用待定系数法求二次函数解析式
【复习检测】
1、说出下列函数图像的开口方向、对称轴以及顶点坐标；并指出当x 为何值时，
y 有最值，最值为多少？当x 为何值时，y 随着x 的增大而减小?
51(1)y =-x 2 (2)y =πx 2 (3)y =-+3x 2 (4)y =2(x +1) 2 (5)y =-5(3x -2) 2+7 62
12、将抛物线y =x 2的顶点坐标是 ，将其向左平移3个单位，再向下平3
1移单位得到抛物线的解析式为 ，这时顶点坐标2
为 .
3、写出二次函数y =x 2+2x +3图像的开口方向、对称轴以及顶点坐标.
b 24ac -b 2
4、归纳:将二次函数y =ax +bx +c 化为顶点式为y =a (x +) +. 2a 4a 2
(1)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条其顶点坐标是（ ），
关于直线 对称.
(2)开口方向及最值： 当a ﹥0时，抛物线开口向 ，有最 点，当x = 时，y 最小= ；
当a ﹤0时，抛物线开口向 ，有最 点，当x = 时，y 最大= .
(3)增减性：
当 a ﹥0时，在对称轴的左侧即x 时,y 随着x 的增大而 . 在对
称轴的右侧即x 时, y随着x 的增大而 .
当 a ﹤0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而 . 在对称轴的右侧, y
随着x 的增大而 .
练习：
1. 函数y =2x 2+4x +1的图象开口向，顶点坐标是对称轴
是 ，当x 时，y 有最 值，该最值为 ；当x 时，y 随着x 的增大而减小.
2. 抛物线y =3-2x 6-x 化2+为y =a (x -h ) 2+k 的形式
为 ，有最 点，坐标为 .
3. 抛物线y =-3x 2-6x +2先向平移 单位可得到抛物线y =-3x 2.
【新课学习】二次函数解析式
学习内容：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数
的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，关系式可设如下三种
形式：
（1）一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) ，给出点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：y =a (x +h ) 2+k (a ≠0) ，给出两点，且其中一点为
（3）交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个
交点(x 1, 0) 、(x 2, 0) 时可利用此式来求．
例1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；
解：（1）设二次函数关系式为
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．
练习：
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）顶点为原点，且过点（2，8）；
（2）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（3）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（4）已知抛物线与x 轴交于点M （-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．
（5）已知抛物线过点M （0，-2）、（1，0），且经过点（2，3）．
2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y 轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，
10），求此二次函数的关系式．
3、已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点A （-1，12）、B （2，-3），
（1）求该二次函数的关系式；
（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成y =a (x -h ) 2+k 的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）画草图确定：x 取什么值时，①y=0;②y>0;y
5．已知二次函数y =ax 2+bx +c ，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x 轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．
6．抛物线y =x 2+2mx +n 过点（2，4），且其顶点在直线y =2x +1上，求此二次函数的关系式．
【巩固练习】
一、选择题：
1、抛物线y =(x -2)+3的顶点坐标是（ ） 2
（A ） （－2，3） （B ）（2，3） （C ）（－2，－3） （D ）（2，－3）
12、抛物线y =-x 2+3x -2与y =ax 2的形状相同，而开口方向相反，则a =3
（ ）
11（A ）- （B ）3 （C ）-3 （D ） 33
13．与抛物线y =-x 2+3x -5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物2
线是（ ） 1351A ．y =-x 2+x - B．y =-x 2-7x +8 4222
C ．y =12x +6x +10 D．y =-x 2+3x -5 2
4．二次函数y =x 2+bx +c 的图象上有两点(3，－8) 和(－5，－8) ，则此拋物线的对称轴是（ ）
A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。
5．抛物线y =x 2-mx -m 2+1的图象过原点，则m 为（ ）
二、填空题：
1．已知抛物线y =x 2+4x +3，请回答以下问题：
⑴ 它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；
⑵ 图象与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。
2．抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 过第二、三、四象限，则a ，b ，c ．
3．抛物线y =6(x +1) 2-2可由抛物线y =6x 2-2向
4. 顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．
5．对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为 ．
6. 已知二次函数y =(m -1) x 2+2mx +3m -2，则当m =0．
7．二次函数y =ax 2+bx +c 的值永远为负值的条件是a 0，b 2-4ac ．
8．如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点。 ⑴二次函数的解析式为 ．
⑵当自变量x 时，两函数的函数值都随x
⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值．
⑷当自变量x 时，两函数的函数值的积小于0．
9．已知抛物线y =ax 2+2x +c 与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M （a , c ）在
10．已知抛物线y =x 2+bx +c 与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S ∆ABC =3，则b = ，c = ．
第 象限．
用待定系数法求二次函数解析式
【复习检测】
1、说出下列函数图像的开口方向、对称轴以及顶点坐标；并指出当x 为何值时，
y 有最值，最值为多少？当x 为何值时，y 随着x 的增大而减小?
51(1)y =-x 2 (2)y =πx 2 (3)y =-+3x 2 (4)y =2(x +1) 2 (5)y =-5(3x -2) 2+7 62
12、将抛物线y =x 2的顶点坐标是 ，将其向左平移3个单位，再向下平3
1移单位得到抛物线的解析式为 ，这时顶点坐标2
为 .
3、写出二次函数y =x 2+2x +3图像的开口方向、对称轴以及顶点坐标.
b 24ac -b 2
4、归纳:将二次函数y =ax +bx +c 化为顶点式为y =a (x +) +. 2a 4a 2
(1)二次函数y =ax 2+bx +c 的图象是一条其顶点坐标是（ ），
关于直线 对称.
(2)开口方向及最值： 当a ﹥0时，抛物线开口向 ，有最 点，当x = 时，y 最小= ；
当a ﹤0时，抛物线开口向 ，有最 点，当x = 时，y 最大= .
(3)增减性：
当 a ﹥0时，在对称轴的左侧即x 时,y 随着x 的增大而 . 在对
称轴的右侧即x 时, y随着x 的增大而 .
当 a ﹤0时，在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而 . 在对称轴的右侧, y
随着x 的增大而 .
练习：
1. 函数y =2x 2+4x +1的图象开口向，顶点坐标是对称轴
是 ，当x 时，y 有最 值，该最值为 ；当x 时，y 随着x 的增大而减小.
2. 抛物线y =3-2x 6-x 化2+为y =a (x -h ) 2+k 的形式
为 ，有最 点，坐标为 .
3. 抛物线y =-3x 2-6x +2先向平移 单位可得到抛物线y =-3x 2.
【新课学习】二次函数解析式
学习内容：确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数
的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，关系式可设如下三种
形式：
（1）一般式：y =ax 2+bx +c (a ≠0) ，给出点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：y =a (x +h ) 2+k (a ≠0) ，给出两点，且其中一点为
（3）交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0) ，给出三点，其中两点为与x 轴的两个
交点(x 1, 0) 、(x 2, 0) 时可利用此式来求．
例1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A （0，-1）、B （1，0）、C （-1，2）；
解：（1）设二次函数关系式为
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-3，0）、（5，0），且与y 轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．
练习：
1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）顶点为原点，且过点（2，8）；
（2）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（3）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（4）已知抛物线与x 轴交于点M （-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．
（5）已知抛物线过点M （0，-2）、（1，0），且经过点（2，3）．
2．二次函数图象的对称轴是x= -1，与y 轴交点的纵坐标是 –6，且经过点（2，
10），求此二次函数的关系式．
3、已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象经过点A （-1，12）、B （2，-3），
（1）求该二次函数的关系式；
（2）用配方法把（1）所得的函数关系式化成y =a (x -h ) 2+k 的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称轴．
（3）画草图确定：x 取什么值时，①y=0;②y>0;y
5．已知二次函数y =ax 2+bx +c ，当x=3时，函数取得最大值10，且它的图象在x 轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式．
6．抛物线y =x 2+2mx +n 过点（2，4），且其顶点在直线y =2x +1上，求此二次函数的关系式．
【巩固练习】
一、选择题：
1、抛物线y =(x -2)+3的顶点坐标是（ ） 2
（A ） （－2，3） （B ）（2，3） （C ）（－2，－3） （D ）（2，－3）
12、抛物线y =-x 2+3x -2与y =ax 2的形状相同，而开口方向相反，则a =3
（ ）
11（A ）- （B ）3 （C ）-3 （D ） 33
13．与抛物线y =-x 2+3x -5的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物2
线是（ ） 1351A ．y =-x 2+x - B．y =-x 2-7x +8 4222
C ．y =12x +6x +10 D．y =-x 2+3x -5 2
4．二次函数y =x 2+bx +c 的图象上有两点(3，－8) 和(－5，－8) ，则此拋物线的对称轴是（ ）
A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。
5．抛物线y =x 2-mx -m 2+1的图象过原点，则m 为（ ）
二、填空题：
1．已知抛物线y =x 2+4x +3，请回答以下问题：
⑴ 它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ；
⑵ 图象与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。
2．抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0) 过第二、三、四象限，则a ，b ，c ．
3．抛物线y =6(x +1) 2-2可由抛物线y =6x 2-2向
4. 顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 ．
5．对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为 ．
6. 已知二次函数y =(m -1) x 2+2mx +3m -2，则当m =0．
7．二次函数y =ax 2+bx +c 的值永远为负值的条件是a 0，b 2-4ac ．
8．如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次函数的图象与抛物线交于B 、C 两点。 ⑴二次函数的解析式为 ．
⑵当自变量x 时，两函数的函数值都随x
⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值．
⑷当自变量x 时，两函数的函数值的积小于0．
9．已知抛物线y =ax 2+2x +c 与x 轴的交点都在原点的右侧，则点M （a , c ）在
10．已知抛物线y =x 2+bx +c 与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S ∆ABC =3，则b = ，c = ．
第 象限．