第一章 三角形的证明
一、选择题(每题3分,共30分)
1、△ABC中，AB = AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC = 75°，则∠A的度数为（ ） A 35° B 40° C 70° D 110° 2、适合条件∠A =∠B =
1
∠C的三角形一定是（ ） 3
A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形
3、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ） A ①②④ B ②④ C ①④ D ②③④
4、已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为 ( ) A 24 cm和12 cm B 16 cm和22 cm C 20 cm和16 cm D 22 cm和16 cm
5、如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则 ( )
A l垂直AB B l平分AB C l垂直平分AB D 不能确定 6、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是 ( ) A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 等腰三角形 7、已知等腰三角形的两边长分别为6㎝、3㎝，则该等腰三角形的周长是( ) A 9㎝
B 12㎝ C 12㎝或者15㎝
D 15㎝
8、如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上一点， ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ＝ＢＤ，那么∠ＥＤＦ等于（ ） Ａ 90°－∠Ａ Ｂ 90°－Ｃ 45°－
1
∠Ａ 2
1
∠Ａ Ｄ 180°－∠Ａ 2
9、一个正方形和一个等腰三角形有相等的周长，已知等腰三角形有两边长分别为5.6 cm和13.2 cm，则这个正方形的面积为（ ） Ａ 64 cm Ｂ 48 cm Ｃ 36 cm Ｄ 24 cm
10、如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，
２
２
２
２
则∠APE的度数是（ ）
A 45° B 55° C 60° D 75° 二、填空题（每小题3分，共30分）
1、“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平”的方逆定理是 2、等腰三角形的腰长为2cm，面积等于1cm，则它的顶角的度数为 .
3、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于D点，则∠BCD的度数是 .
4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是 . 5、正三角形的边长为a，则它的面积为 ．
6、在△ABC中，AB=AC，∠A＝58°，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC = .
7、在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为 ．
8、已知：如图，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ． 9、在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC上一点，作DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF= ．
10、如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A与B重合， ∠B=30°，AC=3，则折痕DE等于 ． 三、解答题(本题共8个小题，共60分)
1、（7分）已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C(点A、B都在直线l的同侧)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB.
2
2、（7分）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
3、（8分）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于G．
求证：①G是CE的中点．
②∠B=2∠BCE．
A
E
G
C
D
B
4、（7分）在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，且AE＝求∠ABC＋∠ADC的度数．
A
1
（AB＋AD），2
D
C
EA
B
5、（7分）如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，交∠BAC的平分线AD于D，过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，试证明：BM＝CN．
D
B
M
E
CN
6、（7分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF//AC交CE的延长线于点F． 求证：AC=2BF．
F
B
7、（7分）在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE． 求证：DM＝EM．
B
E
C
D
A
8、（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．
(1)当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；
(2)在(1)的条件下，若DE＝1，求△ABC的面积．
参考答案 一、选择题
1、B 2、B 3、A 4、D 5、D 6、B 7、D 8、B 9、A 10、C 二、填空题
1、如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 2、30°或150° 3、10° 4
2 5
6、3° 7、 6 8、55° 9、
24
10、1 5
三、解答题(本题共8个小题，共60分) 1、略 2、略
3、提示：连结DE，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半易证．
4、提示：过C点作AD的延长线的垂线，垂足为F．利用角平分线的性质和AE=可知BE=DF，CF=CE，再由△CDF≌CBE即得．
5、提示：连结BD、CD利用角平分线和中垂线的性质证△BDM≌CDN． 6、提示：证△ACD≌CBF．
7、提示：过D点作AC的平行线（或者过E点作AB的平行线）利用三角形全等可证． 8、（1）∠A = 30°；证明略 （2）△ABC
的面积为
1
（AB+AD）2
2
第一章 三角形的证明
一、选择题(每题3分,共30分)
1、△ABC中，AB = AC，BD平分∠ABC交AC边于点D，∠BDC = 75°，则∠A的度数为（ ） A 35° B 40° C 70° D 110° 2、适合条件∠A =∠B =
1
∠C的三角形一定是（ ） 3
A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 任意三角形
3、用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；②矩形；③正方形；④等腰三角形，一定可以拼成的图形是（ ） A ①②④ B ②④ C ①④ D ②③④
4、已知△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周长分别是60 cm和38 cm，则△ABC的腰和底边长分别为 ( ) A 24 cm和12 cm B 16 cm和22 cm C 20 cm和16 cm D 22 cm和16 cm
5、如图，△ABC中，AC＝BC，直线l经过点C，则 ( )
A l垂直AB B l平分AB C l垂直平分AB D 不能确定 6、三角形中，若一个角等于其他两个角的差，则这个三角形是 ( ) A 钝角三角形 B 直角三角形 C 锐角三角形 D 等腰三角形 7、已知等腰三角形的两边长分别为6㎝、3㎝，则该等腰三角形的周长是( ) A 9㎝
B 12㎝ C 12㎝或者15㎝
D 15㎝
8、如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ为ＢＣ上一点， ＢＥ＝ＣＤ，ＣＦ＝ＢＤ，那么∠ＥＤＦ等于（ ） Ａ 90°－∠Ａ Ｂ 90°－Ｃ 45°－
1
∠Ａ 2
1
∠Ａ Ｄ 180°－∠Ａ 2
9、一个正方形和一个等腰三角形有相等的周长，已知等腰三角形有两边长分别为5.6 cm和13.2 cm，则这个正方形的面积为（ ） Ａ 64 cm Ｂ 48 cm Ｃ 36 cm Ｄ 24 cm
10、如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，
２
２
２
２
则∠APE的度数是（ ）
A 45° B 55° C 60° D 75° 二、填空题（每小题3分，共30分）
1、“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平”的方逆定理是 2、等腰三角形的腰长为2cm，面积等于1cm，则它的顶角的度数为 .
3、如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=40°，AC的垂直平分线MN与AB相交于D点，则∠BCD的度数是 .
4、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是 . 5、正三角形的边长为a，则它的面积为 ．
6、在△ABC中，AB=AC，∠A＝58°，AB的垂直平分线交AC于N，则∠NBC = .
7、在直角三角形中，如果一个锐角为30°，而斜边与较小直角边的和为12，那么斜边长为 ．
8、已知：如图，AB＝AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD＝145°，则∠EDF＝ ． 9、在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，D是BC上一点，作DE⊥AB，DF⊥AC，则DE+DF= ．
10、如图，一张直角三角形的纸片，象图中那样折叠，使A与B重合， ∠B=30°，AC=3，则折痕DE等于 ． 三、解答题(本题共8个小题，共60分)
1、（7分）已知：如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，直线l经过点C(点A、B都在直线l的同侧)，AD⊥l，BE⊥l，垂足分别为D、E．求证：△ADC≌△CEB.
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2、（7分）用反证法证明一个三角形中不能有两个角是直角．
3、（8分）如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC=BE，DG⊥CE于G．
求证：①G是CE的中点．
②∠B=2∠BCE．
A
E
G
C
D
B
4、（7分）在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，且AE＝求∠ABC＋∠ADC的度数．
A
1
（AB＋AD），2
D
C
EA
B
5、（7分）如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，交∠BAC的平分线AD于D，过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，试证明：BM＝CN．
D
B
M
E
CN
6、（7分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是BC的中点，CE⊥AD，垂足为点E，BF//AC交CE的延长线于点F． 求证：AC=2BF．
F
B
7、（7分）在△ABC中，AB＝AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，且BD＝CE． 求证：DM＝EM．
B
E
C
D
A
8、（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，沿过B点的一条直线BE折叠这个三角形，使C点与AB边上的一点D重合．
(1)当∠A满足什么条件时，点D恰为AB的中点?写出一个你认为适当的条件，并利用此条件证明D为AB的中点；
(2)在(1)的条件下，若DE＝1，求△ABC的面积．
参考答案 一、选择题
1、B 2、B 3、A 4、D 5、D 6、B 7、D 8、B 9、A 10、C 二、填空题
1、如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形 2、30°或150° 3、10° 4
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6、3° 7、 6 8、55° 9、
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10、1 5
三、解答题(本题共8个小题，共60分) 1、略 2、略
3、提示：连结DE，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半易证．
4、提示：过C点作AD的延长线的垂线，垂足为F．利用角平分线的性质和AE=可知BE=DF，CF=CE，再由△CDF≌CBE即得．
5、提示：连结BD、CD利用角平分线和中垂线的性质证△BDM≌CDN． 6、提示：证△ACD≌CBF．
7、提示：过D点作AC的平行线（或者过E点作AB的平行线）利用三角形全等可证． 8、（1）∠A = 30°；证明略 （2）△ABC
的面积为
1
（AB+AD）2
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