用定积分求面积的技巧

用定积分求面积的技巧

2 例1 求抛物线y=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积．

⎧y2=2x，，-2)(，84，)． 解析：如图1，解方程组⎨得两曲线的变点为(2，⎩y=x-4

方法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即

点评：从上述两种解法可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y积分时，积分函数应

是x=ϕ(y)得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.

二、巧用对称性

在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段.

=x，4y=x，y=1例2 求由三条曲线y所围图形的面积.

4y=x是偶函数，根据对称性， 解析：如图2，因为y=x，2222

只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可．

⎧y=x2，⎧4y=x2，解方程组⎨和

⎨得交点坐标y=1，y=1，⎩⎩

(1-，1)，(1，1)，(2-，1)，(2，1)．

方法一：选择x为积分变量，

用定积分求面积的技巧

2 例1 求抛物线y=2x与直线y=x-4围成的平面图形的面积．

⎧y2=2x，，-2)(，84，)． 解析：如图1，解方程组⎨得两曲线的变点为(2，⎩y=x-4

方法一：选取横坐标x为积分变量，则图中阴影部分的面积应该是两部分之和，即

点评：从上述两种解法可以看出，对y积分比对x积分计算简捷.因此，应用定积分求平面图形面积时，积分变量的选取是至关重要的.但同时也要注意对y积分时，积分函数应

是x=ϕ(y)得积分．另外还要注意的是对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.

二、巧用对称性

在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段.

=x，4y=x，y=1例2 求由三条曲线y所围图形的面积.

4y=x是偶函数，根据对称性， 解析：如图2，因为y=x，2222

只算出y轴右边的图形的面积再两倍即可．

⎧y=x2，⎧4y=x2，解方程组⎨和

⎨得交点坐标y=1，y=1，⎩⎩

(1-，1)，(1，1)，(2-，1)，(2，1)．

方法一：选择x为积分变量，


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