高考等差数列、等比数列
突破
数列等差数列通项公式定义前n 项和公式性质等比数列通项公式定义前n
项和公式性质
1．(等比数列的前n 项和)(2013·北京高考) 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______；前n 项和S n ＝________.
【解析】 设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则： 由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2) ＝20. ① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2) ＝40. ② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.
a 1(1－q n )2(1－2n )n ＋1故S n ＝＝＝2－2.
1－q 1－2【答案】 2 2n 1－2
＋
2．(等差数列的性质) 在等差数列{a n }中，若a 2，a 2 014为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 1＋a 1 008＋a 2 015＝________.
【解析】 由题意知a 2＋a 2 014＝10，所以a 1 008＝5. 所以a 1＋a 1 008＋a 2 015＝3a 1 008＝3×5＝15. 【答案】 15
3．(等比数列的性质) 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝－1，a 5＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.
【解析】 在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25；a 2a 6＝a 3a 5，所以
2222
a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 3＋2a 3a 5＋a 5＝(a 3＋a 5) ＝(22) ＝8.
【答案】 8
2a ＋11
4．(等差数列的通项公式) 若数列{a n }满足＝a 1＝3，则a n ＝________ .
a n a n ＋12a n ＋1111
【解析】 由，得－＝2，
a n a n ＋1a n ＋1a n 11
∴数列{，公差为2的等差数列．
a n 3115
∴＋(n －1) ×2＝2n a n 333∴a n .
6n －5【答案】
36n －5
5．(等差数列前n 项和) 已知正数组成的等差数列{a n }，其前20项和为100，则a 7·a 14
的最大值是__________．
20(a 1＋a 20)【解析】 ∵S 20＝100，
2
∴a 1＋a 20＝10. ∵a n >0，
a 7＋a 142a 1＋a 202
∴a 7·a 14≤() ＝(＝25，
22
当且仅当a 7＝a 14时取“＝”． 【答案】 25
(1)(2013·课标全国卷Ⅰ) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，
S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
(2)(2013·湖北高考) 已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. ①求数列{a n }的通项公式．
111
②是否存在正整数m ，使得＋„＋≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，
a 1a 2a m
说明理由．
【思路点拨】 (1)先求a m ，a m ＋1，再根据a m ，a m ＋1，S m 列方程组求m .
⎧1⎫
(2)①先求得a 1和公比q ，再求通项公式；②根据数列 ⎨a ⎬仍然构成等比数列可求得数
⎩n ⎭
⎧1⎫
列 ⎨a ⎬的前m 项和，进而作出判断． ⎩n ⎭
【自主解答】 (1)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.
∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.
m (a 1＋a m )m (a 1＋2)
又S m ＝＝0，
22
∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 【答案】 C
33⎧⎧⎪a 1＝3，⎪a 1q ＝125，
⎨(2)①设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得解得⎨2
⎪|a 1q －a 1q |＝10，⎩⎪
5
⎩q ＝3，
或
⎧⎪a 1＝－5，
⎨ ⎪q ＝－1. ⎩
5n －1－
故a n ·3，或a n ＝－5·(－1) n 1.
3
5n －113⎛1⎫n －1
②若a n ＝3，
3a n 5⎝3⎭⎧1⎫31
故数列 ⎨a ⎬
53⎩n ⎭
3⎡⎛1m ⎤·1－m 15⎣⎝3⎦9⎡⎛1m ⎤9
从而∑ ＝1－
a 110⎣⎝3⎦10n ＝1n
1－3
11－－
若a n ＝(－5)·(－1) n 1，则(－1) n 1，
a n 5
⎧1⎫1
故数列⎨a 1的等比数列，
5⎩n ⎭
1⎧m 1m 1⎪－5，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，
从而∑ ⎨故∑ n ＝1a n n ＝1a n ⎪⎩0，m ＝2k (k ∈N ＋).
111
故不存在正整数m ，使得＋„＋≥1成立．
a 1a 2a m
1．本例(2)中，通项公式含(－1) n 1，故需分n 为奇数与偶数两种情况讨论．
－
2．涉及等差(比) 数列的运算，一般是利用等差(比) 数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．
3．在使用等比数列前n 项和公式时，若公比q 不能确定是否为1，应分q ＝1和q ≠1两种情况讨论．
变式训练1 (2013·潍坊模拟) 在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m, 92m ) 内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .
【解】 (1)因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，所以a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，
则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1， 所以a n ＝a 1＋(n －1) d ＝1＋9(n －1) ＝9n －8(n ∈N *) ． (2)对m ∈N *，若9m
－
－
故得b m ＝92m 1－9m 1.
－
－
于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋„＋b m
＝(9＋93＋„＋92m 1) －(1＋9＋„＋9m 1)
－
－
9×(1－81m )(1－9m )＝1－811－9
92m 1－10×9m ＋1＝.
80
＋
【命题要点】 ①利用等差数列的性质求某一项，求和；②利用等比数列的性质，求值.
(1)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，数列{a n }
前9项的和为( )
A ．297 B ．144 C ．99 D ．66
a 29
(2)(2013·三门峡模拟) 在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则的值为( )
a 11A ．9 B ．1 C ．2 D ．3
【思路点拨】 (1)先求a 4和a 6，然后再根据a 1＋a 9＝a 4＋a 6求S 9.
2
(2)先求a 7，再利用a 9＝a 11·a 7求解．
【自主解答】 (1)由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 9(a 1＋a 9)9(a 4＋a 6)9×(13＋9)所以S 9＝＝＝99.
222(2)由a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243得a 7＝3， a 2a 11·a 79
所以＝
＝a 7＝3.
a 11a 11【答案】 (1)C (2)D
2
1．本例(2)用a 9＝a 11a 7求解，过程简单，当然也可以把a 9、a 11用a 7、公比q 表示出来，
求解．
2．等差、等比数列的性质
n 1233451
＝a 2a 3a 4＝( ) 8
1
A ．512 B ．64 C ．1 D.
51213
【解析】 因为a 1a 2a 3＝a 2＝8，a 3a 4a 5＝a 34＝. 8由题意知数列{a 3n }也是等比数列，且各项为正．
3故a 2a 3a 4＝a 3＝1.
【答案】 C
【命题要点】 ①判定或证明一个数列是等差数列；②判定或证明一个数列是等比数列.
(2013·北京高考) 给定数列a 1，a 2，„，a n ，对i ＝1,2，„，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，„，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .
(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；
(2)设a 1，a 2，„，a n (n ≥4) 是公比大于1的等比数列，且a 1>0，证明：d 1，d 2，„，d n
－1是等比数列；
(3)设d 1，d 2，„，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，„，a n －1是等差数列．
【思路点拨】 (1)根据d i 的定义求解．
(2)需根据题意求出d n 的通项公式后利用定义证明． (3)利用等差数列的定义证明．
【自主解答】 (1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1， 所以a 1，a 2，„，a n 是递增数列．
因此，对i ＝1,2，„，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1,2，„，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q ) q i 1.
－
d i ＋1
因此d i ≠0且＝q (i ＝1,2，„，n －2) ，
d i 即d 1，d 2，„，d n －1是等比数列．
(3)证明：设d 为d 1，d 2，„，d n －1的公差． 对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0， 所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}， 所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .
从而a 1，a 2，„，a n －1是递增数列． 因此A i ＝a i (i ＝1,2，„，n －2) ． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1
所以B 1＝B 2＝„＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .
因此对i ＝1,2，„，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，„，a n －1是等差数列．
1．等差数列的判断方法：
(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数) ． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *) ． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数) ． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数) ． 2．等比数列的判定方法：
a n ＋1
(1)q (q 为非零常数，n ∈N *) ．
a n (2)等比中项法：a 2a n ＋2≠0(n ∈N *) ． n ＋1＝a n ·
(3)通项公式：a n ＝cq n 1(c 、q 均为非零的常数，n ∈N *) ．
－
3．要证明一个数列是等差(比) 数列必须用定义法或等差(比) 中项法．
13
变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝，a 2＝，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *) ，数列{b n }
441
满足b 1＝，3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *) ．
2
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：数列{b n －a n }为等比数列，并求出数列{b n }的通项公式． 【解】 (1)由a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *) ， 可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *) ．
11
∴数列{a n }是首项为a 1＝d ＝a 2－a 1＝的等差数列．
4211
∴a n ＝a 1＋(n －1) d ＝n －(n ∈N *) ，
2411
即a n n －(n ∈N *) ．
24
11
(2)由3b n －b n －1＝n ，得b n b n －1＋n (n ≥2，n ∈N *) ，
331111
∴b n －a n n －1＋－＋3324111113
＝b n －1－＋＝b n －1－n 364324111＝[b n －1－n －1) ＋] 3241
＝(b n －1－a n －1) ． 3
1
又b 1－a 10，∴b n －a n ≠0(n ∈N *) ，
4得
b n －a n 1
n ≥2，n ∈N *) ，
b n －1－a n －13
11
即数列{b n －a n }是首项为b 1－a 1＝的等比数列．
43
2n －111n －111n －111n －1
于是，b n －a n () ，即b n ＝() ＝[(＋2n －1](n ∈N *
).
4344343
等差、等比数列的通项公式a n 与前n 项和S n 是高考必考内容，其中把非等差、等比数列的求和问题转化为等差、等比数列的求和问题，体现了转化与化归的数学思想，是高考命题的生长点．
可转化为等差、等比数列的求和问题
(12分) 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某
一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．
n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1) n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【规范解答】 (1)当a 1＝3时，不合题意；
当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．
因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n 1.
－
4分
(2)因为b n ＝a n ＋(－1) n ln a n ＝2·3n 1＋(－1) n ln(2·3n 1)
－
－
＝2·3n 1＋(－1) n [ln 2＋(n －1)ln 3]
－
＝2·3n 1＋(－1) n (ln 2－ln 3)＋(－1) n n ln 3，
－
所以S n ＝2(1＋3＋„＋3n 1) ＋[－1＋1－1＋„＋(－1) n ](ln 2－ln 3) ＋[－1＋2－3＋„＋
－
(－1) n n ]ln 3.
1－3n n 所以当n 为偶数时，S n ＝2×ln 3
1－32n
＝3n ln 3－1；
2
当n 为奇数时，
1－3n n －1
S n ＝2×(ln 2－ln 3)＋－n )ln 3
21－3n －1
＝3n －－ln 2－1.
2
8分
10分
⎧
综上所述，S ＝⎨n －1
3－⎩2－ln 2－1，n 为奇数.
n
n
n
3n ＋ln 3－1，n 为偶数，
2
【阅卷心语】
12分
易错提示 (1)在确定a 1，a 2，a 3的值时，不会分类讨论导致无法求解．
(2)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，不会把S n 拆分成几个可求和的数列的和的形式，从而无法求解．
(3)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，对n 没分偶数和奇数两种情况求解导致答案错误． 防范措施 (1)当a 1的值不确定时，应对a 1的所有可能取值逐一进行讨论．
(2)当通项公式a n 是多项和的形式时，常把前n 项和S n 拆分成几个等差(比) 数列和的形式求解．
(3)数列问题中若遇到(－1) n 则需考虑n 的奇偶性对所求数值的影响．必要时应分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论．
1．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( ) A ．42 B ．±2 C ．4 D ．±4 【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知 8
d ＝－36，⎧S ＝9a ＋9×2
⎨13×12S ＝13a ＋d ＝－104，⎩2
9
1
13
1
⎧⎪a 1＝4，解得⎨
⎪d ＝－2. ⎩
∴a 5＝a 1＋4d ＝－4，a 7＝a 1＋6d ＝－8， ∴a 5a 7＝32，故a 5与a 7的等比中项为±42. 【答案】 B
2．数列{a n }满足a n ＋1
⎧2a ， 0≤a 2＝⎨1
2a －1， ≤a ＜1，⎩2
n
n
n
n
1
3
若a 1＝则数列的第2 013项为( )
5
2545
1 53 5
312
【解析】 由题意知a 2＝2a 1－1＝2×－1＝，a 3＝2a 2＝
55544331
a 4＝2a 3＝，a 5＝2a 4－1＝2×1，a 6＝2a 5－1＝2×－1，„
555553
从而数列{a n }的各项周期性出现，周期为4，故a 2 013＝a 1＝.
5
【答案】 C
高考等差数列、等比数列
突破
数列等差数列通项公式定义前n 项和公式性质等比数列通项公式定义前n
项和公式性质
1．(等比数列的前n 项和)(2013·北京高考) 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝______；前n 项和S n ＝________.
【解析】 设出等比数列的公比，利用已知条件建立关于公比的方程求出公比，再利用前n 项和公式求S n .
设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则： 由a 2＋a 4＝20得a 1q (1＋q 2) ＝20. ① 由a 3＋a 5＝40得a 1q 2(1＋q 2) ＝40. ② 由①②解得q ＝2，a 1＝2.
a 1(1－q n )2(1－2n )n ＋1故S n ＝＝＝2－2.
1－q 1－2【答案】 2 2n 1－2
＋
2．(等差数列的性质) 在等差数列{a n }中，若a 2，a 2 014为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 1＋a 1 008＋a 2 015＝________.
【解析】 由题意知a 2＋a 2 014＝10，所以a 1 008＝5. 所以a 1＋a 1 008＋a 2 015＝3a 1 008＝3×5＝15. 【答案】 15
3．(等比数列的性质) 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 3＝－1，a 5＋1，则a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝________.
【解析】 在等比数列{a n }中，a 3a 7＝a 25；a 2a 6＝a 3a 5，所以
2222
a 23＋2a 2a 6＋a 3a 7＝a 3＋2a 3a 5＋a 5＝(a 3＋a 5) ＝(22) ＝8.
【答案】 8
2a ＋11
4．(等差数列的通项公式) 若数列{a n }满足＝a 1＝3，则a n ＝________ .
a n a n ＋12a n ＋1111
【解析】 由，得－＝2，
a n a n ＋1a n ＋1a n 11
∴数列{，公差为2的等差数列．
a n 3115
∴＋(n －1) ×2＝2n a n 333∴a n .
6n －5【答案】
36n －5
5．(等差数列前n 项和) 已知正数组成的等差数列{a n }，其前20项和为100，则a 7·a 14
的最大值是__________．
20(a 1＋a 20)【解析】 ∵S 20＝100，
2
∴a 1＋a 20＝10. ∵a n >0，
a 7＋a 142a 1＋a 202
∴a 7·a 14≤() ＝(＝25，
22
当且仅当a 7＝a 14时取“＝”． 【答案】 25
(1)(2013·课标全国卷Ⅰ) 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，
S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )
A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
(2)(2013·湖北高考) 已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. ①求数列{a n }的通项公式．
111
②是否存在正整数m ，使得＋„＋≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，
a 1a 2a m
说明理由．
【思路点拨】 (1)先求a m ，a m ＋1，再根据a m ，a m ＋1，S m 列方程组求m .
⎧1⎫
(2)①先求得a 1和公比q ，再求通项公式；②根据数列 ⎨a ⎬仍然构成等比数列可求得数
⎩n ⎭
⎧1⎫
列 ⎨a ⎬的前m 项和，进而作出判断． ⎩n ⎭
【自主解答】 (1)∵{a n }是等差数列，S m －1＝－2，S m ＝0， ∴a m ＝S m －S m －1＝2.
∵S m ＋1＝3，∴a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3， ∴d ＝a m ＋1－a m ＝1.
m (a 1＋a m )m (a 1＋2)
又S m ＝＝0，
22
∴a 1＝－2，∴a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，∴m ＝5. 【答案】 C
33⎧⎧⎪a 1＝3，⎪a 1q ＝125，
⎨(2)①设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得解得⎨2
⎪|a 1q －a 1q |＝10，⎩⎪
5
⎩q ＝3，
或
⎧⎪a 1＝－5，
⎨ ⎪q ＝－1. ⎩
5n －1－
故a n ·3，或a n ＝－5·(－1) n 1.
3
5n －113⎛1⎫n －1
②若a n ＝3，
3a n 5⎝3⎭⎧1⎫31
故数列 ⎨a ⎬
53⎩n ⎭
3⎡⎛1m ⎤·1－m 15⎣⎝3⎦9⎡⎛1m ⎤9
从而∑ ＝1－
a 110⎣⎝3⎦10n ＝1n
1－3
11－－
若a n ＝(－5)·(－1) n 1，则(－1) n 1，
a n 5
⎧1⎫1
故数列⎨a 1的等比数列，
5⎩n ⎭
1⎧m 1m 1⎪－5，m ＝2k －1(k ∈N ＋)，
从而∑ ⎨故∑ n ＝1a n n ＝1a n ⎪⎩0，m ＝2k (k ∈N ＋).
111
故不存在正整数m ，使得＋„＋≥1成立．
a 1a 2a m
1．本例(2)中，通项公式含(－1) n 1，故需分n 为奇数与偶数两种情况讨论．
－
2．涉及等差(比) 数列的运算，一般是利用等差(比) 数列的通项公式、求和公式“知三求二”．体现了方程思想的应用．
3．在使用等比数列前n 项和公式时，若公比q 不能确定是否为1，应分q ＝1和q ≠1两种情况讨论．
变式训练1 (2013·潍坊模拟) 在等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝84，a 9＝73. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)对任意m ∈N *，将数列{a n }中落入区间(9m, 92m ) 内的项的个数记为b m ，求数列{b m }的前m 项和S m .
【解】 (1)因为{a n }是一个等差数列， 所以a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝84，所以a 4＝28. 设数列{a n }的公差为d ，
则5d ＝a 9－a 4＝73－28＝45，故d ＝9. 由a 4＝a 1＋3d 得28＝a 1＋3×9，即a 1＝1， 所以a n ＝a 1＋(n －1) d ＝1＋9(n －1) ＝9n －8(n ∈N *) ． (2)对m ∈N *，若9m
－
－
故得b m ＝92m 1－9m 1.
－
－
于是S m ＝b 1＋b 2＋b 3＋„＋b m
＝(9＋93＋„＋92m 1) －(1＋9＋„＋9m 1)
－
－
9×(1－81m )(1－9m )＝1－811－9
92m 1－10×9m ＋1＝.
80
＋
【命题要点】 ①利用等差数列的性质求某一项，求和；②利用等比数列的性质，求值.
(1)等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，数列{a n }
前9项的和为( )
A ．297 B ．144 C ．99 D ．66
a 29
(2)(2013·三门峡模拟) 在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则的值为( )
a 11A ．9 B ．1 C ．2 D ．3
【思路点拨】 (1)先求a 4和a 6，然后再根据a 1＋a 9＝a 4＋a 6求S 9.
2
(2)先求a 7，再利用a 9＝a 11·a 7求解．
【自主解答】 (1)由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 9(a 1＋a 9)9(a 4＋a 6)9×(13＋9)所以S 9＝＝＝99.
222(2)由a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243得a 7＝3， a 2a 11·a 79
所以＝
＝a 7＝3.
a 11a 11【答案】 (1)C (2)D
2
1．本例(2)用a 9＝a 11a 7求解，过程简单，当然也可以把a 9、a 11用a 7、公比q 表示出来，
求解．
2．等差、等比数列的性质
n 1233451
＝a 2a 3a 4＝( ) 8
1
A ．512 B ．64 C ．1 D.
51213
【解析】 因为a 1a 2a 3＝a 2＝8，a 3a 4a 5＝a 34＝. 8由题意知数列{a 3n }也是等比数列，且各项为正．
3故a 2a 3a 4＝a 3＝1.
【答案】 C
【命题要点】 ①判定或证明一个数列是等差数列；②判定或证明一个数列是等比数列.
(2013·北京高考) 给定数列a 1，a 2，„，a n ，对i ＝1,2，„，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，„，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .
(1)设数列{a n }为3,4,7,1，写出d 1，d 2，d 3的值；
(2)设a 1，a 2，„，a n (n ≥4) 是公比大于1的等比数列，且a 1>0，证明：d 1，d 2，„，d n
－1是等比数列；
(3)设d 1，d 2，„，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，„，a n －1是等差数列．
【思路点拨】 (1)根据d i 的定义求解．
(2)需根据题意求出d n 的通项公式后利用定义证明． (3)利用等差数列的定义证明．
【自主解答】 (1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q >1， 所以a 1，a 2，„，a n 是递增数列．
因此，对i ＝1,2，„，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1,2，„，n －1， d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q ) q i 1.
－
d i ＋1
因此d i ≠0且＝q (i ＝1,2，„，n －2) ，
d i 即d 1，d 2，„，d n －1是等比数列．
(3)证明：设d 为d 1，d 2，„，d n －1的公差． 对1≤i ≤n －2，因为B i ≤B i ＋1，d >0， 所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d >B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}， 所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .
从而a 1，a 2，„，a n －1是递增数列． 因此A i ＝a i (i ＝1,2，„，n －2) ． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1
所以B 1＝B 2＝„＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .
因此对i ＝1,2，„，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，„，a n －1是等差数列．
1．等差数列的判断方法：
(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数) ． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *) ． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数) ． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数) ． 2．等比数列的判定方法：
a n ＋1
(1)q (q 为非零常数，n ∈N *) ．
a n (2)等比中项法：a 2a n ＋2≠0(n ∈N *) ． n ＋1＝a n ·
(3)通项公式：a n ＝cq n 1(c 、q 均为非零的常数，n ∈N *) ．
－
3．要证明一个数列是等差(比) 数列必须用定义法或等差(比) 中项法．
13
变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝，a 2＝，a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *) ，数列{b n }
441
满足b 1＝，3b n －b n －1＝n (n ≥2，n ∈N *) ．
2
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)证明：数列{b n －a n }为等比数列，并求出数列{b n }的通项公式． 【解】 (1)由a n ＋1＝2a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *) ， 可得a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *) ．
11
∴数列{a n }是首项为a 1＝d ＝a 2－a 1＝的等差数列．
4211
∴a n ＝a 1＋(n －1) d ＝n －(n ∈N *) ，
2411
即a n n －(n ∈N *) ．
24
11
(2)由3b n －b n －1＝n ，得b n b n －1＋n (n ≥2，n ∈N *) ，
331111
∴b n －a n n －1＋－＋3324111113
＝b n －1－＋＝b n －1－n 364324111＝[b n －1－n －1) ＋] 3241
＝(b n －1－a n －1) ． 3
1
又b 1－a 10，∴b n －a n ≠0(n ∈N *) ，
4得
b n －a n 1
n ≥2，n ∈N *) ，
b n －1－a n －13
11
即数列{b n －a n }是首项为b 1－a 1＝的等比数列．
43
2n －111n －111n －111n －1
于是，b n －a n () ，即b n ＝() ＝[(＋2n －1](n ∈N *
).
4344343
等差、等比数列的通项公式a n 与前n 项和S n 是高考必考内容，其中把非等差、等比数列的求和问题转化为等差、等比数列的求和问题，体现了转化与化归的数学思想，是高考命题的生长点．
可转化为等差、等比数列的求和问题
(12分) 等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某
一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列．
n (2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1) n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 【规范解答】 (1)当a 1＝3时，不合题意；
当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．
因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n 1.
－
4分
(2)因为b n ＝a n ＋(－1) n ln a n ＝2·3n 1＋(－1) n ln(2·3n 1)
－
－
＝2·3n 1＋(－1) n [ln 2＋(n －1)ln 3]
－
＝2·3n 1＋(－1) n (ln 2－ln 3)＋(－1) n n ln 3，
－
所以S n ＝2(1＋3＋„＋3n 1) ＋[－1＋1－1＋„＋(－1) n ](ln 2－ln 3) ＋[－1＋2－3＋„＋
－
(－1) n n ]ln 3.
1－3n n 所以当n 为偶数时，S n ＝2×ln 3
1－32n
＝3n ln 3－1；
2
当n 为奇数时，
1－3n n －1
S n ＝2×(ln 2－ln 3)＋－n )ln 3
21－3n －1
＝3n －－ln 2－1.
2
8分
10分
⎧
综上所述，S ＝⎨n －1
3－⎩2－ln 2－1，n 为奇数.
n
n
n
3n ＋ln 3－1，n 为偶数，
2
【阅卷心语】
12分
易错提示 (1)在确定a 1，a 2，a 3的值时，不会分类讨论导致无法求解．
(2)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，不会把S n 拆分成几个可求和的数列的和的形式，从而无法求解．
(3)在求数列{b n }的前n 项和S n 时，对n 没分偶数和奇数两种情况求解导致答案错误． 防范措施 (1)当a 1的值不确定时，应对a 1的所有可能取值逐一进行讨论．
(2)当通项公式a n 是多项和的形式时，常把前n 项和S n 拆分成几个等差(比) 数列和的形式求解．
(3)数列问题中若遇到(－1) n 则需考虑n 的奇偶性对所求数值的影响．必要时应分n 为奇数和n 为偶数两种情况讨论．
1．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为( ) A ．42 B ．±2 C ．4 D ．±4 【解析】 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意知 8
d ＝－36，⎧S ＝9a ＋9×2
⎨13×12S ＝13a ＋d ＝－104，⎩2
9
1
13
1
⎧⎪a 1＝4，解得⎨
⎪d ＝－2. ⎩
∴a 5＝a 1＋4d ＝－4，a 7＝a 1＋6d ＝－8， ∴a 5a 7＝32，故a 5与a 7的等比中项为±42. 【答案】 B
2．数列{a n }满足a n ＋1
⎧2a ， 0≤a 2＝⎨1
2a －1， ≤a ＜1，⎩2
n
n
n
n
1
3
若a 1＝则数列的第2 013项为( )
5
2545
1 53 5
312
【解析】 由题意知a 2＝2a 1－1＝2×－1＝，a 3＝2a 2＝
55544331
a 4＝2a 3＝，a 5＝2a 4－1＝2×1，a 6＝2a 5－1＝2×－1，„
555553
从而数列{a n }的各项周期性出现，周期为4，故a 2 013＝a 1＝.
5
【答案】 C