高中数学不等式综合测试题
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分)
1．(文) 设b
A ．a -c >b -d B ．ac >bd C ．a +c >b +d D ．a +d >b +c
(理) 已知a
A ．a >ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >ab 2>a D ．ab >a >ab 2
2．“a >b >0”是“ab
2”的( )
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．(文) 关于x 的不等式ax >b (a
A ．R B ．φ C ．(b
a , +∞) D ．(-∞, b
a )
(理) 不等式ax >b 的解集不可能．．．是( )
A ．φ B ．R C ．(b
a , +∞) D ．(-∞, -b
a )
4．不等式ax 2+bx +2>0的解集是(-1
2, 1
3) ，则a -b 的值等于( )
A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10
5．(文) 不等式|x -1|
A ．{x |0≤x
C ．{x |-13}
(理) 不等式x |x |
A ．{x |0
C ．{x |01}
6．(文) 若b
A ．11
a
a +a
b >2 D ．|a |+|b |>|a +b |
(理) 若1
a
b
A ．a 2
a +b >2 D ．|a |+|b |>|a +b |
7．若f (x ) =3x 2-x +1，g (x ) =2x 2+x -1，则f (x ) 与g (x ) 的大小关系为( )
A ．f (x ) >g (x ) B ．f (x ) =g (x ) C ．f (x )
8．下列各式中最小值是2的是( )
A ．x y ＋y
x B ．x 2+5
x 2+4 C ．tan x ＋cot x D ．2x +2-x
9．下列各组不等式中，同解的一组是( )
A ．x 2>0与x >0 B ．(x -1)(x +2)
x -1
C ．log x +2) >0与3x +2
1(3≤1与-2≤1
2x -1x -1
10．(文) 如果|x +1|+|x +9|>a 对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( )
A ．{a |a 8} C ．{a |a ≥8} D ．{a |a ≤8}
(理) 函数y =loga (x +3)-1(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点A ，若点A 在函数y =-mx 1-的图像上，其中mn >0,则n n
12+的最小值为( ) m n
A ．8 B ．6 C ．4 D ．2
11．(文) 已知f (x ) 是奇函数，且在(－∞，０) 上是增函数，f (2)=0，则不等式xf (x )
A ．{x |-22}
C ．{x |x 2} B ．{x |x
2(理) 已知f (x ) 是奇函数，且在(－∞，０) 上是增函数，f (2)=0，则不等式(x -1) f (x )
是( )
A ．{x |-1
C ．{x |-2
a ) ≥25对任意正实数x , y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) y
25625A ． B ．16 C ． D ．18 164
(理) 已知不等式(x +ay )(x +y ) ≥25xy 对任意正实数x , y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
25625A ． B ．16 C ． D ．18 16412．(文) 已知不等式(x +y )(+
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．(文) 若a , b ∈R ，则+1x 111的大小关系是____________． +与a b a +b
(理) 不等式|2x -1|-x
1-2x 的定义域是_____________． x +1
15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_____________吨．
⎧x ，x ≥016．已知f (x ) =⎨，则不等式f (x +2) ≤3的解集____________． -1, x
三、解答题(共74分)
17． 解不等式log 1
18．解关于x 的不等式
x ⎛⎫⎪≤-1 2x -8x +15⎭2⎝-x +a >-2． x -2
20．(本小题满分12分)(文) 对任意x ∈[-1,1]，函数f (x ) =x +(a -4) x +20-2a 的值恒大于零，求a 的取值范围．
19. 如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m 的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个
喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？
222．(本小题满分14分) 已知函数f (x ) =x +ax +b ．
(1)若a =0，且对任意实数x ，都有f (x ) ≥2x +a ，求b 的取值范围；
(2)当x ∈[-1, 1]时，f (x ) 的最大值为M ，求证：M ≥b +1； 2
a 21-1≤b ≤-a . (3)若a ∈(0, ) ，求证：对于任意的x ∈[-1, 1]，|f (x ) |≤1的充要条件是42
参考答案
一、 选择题
1、（文）C （理）C 2、A 3、（文）D （理）D 4、C 5、（文）C （理）C 6、（文）D （理）D 7、A 8、
D 9、B10、（文）A （理）A11、（文）D （理）D 12、（文）B （理）B
二、 填空题
111 14、{x +>a b a +b
115、(-1, ) 16、20 2
17(-∞, 3] 13、
三、 解答题
18、解：原不等式等价于：|0
x -2x 2+17x -302x 2-17x +30-2≥0⇔≥0⇔2≤0 22x -8x +15x -8x +15x -8x +15
(x -6)(2x -5) 5⇔≤0⇔≤x
5∴原不等式的解集为[, 3) (5, 6] 2
x -(4-a ) 19、解：变形得：>0 x -2
当(4-a )>2，即a 4-a
当(4-a )2时，x 2
当(4-a )=2，即a =2时，x ≠2
综上所述：当a 4-a }
当a ≥2时，原不等式的解集为{x |x 2}
2520、a ≤ 3
21、解：设花坛的长、宽分别为xm ，ym ，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界．依题意得：() +() =25，(x >0, y >0) x
42y
22
x 2
+y 2=100的条件下，求S =xy 的最大值． 问题转化为在x >0, y >0，4
x x 22法一： S =xy =2⋅⋅y ≤() +y =100， 22
x 2x +y 2=100及x >0, y >0得：x =102, y =52 由=y 和42∴S m ax =100
x 2
+y 2=100， 法二：∵x >0, y >0，4
x 2x 212∴S =xy =x 100-=x ⋅(100-) =-(x 2-200) 2+10000 444
2∴当x =200，即x =102，S max =100 x 2
+y 2=100可解得：y =52． 由4
答：花坛的长为102m ，宽为52m ，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求．
21、解(1):由题得x 2+2x +b ≥0恒成立⇔∆=4-4b ≤0⇔b ≥1
对任意的x ∈R ，x 2+(a -2) x +(b -a ) ≥0⇔∆=(a -2) 2-4(b -a ) ≤0
⇔b ≥1+a 2
4⇔b ≥1( a ∈R ) ∴b ∈[1, +∞) ．
(2)证明：∵f (1) =1+a +b ≤M , f (-1) =1-a +b ≤M ,
∴2M ≥2b +2，即M ≥b +1．
(3)证明：由0
2得，-1a
4
∴f (x ) 在[-1, -a a
2]上是减函数，在[-2, 1]上是增函数．
∴当|x |≤1时，f (x ) 在x =-a a 2
2时取得最小值b -4，在x =1时取得最大值1+a +b ．
, 1]⎧1+a +b ≤1故对任意的x ∈[-1，|f (x ) |≤1⇔⎪⎨a 2⇔a 2
-1
⎪⎩b -≤b ≤-a .
4≥-14
高中数学不等式综合测试题
一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分)
1．(文) 设b
A ．a -c >b -d B ．ac >bd C ．a +c >b +d D ．a +d >b +c
(理) 已知a
A ．a >ab >ab 2 B ．ab 2>ab >a C ．ab >ab 2>a D ．ab >a >ab 2
2．“a >b >0”是“ab
2”的( )
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
3．(文) 关于x 的不等式ax >b (a
A ．R B ．φ C ．(b
a , +∞) D ．(-∞, b
a )
(理) 不等式ax >b 的解集不可能．．．是( )
A ．φ B ．R C ．(b
a , +∞) D ．(-∞, -b
a )
4．不等式ax 2+bx +2>0的解集是(-1
2, 1
3) ，则a -b 的值等于( )
A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10
5．(文) 不等式|x -1|
A ．{x |0≤x
C ．{x |-13}
(理) 不等式x |x |
A ．{x |0
C ．{x |01}
6．(文) 若b
A ．11
a
a +a
b >2 D ．|a |+|b |>|a +b |
(理) 若1
a
b
A ．a 2
a +b >2 D ．|a |+|b |>|a +b |
7．若f (x ) =3x 2-x +1，g (x ) =2x 2+x -1，则f (x ) 与g (x ) 的大小关系为( )
A ．f (x ) >g (x ) B ．f (x ) =g (x ) C ．f (x )
8．下列各式中最小值是2的是( )
A ．x y ＋y
x B ．x 2+5
x 2+4 C ．tan x ＋cot x D ．2x +2-x
9．下列各组不等式中，同解的一组是( )
A ．x 2>0与x >0 B ．(x -1)(x +2)
x -1
C ．log x +2) >0与3x +2
1(3≤1与-2≤1
2x -1x -1
10．(文) 如果|x +1|+|x +9|>a 对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( )
A ．{a |a 8} C ．{a |a ≥8} D ．{a |a ≤8}
(理) 函数y =loga (x +3)-1(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点A ，若点A 在函数y =-mx 1-的图像上，其中mn >0,则n n
12+的最小值为( ) m n
A ．8 B ．6 C ．4 D ．2
11．(文) 已知f (x ) 是奇函数，且在(－∞，０) 上是增函数，f (2)=0，则不等式xf (x )
A ．{x |-22}
C ．{x |x 2} B ．{x |x
2(理) 已知f (x ) 是奇函数，且在(－∞，０) 上是增函数，f (2)=0，则不等式(x -1) f (x )
是( )
A ．{x |-1
C ．{x |-2
a ) ≥25对任意正实数x , y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) y
25625A ． B ．16 C ． D ．18 164
(理) 已知不等式(x +ay )(x +y ) ≥25xy 对任意正实数x , y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )
25625A ． B ．16 C ． D ．18 16412．(文) 已知不等式(x +y )(+
二、填空题(每小题4分，共16分)
13．(文) 若a , b ∈R ，则+1x 111的大小关系是____________． +与a b a +b
(理) 不等式|2x -1|-x
1-2x 的定义域是_____________． x +1
15．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_____________吨．
⎧x ，x ≥016．已知f (x ) =⎨，则不等式f (x +2) ≤3的解集____________． -1, x
三、解答题(共74分)
17． 解不等式log 1
18．解关于x 的不等式
x ⎛⎫⎪≤-1 2x -8x +15⎭2⎝-x +a >-2． x -2
20．(本小题满分12分)(文) 对任意x ∈[-1,1]，函数f (x ) =x +(a -4) x +20-2a 的值恒大于零，求a 的取值范围．
19. 如图所示，校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器．已知喷水器的喷水区域是半径为5m 的圆．问如何设计花坛的尺寸和两个
喷水器的位置，才能使花坛的面积最大且能全部喷到水？
222．(本小题满分14分) 已知函数f (x ) =x +ax +b ．
(1)若a =0，且对任意实数x ，都有f (x ) ≥2x +a ，求b 的取值范围；
(2)当x ∈[-1, 1]时，f (x ) 的最大值为M ，求证：M ≥b +1； 2
a 21-1≤b ≤-a . (3)若a ∈(0, ) ，求证：对于任意的x ∈[-1, 1]，|f (x ) |≤1的充要条件是42
参考答案
一、 选择题
1、（文）C （理）C 2、A 3、（文）D （理）D 4、C 5、（文）C （理）C 6、（文）D （理）D 7、A 8、
D 9、B10、（文）A （理）A11、（文）D （理）D 12、（文）B （理）B
二、 填空题
111 14、{x +>a b a +b
115、(-1, ) 16、20 2
17(-∞, 3] 13、
三、 解答题
18、解：原不等式等价于：|0
x -2x 2+17x -302x 2-17x +30-2≥0⇔≥0⇔2≤0 22x -8x +15x -8x +15x -8x +15
(x -6)(2x -5) 5⇔≤0⇔≤x
5∴原不等式的解集为[, 3) (5, 6] 2
x -(4-a ) 19、解：变形得：>0 x -2
当(4-a )>2，即a 4-a
当(4-a )2时，x 2
当(4-a )=2，即a =2时，x ≠2
综上所述：当a 4-a }
当a ≥2时，原不等式的解集为{x |x 2}
2520、a ≤ 3
21、解：设花坛的长、宽分别为xm ，ym ，根据要求，矩形花坛应在喷水区域内，顶点应恰好位于喷水区域的边界．依题意得：() +() =25，(x >0, y >0) x
42y
22
x 2
+y 2=100的条件下，求S =xy 的最大值． 问题转化为在x >0, y >0，4
x x 22法一： S =xy =2⋅⋅y ≤() +y =100， 22
x 2x +y 2=100及x >0, y >0得：x =102, y =52 由=y 和42∴S m ax =100
x 2
+y 2=100， 法二：∵x >0, y >0，4
x 2x 212∴S =xy =x 100-=x ⋅(100-) =-(x 2-200) 2+10000 444
2∴当x =200，即x =102，S max =100 x 2
+y 2=100可解得：y =52． 由4
答：花坛的长为102m ，宽为52m ，两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心，则符合要求．
21、解(1):由题得x 2+2x +b ≥0恒成立⇔∆=4-4b ≤0⇔b ≥1
对任意的x ∈R ，x 2+(a -2) x +(b -a ) ≥0⇔∆=(a -2) 2-4(b -a ) ≤0
⇔b ≥1+a 2
4⇔b ≥1( a ∈R ) ∴b ∈[1, +∞) ．
(2)证明：∵f (1) =1+a +b ≤M , f (-1) =1-a +b ≤M ,
∴2M ≥2b +2，即M ≥b +1．
(3)证明：由0
2得，-1a
4
∴f (x ) 在[-1, -a a
2]上是减函数，在[-2, 1]上是增函数．
∴当|x |≤1时，f (x ) 在x =-a a 2
2时取得最小值b -4，在x =1时取得最大值1+a +b ．
, 1]⎧1+a +b ≤1故对任意的x ∈[-1，|f (x ) |≤1⇔⎪⎨a 2⇔a 2
-1
⎪⎩b -≤b ≤-a .
4≥-14