2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、空间中两条直线的位置关系
1. 异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2. 空间中两条直线的位置关系的分类
（1）从有无公共点可将直线与直线的位置关系分为两类：若有且仅有一个公共点，则相交；若没有公共点，则平行或异面。
（2）从是否共面可将直线与直线的位置关系分为两类：若共面，则相交或平行；若不同在任一平面，则异面。
⎧，有且只有一个公共点。⎧相交直线：同一平面内共面直线⎪⎨ ，没有公共点。⎨⎩平行直线：同一平面内
⎪一个平面内，没有公共点。⎩异面直线：不同在任何
3. 异面直线的画法
为了表示异面直线a , b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示。
例1. 在三棱锥的6条棱中，异面直线共有（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.6对
例2. 如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，异面直线共有（ ）
A.12对 B.24对 C.36对 D.48对
例3，如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，请判断下列直线的位置关系。
（1）直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是 。
（2）直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是 。
（3）直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是 。
a 与c 的位置关系，并画图说明。 例4. 已知直线a , b , c 是三条直线，且a 与b 异面，b 与c 异面，试判断
二、平行公理和等角定理
1. 平行公理
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2. 等角定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
推论1：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 推论2：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行并且方向都相同（或都相反），那么这两个角相等。 例5. 已知a , b 是异面直线，直线c //直线a ，那么c 与b （ ）
A. 一定是异面直线 B.一定是相交直线
C. 不可能是平行直线 D.不肯能是相交直线
例6. 已知E , E 1分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD , A 1D 1的中点。求证：∠BEC =∠B 1E 1C 1.
三、异面直线所成的角
1. 异面直线所成的角
已知两条异面直线a , b ，经过空间任一点O 作直线a //a , b //b ，把a , b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a , b 所成的角（或夹角），如图，异面直线所成的角的范围为0, 90，如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线互相垂直。两条互相垂直的异面直线a , b ，记作a ⊥b .
2. 求异面直线所成角的步骤
（1）选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条使其成为相交直线。这里的点通常选择特殊位置的点，所谓特殊的点，即使得平移一条直线到此处以后产生的平面角，往往可以放在一个特殊的三角形（如直角三角形、等腰三角形）中；
（2）求出相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算；
（3）因为异面直线所成的角θ的范围是0
例7. 设点P 是直线a 外一定点，过点P 与a 成30角的异面直线有（ ）
A. 无数条 B.两条 C.至多有两条 D.一条
例8. 已知空间四边形ABCD 各边长与对角线都相等，求AB 和CD 所成的角的大小。
例9. 如图，空间四边形ABCD 中，E , F 分别是BD , AC 的中点，若BC =AD =2EF , 求直线EF 与直线AD 所成角的大小。
例10. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是AD , AA 1的中点。
(1)求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；
（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小。
︒
例12. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是A 1B 1, B 1C 1的中点. 求异面直线DB 1与EF 所成角的大小。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
一、空间中两条直线的位置关系
1. 异面直线
不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2. 空间中两条直线的位置关系的分类
（1）从有无公共点可将直线与直线的位置关系分为两类：若有且仅有一个公共点，则相交；若没有公共点，则平行或异面。
（2）从是否共面可将直线与直线的位置关系分为两类：若共面，则相交或平行；若不同在任一平面，则异面。
⎧，有且只有一个公共点。⎧相交直线：同一平面内共面直线⎪⎨ ，没有公共点。⎨⎩平行直线：同一平面内
⎪一个平面内，没有公共点。⎩异面直线：不同在任何
3. 异面直线的画法
为了表示异面直线a , b 不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图所示。
例1. 在三棱锥的6条棱中，异面直线共有（ ）
A.2对 B.3对 C.4对 D.6对
例2. 如果两条异面直线称作“一对”，那么在正方体的12条棱中，异面直线共有（ ）
A.12对 B.24对 C.36对 D.48对
例3，如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，请判断下列直线的位置关系。
（1）直线A 1B 与直线D 1C 的位置关系是 。
（2）直线A 1B 与直线B 1C 的位置关系是 。
（3）直线D 1D 与直线D 1C 的位置关系是 。
a 与c 的位置关系，并画图说明。 例4. 已知直线a , b , c 是三条直线，且a 与b 异面，b 与c 异面，试判断
二、平行公理和等角定理
1. 平行公理
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
2. 等角定理
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
推论1：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 推论2：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行并且方向都相同（或都相反），那么这两个角相等。 例5. 已知a , b 是异面直线，直线c //直线a ，那么c 与b （ ）
A. 一定是异面直线 B.一定是相交直线
C. 不可能是平行直线 D.不肯能是相交直线
例6. 已知E , E 1分别是正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD , A 1D 1的中点。求证：∠BEC =∠B 1E 1C 1.
三、异面直线所成的角
1. 异面直线所成的角
已知两条异面直线a , b ，经过空间任一点O 作直线a //a , b //b ，把a , b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a , b 所成的角（或夹角），如图，异面直线所成的角的范围为0, 90，如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条直线互相垂直。两条互相垂直的异面直线a , b ，记作a ⊥b .
2. 求异面直线所成角的步骤
（1）选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条使其成为相交直线。这里的点通常选择特殊位置的点，所谓特殊的点，即使得平移一条直线到此处以后产生的平面角，往往可以放在一个特殊的三角形（如直角三角形、等腰三角形）中；
（2）求出相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算；
（3）因为异面直线所成的角θ的范围是0
例7. 设点P 是直线a 外一定点，过点P 与a 成30角的异面直线有（ ）
A. 无数条 B.两条 C.至多有两条 D.一条
例8. 已知空间四边形ABCD 各边长与对角线都相等，求AB 和CD 所成的角的大小。
例9. 如图，空间四边形ABCD 中，E , F 分别是BD , AC 的中点，若BC =AD =2EF , 求直线EF 与直线AD 所成角的大小。
例10. 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是AD , AA 1的中点。
(1)求直线AB 1和CC 1所成的角的大小；
（2）求直线AB 1和EF 所成的角的大小。
︒
例12. 如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E , F 分别是A 1B 1, B 1C 1的中点. 求异面直线DB 1与EF 所成角的大小。