高一数学专题——函数的定义以及三要素
一、函数的基本定义
1、基础概念：如果集合A 中的每一个元素在集合B 中都有一个唯一的元素与之对应，那么我们称这就是集合A 到集合B 的一个映射。我们称集合A 中的元素称为原象，在集合B 中与之对应的元素称为象，从集合A 到集合B 的对应关系称为对应法则，一般用f 表示，此时这个映射表示为f :A B 。 2、概念辨析
2.1. 函数其实是一个映射
2.2. 在一个函数中，每一个自变量有且只有一个因变量与之对应
2.3. 函数可以有多种表示方式，我们最常见的便是解析式表示的方法，亦即映射表示；其次，函数还可以用图像、列表来表示。 3、例题分析
3.1. 图中（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．
3.2. 下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是（ ） A 、A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B 、A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C 、A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数
D 、A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 3.3. 如图中所示的对应：
其中构成映射的个数为( )
A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
⎧⎪3x ＋2，x
3.4. f (x ) ＝⎨2，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________。
⎪x ＋ax ，x ≥1⎩
4、随堂练习
4.1. 已知函数f (x ) 的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x ) 的图象的只可能是（ ）
4.2. 如图，函数f (x ) 的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（1，2) ，（3，1），则f (
1
) =的值等于．
f (3)
2⎧⎪x ＋1 (x ≤0)
4.3. 已知函数y ＝⎨，使函数值为5的x 的值是( )
⎪－2x (x >0)⎩
55
A 、－2或2 B 、2或－ C 、－2 D 、2或－2或－
22
4.4. 已知映射f ：A →B ，即对任意a ∈A ，f ：a →|a |.其中集合A ＝{－3，－2，－1，2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的对应元素，则集合B 中元素的个数是( ) A 、7 B 、6 C 、5 D 、4 1
4.5. 已知f (x ) ＝(x ∈R 且x ≠－1) ，g (x ) ＝x 2＋2(x ∈R ) ．
1＋x （1）求f (2)，g (2)的值； （2）求f (g (2))的值．
5、拓展训练
5.1. 已知函数f (x )满足f (x +4)=x +2，当f (x )=1时，x 的值为
3
5.2. 设函数f 1(
x )=))) = f 2(x )=x -1，f 3(x )=x 2，则f 1(f 2(f 3(2007
x -1
，则方程f (4x )=x 的根是 （ ） x
11
A 、-2 B 、2 C 、- D 、
22
1
f (x )=5.4. 已知
1+x
5.3. 若f (x )=
，求
⎡⎣f (2)+
()
f (3+)⎤⎦
⎡⎛1⎫⋅⎛1⎫2f +f ⎪ ⎪+ +f ⎢2
⎝3⎭⎣⎝⎭⎛1⎫⎤0 ⎪⎥
⎝2009⎭⎦
0+9
二、函数的三要素
1、基本概念
1.1. 定义域：我们把非空数集A 中的元素称为函数的自变量，自变量的集合即集合A 就称为函数的定义域；
1.2. 值域：我们把集合B 中的所有的与A 有对应关系的元素组成的集合称为函数的值域； 1.3. 解析式：和函数定义中的对应关系一致，即f ，一般情况下我们把函数写成这样的形式：
y =f (x ) ⇔f :x →y 。
2、概念辨析
2.1. 当且仅当两个函数的三要素全部相同的时候，这两个函数才被称为相同函数或者相等函数；
2.2. 集合B 不是函数的值域， 只有“与A 有对应关系的元素”才可以成为函数值域中的元素。3、例题解析
3.1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） （1）y 1=
(x +3)(x -5)
，y 2=x -5； （2）y 1=x +1x -1，
x +3
y 2=(x +1)(x -1) ；
（3）f (x ) =x ，g (x ) =
x 2； （4
）f (x ) =
F (x ) =（5）f 1(x ) =(2x -5) 2，f 2(x ) =2x -5。
A 、（1）、（2） B 、（3）、（4） C 、（4） D 、（3）、（5） 3.2. 试回答下列问题
（1）已知函数f (x ) 的定义域为(0, 1)，求f (x 2) 的定义域； （2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0， 1) ，求f (x ) 的定义域； （3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2，3]，求f (2x 2 – 2)的定义域。 3.3. 试求下列函数的解析式
（1）已知错误！未找到引用源。是一次函数，且满足错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。；
（2）已知f (x ) 为二次函数，且f (x +1)+f (x –1) = 2x 2–4x ，求f (x ) 的表达式； （3）已知错误！未找到引用源。f (+1) =x ，求错误！未找到引用源。；
2
x
2
（4）已知f (x ) 满足2f (x ) +f () =3x ，求f (x ) 。 3.4. 求下列函数的值域
（1）求函数错误！未找到引用源。的值域； （2）求函数y =x +x -1的值域；
1x
2x 2-2x +3
（3）求函数y =的值域；
x 2-x +1
（4
）函数y =
。
x ＋2(x ≤－1)，⎧⎪2
3.5. 已知f (x ) ＝⎨x (－1＜x ＜2)
⎪⎩2x (x ≥2)，A 、1
若f (x ) ＝3，则x 的值是( )
33
B 、1或 C 、1，3
22
D 、3
4、随堂练习
4.1. 求下列函数的定义域：
3
－x 4x ＋8
（1）y ＝； （2）y ＝.
2x －3x －23x －2
4.2. 下列各组函数表示相等函数的是( )
x 2－3
A 、y y ＝x ＋3(x ≠3) B 、y ＝－1与y ＝x －1
x －3
C 、y ＝x 0(x ≠0) 与y ＝1(x ≠0) D 、y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z X k b 4.3. 已知函数f (2x ＋1) ＝3x ＋2，且f (a ) ＝2，则a 的值等于( ) A 、8 B 、1 C 、5 D 、－1
4.4. 已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数) 在区间(－∞，1]上有意义， 求实数a 的取值范围。4.5. 已知f (x ) ＝2x ＋3，且f (m ) ＝6，则m 等于________． 4.6. 求下列函数解析式：
（1）已知f (x ) 是一次函数，且满足3f (x ＋1) －f (x ) ＝2x ＋9，求f (x ) ；
2
（2）已知f (x ＋1) ＝x ＋4x ＋1，求f (x ) 的解析式。
2
⎧⎪2x －x (0≤x ≤3)
4.7. 函数f (x ) ＝⎨2的值域是( )
⎪⎩x ＋6x (－2≤x ≤0)
A 、R B 、[－9，＋∞) C 、[－8,1] D 、[－9,1] 5、拓展训练 5.1. 给出下列函数：
（1）y =x 2-x +2, x >0 （2）y =x
2
-x , x ∈R
（3）y =t 2-t +2, t ∈R （4）y =t 2-t +2, t >0 其中与函数y =x
2
-x +2, x ∈R 相等的是 。
5.2. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x , y ∈R )f (1)=2则
f (-2)=（ ）
A 、2 B 、3 C 、 6 D 、9 5.3. 已知f (x )=2x +a , g (x )=
1
3+x 2)若g [f (x )]=x 2+x +1，求a 的值。 (4
高一数学专题——函数的定义以及三要素
一、函数的基本定义
1、基础概念：如果集合A 中的每一个元素在集合B 中都有一个唯一的元素与之对应，那么我们称这就是集合A 到集合B 的一个映射。我们称集合A 中的元素称为原象，在集合B 中与之对应的元素称为象，从集合A 到集合B 的对应关系称为对应法则，一般用f 表示，此时这个映射表示为f :A B 。 2、概念辨析
2.1. 函数其实是一个映射
2.2. 在一个函数中，每一个自变量有且只有一个因变量与之对应
2.3. 函数可以有多种表示方式，我们最常见的便是解析式表示的方法，亦即映射表示；其次，函数还可以用图像、列表来表示。 3、例题分析
3.1. 图中（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量x ，y 的对应关系，其中表示y 是x 的函数关系的有________．
3.2. 下列集合A 到集合B 的对应f 是函数的是（ ） A 、A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1}，f ：A 中的数平方 B 、A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数开方 C 、A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数
D 、A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值 3.3. 如图中所示的对应：
其中构成映射的个数为( )
A 、3 B 、4 C 、5 D 、6
⎧⎪3x ＋2，x
3.4. f (x ) ＝⎨2，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________。
⎪x ＋ax ，x ≥1⎩
4、随堂练习
4.1. 已知函数f (x ) 的定义域A ＝{x |0≤x ≤2}，值域B ＝{y |1≤y ≤2}，下列选项中，能表示f (x ) 的图象的只可能是（ ）
4.2. 如图，函数f (x ) 的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为（0，0），（1，2) ，（3，1），则f (
1
) =的值等于．
f (3)
2⎧⎪x ＋1 (x ≤0)
4.3. 已知函数y ＝⎨，使函数值为5的x 的值是( )
⎪－2x (x >0)⎩
55
A 、－2或2 B 、2或－ C 、－2 D 、2或－2或－
22
4.4. 已知映射f ：A →B ，即对任意a ∈A ，f ：a →|a |.其中集合A ＝{－3，－2，－1，2,3,4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的对应元素，则集合B 中元素的个数是( ) A 、7 B 、6 C 、5 D 、4 1
4.5. 已知f (x ) ＝(x ∈R 且x ≠－1) ，g (x ) ＝x 2＋2(x ∈R ) ．
1＋x （1）求f (2)，g (2)的值； （2）求f (g (2))的值．
5、拓展训练
5.1. 已知函数f (x )满足f (x +4)=x +2，当f (x )=1时，x 的值为
3
5.2. 设函数f 1(
x )=))) = f 2(x )=x -1，f 3(x )=x 2，则f 1(f 2(f 3(2007
x -1
，则方程f (4x )=x 的根是 （ ） x
11
A 、-2 B 、2 C 、- D 、
22
1
f (x )=5.4. 已知
1+x
5.3. 若f (x )=
，求
⎡⎣f (2)+
()
f (3+)⎤⎦
⎡⎛1⎫⋅⎛1⎫2f +f ⎪ ⎪+ +f ⎢2
⎝3⎭⎣⎝⎭⎛1⎫⎤0 ⎪⎥
⎝2009⎭⎦
0+9
二、函数的三要素
1、基本概念
1.1. 定义域：我们把非空数集A 中的元素称为函数的自变量，自变量的集合即集合A 就称为函数的定义域；
1.2. 值域：我们把集合B 中的所有的与A 有对应关系的元素组成的集合称为函数的值域； 1.3. 解析式：和函数定义中的对应关系一致，即f ，一般情况下我们把函数写成这样的形式：
y =f (x ) ⇔f :x →y 。
2、概念辨析
2.1. 当且仅当两个函数的三要素全部相同的时候，这两个函数才被称为相同函数或者相等函数；
2.2. 集合B 不是函数的值域， 只有“与A 有对应关系的元素”才可以成为函数值域中的元素。3、例题解析
3.1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） （1）y 1=
(x +3)(x -5)
，y 2=x -5； （2）y 1=x +1x -1，
x +3
y 2=(x +1)(x -1) ；
（3）f (x ) =x ，g (x ) =
x 2； （4
）f (x ) =
F (x ) =（5）f 1(x ) =(2x -5) 2，f 2(x ) =2x -5。
A 、（1）、（2） B 、（3）、（4） C 、（4） D 、（3）、（5） 3.2. 试回答下列问题
（1）已知函数f (x ) 的定义域为(0, 1)，求f (x 2) 的定义域； （2）已知函数f (2x + 1)的定义域为(0， 1) ，求f (x ) 的定义域； （3）已知函数f (x + 1)的定义域为[–2，3]，求f (2x 2 – 2)的定义域。 3.3. 试求下列函数的解析式
（1）已知错误！未找到引用源。是一次函数，且满足错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。；
（2）已知f (x ) 为二次函数，且f (x +1)+f (x –1) = 2x 2–4x ，求f (x ) 的表达式； （3）已知错误！未找到引用源。f (+1) =x ，求错误！未找到引用源。；
2
x
2
（4）已知f (x ) 满足2f (x ) +f () =3x ，求f (x ) 。 3.4. 求下列函数的值域
（1）求函数错误！未找到引用源。的值域； （2）求函数y =x +x -1的值域；
1x
2x 2-2x +3
（3）求函数y =的值域；
x 2-x +1
（4
）函数y =
。
x ＋2(x ≤－1)，⎧⎪2
3.5. 已知f (x ) ＝⎨x (－1＜x ＜2)
⎪⎩2x (x ≥2)，A 、1
若f (x ) ＝3，则x 的值是( )
33
B 、1或 C 、1，3
22
D 、3
4、随堂练习
4.1. 求下列函数的定义域：
3
－x 4x ＋8
（1）y ＝； （2）y ＝.
2x －3x －23x －2
4.2. 下列各组函数表示相等函数的是( )
x 2－3
A 、y y ＝x ＋3(x ≠3) B 、y ＝－1与y ＝x －1
x －3
C 、y ＝x 0(x ≠0) 与y ＝1(x ≠0) D 、y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z X k b 4.3. 已知函数f (2x ＋1) ＝3x ＋2，且f (a ) ＝2，则a 的值等于( ) A 、8 B 、1 C 、5 D 、－1
4.4. 已知函数y ＝ax ＋1(a ＜0且a 为常数) 在区间(－∞，1]上有意义， 求实数a 的取值范围。4.5. 已知f (x ) ＝2x ＋3，且f (m ) ＝6，则m 等于________． 4.6. 求下列函数解析式：
（1）已知f (x ) 是一次函数，且满足3f (x ＋1) －f (x ) ＝2x ＋9，求f (x ) ；
2
（2）已知f (x ＋1) ＝x ＋4x ＋1，求f (x ) 的解析式。
2
⎧⎪2x －x (0≤x ≤3)
4.7. 函数f (x ) ＝⎨2的值域是( )
⎪⎩x ＋6x (－2≤x ≤0)
A 、R B 、[－9，＋∞) C 、[－8,1] D 、[－9,1] 5、拓展训练 5.1. 给出下列函数：
（1）y =x 2-x +2, x >0 （2）y =x
2
-x , x ∈R
（3）y =t 2-t +2, t ∈R （4）y =t 2-t +2, t >0 其中与函数y =x
2
-x +2, x ∈R 相等的是 。
5.2. 定义在R 上的函数f (x )满足f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x , y ∈R )f (1)=2则
f (-2)=（ ）
A 、2 B 、3 C 、 6 D 、9 5.3. 已知f (x )=2x +a , g (x )=
1
3+x 2)若g [f (x )]=x 2+x +1，求a 的值。 (4