分形油藏不稳定渗流问题的精确解

第30卷第5期1998年9月

力　学　学　报

ACTA MECHAN ICA SIN ICA

Vol. 30,No. 5Sept. , 1998

分形油藏不稳定渗流问题的精确解

同登科

(石油大学(华东) 数学系, 山东东营257062)

葛家理

(石油大学(北京) 石油工程系, 北京昌平102249)

摘要　研究了分形油藏无限大地层和有界地层渗流模型, 引入了一类有限广义Hankel 变换, 利用这种变换和Weber 变换, 在井底定流量和定压生产时, 对无限大地层及有界地层(包括封闭和定压地层) 六种情况, 求得了实空间解析解1用双参数(d f , d s ) 来刻画分形油藏的分形特性, 分析了分形油藏压力动态特征以及分形参数和边界对压力动态的影响1关键词　分形, 油藏工程, 积分变换, 试井分析

　　实际地质体存在着大量的分形结构, 而以往的理论大多是采用均质手段和拟均质处理方法1为了描述具有分形结构的油藏, Chang 和Y ortsos [1]将分形理论引入渗流力学, 建立了分形油藏压力不稳定试井模型1Beier [2]基于分形油藏试井方法解释了油田中用传统模型无法匹配和解释的复杂油藏的试井结果, 得到了与现场实验一致的结论1Acuna [3]评论了分形分析的理论背景, 给出了一些应用技巧1但他们都没有给出实空间的精确解, 更没有讨论定压生产和有界地层1实际油藏都是有限的, 因此有必要进一步完善分形油藏渗流模型及其试井理论1

引入了一类新的有限广义Hankel 变换, 并利用此种变换和广义的Weber 变换给出了井底定流量和定压生产时, 无限大地层, 有界封闭和有界定压地层的实空间精确解, 讨论了分形油藏压力动态特征、分形参数和边界对压力动态的影响, 均质地层是分形油藏的特例11　分形油藏的渗流模型

假设分形维数为d f 的分形渗流网络嵌入到2维欧几里得不渗透岩块中, 渗流只发生在分形网络中, 且服从达西定律, 储层厚度一致为h , 在储层中心一口井定产量或定压生产时, 分形油藏微可压缩液体圆柱对称问题可描述如下

m r D

2m -2

=+t D r D r D 5r 2D

(1)

其中m =d f /d S , β=d f -2m +1, d S =2d f /(θ+2) 1d S 是谱维数, θ是反常扩散指数, 描述流体

在分形油藏渗流时的异常, 是另一个描述分形油藏特征的参数1它与分形网络的拓扑有关, 刻画了分形网络的连通情况, θ把分形网络的几何特性和导流特性特征化1当θ=0时流动过程就是均质情况, 在这个过程中, 流动无拘无束, 不受阻碍, 反映系统的连通性好, 另一方面, 在分形网络中, 由于网络的连通性较差和流径高度扭曲使得流动减缓, 此时θ>01因此θΕ0, 对于平面径向流1

1997-02-17收到第一稿, 1998-01-13收到修改稿.

卷第0

文中用参数d S 代替θ描述分形网1对于平面径向流动网, d S 是小于等于d f , 这种情况发生在流动介质在垂直方向是均质的或生产层厚度相当地薄1

(2) 初始条件　　　　　　　　　　P D |t D =0=0

内边界条件r D

P D |

=-m 　　　　　　　　　　　　　　　(3)

r D =1r D =1

=1=0

(4) (5) (6) (7)

外边界条件r D

P D |

r →∞

r D =r eD r D =r eD

lim P D =0

　　对于定产量生产时, 无因次压力定义为:P D =2πk w m h (P 0-P ) /μq , 对于定压生产时, P D

P P k m t =1其它无量纲量定义为t D =, r =r/r w , r w 为井眼半径, P w 为定压生产时, P 0-P w φw μC f r 2w D

井底压力, k w , φw 为r =r w 处的渗透率和孔隙度, μ为流体粘度, C f 为流体压缩系数1P 0是初始地层压力1

分形油藏六个典型初边值问题:1) 定产量生产有界封闭地层问题, 式(1) , (2) , (3) , (5) , 简称问题I ; 2) 定产量生产有界定压地层问题, 式(1) , (2) , (3) , (6) 简称问题Ⅱ; 3) 定压生产有界封闭地层问题, 式(1) , (2) , (4) , (5) , 简称问题Ⅲ; 4) 定压生产有界定压地层, 式(1) , (2) , (4) , (6) , 简称问题Ⅳ;5) 定产量生产时无限大地层问题, 式(1) , (2) , (3) , (7) 简称问题V ;6) 定压生产时无限大地层问题, 式(1) , (2) , (4) , (7) , 简称问题Ⅵ12　分形油藏渗流问题的解

为了求解分形油藏有界地层问题的解, 令

P D (r D , t D ) =r D

(1-β) /2

ρ=r D f (ρ, t D ) , 　

(8)

则问题I 变为

2=2+ρ-2f t D ρ5ρ

(9) (10)

+V f ρ+V f 5ρ=1

=-1

第5期同登科等:分形油藏不稳定渗流问题的精确解　　　　　　　623

λ) J n (y λ) -J m (x λ) Y n (y λ) 1λ) 满足方程其中φm , n (x , y , λ) =Y m (x 0=0, λK (K =1, 2, …

φV -1, V -1(1, R , λ) =0

2H 12+ρ-2f ρ5ρ

δE =ρE 1r -D ρ(ρ)

1δρf , t D

(14)

K ≠0K =0

∫

ρE (ρ, λ) d ρ=ρ・∫∫ρ

ρE 2ρ=[R 2φ2V , V -1(R , R , λK ) -φ2V , V -1(1, R , λK ) ], 1(ρ, λK ) d 21

-2V

　　(15) 　　(16)

d ρ=, 　

d s

如果函数f (ρ

) 及其导数在区间[1, R ]上分段连续, 那么∞

f (ρ

) =K E 1(ρ, λK )

K ∑D

d s

-1

ρ) 1

f (ρ

E 1

(ρ, λ0

) d ρ, K =0

D K =

2ρ

f (ρ) E 1(ρ, λK

) d ρ

R 2φ2K ≠0

V , V -1(R , R , λK ) -φ2

V , V -1(1, R , λK )

, 有限广义Hankel 变换I 的逆变换为

∞

H 1-1

[ f (λK ) ]=f (ρ

) =, …k =0

M 1(λK

) f

(λK

) E 1(ρ, λK ) , 　k =0, 1, 2其中

d S

M d S

, K =01(λK ) =

[R 2φ2V , V -1(R , R , λK ) -φ2

V , V -1(1, R , λK ) ], K =1, 2…

对方程(8～11) 作有限的广义Hankel 变换I

d t D

+λ2

K f =K (λK ) f (λK , 0) =0

其中

K (λK ) =

1, K =0

φV , V -1(1, R , λK ) ,

K =1, 2,

, …

当K =0时

f (λ0, t D ) =t D

当K =1, 2, …

φ2

f (λt (λ) (-λK t D )

K , D ) =λ2

由逆变换公式有

∞

f (ρ, t ) ) φ((

) D ) =

-V

(λλ) φρλR

d S

-1

K (2

λ2K [R 2φ2V , V -1(R , R , λK ) -φ2V , V -1(1, R ,

λK ) ](17)

(18)

(19)

　　　　　　　624力　　学　　学　　报1998年第30卷

将f (ρ, t D ) 代回P D (r D , t D ) , 并利用贝塞尔函数性质化简得有界封闭地层的解

P D (r D , t D ) =

d f

r eD ∞

K =1

-1

(1-β) /2

-πr D ・

m m m 2

λ) (() () (() )

λK (J 2λK ) ) V -1(λK ) -J V -1(r eD

(20)

(20) 式还可以简化为[5](利用参考文献[5]中(313-32,33) 式满足初始条件)

P D (r D , t D ) =

d f

r eD

∞

-1-4

+π

(1-β) /2r D

K =1

f r r D +2-

m m m

λ) (() () () )

λK (J 2V -1λK -J 2λK ) V -1(r eD

f (f

d f [2d f r r -1) -(θ+2-d f ) (r -1)

d f

r eD

d θ

-1)

r D

θ+2

d f

θ+2

d f 2

2[(θ+2) 2-d 2f ) (r eD -1) ]

, 　V ≠0

-, 　V =0(即　d f =2, θ=0) 22

) 2(r eD -1) 4(r 2-1eD

类似地可定义其它情况的广义Hankel 变换, 并利用这些变换和Weber 变换[4]可得其它情况的解, 列于表11

表1　分形油藏渗流问题的精确解

Table 1　Exact pressures solution for fluids flow in fractal reservoir

P D (r D , t D ) =π

(1-β) /2

r D +2-λ2t D λm m m

λ-K

2m λK [J 2λK ) ]V -1(λK ) -J V (r eD K =1

d f

∞

φV -1, V (1, r eD ) =0, λ

Ⅱ

+2-2V

, V ≠0

ln , r D

V =0

(1-β) /2

P D (r D , t D ) =1-πr D ・

Ⅲ

m 2m m

λ) (λ) ((λ() ) φ(λ)

λK ) J 2V (λK ) -J V -1(r eD K =1

m m

(-λK t D ) φ(λ) m

λK ) J V (λK ) J V (r eD +22m

λK ) J V (λK ) -J V (r eD K =1

∞

φV , V -1(1, r eD ) =0, λ

∞

P D (r D , t D ) =-π

(1-β) /2

r D

∑

Ⅳ

+2-d +2-f θ+2-d

f -1r eD

θd

, V ≠0

φV , V (1, r eD ) =0, λ

1-, ln r eD

) /21-β

V =0

P D (r D , t D ) =

∞

・

2t D )

(() () λr m () ) 222λ[J V -1(λ) +Y V -1() ]

Ⅴ

(-λ

P D (r D , t D ) =

) /21-β

(π

∞

・

2t D )

Ⅵ

m m

(Y (λ) J (λ) -J (λ) Y (λ) ) (1-e -λr r λ[J 2) +Y 2) ]V (λV (λ

d λ

第5期同登科等:分形油藏不稳定渗流问题的精确解　　　　　　　625

3　压力曲线动态特征

上述解析研究中, 由于应用了有限广义Hankel 变换和广义Weber 变换, 使求解过程大大简

化1问题V 和V I 这样的实积分解可用数值积分方法求解, 一般数值积分速度是较慢的, 为此我们采用拉氏数值反演算法1在拉氏空间中, 我们对问题V 有象函数解(井眼处)

P WD =

() s

3/2

K 1-

(s )

(21)

同样可得定压生产时无限大油藏井筒无因次流量象函数解

q D =

() S )

s K V (

(22)

由拉氏数值反演知无因次压力动态特征及分形参数和边界的影响1

1) 在P wD ～t D 的双对数图上1曲线呈现二段明显的直线特征(如图1) a ) 斜率为1/2直线段;

b ) 斜率为1-d S /2直线段, 反映油藏的分形特征12) 分形参数的影响

分形参数d S :由图1可知, 随着时间的增加, 压力解依赖于d S 的大小而相互发散, 在已给时间内, 较大的d S 值对应于较小的无因次压力, 也就是说随着V =1-d S /2的增加

, 无因次压力增加1例如在图1中最低的曲线对应于V =0, 最高的曲线对应于V =01951

图1　无因次压力与时间双对数图

Fig 11　log -log plots of dimensionless

wellbore pressure versus time

图2　无因次流量与时间双对数图

Fig 12　log -log plots of dimensionless rate

versus time

　　3) 无因次流量q D 动态特征(如图2)

早时无因次流量曲线合并在一起, 随着时间的增加, 这些曲线相互发散, 发散程度依赖于d S

的大小, d S 越大, 无因次流量越大(已给时间内) 1

4) 边界的影响

对于定产量生产有界封闭地层的拉氏空间井眼处的解为

P WD =

Ψ(, R , s )

3/2

s ΨV -1, V -1(1, R , s )

(23)

其中Ψm , n (α, β, u ) =K m (αu ) I n (βu ) +(-1) m +n -1I m (αu ) K n (βu ) 利用拉氏数值反演法知边界对压力动态特征的影响1如图3表示有界封闭圆柱对称油藏d S =115, r eD =200的无因次压力和压力导数图, 图上显示了d f 为115,1175和2三种情况井筒压力和压力导数动态特征, 说明早时在无限激动阶段, 压力动态不依赖于d f , 随着时间的增加, 有限外边界的影响达到, 有趣的是d f 的值越小, 外边界对压力动态影响的时间越早, 压力导数有类似的动态, 在长时(拟稳态到达时) 压力和压力导数有同样的动态响应1相反(如图4) d S 越小, 外边界对压力动态影响的时间越晚

图3　封闭油藏压力和压边导数与时间双对数图

Fig 13　log -log plots of pressure and pressure derivative versus time for a closed reservoir

图4　封闭边界压力与时间双对数

Fig 14　log -log plots of pressure and pressure derivative

versus time for a closed circular system

参　考　文　献

1　Chang J , Y ortsos Y C 1Pressure transient analysis of fractal reservoir 1S PE Form Eval , 1990, 5(1) :31～38

2　Beier R A 1Pressure transient field data showing fractal reservoir structure , paper CIM/SPE 90-4, International Technical Meet 2ing sof the Pet 1Soc 1of CIM and the SPE Calgary 1AB 1J une 10-13, 1990

3　Acuna J A , Ershagghi I , Y ortsos Y C 1Practical application of fractal pressure transient analysis of naturally fractured reservoir 1

Soc 1Pet Eng Form Eval , 1995, 10(3) :173～179

4　葛家理, 栾志安, 吴玉树1裂缝性碳酸盐油气田几种渗流模式及试井理论探讨, 见:油气田开发论文集(一) 1北京:石油工

业出版社, 1982194～106(G e Jiali , Luan Zhian , Wu Yushu 1A Few Flow Models and Well Test Theory of Fractured Carbonate

Reservoir 1In :Selected Papers on Oilfield Development 1Beijing , Petroleum Industry Press , 1982, 94～106(in Chinese ) ) 5　同登科1分形油藏渗流力学研究1[博士论文], 石油大学(北京) 石油工程系(Tong Dengke 1Study on the mechanics of fluids flow through fractal reservoir 1Ph D thesis , Petroleum University , Beijing (in Chinese ) )

AN EXACT SOL UTION FOR UNSTEADY SEEPAGE FLOW

THROUGH FRACTAL RESERVOIR

Tong Dengke

(The Depart ment of M athem atics , U PC , Dongying 257062, China )

G e Jiali

(The Depart ment of Pet roleum Engineering U PC , Beijing 102249, China )

Abstract 　There exists a amount of fractal structure in real geologic bodies , but classical pressure transient model are described by using homogeneous means and pseudo -homogeneous method 1In order to depict reservoir with fractal structure , fractal geometry has introduced the mechanics of flu 2ids flow through porous media in some recent studies to build the pressure transient model of fluids flow in fractal 1Fracture network in the fractured rock system is described by using fractal 1For these models , however , they don ’t give exact solution for flow equation in real space and discuss constant pressure production inner boundary condition and bounded formation cases 1Real reservoir are finite 1Thus , it is necessary that the pressure transient model of fluids flow in fractal reservoir and well test theory are perfected 1

In this paper , we give the exact solution of flow equation in real space for both constant rate and constant pressure production cases from in an infinite system by using generalized Weber trans 2form combined Laplace transform 1Transient pressure behavior and transient rate behavior are ob 2tained by using numerical Laplace transform inversion scheme 1We discuss that transient pressure and rate behavior are affected by fractal parameter 1For fluids flow in a fractal reservoir , the slopes of late time straight lines in the log -log dimensionless pressure plots depends on the spectral dimen 2sion of the fractal reservoir (d s ) 1

Transient pressure behavior for finite reservoir cases are studied 1A new finite generalized Han 2kel transform is presented 1Analytical solutions are also obtained by using the Hankel transform for a finite circular reservoir case 1Both closed and constant pressure outer boundary conditions are consid 2ered 1Moreover , the solutions are presented for both constant rate and constant pressure inner boundary conditions 1A method to scale the fractal properties of fractal reservoir by a double parame 2ter (d f , d s ) is presented 1We analyze the transient pressure and pressure derivative behavior charac 2teristics of fluids flow through fractal reservoir 1The sensitivity of the system response to the fractal parameters and boundary are also examined in detail 1

The results obtained extent classical pressure transient and well testing methods to fractal reser 2voir 1They may be useful in the identification and modeling of fractal reservoir 1K ey w ords 　fractal reservoir , integral transform , exact solution , well test analysis

Received 17February 1997, revised 13January 19981

第30卷第5期1998年9月

力　学　学　报

ACTA MECHAN ICA SIN ICA

Vol. 30,No. 5Sept. , 1998

分形油藏不稳定渗流问题的精确解

同登科

(石油大学(华东) 数学系, 山东东营257062)

葛家理

(石油大学(北京) 石油工程系, 北京昌平102249)

m r D

2m -2

=+t D r D r D 5r 2D

(1)

其中m =d f /d S , β=d f -2m +1, d S =2d f /(θ+2) 1d S 是谱维数, θ是反常扩散指数, 描述流体

1997-02-17收到第一稿, 1998-01-13收到修改稿.

卷第0

文中用参数d S 代替θ描述分形网1对于平面径向流动网, d S 是小于等于d f , 这种情况发生在流动介质在垂直方向是均质的或生产层厚度相当地薄1

(2) 初始条件　　　　　　　　　　P D |t D =0=0

内边界条件r D

P D |

=-m 　　　　　　　　　　　　　　　(3)

r D =1r D =1

=1=0

(4) (5) (6) (7)

外边界条件r D

P D |

r →∞

r D =r eD r D =r eD

lim P D =0

　　对于定产量生产时, 无因次压力定义为:P D =2πk w m h (P 0-P ) /μq , 对于定压生产时, P D

P P k m t =1其它无量纲量定义为t D =, r =r/r w , r w 为井眼半径, P w 为定压生产时, P 0-P w φw μC f r 2w D

井底压力, k w , φw 为r =r w 处的渗透率和孔隙度, μ为流体粘度, C f 为流体压缩系数1P 0是初始地层压力1

为了求解分形油藏有界地层问题的解, 令

P D (r D , t D ) =r D

(1-β) /2

ρ=r D f (ρ, t D ) , 　

(8)

则问题I 变为

2=2+ρ-2f t D ρ5ρ

(9) (10)

+V f ρ+V f 5ρ=1

=-1

第5期同登科等:分形油藏不稳定渗流问题的精确解　　　　　　　623

λ) J n (y λ) -J m (x λ) Y n (y λ) 1λ) 满足方程其中φm , n (x , y , λ) =Y m (x 0=0, λK (K =1, 2, …

φV -1, V -1(1, R , λ) =0

2H 12+ρ-2f ρ5ρ

δE =ρE 1r -D ρ(ρ)

1δρf , t D

(14)

K ≠0K =0

∫

ρE (ρ, λ) d ρ=ρ・∫∫ρ

ρE 2ρ=[R 2φ2V , V -1(R , R , λK ) -φ2V , V -1(1, R , λK ) ], 1(ρ, λK ) d 21

-2V

　　(15) 　　(16)

d ρ=, 　

d s

如果函数f (ρ

) 及其导数在区间[1, R ]上分段连续, 那么∞

f (ρ

) =K E 1(ρ, λK )

K ∑D

d s

-1

ρ) 1

f (ρ

E 1

(ρ, λ0

) d ρ, K =0

D K =

2ρ

f (ρ) E 1(ρ, λK

) d ρ

R 2φ2K ≠0

V , V -1(R , R , λK ) -φ2

V , V -1(1, R , λK )

, 有限广义Hankel 变换I 的逆变换为

∞

H 1-1

[ f (λK ) ]=f (ρ

) =, …k =0

M 1(λK

) f

(λK

) E 1(ρ, λK ) , 　k =0, 1, 2其中

d S

M d S

, K =01(λK ) =

[R 2φ2V , V -1(R , R , λK ) -φ2

V , V -1(1, R , λK ) ], K =1, 2…

对方程(8～11) 作有限的广义Hankel 变换I

d t D

+λ2

K f =K (λK ) f (λK , 0) =0

其中

K (λK ) =

1, K =0

φV , V -1(1, R , λK ) ,

K =1, 2,

, …

当K =0时

f (λ0, t D ) =t D

当K =1, 2, …

φ2

f (λt (λ) (-λK t D )

K , D ) =λ2

由逆变换公式有

∞

f (ρ, t ) ) φ((

) D ) =

-V

(λλ) φρλR

d S

-1

K (2

λ2K [R 2φ2V , V -1(R , R , λK ) -φ2V , V -1(1, R ,

λK ) ](17)

(18)

(19)

　　　　　　　624力　　学　　学　　报1998年第30卷

将f (ρ, t D ) 代回P D (r D , t D ) , 并利用贝塞尔函数性质化简得有界封闭地层的解

P D (r D , t D ) =

d f

r eD ∞

K =1

-1

(1-β) /2

-πr D ・

m m m 2

λ) (() () (() )

λK (J 2λK ) ) V -1(λK ) -J V -1(r eD

(20)

(20) 式还可以简化为[5](利用参考文献[5]中(313-32,33) 式满足初始条件)

P D (r D , t D ) =

d f

r eD

∞

-1-4

+π

(1-β) /2r D

K =1

f r r D +2-

m m m

λ) (() () () )

λK (J 2V -1λK -J 2λK ) V -1(r eD

f (f

d f [2d f r r -1) -(θ+2-d f ) (r -1)

d f

r eD

d θ

-1)

r D

θ+2

d f

θ+2

d f 2

2[(θ+2) 2-d 2f ) (r eD -1) ]

, 　V ≠0

-, 　V =0(即　d f =2, θ=0) 22

) 2(r eD -1) 4(r 2-1eD

类似地可定义其它情况的广义Hankel 变换, 并利用这些变换和Weber 变换[4]可得其它情况的解, 列于表11

表1　分形油藏渗流问题的精确解

Table 1　Exact pressures solution for fluids flow in fractal reservoir

P D (r D , t D ) =π

(1-β) /2

r D +2-λ2t D λm m m

λ-K

2m λK [J 2λK ) ]V -1(λK ) -J V (r eD K =1

d f

∞

φV -1, V (1, r eD ) =0, λ

Ⅱ

+2-2V

, V ≠0

ln , r D

V =0

(1-β) /2

P D (r D , t D ) =1-πr D ・

Ⅲ

m 2m m

λ) (λ) ((λ() ) φ(λ)

λK ) J 2V (λK ) -J V -1(r eD K =1

m m

(-λK t D ) φ(λ) m

λK ) J V (λK ) J V (r eD +22m

λK ) J V (λK ) -J V (r eD K =1

∞

φV , V -1(1, r eD ) =0, λ

∞

P D (r D , t D ) =-π

(1-β) /2

r D

∑

Ⅳ

+2-d +2-f θ+2-d

f -1r eD

θd

, V ≠0

φV , V (1, r eD ) =0, λ

1-, ln r eD

) /21-β

V =0

P D (r D , t D ) =

∞

・

2t D )

(() () λr m () ) 222λ[J V -1(λ) +Y V -1() ]

Ⅴ

(-λ

P D (r D , t D ) =

) /21-β

(π

∞

・

2t D )

Ⅵ

m m

(Y (λ) J (λ) -J (λ) Y (λ) ) (1-e -λr r λ[J 2) +Y 2) ]V (λV (λ

d λ

第5期同登科等:分形油藏不稳定渗流问题的精确解　　　　　　　625

3　压力曲线动态特征

上述解析研究中, 由于应用了有限广义Hankel 变换和广义Weber 变换, 使求解过程大大简

P WD =

() s

3/2

K 1-

(s )

(21)

同样可得定压生产时无限大油藏井筒无因次流量象函数解

q D =

() S )

s K V (

(22)

由拉氏数值反演知无因次压力动态特征及分形参数和边界的影响1

1) 在P wD ～t D 的双对数图上1曲线呈现二段明显的直线特征(如图1) a ) 斜率为1/2直线段;

b ) 斜率为1-d S /2直线段, 反映油藏的分形特征12) 分形参数的影响

, 无因次压力增加1例如在图1中最低的曲线对应于V =0, 最高的曲线对应于V =01951

图1　无因次压力与时间双对数图

Fig 11　log -log plots of dimensionless

wellbore pressure versus time

图2　无因次流量与时间双对数图

Fig 12　log -log plots of dimensionless rate

versus time

　　3) 无因次流量q D 动态特征(如图2)

早时无因次流量曲线合并在一起, 随着时间的增加, 这些曲线相互发散, 发散程度依赖于d S

的大小, d S 越大, 无因次流量越大(已给时间内) 1

4) 边界的影响

对于定产量生产有界封闭地层的拉氏空间井眼处的解为

P WD =

Ψ(, R , s )

3/2

s ΨV -1, V -1(1, R , s )

(23)

图3　封闭油藏压力和压边导数与时间双对数图

Fig 13　log -log plots of pressure and pressure derivative versus time for a closed reservoir

图4　封闭边界压力与时间双对数

Fig 14　log -log plots of pressure and pressure derivative

versus time for a closed circular system

参　考　文　献

1　Chang J , Y ortsos Y C 1Pressure transient analysis of fractal reservoir 1S PE Form Eval , 1990, 5(1) :31～38

3　Acuna J A , Ershagghi I , Y ortsos Y C 1Practical application of fractal pressure transient analysis of naturally fractured reservoir 1

Soc 1Pet Eng Form Eval , 1995, 10(3) :173～179

4　葛家理, 栾志安, 吴玉树1裂缝性碳酸盐油气田几种渗流模式及试井理论探讨, 见:油气田开发论文集(一) 1北京:石油工

业出版社, 1982194～106(G e Jiali , Luan Zhian , Wu Yushu 1A Few Flow Models and Well Test Theory of Fractured Carbonate

AN EXACT SOL UTION FOR UNSTEADY SEEPAGE FLOW

THROUGH FRACTAL RESERVOIR

Tong Dengke

(The Depart ment of M athem atics , U PC , Dongying 257062, China )

G e Jiali

(The Depart ment of Pet roleum Engineering U PC , Beijing 102249, China )

Received 17February 1997, revised 13January 19981

分形油藏不稳定渗流问题的精确解

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