学科 课题 备课时间
数学
年级
一年级
主备人 课型 2012-4-14 新课
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2012-4-13 2012-4-17 二次备课时间
授课时间 教学目标
1、 知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题 目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从 而提高解决问题的能力. 2、过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉 地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力. 3、 情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观 察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导 灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
教学重点 教学难点
教学方法 教学资源
引导发现式教学法 教材、教辅与网络资源 教学过程设计 教师活动（教学内容呈现，适当标出活动） 第一课时 设计意图及用时 温故知新 3 分
一、导入新 课（复习导 入）
1.引导同学一起回顾两角差的余弦公式 2.然后教师引导学生观察 cos(α-β)与 cos(α+β)、 sin(α-β)的内在联系， 进行由旧知推出新知的转化过程，从而引出 C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)。 。 本节课我们共同研究公式的推导及其应用.
二、讲授新 课（合做探 究）
1、两角和余弦公式的推导 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 在公式 C(α-β)中，角 β 是任意角，请学生思考角 α-β 中 β 换成角-β 是否可以？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较 cos(α-β)与 cos(α+β) 中角的内在联系，学生有的会发现 α-β 中的角 β 可以变为角-β，所 以 α-(-β)=α+β 〔也有的会根据加减运算关系直接把和角 α+β 化成差 角 α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式 C(α-β)上来,这 样就很自然地得到 cos(α+β)=cos［α-(-β)］ =cosαcos(-β)+sinαsin(-β) =cosαcosβ-sinαsinβ. 所以有如下公式：
引导学生探究、 发现新 知 18---22
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作 C(α+β). 2、思考：在公式 C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导 sin(α+β)=?sin(α-β)=? tan(α-β)=? tan（α+β）=？ 教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？ 我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利 用诱导公式⑸⑸来化余弦为正弦 π sin α sin α = cos( − α ) tan α = 2 cos α 3、 3、尝试探究两角和差的正弦公式的推导 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式. sin(α+β)=cos［ =cos(
π
2
-(α+β)］=cos［(
π
2
-α)-β］
π
2
-α)cosβ+sin(
π
2
-α)sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中,β 用-β 代之，则 sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β) =sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为 S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 教师引导学生思考，在我们推出了公式 C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后, 自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出 tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系 式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师 不要直接提醒，让学生自己推导出来. cos(α+β)≠0 时，tan(α+β)=
sin(a + β ) sin cos β + cos α sin β = . cos(a + β ) cos α cos β − sin α sin β
如果 cosαcosβ≠0,即 cosα≠0 且 cosβ≠0 时,分子、分母同除以 cosαcosβ 得 tan(α+β)=
tan α + tan β ， 据角 α、 的任意性， β 在上面的式子中， 1 − tan α tan(− β )
β 用-β 代之，则有 tan(α-β)=
tan α + tan(− β ) tan α − tan β = . 1 − tan α tan(− β ) 1 + tan α tan β
由此推得两角和、差的正切公式，简记为 T(α-β)、T(α+β). 可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们 之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学 生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形 用.如两角和与差的正切公式的变形式
三、 课内练 习
应用示例 例 1、 已知 sinα= − 值 活动： 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注 意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时 要有什么准备， 准备工作怎么进行等.例如本题中， 要先求出 cosα,tanα 的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了 让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成. 解 ： 由 sinα=
3 π π π ,α 是第四象限角，求 sin( -α),cos( +α),tan( -α)的 5 4 4 4
示范点拨，加深理解 7----10
−
3 5
,α
是 第 四 象 限 角 ， 得
cosα= 1 − sin a = 1 − ( − ) =
2 2
3 5
4 . 5
∴tanα= 于 sin(
sin a 3 =− . cos a 4
是 有
π
4
-α)=sin
π
4
cosα-cos
π
4
sinα=
2 4 2 3 7 2 , × − × (− ) = 2 5 2 5 10 2 4 2 3 7 2 , × − × (− ) = 2 5 2 5 10
cos(
π
4
+α)=cos
π
4
cosα-sin
π
4
sinα=
3 −1 π 4 = tan a − 1 = 4 tan(α- )= = −7 . π 1 + tan a 3 4 1 + tan a tan 1 + (− ) 4 4 tan a − tan −
点评： 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的 是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯. 例题 2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、 sin 72 cos 42 − cos 72 sin 42
o o o o o o o
π
（2）、 cos 20 cos 70 − si
n 20 sin 70 ；
o
（3）、
1 + tan15o 1 − tan15o
课堂练习： 课堂练习：
1、 7° cos 37° − sin 83° sin 37°的值为 ( sin
(A) −
)
(B) −
巩固训练，体会应用 过程 7----12
3 2
1 2
(C)
1 2
(D)
3 2
1 − tan 2 75° 2、 的值为 ( tan 75°
(A) 2 3
) 2 3 3
2 3 3
(B)
(C ) − 2
3
(D) −
3、 sin 2 x sin 3x = cos 2 x cos 3x, 则x的值是 ( 若
(A) (C)
)
π π
10
(B) (D)
π
6
π
4
5
1 π 3π 4、 cos θ = , θ ∈ ,2π , 则 sin θ + = ________ . 若 5 3 2
四、 课堂小 结
小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要 熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业： ： 1、 已 知 tan (α + β ) =
知识与方法总结、梳 理 2
五、 课后作 业
2 π 1 π , tan β − = , 求 tan α + 的 作业布置 1 5 4 4 4
值． （
3 ） 22
2. 0
π
4
)
3π π 3 3π 5 , cos − α = , sin +β= ， 4 4 5 4 13
求 sin (α + β ) 的值．
六、 版书设 计
课题： 3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式 （一） cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 例 1 课堂练习 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)=
tan α + tan β , 1 − tan α tan β tan α − tan β . 1 + tan α tan β
例 2、
tan(α-β)=
七、 课后反 思：
学科 课题 备课时间
数学
年级
一年级
主备人 课型 2012-4-14 新课
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2012-4-13 2012-4-17 二次备课时间
授课时间 教学目标
1、 知识与技能：了解两角和与差的正弦、余弦、正切公式之间的内在联系，并通过强化题 目的训练，加深对公式的理解，培养学生的运算能力及逻辑推理能力，从 而提高解决问题的能力. 2、过程与方法：通过让学生探索、发现并推导两角和与差的正弦、余弦、正切公式，自觉 地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题解决问题的能力. 3、 情感、态度与价值观：通过本节学习，使学生掌握寻找数学规律的方法，提高学生的观 察分析能力，培养学生的应用意识，提高学生的数学素质 两角和与差的正弦、余弦、正切公式及其推导 灵活运用所学公式进行求值、化简、证明.
教学重点 教学难点
教学方法 教学资源
引导发现式教学法 教材、教辅与网络资源 教学过程设计 教师活动（教学内容呈现，适当标出活动） 第一课时 设计意图及用时 温故知新 3 分
一、导入新 课（复习导 入）
1.引导同学一起回顾两角差的余弦公式 2.然后教师引导学生观察 cos(α-β)与 cos(α+β)、 sin(α-β)的内在联系， 进行由旧知推出新知的转化过程，从而引出 C(α+β)、S(α-β)、S(α+β)。 。 本节课我们共同研究公式的推导及其应用.
二、讲授新 课（合做探 究）
1、两角和余弦公式的推导 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ 在公式 C(α-β)中，角 β 是任意角，请学生思考角 α-β 中 β 换成角-β 是否可以？鼓励学生大胆猜想，引导学生比较 cos(α-β)与 cos(α+β) 中角的内在联系，学生有的会发现 α-β 中的角 β 可以变为角-β，所 以 α-(-β)=α+β 〔也有的会根据加减运算关系直接把和角 α+β 化成差 角 α-(-β)的形式〕.这时教师适时引导学生转移到公式 C(α-β)上来,这 样就很自然地得到 cos(α+β)=cos［α-(-β)］ =cosαcos(-β)+sinαsin(-β) =cosαcosβ-sinαsinβ. 所以有如下公式：
引导学生探究、 发现新 知 18---22
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 我们称以上等式为两角和的余弦公式，记作 C(α+β). 2、思考：在公式 C(α-β)、C(α+β)的基础上能否推导 sin(α+β)=?sin(α-β)=? tan(α-β)=? tan（α+β）=？ 教师引导学生观察思考，怎样才能得到两角和与差的正弦公式呢？ 我们利用什么公式来实现正、余弦的互化呢？学生可能有的想到利 用诱导公式⑸⑸来化余弦为正弦 π sin α sin α = cos( − α ) tan α = 2 cos α 3、 3、尝试探究两角和差的正弦公式的推导 让学生动手完成两角和与差正弦和正切公式. sin(α+β)=cos［ =cos(
π
2
-(α+β)］=cos［(
π
2
-α)-β］
π
2
-α)cosβ+sin(
π
2
-α)sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ. 在上述公式中,β 用-β 代之，则 sin(α-β)=sin［α+(-β)］=sinαcos(-β)+cosαsin(-β) =sinαcosβ-cosαsinβ. 因此我们得到两角和与差的正弦公式，分别简记为 S(α+β)、S(α-β). sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. 教师引导学生思考，在我们推出了公式 C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)后, 自然想到两角和与差的正切公式，怎么样来推导出 tan(α-β)=?,tan(α+β)=?呢？学生很容易想到利用同角三角函数关系 式，化弦为切得到.在学生探究推导时很可能想不到讨论，这时教师 不要直接提醒，让学生自己推导出来. cos(α+β)≠0 时，tan(α+β)=
sin(a + β ) sin cos β + cos α sin β = . cos(a + β ) cos α cos β − sin α sin β
如果 cosαcosβ≠0,即 cosα≠0 且 cosβ≠0 时,分子、分母同除以 cosαcosβ 得 tan(α+β)=
tan α + tan β ， 据角 α、 的任意性， β 在上面的式子中， 1 − tan α tan(− β )
β 用-β 代之，则有 tan(α-β)=
tan α + tan(− β ) tan α − tan β = . 1 − tan α tan(− β ) 1 + tan α tan β
由此推得两角和、差的正切公式，简记为 T(α-β)、T(α+β). 可让学生自己画出这六个框图.通过逻辑联系图，深刻理解它们 之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式.同时教师应提醒学 生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形 用.如两角和与差的正切公式的变形式
三、 课内练 习
应用示例 例 1、 已知 sinα= − 值 活动： 活动：教师引导学生分析题目中角的关系，在面对问题时要注 意认真分析条件，明确要求.再思考应该联系什么公式，使用公式时 要有什么准备， 准备工作怎么进行等.例如本题中， 要先求出 cosα,tanα 的值，才能利用公式得解，本题是直接应用公式解题，目的是为了 让学生初步熟悉公式的应用，教师可以完全让学生自己独立完成. 解 ： 由 sinα=
3 π π π ,α 是第四象限角，求 sin( -α),cos( +α),tan( -α)的 5 4 4 4
示范点拨，加深理解 7----10
−
3 5
,α
是 第 四 象 限 角 ， 得
cosα= 1 − sin a = 1 − ( − ) =
2 2
3 5
4 . 5
∴tanα= 于 sin(
sin a 3 =− . cos a 4
是 有
π
4
-α)=sin
π
4
cosα-cos
π
4
sinα=
2 4 2 3 7 2 , × − × (− ) = 2 5 2 5 10 2 4 2 3 7 2 , × − × (− ) = 2 5 2 5 10
cos(
π
4
+α)=cos
π
4
cosα-sin
π
4
sinα=
3 −1 π 4 = tan a − 1 = 4 tan(α- )= = −7 . π 1 + tan a 3 4 1 + tan a tan 1 + (− ) 4 4 tan a − tan −
点评： 点评：本例是运用和差角公式的基础题，安排这个例题的目的 是为了训练学生思维的有序性，逐步培养他们良好的思维习惯. 例题 2、利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1）、 sin 72 cos 42 − cos 72 sin 42
o o o o o o o
π
（2）、 cos 20 cos 70 − si
n 20 sin 70 ；
o
（3）、
1 + tan15o 1 − tan15o
课堂练习： 课堂练习：
1、 7° cos 37° − sin 83° sin 37°的值为 ( sin
(A) −
)
(B) −
巩固训练，体会应用 过程 7----12
3 2
1 2
(C)
1 2
(D)
3 2
1 − tan 2 75° 2、 的值为 ( tan 75°
(A) 2 3
) 2 3 3
2 3 3
(B)
(C ) − 2
3
(D) −
3、 sin 2 x sin 3x = cos 2 x cos 3x, 则x的值是 ( 若
(A) (C)
)
π π
10
(B) (D)
π
6
π
4
5
1 π 3π 4、 cos θ = , θ ∈ ,2π , 则 sin θ + = ________ . 若 5 3 2
四、 课堂小 结
小结：本节我们学习了两角和与差正弦、余弦和正切公式，我们要 熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用. 作业： ： 1、 已 知 tan (α + β ) =
知识与方法总结、梳 理 2
五、 课后作 业
2 π 1 π , tan β − = , 求 tan α + 的 作业布置 1 5 4 4 4
值． （
3 ） 22
2. 0
π
4
)
3π π 3 3π 5 , cos − α = , sin +β= ， 4 4 5 4 13
求 sin (α + β ) 的值．
六、 版书设 计
课题： 3.1.2 两角和与差的正弦、 余弦、 正切公式 （一） cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ 例 1 课堂练习 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. tan(α+β)=
tan α + tan β , 1 − tan α tan β tan α − tan β . 1 + tan α tan β
例 2、
tan(α-β)=
七、 课后反 思：