从阿贝尔变换看定积分分部积分公式
刘鹏飞 数学与应用数学专业 05级基地班
指导老师 尹小玲
2006年9月
摘要:通过深入了解阿贝尔变换的几何意义, 分析它与定积分存在某种联系; 经过进一步探讨, 得到由阿贝尔变换可以推导出定积分分部积分公式.
关键词：阿贝尔变换，定积分，分部积分。
阿贝尔变换：设有两组数a k , b k (k =1, 2, 3, , m ) 为了求和数
m
∑a
k
b k =a 1b 1+a 2b 2+ a m b m
k =1
引入 B 1=b 1, B 2=b 1+b 2, B 3=b 1+b 2+b 3, , B m =b 1+b 2+ b m 这样， b 1=B 1, b 2=B 2-B 1, , b m =B m -B m -1 把它代入和式中得
m
∑a
k
b k =a 1B 1+a 2(B 2-B 1) +a 3(B 3-B 2) + a m (B m -B m -1)
k =1
=(a 1-a 2) B 1+(a 2-a 3) B 2+ (a m -1-a m ) B m -1+a m B m
m -1
=
∑(a
k
-a k +1) B k +a m B m
k =1
这个变换式：
m
m -1
∑a
k
b k =
∑(a
k
-a k +1) B k +a m B m
k =1
k =1
就称为阿贝尔变换或和差变换。
(1)
上述阿贝尔变换，有一个简单的几何解释。为了简单起见，以m =6为例，设a k ≥0，
6
且b k ≥0(k =1, 2, 3, 4, 5, 6) ，且a k 单调下降。这时，∑a k b k 在上图中就表示以b k 为底，a k
k =1
为高的六个矩形的面积之和，这正是此图中大的阶梯形的面积。它显然等于以
B 6=b 1+b 2+b 3+b 4+b 5+b 6为底，以a 6为高的矩形面积，以及以B k =b 1+b 2+ +b k
为底，a k -a k +1(k =1, 2, 3, 4, 5, ) 为高的五个“扁”矩形的面积之和，可见，阿贝尔变换在几何上只是把大阶梯形面积转化成两种不同方向的矩形面积之和而已。 阿贝尔变换可以看作是求图形的面积，而定积分运算也是求图形的面积，因此二者之间有一定的联系。从广义上看，定积分运算和阿贝尔变换一样都是一种求和的运算。
我们进一步分析
m
m -1
k
∑a
k =1
b k =
∑(a
k =1
k
-a k +1) B k +a m B m
（约定B 0=0）。
不妨将数项看成是函数在某些点的函数值，即设函数a (x ), B (x ) 定义在区间[α, β]上，
α=x 1
a 1=a (x 1), a 2=a (x 2) , a m =a (x m ),
B k =B (x k )(k =1, 2, , m ) 。 将其代入（1）式得
m
m -1
k
∑a (x
k =1
)[B (x k ) -B (x k -1)]=
∑(a (x
k =1
k
) -a (x k -1)) B (x k ) +a (x m ) B (x m )
或
m -1
m -1
k +1
∑a (x
k =1
)[B (x k +1) -B (x k )]=a (x m ) B (x m ) -a (x 1) B (x 1) -
∑(a (x
k =1
k +1
) -a (x k )) B (x k )
(2)
其中B (x 0) =0。
为了便于讨论，设函数a (x ), B (x ) 是区间[α, β]上连续函数，且具有连续导函数，则由连续函数的四则运算法则知a (x ) B (x ) 也是连续函数，且它在[α, β]上是可积的。则由微分中值定理，
∃ξk+1∈(x k , x k +1)
,s.t B (x k +1) -B (x k ) =B '(ξk +1)(x k +1-x k )
∃ηk+1∈(x k , x k +1) ,s.t a (x k +1) -a (x k ) =a '(ηk +1)(x k +1-x k ) 于是(2)式化为
m -1
m -1
k +1
∑a (x
k =1
) B (ξk +1)(x k +1-x k ) =a (x m ) B (x m ) -a (x 1) B (x 1) -
'
∑a
k =1
'
(ηk +1)(x k +1-x k ) B (x k ) （3）
上式十分类似于定积分的分部积分公式：若函数U (x ), V (x ) 在[a , b ]有连续的微商
U '(x ), V '(x ) ，则有分部积分公式
b
'
b
a
b
'
⎰U (x ) V (x ) dx =U (x ) V (x ) |-⎰V (x ) U (x ) dx 。
a
a
下面我们利用阿贝尔变换而得的（3）式来给出定积分的分部积分公式的证明. 由于a (x ), B (x ) 在[α, β]有连续导函数a '(x ), B '(x ) ，则函数a (x ) B '(x ) 与a '(x ) B (x ) 也是[α, β]的连续函数, 它们均在[α, β]上可积。即∀ε>0,∃δ1>0，对于[α, β]的任意分法：
α=x 1
n -1
|∑a (c k +1) B (c k +1) ∆x k +1-I |
k =1
'
ε
2
β
(I 为常数, I =⎰a (x ) B ' (x ) dx ).
α
a (x ) 是[α, β]上的连续函数，故它在[α, β]上有界，即∃M >0，使得
|a (x ) |≤M ，x ∈[α, β]
又B ' (x ) 在[α, β]上连续，则它在[α, β]一致连续，故对于上面的ε, ∃δ2>0，当d,e ∈[α, β]
且|d-e|
|B (d ) -B (e ) |
'
'
ε2M (β-α)
则对于前面[α, β]的分法α=x 1
|∑a (x k +1) B (ξk +1) ∆x k +1-I |
'
k =1m -1
m -1
'
m -1
k +1
m -1
=|∑a (x k +1) B (ξk +1) ∆x k +1-
k =1m -1
∑a (x
k =1m -1
) B (x k +1) ∆x k +1+
'
∑a (x
k =1
m -1
k +1
) B (x k +1) ∆x k +1-I |
'
≤|∑a (x k +1) B (ξk +1) ∆x k +1-
k =1
'
∑a (x
k =1
k +1
) B (x k +1) ∆x k +1|+|∑a (x k +1) B (x k +1) ∆x k +1-I |
'
'
k =1
ε
2M
+
ε
2
=
ε
2
+
ε
2
=ε
β
m -1
即 lim
λ→0
∑a (x
k =1m -1
k +1
) B (ξk +1) ∆x k +1=
β
'
⎰a (x ) B '(x ) dx
α
同理， lim
λ→0
∑a
k =1
'
(ηk +1) B (x k ) ∆x k +1=
⎰a '(x ) B (x ) dx
α
则对（3）式两边取极限有
β
β
⎰a (x ) B '(x ) dx
α
=a (β) B (β) -a (α) B (α) -
β
⎰a '(x ) B (x ) dx
α
=a (x ) B (x ) |-⎰a '(x ) B (x ) dx
α
βα
通过上面的证明我们可以看到阿贝尔变换和定积分的分部积分公式的内在联系。我想，数学的内涵是极为丰富的，数学之中许多形似或性近的公式或定理也许存在着共同的本质，有其相通之处，我们应当深入探讨下去。
从阿贝尔变换看定积分分部积分公式
刘鹏飞 数学与应用数学专业 05级基地班
指导老师 尹小玲
2006年9月
摘要:通过深入了解阿贝尔变换的几何意义, 分析它与定积分存在某种联系; 经过进一步探讨, 得到由阿贝尔变换可以推导出定积分分部积分公式.
关键词：阿贝尔变换，定积分，分部积分。
阿贝尔变换：设有两组数a k , b k (k =1, 2, 3, , m ) 为了求和数
m
∑a
k
b k =a 1b 1+a 2b 2+ a m b m
k =1
引入 B 1=b 1, B 2=b 1+b 2, B 3=b 1+b 2+b 3, , B m =b 1+b 2+ b m 这样， b 1=B 1, b 2=B 2-B 1, , b m =B m -B m -1 把它代入和式中得
m
∑a
k
b k =a 1B 1+a 2(B 2-B 1) +a 3(B 3-B 2) + a m (B m -B m -1)
k =1
=(a 1-a 2) B 1+(a 2-a 3) B 2+ (a m -1-a m ) B m -1+a m B m
m -1
=
∑(a
k
-a k +1) B k +a m B m
k =1
这个变换式：
m
m -1
∑a
k
b k =
∑(a
k
-a k +1) B k +a m B m
k =1
k =1
就称为阿贝尔变换或和差变换。
(1)
上述阿贝尔变换，有一个简单的几何解释。为了简单起见，以m =6为例，设a k ≥0，
6
且b k ≥0(k =1, 2, 3, 4, 5, 6) ，且a k 单调下降。这时，∑a k b k 在上图中就表示以b k 为底，a k
k =1
为高的六个矩形的面积之和，这正是此图中大的阶梯形的面积。它显然等于以
B 6=b 1+b 2+b 3+b 4+b 5+b 6为底，以a 6为高的矩形面积，以及以B k =b 1+b 2+ +b k
为底，a k -a k +1(k =1, 2, 3, 4, 5, ) 为高的五个“扁”矩形的面积之和，可见，阿贝尔变换在几何上只是把大阶梯形面积转化成两种不同方向的矩形面积之和而已。 阿贝尔变换可以看作是求图形的面积，而定积分运算也是求图形的面积，因此二者之间有一定的联系。从广义上看，定积分运算和阿贝尔变换一样都是一种求和的运算。
我们进一步分析
m
m -1
k
∑a
k =1
b k =
∑(a
k =1
k
-a k +1) B k +a m B m
（约定B 0=0）。
不妨将数项看成是函数在某些点的函数值，即设函数a (x ), B (x ) 定义在区间[α, β]上，
α=x 1
a 1=a (x 1), a 2=a (x 2) , a m =a (x m ),
B k =B (x k )(k =1, 2, , m ) 。 将其代入（1）式得
m
m -1
k
∑a (x
k =1
)[B (x k ) -B (x k -1)]=
∑(a (x
k =1
k
) -a (x k -1)) B (x k ) +a (x m ) B (x m )
或
m -1
m -1
k +1
∑a (x
k =1
)[B (x k +1) -B (x k )]=a (x m ) B (x m ) -a (x 1) B (x 1) -
∑(a (x
k =1
k +1
) -a (x k )) B (x k )
(2)
其中B (x 0) =0。
为了便于讨论，设函数a (x ), B (x ) 是区间[α, β]上连续函数，且具有连续导函数，则由连续函数的四则运算法则知a (x ) B (x ) 也是连续函数，且它在[α, β]上是可积的。则由微分中值定理，
∃ξk+1∈(x k , x k +1)
,s.t B (x k +1) -B (x k ) =B '(ξk +1)(x k +1-x k )
∃ηk+1∈(x k , x k +1) ,s.t a (x k +1) -a (x k ) =a '(ηk +1)(x k +1-x k ) 于是(2)式化为
m -1
m -1
k +1
∑a (x
k =1
) B (ξk +1)(x k +1-x k ) =a (x m ) B (x m ) -a (x 1) B (x 1) -
'
∑a
k =1
'
(ηk +1)(x k +1-x k ) B (x k ) （3）
上式十分类似于定积分的分部积分公式：若函数U (x ), V (x ) 在[a , b ]有连续的微商
U '(x ), V '(x ) ，则有分部积分公式
b
'
b
a
b
'
⎰U (x ) V (x ) dx =U (x ) V (x ) |-⎰V (x ) U (x ) dx 。
a
a
下面我们利用阿贝尔变换而得的（3）式来给出定积分的分部积分公式的证明. 由于a (x ), B (x ) 在[α, β]有连续导函数a '(x ), B '(x ) ，则函数a (x ) B '(x ) 与a '(x ) B (x ) 也是[α, β]的连续函数, 它们均在[α, β]上可积。即∀ε>0,∃δ1>0，对于[α, β]的任意分法：
α=x 1
n -1
|∑a (c k +1) B (c k +1) ∆x k +1-I |
k =1
'
ε
2
β
(I 为常数, I =⎰a (x ) B ' (x ) dx ).
α
a (x ) 是[α, β]上的连续函数，故它在[α, β]上有界，即∃M >0，使得
|a (x ) |≤M ，x ∈[α, β]
又B ' (x ) 在[α, β]上连续，则它在[α, β]一致连续，故对于上面的ε, ∃δ2>0，当d,e ∈[α, β]
且|d-e|
|B (d ) -B (e ) |
'
'
ε2M (β-α)
则对于前面[α, β]的分法α=x 1
|∑a (x k +1) B (ξk +1) ∆x k +1-I |
'
k =1m -1
m -1
'
m -1
k +1
m -1
=|∑a (x k +1) B (ξk +1) ∆x k +1-
k =1m -1
∑a (x
k =1m -1
) B (x k +1) ∆x k +1+
'
∑a (x
k =1
m -1
k +1
) B (x k +1) ∆x k +1-I |
'
≤|∑a (x k +1) B (ξk +1) ∆x k +1-
k =1
'
∑a (x
k =1
k +1
) B (x k +1) ∆x k +1|+|∑a (x k +1) B (x k +1) ∆x k +1-I |
'
'
k =1
ε
2M
+
ε
2
=
ε
2
+
ε
2
=ε
β
m -1
即 lim
λ→0
∑a (x
k =1m -1
k +1
) B (ξk +1) ∆x k +1=
β
'
⎰a (x ) B '(x ) dx
α
同理， lim
λ→0
∑a
k =1
'
(ηk +1) B (x k ) ∆x k +1=
⎰a '(x ) B (x ) dx
α
则对（3）式两边取极限有
β
β
⎰a (x ) B '(x ) dx
α
=a (β) B (β) -a (α) B (α) -
β
⎰a '(x ) B (x ) dx
α
=a (x ) B (x ) |-⎰a '(x ) B (x ) dx
α
βα
通过上面的证明我们可以看到阿贝尔变换和定积分的分部积分公式的内在联系。我想，数学的内涵是极为丰富的，数学之中许多形似或性近的公式或定理也许存在着共同的本质，有其相通之处，我们应当深入探讨下去。