四川大学物理学院理论力学第五章课件2

第五分析章力学§5.1

约与束广坐标义一、

约的束概念分类和1、束约与束方程 •约约：束限制物运动的条件体约•方程：约束条束的件数表学式达约方程束约束条件的学表数式达

x AA in ts

2 2y

x 

yl

纪平张作

制x y

2l2

x ( ins)2t y  2 2l1

2、约束的分类

刚x性

l杆

xA 

ist

R 滚纯动

xy  l2

2 2

 y l

22

sR  x  (isn)2t y2 l 2 s

s 

R

不可•约解：束束方约为程等式约束的可•约解：约束束程方为等式不的约可解约束束约方程束不为等式约的束 f (, x, z y)  0• 稳约束：定约方程中不显束时间t 含约的束不稳定约•：束约束方程中含显时t 间约束的 •几何约(完束整约)：束约束方程不中含度速项的束约运动约•(束微分束)：约f ( , xy, z; x , y ,z ;t ) 0

积可积张

平纪作

几何制约束

直圆竖在盘滑无的平动xy面上的动滚

 a

si   n sin  a x

c s o   osc   y

d a x a ins d   0d y  a ocs  d  0d

x cso d y isn  0

不可的微积约束分不积可运的动约

束纪平张作

制

可解约

束

不整约束

完

整约束完

完

整系3

、3约对束动的运影

响



顿牛学力 约束看将是有未作力知用作质点在上，使其运动限受。制 约都可束用以知未代力替。约束可都以用知力未替  改变运代动的因都原归结为。力析分学力 将约束看作强是制的。 性找到约先束允的许可运能动，再照一定按的则从所有可规能运动的得到中实真运动。的约束与力都是改运变动的原。因

纪张平制

作4

二、广义坐

1标自、度由独坐标立的数个n

质个点系统 k的个何几约束f (x1 ,y1, z 1 ,, xn y,n , z ;n )t 0



 1, , 2 k

s n3  k2、

广义标

坐惟一能确定学力体系位置的独变量立惟能确力定学系位体的置独量变



 i rri q( 1 q, 2, ,q s , ) i t1 2,, n;, s n

3x

, q 1 , 2 , qs

张平制作纪

x y l

2 

2s 1

广义坐标

5

例题

长

l为细的AB杆一端的约束被在平桌面上,水确定自其度由.(

xA ,y A, z )A(xB和 , By, Bz 确)定,因存在 2个约束着方程

:：解杆细位的置由杆的两端坐标

的

杆自的由为

度s

 6 2

?4 ??

可以可不以最佳

如果选 x择 ,A y A, , 为广坐标义

x A, y ,A z A, B

xx A , yA , B , x yB

纪张平制

作

x ,Ay A  ,,

Ax, yA , z B, x

不B以可6

52. 功虚理原一、实

位与移位移虚实移位虚位与移1. 实移位质系实

发际的位移生同。时满

足动力方学程、始初质系实际发生的位同时移足满动力学方程初始件条约和条束件。 1 2, , ,k f  x(1 ,1 , z1y, , xn ,y n ,zn t ;) 0

  f i (1r, r2 ,r n t ,) 0   f i( 1  dr1r  ,nr drn, tdt ) 0

f i f idf i   drj  d  t 0t  jrj



Nd r

稳定对约

f束i di  f d rj 0j r

张

平制纪作

实真移必位满须运动足分微程方牛顿定（）律

虚、移位

给定瞬在时瞬时系质为约束允许所的时，质瞬系为约束允许所约的所束许的允可发生能约束允所许的、能发可生无限的位移小。用r表示。   fNi f (ir 1 r,2, rn ,t )  0 f i    rj 0j  j r   f i(r 1 1 , rr n rn , )t 0

N  虚移的发生位 i fi fi f f i    xj   yj  z j 0 不要时需！间yj z j j x j

r



 r

r

位移有无虚多穷！个

8纪张平制作

r



稳定束情况

约位移实

fi   dr  0j  jrj

虚N移位



if  jr 0j  jr

稳定约束情况在下实位移，无是数虚位之移的一中。个真实移

位rd

位移

虚 rδ 2δr2

δ 1

r不定稳束约况

情实移 位 j

张平纪制作



f i f id t0  rd j rj t

虚位

移

fi    rj 0 j r

在不

稳约束情况定下，位移不一实定无是数位移虚的一中。个 9

实例分析

束方程约 f  zut 0 实位移z

实

移位t

 d

dr

M

z dut 

0位虚

移



r

z0

y

位移虚

质

虚位系移的生发时间与的变化t关无 ( t 0) ，因此就它约束被是冻结”“后质，在系此时瞬为约所允束的许任意限无位移小所允许束任意无限小位的。

张移纪平制作

r d 

r真实位移

仅与不约有关，束还运动、受力有关与张

平纪作

制

论讨：–虚位只移满约束方足，程位移实除满约足方程

外束还满足动学方程力，还外满动足学力方程。–

非由自点质虚的移垂直位约于束面在该点曲法

的线即位虚移总是位约束于曲面的切平面线，虚即位移是位总约于束曲的切平面。

面

位虚移方向的    约束程方f (x , y z,) 0 位虚移 r  ix yj z k在

M点

( f x x,y   ,yz  z )

0f ( x x ,y   y,z z ) ff f f ( x, y, z )  x  y   zx y z 0



f  r 0

f  r

11 2

张

平纪作制

等变时

分   i (fr1 ,r ,2 nr ,t ) 0

fi  i f

dr j td 0 t jj

rf i    rj 0  j rjN

等时

分运变算微与运算类分但似t =0 。等时变运分算与微运算类似分，但将0径进矢行时等变就是虚分移位将几，何束方约程进行等时分就变以可得虚到位移之的关间系。进行等变时分就以得到虚可位移间之关的系



纪张制平作

x  y l0

2 22

刚性杆l

等变分

时

x x 2 y y 0

二、3理想约

1束.虚功

 W  F r 动力 F主







r

或F

W

 F cso r  R束力 Ri约



2理约束 2.

 想  R i ri 0

i

理想束的例约子滑光面滑光线曲光滑理约想的束例子光滑：、光面曲线滑、光滑铰、链刚性、不可伸杆长的绳、滚纯动

。张纪平制

作

想理束约

 Ri   ir 0

n i 

1 N

)滑的光、面线  riN

 r

i 线面、止，静N i 0   d r  线面、动，运N  di r

0   N ri N   i  0

 rir

(

2圆)柱(刚)体在糙面粗做上无滚滑

动

vP 0

张纪制作平

 Pr 0    N  rP  fr P

0



()3滑铰光(链门的上页合)

  N1  r1 N2 r2   N 1 r12相对虚移

位

0

 2N

()4质可量忽略刚的性轻所连杆接的个质点两   R1   FR 2F  F R 1 1 r1 2F R   2W  F1 R r1  F 2R 2  r  1 r FR 1  12 r RF1  1r 212 re

0张纪平

制作

1O6

()两个质点以柔5不软伸长可的绳轻相

连   W  FT 1  1 rFT 2 r2

  0 0  FT 1 1  rr 2

FT 1

 FT 2

20



子不可伸绳长0 m1

纪张平作制

三

、虚功原

理、1虚功原不可解理约（即束面双束）任一质点约任质点in

衡平态状

  Fi   ri Ri  r i 0

 n F  r R  r i i  ii0i 1

 F  Rii 0(  1,2i ,, n)

 Ri   ri  0n

i 1

(

i ,1,  ,2n)

理

约束

想 理受想约的力束系平的衡平衡件条 W   iF  i r 0充要条

件 ni 1

W  (Fi xx iF y  iyi  Fzi  iz )0

i1 张纪

平制作

用适条件：性系惯、理不可想解束约1

二

广义、衡平程

 r方i  q  ri    1 q

义广标坐：q , 1q , 2 , s

q ri ir(q1 , 2q  ,, q , t s)



 q  1 ,1 2,2 ,  s 广义虚位移

  sn s    ri   r iq )   F i  W  F i r i



 i  F(   q  0q   1  i 1 i1 1  i q1 n r i Q   F i Q 为对称广义坐标应  q广义的力 qi 1 n  ss  则 W Fi  r  iQ  q 0  W  Q  q 0n

1i

 



1  2 Q   Q s 

张0平纪制

完作整想理约的质束系，平衡的充要条点是：件整完理约想的质束点系衡的充要条件平是有所的广力都义等零于1

若作9用质点在系的上动主均为有力力，势即

Vi V i V iF y i  Fi  x zi F  i y i xi zn n n   i rVi xi  iV yi Vi zi Vi  Q  Fi  )    (  q yi q zi q i 1 i1xi q i 1 q

 Fi 

iVi

 V

ii 1

系体的势能

V 总应于对一某广义坐的广义力标，等于总 Q  势能对该广坐义标偏导的数以冠号。负广义标偏的导冠以数号 q负 能对势保守系统的

衡条件平s

纪张平作制

 V q  0 1 q

V

 q0



  (1, , 2,  ,s )

静平衡的系统的势能取极值

0V 0

解题步

骤1. .23. 4. 明系确的约统类束, 看是型否足虚功满原所理要的条求件；确判正断系的自统度,由选合适的择广坐义标；析并图分系示统受到的主动力；通过坐s变换方标程,将虚原理化成功 Q  q 0

1

形的式, 而得进广出平义衡方程Q 0(   1 ,2,  , s) 对有势系, 出求系的势统V后能 ,可过通V q  0 得广义衡平程；方5 求.解义广平衡程方。

功虚理原要用于求解主

： ( )统系的静平衡位；置(1) (2) 维系统持衡时平用作于系统上主的动力间的之关系 (3) 求.约束力反解：约束，除约束将视为主力力动 ,自由度增加. 张纪

制作平

例

p726

 F求，平时衡两与杆水方向平夹角 ?  ?

 

长为度 l1和 l2 ，量重为重为 P 量和 2P 在。B在端作一水用平端作用水平力力 1O

均质O杆AAB和铰用A 接连，用铰固O。两定的杆

解

解：法析个自由2

度  系的主动力统 P 和有 F,1 2

P据虚功根理原,

、取 为义广标坐系所统约受束合虚符功原理的用适件条





 F



  P 1  rC  P 2  rD  FrB  0

1

y

建立坐系

标

P1 xC P2 x D F y B

0纪平张制作

P 1

DP2

F

1 Cx 2P D  Fx yB 0 yB

l 1 osc l c2os

x C 1l si n  12

xD l1s in 

1 lins 2 2

Cl 1





P1 A

yB l1 sin 

 2ls ni 

l D2P2



xC  1 lcos    211

Pl osc  P  cls o l Fsni    Pl 1   2211

2 11



Dx  l c1so  1 l osc  2

o s  lF s2in  

Q 1 l cosP  P2l1 oc s  Fl 1sin 0 2 11

Q 

1 lP os c Fl2 isn  02 2 2

张平纪作制

 12 2P t g F 22Pt g 2F 3

2题例有一固定的角直棱柱, 三其斜是边平的现有边是水水的平 .现一有条质的匀绳索跨匀质条绳的索跨在的棱两边,如图所 .示不摩计,擦试明绳索证平时衡它的两点必端试在明绳证索平衡时,同一水面上. 平证明系所统受束约符合功虚原的适用条件理. 由自为度 1 义坐广：广义标标 s右边绳为 l  s长设

的线密度为 绳据虚根原理,功

m1  s

m 2 (l  )s

以

张纪所制作平

则即故即绳的两端在同一点水面上平. 该题另一的计算种法方先计算绳索是的能势

便可

到广义平衡方程.

张得平纪作制

例

如图

示所，柱圆为重G 半，径为 R，搁置在的倾斜轻平板 A B。上B 点用细绳在拉上， AB墙A =lB。设接触点各是都滑的光，平求衡时的拉绳力T此。A时与竖B直方向夹的为α角。解绳除约的束代，以之约力T，作束用在 B处。取标坐系取处坐系Axy，标主动的虚力功：为动主力的虚为功 W G O  yT Bx 0取  为角广义标，坐则为广义角坐标则

解所有约束都是理：的。想所有束约是理想都

的

o

O  yRcot 2 x B sli 

y

O R cs 2c

  2 2xB l c s o

A

TW  GR1 csc   2T clo s 0

2T

张纪平制作

G

csc  22 loc s 2

5. 拉3格朗日程

一、基本形方式的格朗拉方日程1 、朗伯拉达朗格日方程、达1朗伯拉－格朗方日程n个

质点设，第i个质受点动主  受完整约设束力学的系体  力 F 有i ，受约束力反R i ，则  m i r i F i R i , i1 , 2, ,n

  mi r

i 

 mi r i i F R i0, i 1,2  , n,：

称达为伯惯朗性或力称有效称力达朗伯为性力惯称或有效

力注意：这

达朗个伯性力惯力与中定义过的学性力惯不一是概念，个 里那的惯力是性对某非一惯系而性言，而的上式中各质点的 r i 不相并等，所这里并以存不一在个一统的非惯系性

张。平纪制作



  mi r  i F i iR 0,i 1,2 , ,

n 以 ri 乘上点式，后对再i 和取得

，

1



    (  m iri F i R i)  ri 0

理想

约条件束下理约想条束下：

件

i 

 iR r i

0则

 

  ( Fi m iir)   ri 0

这是

达伯朗理原与虚原功的理结合，称达为朗伯——  r 并i不此独立，因此彼拉朗格方程日由，存于在约束各， 不能上令式 中 i 前面r所的有式都等于乘零，否则成为就由自点的运质动分微程了方

。纪张制作平

28、基本形式的格拉日朗程

设n个方点质k受个束，因是完约整束，体约系的自度数由个约因是束整完约束系体自的由度数为应＝s3－k。n

 

ir r  dri i  dq td 坐的全微标 t 分 1q  坐标的变分虚（移）位 ri 中其 t 0

 sri  r i(q 1 ,q 2,, qs , t)

广义坐标 q



 ri  r i  q 1  

入达代伯朗拉格朗日程代入方达朗伯－格拉日朗程

方 s   ir  (  mi ir Fi )   q  0 i 1a 1 q

2

张纪平 9作

制



s   r   i (mi ir Fi )  q  0  i 1a 1 q

上

式的两中取个号互不相关，和故可以易互则

， n r i      mi r i q 1   i 1 s

令广义力

则



   r i    Fi q    q  0 i   1n  i r  P mr i i q i 1   n  ri Q  i F q  i 1 s  (  PQ ) q  

 1

张

平纪作制

因

 各q互独立相，以所 PQ 3＝

 s  r iri   r i rsi  i r q rid  d q dt t  1 q q t   1  (q , q ,.., . q, q1 , q ,.2.., q ,st )   ri 12 s  将ri 对q 偏导求    s    r  r i r r r i i i i q  q        q     1 q q t q q   q 

  q对求导偏将ri    s r iri ri       q  qq  1q t  s     i r ri      t  q   q1  q



 r  ir iq1 , (2q, , s , q t

)

  irr i   q 

2

2 s r i ri  q  qt  1   qq

张纪

平制作



 rid   q  qdt  



 

3

故

改

写

 n  ri dd r  i  q td td  q





 

 i rr i  q

 q

 n  d r i   mi ri  i   1d t q 

 n   ir ir d   P  m i ri   mi  i r q dt i 1  q  i

1

    r d   P i   m iri  t d i1 q



 n  n nd  1   12  2   m i ir   m iir    2 dt i  1q i 1 q   2   r 1   i  r r m rm 第项同二理i ii i i  2  q 

n    r  i   m  r i i q   i1 

张

平纪作

制3

2 d  P dt q

1 2   m i i  r  iq 1  2

n

1 2  m r i i  i 1 

P＝Q

体系动的:能

nT 



 

 r  Td   i T P   i  i m dr t  q  q q i 1

d T T  Q ,  ,12 , , s  qtd q这就是著名的拉格朗日方程，

也称本基形的式格拉朗日方（程或称二第拉格朗类日程方）方程或（第二称类格朗日拉程）方。张

纪平制作

1

i  1 2 m ir i2

d 3T T   Q , 1 ,2 ,  ,s   q dt q

其中

1 ,

q 2 ,, q  s; t )统系动的 T  能T( q1, 2 q  , , sq ;

q简写常

为

, ) tT T ( q,q





q广是义标对时间的坐变率，称为化广义度

速T  1  T22 2   m (   x  y  ) z mx  p 广动量义   x  x  2   q  n i  Qr  Fi   应对义广坐标 q 的广义力q i  1张纪

平作

34制

T T   Q ,  , 12, ,s   q t d 

q拉格日朗方的特点

程 方程数于质等系自由数，度最是量方程少 不要考虑理想约需束的约反束力只需要分析度，不需速分析加度速  拉格朗日方程标是方程量

广义坐q标线量x角 

张纪量平制作



义速广度q  x

动能T

1 2mx 2 12   2I

义动量广 P虚功 W T Px m Fxx   xT P  I M   

广义力QF M

3、广力的计义算广义

力：

 r Q  Fi  i q  1

n计算义力广方的法可以两种有一种方：是从法上定式义直计接算，一种方法是另主动从所作的虚力来功算计。

1)(从、动力所主的作功来计虚算 s ns n    ri Q     Wq  F  ir i    Fi  q  

i 1

1





 q

 1

如求Q，令q21＝q3＝＝…s＝0，则

  1W (  Fi  ri )

i n1

张纪制平作

 q2  q 3  q s 

Q1 q1

W

11 Q  1

求任一广义qQ时力



 ( iF  ri)  q2  q3  q s0

n i

1

 q  0， 1， 2， ，s ,  

 WQ   q

  ( Fi   r i

)n i 

1 q



O

、从)义定式直计算

张接纪平作制



 r Q  iF i  q  i



3

Q 1 P l co s  Fl2sin  2 22

第五分析章力学§5.1

约与束广坐标义一、

约的束概念分类和1、束约与束方程 •约约：束限制物运动的条件体约•方程：约束条束的件数表学式达约方程束约束条件的学表数式达

x AA in ts

2 2y

x 

yl

纪平张作

制x y

2l2

x ( ins)2t y  2 2l1

2、约束的分类

刚x性

l杆

xA 

ist

R 滚纯动

xy  l2

2 2

 y l

22

sR  x  (isn)2t y2 l 2 s

s 

R

积可积张

平纪作

几何制约束

直圆竖在盘滑无的平动xy面上的动滚

 a

si   n sin  a x

c s o   osc   y

d a x a ins d   0d y  a ocs  d  0d

x cso d y isn  0

不可的微积约束分不积可运的动约

束纪平张作

制

可解约

束

不整约束

完

整约束完

完

整系3

、3约对束动的运影

响



纪张平制

作4

二、广义坐

1标自、度由独坐标立的数个n

质个点系统 k的个何几约束f (x1 ,y1, z 1 ,, xn y,n , z ;n )t 0



 1, , 2 k

s n3  k2、

广义标

坐惟一能确定学力体系位置的独变量立惟能确力定学系位体的置独量变



 i rri q( 1 q, 2, ,q s , ) i t1 2,, n;, s n

3x

, q 1 , 2 , qs

张平制作纪

x y l

2 

2s 1

广义坐标

5

例题

长

l为细的AB杆一端的约束被在平桌面上,水确定自其度由.(

xA ,y A, z )A(xB和 , By, Bz 确)定,因存在 2个约束着方程

:：解杆细位的置由杆的两端坐标

的

杆自的由为

度s

 6 2

?4 ??

可以可不以最佳

如果选 x择 ,A y A, , 为广坐标义

x A, y ,A z A, B

xx A , yA , B , x yB

纪张平制

作

x ,Ay A  ,,

Ax, yA , z B, x

不B以可6

52. 功虚理原一、实

位与移位移虚实移位虚位与移1. 实移位质系实

发际的位移生同。时满

足动力方学程、始初质系实际发生的位同时移足满动力学方程初始件条约和条束件。 1 2, , ,k f  x(1 ,1 , z1y, , xn ,y n ,zn t ;) 0

  f i (1r, r2 ,r n t ,) 0   f i( 1  dr1r  ,nr drn, tdt ) 0

f i f idf i   drj  d  t 0t  jrj



Nd r

稳定对约

f束i di  f d rj 0j r

张

平制纪作

实真移必位满须运动足分微程方牛顿定（）律

虚、移位

N  虚移的发生位 i fi fi f f i    xj   yj  z j 0 不要时需！间yj z j j x j

r



 r

r

位移有无虚多穷！个

8纪张平制作

r



稳定束情况

约位移实

fi   dr  0j  jrj

虚N移位



if  jr 0j  jr

稳定约束情况在下实位移，无是数虚位之移的一中。个真实移

位rd

位移

虚 rδ 2δr2

δ 1

r不定稳束约况

情实移 位 j

张平纪制作



f i f id t0  rd j rj t

虚位

移

fi    rj 0 j r

在不

稳约束情况定下，位移不一实定无是数位移虚的一中。个 9

实例分析

束方程约 f  zut 0 实位移z

实

移位t

 d

dr

M

z dut 

0位虚

移



r

z0

y

位移虚

质

张移纪平制作

r d 

r真实位移

仅与不约有关，束还运动、受力有关与张

平纪作

制

论讨：–虚位只移满约束方足，程位移实除满约足方程

外束还满足动学方程力，还外满动足学力方程。–

非由自点质虚的移垂直位约于束面在该点曲法

的线即位虚移总是位约束于曲面的切平面线，虚即位移是位总约于束曲的切平面。

面

位虚移方向的    约束程方f (x , y z,) 0 位虚移 r  ix yj z k在

M点

( f x x,y   ,yz  z )

0f ( x x ,y   y,z z ) ff f f ( x, y, z )  x  y   zx y z 0



f  r 0

f  r

11 2

张

平纪作制

等变时

分   i (fr1 ,r ,2 nr ,t ) 0

fi  i f

dr j td 0 t jj

rf i    rj 0  j rjN

等时



纪张制平作

x  y l0

2 22

刚性杆l

等变分

时

x x 2 y y 0

二、3理想约

1束.虚功

 W  F r 动力 F主







r

或F

W

 F cso r  R束力 Ri约



2理约束 2.

 想  R i ri 0

i

理想束的例约子滑光面滑光线曲光滑理约想的束例子光滑：、光面曲线滑、光滑铰、链刚性、不可伸杆长的绳、滚纯动

。张纪平制

作

想理束约

 Ri   ir 0

n i 

1 N

)滑的光、面线  riN

 r

i 线面、止，静N i 0   d r  线面、动，运N  di r

0   N ri N   i  0

 rir

(

2圆)柱(刚)体在糙面粗做上无滚滑

动

vP 0

张纪制作平

 Pr 0    N  rP  fr P

0



()3滑铰光(链门的上页合)

  N1  r1 N2 r2   N 1 r12相对虚移

位

0

 2N

0张纪平

制作

1O6

()两个质点以柔5不软伸长可的绳轻相

连   W  FT 1  1 rFT 2 r2

  0 0  FT 1 1  rr 2

FT 1

 FT 2

20



子不可伸绳长0 m1

纪张平作制

三

、虚功原

理、1虚功原不可解理约（即束面双束）任一质点约任质点in

衡平态状

  Fi   ri Ri  r i 0

 n F  r R  r i i  ii0i 1

 F  Rii 0(  1,2i ,, n)

 Ri   ri  0n

i 1

(

i ,1,  ,2n)

理

约束

想 理受想约的力束系平的衡平衡件条 W   iF  i r 0充要条

件 ni 1

W  (Fi xx iF y  iyi  Fzi  iz )0

i1 张纪

平制作

用适条件：性系惯、理不可想解束约1

二

广义、衡平程

 r方i  q  ri    1 q

义广标坐：q , 1q , 2 , s

q ri ir(q1 , 2q  ,, q , t s)



 q  1 ,1 2,2 ,  s 广义虚位移

  sn s    ri   r iq )   F i  W  F i r i



1i

 



1  2 Q   Q s 

张0平纪制

完作整想理约的质束系，平衡的充要条点是：件整完理约想的质束点系衡的充要条件平是有所的广力都义等零于1

若作9用质点在系的上动主均为有力力，势即

 Fi 

iVi

 V

ii 1

系体的势能

V 总应于对一某广义坐的广义力标，等于总 Q  势能对该广坐义标偏导的数以冠号。负广义标偏的导冠以数号 q负 能对势保守系统的

衡条件平s

纪张平作制

 V q  0 1 q

V

 q0



  (1, , 2,  ,s )

静平衡的系统的势能取极值

0V 0

解题步

1

功虚理原要用于求解主

： ( )统系的静平衡位；置(1) (2) 维系统持衡时平用作于系统上主的动力间的之关系 (3) 求.约束力反解：约束，除约束将视为主力力动 ,自由度增加. 张纪

制作平

例

p726

 F求，平时衡两与杆水方向平夹角 ?  ?

 

长为度 l1和 l2 ，量重为重为 P 量和 2P 在。B在端作一水用平端作用水平力力 1O

均质O杆AAB和铰用A 接连，用铰固O。两定的杆

解

解：法析个自由2

度  系的主动力统 P 和有 F,1 2

P据虚功根理原,

、取 为义广标坐系所统约受束合虚符功原理的用适件条





 F



  P 1  rC  P 2  rD  FrB  0

1

y

建立坐系

标

P1 xC P2 x D F y B

0纪平张制作

P 1

DP2

F

1 Cx 2P D  Fx yB 0 yB

l 1 osc l c2os

x C 1l si n  12

xD l1s in 

1 lins 2 2

Cl 1





P1 A

yB l1 sin 

 2ls ni 

l D2P2



xC  1 lcos    211

Pl osc  P  cls o l Fsni    Pl 1   2211

2 11



Dx  l c1so  1 l osc  2

o s  lF s2in  

Q 1 l cosP  P2l1 oc s  Fl 1sin 0 2 11

Q 

1 lP os c Fl2 isn  02 2 2

张平纪作制

 12 2P t g F 22Pt g 2F 3

的线密度为 绳据虚根原理,功

m1  s

m 2 (l  )s

以

张纪所制作平

则即故即绳的两端在同一点水面上平. 该题另一的计算种法方先计算绳索是的能势

便可

到广义平衡方程.

张得平纪作制

例

如图

解所有约束都是理：的。想所有束约是理想都

的

o

O  yRcot 2 x B sli 

y

O R cs 2c

  2 2xB l c s o

A

TW  GR1 csc   2T clo s 0

2T

张纪平制作

G

csc  22 loc s 2

5. 拉3格朗日程

一、基本形方式的格朗拉方日程1 、朗伯拉达朗格日方程、达1朗伯拉－格朗方日程n个

质点设，第i个质受点动主  受完整约设束力学的系体  力 F 有i ，受约束力反R i ，则  m i r i F i R i , i1 , 2, ,n

  mi r

i 

 mi r i i F R i0, i 1,2  , n,：

称达为伯惯朗性或力称有效称力达朗伯为性力惯称或有效

力注意：这

张。平纪制作



  mi r  i F i iR 0,i 1,2 , ,

n 以 ri 乘上点式，后对再i 和取得

，

1



    (  m iri F i R i)  ri 0

理想

约条件束下理约想条束下：

件

i 

 iR r i

0则

 

  ( Fi m iir)   ri 0

这是

。纪张制作平

28、基本形式的格拉日朗程

设n个方点质k受个束，因是完约整束，体约系的自度数由个约因是束整完约束系体自的由度数为应＝s3－k。n

 

ir r  dri i  dq td 坐的全微标 t 分 1q  坐标的变分虚（移）位 ri 中其 t 0

 sri  r i(q 1 ,q 2,, qs , t)

广义坐标 q



 ri  r i  q 1  

入达代伯朗拉格朗日程代入方达朗伯－格拉日朗程

方 s   ir  (  mi ir Fi )   q  0 i 1a 1 q

2

张纪平 9作

制



s   r   i (mi ir Fi )  q  0  i 1a 1 q

上

式的两中取个号互不相关，和故可以易互则

， n r i      mi r i q 1   i 1 s

令广义力

则



 1

张

平纪作制

因

 各q互独立相，以所 PQ 3＝



 r  ir iq1 , (2q, , s , q t

)

  irr i   q 

2

2 s r i ri  q  qt  1   qq

张纪

平制作



 rid   q  qdt  



 

3

故

改

写

 n  ri dd r  i  q td td  q





 

 i rr i  q

 q

 n  d r i   mi ri  i   1d t q 

 n   ir ir d   P  m i ri   mi  i r q dt i 1  q  i

1

    r d   P i   m iri  t d i1 q



n    r  i   m  r i i q   i1 

张

平纪作

制3

2 d  P dt q

1 2   m i i  r  iq 1  2

n

1 2  m r i i  i 1 

P＝Q

体系动的:能

nT 



 

 r  Td   i T P   i  i m dr t  q  q q i 1

d T T  Q ,  ,12 , , s  qtd q这就是著名的拉格朗日方程，

也称本基形的式格拉朗日方（程或称二第拉格朗类日程方）方程或（第二称类格朗日拉程）方。张

纪平制作

1

i  1 2 m ir i2

d 3T T   Q , 1 ,2 ,  ,s   q dt q

其中

1 ,

q 2 ,, q  s; t )统系动的 T  能T( q1, 2 q  , , sq ;

q简写常

为

, ) tT T ( q,q





q广是义标对时间的坐变率，称为化广义度

平作

34制

T T   Q ,  , 12, ,s   q t d 

q拉格日朗方的特点

程 方程数于质等系自由数，度最是量方程少 不要考虑理想约需束的约反束力只需要分析度，不需速分析加度速  拉格朗日方程标是方程量

广义坐q标线量x角 

张纪量平制作



义速广度q  x

动能T

1 2mx 2 12   2I

义动量广 P虚功 W T Px m Fxx   xT P  I M   

广义力QF M

3、广力的计义算广义

力：

 r Q  Fi  i q  1

n计算义力广方的法可以两种有一种方：是从法上定式义直计接算，一种方法是另主动从所作的虚力来功算计。

1)(从、动力所主的作功来计虚算 s ns n    ri Q     Wq  F  ir i    Fi  q  

i 1

1





 q

 1

如求Q，令q21＝q3＝＝…s＝0，则

  1W (  Fi  ri )

i n1

张纪制平作

 q2  q 3  q s 

Q1 q1

W

11 Q  1

求任一广义qQ时力



 ( iF  ri)  q2  q3  q s0

n i

1

 q  0， 1， 2， ，s ,  

 WQ   q

  ( Fi   r i

)n i 

1 q



O

、从)义定式直计算

张接纪平作制



 r Q  iF i  q  i



3

Q 1 P l co s  Fl2sin  2 22

四川大学物理学院理论力学第五章课件2

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