人在离甲地40米处第一次相遇，相遇后两人仍以原速继续行驶，并且在各自到达对方出发点后立即沿原路返回，途中两人在距乙地15处第二次相遇。甲、乙两地相距多少米？
·例10· 甲乙两人同时从相距1000米的两地相向而行，甲每分钟行120米，乙每分钟行80米。如果有一只狗与甲车同时同向而行，每分钟行500米，遇到乙后，立即回头向甲跑去，遇到甲后又立即回头向乙跑去，这样不断来回，直到两人相遇为止，这时狗共跑了多少米？
·例11· 骑自行车从甲地到乙地，以10千米/时的速度行进，下午1点到；以15千米/时的速度行进，上午11点到。如果希望中午12点到，那么应以怎样的速度行进？
第六讲 行程问题——追及专题
【思维规律】
有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他，这就产生了“追及问题”。实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走路程，也就是要计算两人走的速度之差。如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间（追及时间）内：
追及路程＝甲走的路程－乙走的路程
＝甲的速度×追及时间－乙的速度×追及时间 ＝（甲的速度－乙的速度）×追及时间 ＝速度差×追及时间 “追及问题”的核心的速度差的问题。 【重点点拨】
·例1· 甲乙两船同时从两个码头出发，方向相同，乙般在前，每小时行24千米，甲船在后，每小时行28千米，4小时后甲船追上乙船，求两个码头相距多少千米?
·例2· 小明步行上学，每分钟走75米，小明离家12分后，爸爸发现小明忘带数学课讲义了，爸爸骑自行车去追，每分钟行375米，爸爸出发多少分钟后能追上小明？
小结：在追及问题中，关键是要找出开始追时两人（或两车等）相距多少（距离差）以及单位时间里能追上多少（速度差），有了这两个量，就可以用除法求出追上时所需要的时间。 追及问题的基本关系式：路程差＝速度差×追及时间
速度差＝路程差÷追及时间 追及时间＝路程差÷速度差
·例3· 两辆汽车运送货物，大卡车以每小时36千米的速度从甲地开往乙地，2小时后小卡车以每小时48千米的速度也从甲地开往乙地，当小卡车追上大卡车时离甲地多远？
·例4· 上午8点零8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上水上明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
小结：解答题目条件比较复杂的追及问题时，我们也可以通过画线段图来帮助理解题意，把所求问题转化为已经掌握的或容易解的问题。
·例5· 一条长400米的环形跑道，欣欣在练习骑自行车，他每分钟行560米，彬彬在练习长跑，他每分钟跑240米，两人同时从同地同向出发，经过多少分钟两人可以相遇？再经过多长时间第二次相遇？
小结：解答环形跑道的追及问题，关键是要掌握从同时出发到第一次相遇，快的人比慢的人林多跑一圈。
·例6· 甲乙两人在周长600米的水池边上玩，两人从一点出发，同向而行30分钟后又走到一起，背向而行4分钟相遇，求两人每分钟各行多少米？
第七讲 工程问题
【思维规律】
“工程问题”指的都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延伸到相遇运动和向水池注水等等，解答工程问题时，一般都是把总工作量看作单位“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒数。 工作问题的关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间
或 工作总量÷工作效率和＝合作时间
有关先合作再单独做或者先独做后合作完成工作总量的总量，可以有两种考虑思路。 合作的工作量＋单独做的工作量＝1 或者 甲的工作总量＋乙的工作总量＝1 【重点点拨】
·例1· 加工360个零件，单独完成这批任务，甲需要20天，乙需要30天，两人共同工作，需要多少天才能完成任务？
·例2· 加工一批零件，单独完成这批任务，甲需要20天，乙需要30天，两人共同工作，需要多少天才能完成任务？
·例3· 单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。甲、乙两队合做50天后，剩下的工程给乙队单独做还需多少天完成？
·例4· 单独完成某项工程，甲队需10天，乙队需15天，丙队需20天。开始三个队一直做，因工作需要甲甲队中途撤走了，结果一共用6天完成这一工程。问：甲队实际工作了几天？
·例5· 一项工程，甲、乙两队合作需6天完成，现在乙队先做7天，然后再由甲队做4
13
天，共完成这项工程的，如果把其余的工程交给乙队单独做，那么还要几天才能完成？
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·例6· 有一项工作，甲需要6天完成，乙需要30天完成。现在甲、乙合做这项工作，但是中途甲休息了一天，问完成这项工作用了几天时间？
·例7· 一项工程，甲乙两队合作需12天完成，乙丙两队合作需15天完成，甲丙两队合作需20天完成，如果由甲乙丙三队合作需几天完成？
·例8· 一个水池安装甲、乙两个进水管和丙放水管，单开甲管4小时能把空池注满水，单开乙管5小时能把空池注满水，单开丙管3小时能把满池水放完。现在三管同时打开，几小时能把空池注满？
·例9· 一项工程，甲单独做需要20天，乙单独做需要30天，现在由他们两人合做，又知在工作途中甲先请了3天事假，后因公事出差2天。求他们完成这项工程从开工到结束一共花了多少天？
·例10· 有A 、B 两项工作，王师傅独做A 项工作要9天完成，独做B 项工作要12天完成；李师傅独做A 项工作要3天完成，独做B 项工作要15天完成。如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？
第十讲 倒推法解题
【思维规律】
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的条件一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐。所以，解题时，我们可以从最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步的推算，这种思考问题的方法叫做倒推法。 【重点点拨】
13
·例1· 一本文艺书，小明第一天看了全书的，第二天看了余下的，还剩下48页，这
35
本书共有多少页？
12
·例2· 筑路队修一段路，第一天修了全长的又100米，第二天修了余下的，还剩下
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500米，这段公路全长多少米？
11
·例3· 有甲、乙两桶油，从甲桶中倒出给乙桶后，又从乙桶中倒出给甲桶，这时两桶
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油各有24千克，原来甲、乙两个桶中各有多少千克油？
第十一讲 平面图形的面积
【思维规律】
在小学里，我们学过了正方形、长方形、梯形、平行四边形、三角形、圆形以及扇形的面积计算，实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合，拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算。一般我们称这样的图形为不规则图形。
本专题介绍一些较复杂、不规则图形的面积的求法，主要通过将复杂图形分解成熟悉的基本，或将不规则图形进行划归为基本图形，或者用等积变换等方法进行转化。
【重点点拨】
·例1· 甲和乙都是正方形。甲的边长为4厘米，乙的边长为6厘米，求阴影部分的面积。
思考：如果只知道甲的边长为4厘米，是否还可以求出阴影部分的面积？
·例2· 如右图，正方形ABCD 的边长为6厘米，△ABE 、△ADF 与四边形AECF 的面积彼此相等，求△AEF 的面积。
·例3· 如右图，A 为△CDE 的DE 边上的中点，3BC ＝CD ，若△ABC （阴影部分）面积为5平方厘米，求△ABD 及△ACE 的面积。
·例4· 如下图，已知ABCD 是平行黑眼圈这形，AC 是对角线，AC ＝3CG ，AE ＝EF ＝FB ，△EFG 的面积是6平方厘米，求平行四边形ABCD 的面积。
·例5· 如图，△ABC 的面积是1平方厘米，DC ＝2BD ，AE ＝3ED ，则△ACE 的面积是______平方厘米。
·例6· 如图，长方形ABCCD 中，△ABP 的面积为20平方厘米，△CDQ 的面积为35平方厘米，则阴影四边形的面积等于________厘米。
·例7· 如图，长方形被其内的一些直线划分了若干块，已知边上有3块面积分别是13、35、49. 那么图中阴影部分的面积是多少？
·例8· 有四条线段的长度已知知道，还有两个角是直角，那么四边形（阴影部分）的面积是多少？
·例9· 在各图中，ABCD 是长方形，三长线段贩长度如图所示，M 是线段DE 的中点，求边开边ABMD （阴影部分）的面积。
【培优高手】
1. 求阴影部分的面积。
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
2. 图中ABCD 是梯形，AECD 是平行四边形，则阴影部分的面积是_________平方厘米。（单位：厘米）
3. 图中的每个小正形的面积都是2平方厘米，则图中阴影部分的面积是______平方厘米。
4. 长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为这AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积。
5. 在△ABC 中，D 、E 和F 分别为AC 、AB 、AD 的中点。△DEF 的面积是4平方厘米。BC ＝5厘米，求△ABC 以BC 为底时，它的高是多少厘米？
6. 在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BC 的三等分点，且S 四边形ABCD ＝54平方厘米，求S
△BEF
。
7. 如图，BD 、DE 、EC 的长分别是2、4、2，F 是线段AE 的中点，三角形ABC 的高为4，求三角形DFE 的面积。
8. 两个相同的直角三角开如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积？
9. 在图中，平行四边形ABCD 的边BC 长10厘米，直角三角形ECB 的直角边EC 长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米，求平行四男家形ABCD 的面积。
10. 在右图中，AB ＝8厘米，CD ＝4厘米，BC ＝6厘米，三角形AFB 比三角形EFD 的面积大18平方厘米。求ED 的长。
11. 长方形ABCD 的长为8厘米，宽为6厘米，E 、F 分别为所在边的中点，求阴影部分的面积。
12. 右图所示的等腰直角三角形中，剪去一个三角形后，剩下的部分是一个直角梯形（阴影部分）。已知梯形的面积为36平方厘米，上底为3厘米，求下底和高分别是多少厘米？
13. 已知BD 长是２厘米，DC 长是３厘米，E 是AD 的中点，如果三角形ABD 的面积是5平方厘米，那么三角形DEC 的面积是多少？
14. 下图中，有四条线段的长度已知，还有两个角是直角，那么四边形ABCD （阴影部分）的面积是多少？
15. 右图中三角形ABC ，D 是AC 的中点，E 是AB 的三等分点，三角形ABC 的面积是三角形AED 的几倍？
16. 将右图中的三角形ABC 各条边都延长一倍至A 1、B 1、C 1，得到一个新的三角形A 1 B1 C1，若三角形ABC 的面积是1，求三角形A 1 B1 C1的面积。
17. 如右图，正方形ABCD 的边长为5厘米，△CEF 的面积比△ADF 的面积大5平方厘米。求CE 的长。
18. 如右图，直角梯形ABCD 的上底BC ＝10厘米，下底AD ＝14厘米，高CD ＝5厘米，又三角形ABF 、三角形BCE 和四边形BEDF 的面积相等。求三角形DEF 的面积。
19. 如右图，四个一样大的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形，其中大、小正方形的面积分别是64平方米和9平方米。求长方形的长、宽各是多少？
20. 两个等腰直角三角形ABC 和DEF 的直角边分别为8㎝和6㎝，求阴影部分的面积。
21. 如下图是一块正方形耕地，它是由四块小长方形组成的，其中三块地的面积分别是15、18、30亩。求第四块耕地的面积是多少亩？
第十二讲 盈亏问题
【思维规律】
两次分配的结果差÷两次分配数差＝人数
或，由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品总数不变，因此，可根据
第一种分法的人数＝第二种分法的人数
第一种分法物品总数＝第二种分法物品总数，列出方程来解。 【重点点拨】
·例1· 一批树苗，如果每人种树苗，则缺少3棵；如果每人种7棵，则有4棵没人种。求参加种树的人数是多少人？这批树苗共有多少棵？
·例2· 幼儿园教师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分6个，则少10个；每人分4个，还多2个。有多少个小朋友？有多少个苹果？
·例3· 学校安排新生住宿，若每间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，则多出4间宿舍，求住宿的学生和宿舍各有多少？
·例4· 学生分练习本，其中两个人每人分6本，其余每人分4本，则多2本；如果有一个学生分8本，其余每人分6本，则不足18本。学生有多少人？练习本有多少本？
·例5· 一工人加工一批机器零件，限期完成。他计划每小时做10个，还差3个零件完成任务 每小时做11个，恰好限期内完成了任务。他加工的零件是多少个？限几小时完成？
·例6· 小红家买来一篮橘子分给全家人，如果每人3只则多了5只，如果其中二人每人分2只，蓝丰生化每人分4只则多1只，小红家买来多少只橘子？小红家共有多少人？
·例7· 在一次大扫除中，教师分配若干人擦玻璃，如果其中二人各擦4块，其余每人擦5块，则余22块；如果每人擦7块，正好擦完。求擦玻璃的人数和玻璃的块数。