函数的单调性试题(含答案)

一、选择题

1．下列函数中，在区间(－∞，0) 上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x x

C ．y －x D ．y ＝x －1[答案] D

[解析] y ＝1－x 2在(－∞，0) 上为增函数，y ＝x 2＋x 在(－∞，0) 上不单调，y x 在(－∞，0) 上为增函数，故选D.

⎛1⎫

2．已知f (x ) 是R 上的减函数，则满足f ⎪>f (1)的x 的取值范围是

⎝x ⎭

( )

A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，0) ∪(0,1) D ．(－∞，0) ∪(1，＋∞) [答案] D

[解析] ∵f (x ) 在R 上单调递减且f (f (1)，

x 1

∴，∴x 1. x

3．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝3－x B ．y ＝x 2＋1 1

C ．y

x [答案] B

[解析] y ＝3－x ，y ＝y ＝－|x |在(0,2)上都是减函数，y ＝x 2＋1

x 在(0,2)上是增函数．

D ．y ＝－|x |

4．若y ＝f (x ) 是R 上的减函数，对于x 1＜0，x 2＞0，则( ) A ．f (－x 1) ＞f (－x 2) B ．f (－x 1) ＜f (－x 2) C ．f (－x 1) ＝f (－x 2) D ．无法确定 [答案] B

[解析] 由于x 1＜0，x 2＞0，所以x 1＜x 2，则－x 1＞－x 2，因为y ＝f (x ) 是R 上的减函数，所以f (－x 1) ＜f (－x 2) ，故选B.

5．函数f (x ) ＝－x ＋6x ＋7的单调增区间为( ) A ．(－∞，3] B ．[3，＋∞) C ．[－1,3] [答案] C

[解析] 方程－x 2＋6x ＋7＝0的两根为x 1＝－1，x 2＝7，又y ＝－x 2＋6x ＋7对称轴为x ＝3，如图知选

D ．[3,7]

16．函数y ＝1( )

x －1A ．在(－1，＋∞) 内单调递增 B ．在(－1，＋∞) 内单调递减 C ．在(1，＋∞) 内单调递增 D ．在(1，＋∞) 内单调递减 [答案] C

[解析] 因为函数y ＝1－y ＝－x x －1

移一个单位，再向上平移一个单位得到的，所以y ＝1－(－∞，

x －11) 和(1，＋∞) 内都是增函数，故选C.

7．已知函数y ＝f (x ) 的定义域是数集A ，若对于任意a ，b ∈A ，当a

A ．有且只有一个 B ．一个都没有 C ．至多有一个

D ．可能会有两个或两个以上 [答案] C

[解析] 由条件知f (x ) 在A 上单调增，故f (x ) 的图象与x 轴至多有一个交点，故选C.

8．如果函数f (x ) ＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t ，都有f (2＋t ) ＝f (2－t ) ，则( )

A ．f (2)

[解析] 由条件知，二次函数f (x ) ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝2，其图象开口向上，

∵2－1f (1)>f (2)．

[点评] 当二次函数的图象开口向上时，与对称轴距离越远，对应的函数值越大；开口向下时恰好相反．

⎧⎪x －4x ＋6，x ≥0，

9．(09·天津文) 设函数f (x ) ＝⎨则不等式f (x )

⎪x ＋6，x ＜0，⎩

＞f (1)的解集是( )

A ．(－3,1) ∪(3，＋∞) B ．(－3,1) ∪(2，＋∞) C ．(－1,1) ∪(3，＋∞) D ．(－∞，－3) ∪(1,3) [答案] A

[解析] ∵f (1)＝3，∴当x ≥0时，由f (x ) ＞f (1) 得x 2－4x ＋6>3，

∴x ＞3或x ＜1. 又x ≥0，∴x ∈[0,1)∪(3，＋∞) ．当x ＜0时，由f (x ) ＞f (1)得x ＋6＞3∴x ＞－3， ∴x ∈(－3,0) ．

综上可得x ∈(－3,1) ∪(3，＋∞) ，故选A.

10．设(c ，d ) 、(a ，b ) 都是函数y ＝f (x ) 的单调减区间，且x 1∈(a ，b ) ，x 2∈(c ，d ) ，x 1

A ．f (x 1)f (x 2) C ．f (x 1) ＝f (x 2) [答案] D

[解析] 函数f (x ) 在区间D 和E 上都是减函数(或都是增函数) ，但在D ∪E 上不一定单调减(或增) ．

如图，f (x ) 在[－1,0) 和[0,1]上都是增函数，但在区间[－1,1]上不单调．

D ．不能确定

二、填空题

11．考察单调性，填增或减

函数y －x 在其定义域上为________函数；函数y 1

在其定义域上为________函数． [答案] 减减

⎧⎪(x －1) x ≥0

12．若f (x ) ＝⎨，则f (x ) 的单调增区间是________，

⎪x ＋1 x ＜0⎩

单调减区间是________．

[答案] 增区间为(－∞，0]、[1，＋∞) ，减区间[0,1]

⎧(x －1) (x ≥0) ⎪

[解析] 画出f (x ) ＝⎨的图象如图，可知f (x ) 在

⎪⎩x ＋1 (x

(－∞，0]和[1，＋

∞) 上都是增函数，在[0,1]上是减函数.

13．已知函数f (x ) ＝4x 2－mx ＋1，在(－∞，－2) 上递减，在[－2，＋∞) 上递增，则f (1)＝________.

[答案] 21

－m

[解析] 2，解得m ＝－16

2×4∴f (x ) ＝4x 2＋16x ＋1，则f (1)＝21. 三、解答题

14．设f (x ) 在定义域内是减函数，且f (x ) ＞0，在其定义域内判断下列函数的单调性

(1)y ＝f (x ) ＋a (2)y ＝a －f (x ) (3)y ＝[f (x )]2.

[解析] (1)y ＝f (x ) ＋a 是减函数，(2)y ＝a －f (x ) 是增函数．证明从略．

(3)设x 2＞x 1，f 2(x 2) －f 2(x 1) ＝[f (x 2) ＋f (x 1)][f (x 2) －f (x 1)]＜0，∴y ＝f

(x ) 是减函数．

15．画出函数y ＝|x 2－x －6|的图象，指出其单调区间．

[解析] 函数解析式变形为

2⎧⎪－x ＋x ＋6(－2≤x ≤3) y ＝⎨2 ⎪⎩x －x －6(x ＜－2或x ＞3)

画出该函数图象如图，由图知函数的增区间为[－2，和[3，＋

∞) ；减区间为(－∞，－2) 和[3]．

16．讨论函数y －x 在[－1,1]上的单调性．

[解析] 设x 1、x 2∈[－1,1]且x 1

f (x 2) ＝－x －x 12

(x 2－x 1)(x 2＋x 1) 1－x 1＋

－x 2

当1>x 1≥0,1≥x 2>0，x 1f (x 2) ， ∴f (x ) 在[0,1]上为减函数，

当－1≤x 1

a 2

17．求证：函数f (x ) ＝x ＋a ＞0) ，在区间(0，a ]上是减函数．

x a 2a 2

[解析] 设0＜x 1＜x 2≤a ，f (x 2) －f (x 1) ＝(x 2－(x 1＋＝(x －x a 2(x 1－x 2) (x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)

21) ＋x 1x 2x 1x 2.

∵0＜x 1＜x 2≤a ，∴0＜x 1x 2＜a 2， (x 2－x 1)(x 1x 2－a 2)

x ＜0，∴f (x 1x 22) ＜f (x 1) ，

f (x ) ＝x ＋a 2

∴x

a >0)在(0，a ]上是减函数．

18．已知f (x ) 在R 上是增函数，且f (2)＝0，求使的x 的取值范围．

[解析] 不等式f (|x －2|)>0化为 f (|x －2|)>f (2)，∵f (x ) 在R 上是增函数， ∴|x －2|>2，∴x >4或x

x 2x 1f (|x －2|)>0成立