第一讲 二次根式的概念及有意义的条件
一、二次根式的概念
a ≥0) 的式子叫做二次根式。a 被称为被开方数(式),
笔记:
例1:判断下列式子哪些是二次根式。
1
变式训练:
1、下列各式中是二次根式的是。
1
○2-
3
4
5
6
2
3
4
5
6
2m 、n 应满足的条件是 二、二次根式有意义的条件 笔记:
例2:当x 为何值时,下列各式有意义? (
1
(2)
变式训练:
3
(3)
x 的取值范围是 。
P(a , b ) 所在象限为。 5, 求x 2-2xy +y 2的值。
4
5、已知实数x 、
y
满足等式:y =
当堂检测 1
有意义的x 的取值范围是( ) A. x ≥0 B. x ≠
11
C. x ≥0且x ≠ D. 一切实数 22
2
m 的值为 3、下列各式中不一定是二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
4
、y =x 的取值范围为。
5
x 的值为。 6
=y +4, 求x y 的平方根。
学习心得:
第二讲
2
2=a
例1:(1
(2
变式:已知实数x 、y
|2x -3y -5|=0,
例2:(1
)计算:
(3)在实数范围内分解因式:x 4-4
x -+2
2
=0, 求x 、y 的值。
2x+3y-1的值。
2
-(-2 (2)
若2=2-x , 求x 。
变式:在实数范围内分解因式:4x 4-25
例3:在∆ABC 中,a,b,c
2|c -a -b |
变式1
2、化简求值:2a -其中a = 当堂检测
1
2、在实数范围内分解因式:2x 2-4
学习心得:
a
b
小试牛刀
一、选择题(每题5分,共35分) 1有意义的x 的取值范围是( ) A. x ≥
0 B. x ≠
11
C. x ≥0且x ≠ D. 一切实数 22
2、实数a,b 在数轴上的位置如图所示,且
) A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b
3、若实数a,b 满足|a +1|=0, 则(A.0 B.1 C.-1
D. ±1 4、使式子
x 的取值范围是【 】
A .x≥-1 B .-1≤x≤2 C .x≤2 D .-1<x <2
5、已知实数x ,y 满足x -4,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是【 】 A .20或16 B . 20 C .16 D .以上答案均不对
6、下列各式正确的是( )
A. (-2)2=2 B . (-2)=-4 C. (-2)=2 D. (-x )=-x 7、如果a 是非零实数,则下列各式中一定有意义的是(
)
A 、a B
、2-a C 、-a 2
D 、二、填空题(每题5分,共30分)
8
有意义的x 的取值范围是 . 9|x﹣y ﹣3|互为相反数,则x+y= 10、当x=﹣4 . 11、1a
2
1
有意义,则m 的取值范围是 m +1
2
12、若a -2(c -4)=0,则a -b +c =
13、若1<x <4, 则化简 =
三、解答题(40分)
14、在实数范围内分解因式:(1)2x 2-4 (2) 2 2 (20分) x -
15
、计算:2-
学习心得:
(15分)
第三讲 二次根式的乘除
=
)
例1:计算:(1
)(-
(2)
变式:计算:(1
例2
:将a
变式:把(1-x a>b>0)
(3) (- (2
)
。
= )
例3、计算(1
变式:计算:(1
(2
)(- (2
)
第四讲 最简二次根式
一、判断二次根式是否为最简二次根式的三条黄金法则:
二、两个公式
= )
=( ) 例1 化简:(1
(2
(3
变式:化简:(1
(2
(3)
例2:化简:(1
提升一下:计算:(1
再提升一下:先化简再求值:
x ≥0, y ≥0)
(2
(3
(4
(-
(2) 1+x 2x
÷(x -) ,
其中,x =. 1-x 1-x
最简二次根式巩固练习
一、填空题:
1.把下列二次根式化成最简二次根式.
(1)=________;(2)27=________;(3)=________;(4)2________;
(5=________;(6250=________;(724=________;(8=________; (9)=________; (10)4. 5=________.
1
81=4
2.设x <0,则
-8
=_________. x
3.下列二次根式45a 2 二、选择题
12
40b 54中的最简二次根式有________. 2
1.在二次根式,5a ,,,
3
x
中,最简二次根式的个数是( ). 2
A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.下列各式中是最简二次根式的是( ). A .4 B .
1
C .a D . 2
3.下列各式中,不是最简二次根式的是( ).
A . B .x +x C .x +1 D . 4.下列计算中正确的是( ). A .
2
13-42
== B .6-93
12
= 2 C .+=22+32 D .
5.如果|x -2|+y -9=0,则y (x +1) =( ).
A .33 B .±3 C .-33 D .32 6.下列二次根式中,最简二次根式是( ). A .
a +122
B .a +1 C .4ab D .a b 2
7.下列二次根式中,最简二次根式是( ). A .
m 32
B .8m C .2m D .m +16 2
8.下列根式中,是最简二次根式的是( ).
233
A .. 5x B .2xy C .x -y D .x +9y
三、 下列根式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?若不是,请说明理由. 1. 2.x +9 3.
2
38
4.45a 8
5.2
1222
6.4ab 7.(a +b ) 8. 2
四、把下列各式化成最简二次根式. 1.
6.. 48 7.a b 8.
五、求下列各式的值:
22
1.x -2xy +y (其中x =4-2,y =4+2)
7
2.2
3
3 3.211
228 4.8
3
5.-362 83
2
1
+1 2
-b +b 2-4ac 2.(其中a =4,b =16,c =9)
2a
学习心得:
第五讲 二次根式的加减
同类二次根式:
根式的加减实际上是合并同类二次根式的过程。
例1 计算:(1
)
变式:计算:
练习:计算:(1
)
2
(3) (
(4) (4+-
- (2
)(1
62m 2÷
(2) -1) 2
学习心得:
第六讲 勾股定理
一、勾股定理的证明
二、勾股定理及其应用 定理:
几何语言:
例1 在Rt ∆ABC 中,∠C=90o 。(1)已知a=b=6,求c. (2)已知c=3,b=2,求a 。
(3)已知a:b=2:1,c=5,求a,b.
例2 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,求第三边的长。
例3:如图,在∆ABC 中,AB=AC,∠C=30o ,DA ⊥AB 于点A ,若BC 等于6cm ,求AB 。
A
B
D
C
变式:1、若直角三角形的两直角边长分别为3和4,则斜边上的高为( ) A.5 B.2.4 C.3.6 D. 以上答案都不对 2、填空:(1)在Rt ∆ABC 中,∠C=90o ,a=5,b=12,则。 (2)在Rt ∆ABC 中,∠B=90o , a=5,b=12,则。
(3)在Rt ∆ABC 中,∠C=90o , ∠A=45o ,则BC:AC:AB= . (4)在Rt ∆ABC 中,∠C=90o , ∠A=30o ,则BC:AC:AB= .
例4有两棵树,一棵高10米,一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,求小鸟飞行的最短距离。
D
变式:3、如图四边形ABCD ,求AD 长。
A
B
C
A
4、如图,在∆ABC 中,∠A=60o ,AB=15 cm,AC=24 cm,求BC 的长。 B
5
6、如图,正方形A,B,C 的面积有着怎么样的关系?能说说理由吗?
7、如图,Rt ∆ABC 中,∠C=90o ,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB 于点E ,若AC=6,BC=8,CD=3.
A (1)求DE 长。(2)求∆ADB 的面积。
E
B C D
C
二次根式的加减巩固练习
计算:
2-+
11+,12+18-832 25
40-5
25a 2
2a 2a -8a +6
3
1
10+10 , 1x x +4y -2y 1
y 27–4520+75
21, 712-348, 218–50+45, a 3
a -a b +54a -2b
(48+20) +(-) , x
a b ,12
27318–43111
-(-) 2327
21x 1x 1
-6x ) +4y -+y , x 9x -(x 2
3x 4x 2y
学习心得:
第七讲 勾股定理的逆定理
知识点:勾股定理: 逆定理: 几何语言:
勾股数:
常见的勾股数: 引申出来的概念 命题: 逆命题: 定理: 逆定理:
典题训练:
1、判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题,判断逆命题的真假。 (1)等腰三角形是轴对称图形。 (2)两直线平行,同位角相等。
(3)如果两个数互为相反数,那么它们的和为零。 (4)如果AB>0,那么a>0,b>0。
2.在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( ).
A .12,15,17 B.9,16,25 C.5a ,12a ,13a (a>0) D.2,3,4
3.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为______________
A 56 B 48 C 40 D 321
4. 在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,AB =8,BC =15,CA =17,则下列结论不正确的是( ).
A .△ABC 是直角三角形,且AC 为斜边 B.△ABC 是直角三角形,且∠ABC =90° C .△ABC 的面积是60 D.△ABC 是直角三角形,且∠A =60°
5.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c. 则满足下列条件但不是直角三角形的是( ).
A .∠A =∠B -∠C B.∠A :∠B :∠C =1:1:2
222
C .a :b :c =4:5:6 D.a -c =b
6.写出一组全是偶数的勾股数是 .
7.若一三角形铁皮余料的三边长为12cm ,16cm ,20cm ,则这块三角形铁皮余料的面积为
2
cm.
8.如图1,一根电线杆高8m. 为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m 处加一拉线. 拉线工人发现所用线长为10.2m (不计捆缚部分),则电线杆与地面 (填“垂直”或“不垂直”).
9.一透明的玻璃杯,从内部测得底部半径为6cm ,杯深16cm. 今有一根长为22cm 的吸管如图2放入杯中,露在杯口外的长度为2cm .
10.若一三角形三边长分别为5、12、13,则这个三角形长是13的边上的高是 . 11、已知x -6+y -8+(z -10) =0 ,则由此x , y , z 为三边的三角形是 三角形. 12、欲登12米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5米,梯子至少需要 米.
22
在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c. a =n -16,b =8n ,c =n +16(n>4). 求证: ∠C=90°.
13.如图3,AD=7,AB =25,BC =10,DC =26,DB =24,求四边形ABCD 的面积. A D
B C
图13 14.如图4,已知在△ABC 中,CD ⊥AB 于D ,AC =20,BC =15,DB =9.
(1)求DC 的长.
C
(2)求AB 的长.
(3)求证: △ABC 是直角三角形.
A D B
图14
15. 已知:如图,∠ABD=∠C=90°,AD=12,AC=BC,∠DAB=30°,求BC 的长.
2
16. 已知:如图,AB=4,BC=12,CD=13,DA=3,AB ⊥AD ,求证:BC ⊥BD .
第8讲 勾股定理巩固与提升
复习:
(1)勾股定理的内容: (2)勾股定理的应用: ①已知两边求第三边;
②已知一边和一锐角(30°、60°、45°的特殊角),求其余边长; ③已知一边和另外两边的数量关系,用方程.
例1、已知:在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB 于D ,∠A=60°,CD=
, 求线段AB 的长.
变式训练: △ABC
中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求线段BC 的长和△ABC 的面积.
2. 有一块菜地, 形状如下, 试求它的面积.
例2、在△ABC 中,∠C=30°,AC=4cm,AB=3cm,求BC 的长.
变式1、在△ABC 中,∠B=120°,BC=4cm,AB=6cm,求AC 的长.
已知直角三角形的两边长分别是3和4, 则第三边长为 .
直角三角形中,斜边与一直角边相差8,另一直角边为12,求斜边的长.
1.把直角三角形两直角边同时扩大到原来的5倍,则斜边扩大为原来的 ( ) A.2倍; B. 5倍; C. 2.5倍; D. 3倍;
2.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ,当他把绳子的下端拉开5m 后发现下端刚好接触到地面, 则旗杆的高为 ( ) A 8m B 10m C 12m D 14m .
3. 有一个圆桶,底面直径为24cm, 高为32cm, 则桶内能容下的最长的木棒为( ) A. 20cm B. 50cm C. 40cm D. 45cm
已知:如图,△ABC 中,AC=4,∠A=45°,∠B=60°,求AB.
受台风麦莎影响,一棵树在离地面4米断裂,树的顶部落在离树跟底部3米处,这棵树折断前有多高?
拓展:有一个圆柱, 它的高等于12厘米, 底面半径等于3厘米, 在圆柱下底面上的A 点有一只
蚂蚁, 它想从点A 爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)
第9讲 平行四边形的性质
一、平行四边形的定义:
几何语言:
二、平行四边形的性质: 1、边: 2、角: 3、线: 4、面积:
三、平行线间的距离:
基础训练:
1、平行四边形具有,而一般四边形不一定具有的性质是
A 内角和等于360° B 外角和是360° C 不稳定性 D 对角线互相平分
2、在□ABCD 中,∠A: ∠B: ∠C: ∠D 的值可以是( ) N A 1:2:3:4 B 1:2:2:1 C 1:1:2:2 D 2:1:2:1 3、在□ABCD 中,∠A 比∠B 大20°,则∠C 的度数是
C A 60° B 80° C 100° D 120°
4、如图,在△MBN 中,BM =6,点A 、C 、D 分别在MB 、NB 、MN 上,
M 四边 形ABCD 为平行四边形,∠NDC =∠MDA , □ABCD 的周长是( ) A
第4题 A 24 B 18 C 16 D 12
5、如图,在□ABCD 中,AC 、BD 为对角线,BC =6,BC 边上的高为4,则阴影部分的面积为 D A A 3 B 4 C 12 D 24
6、下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组 成,其中,第①个图形一共有1个平行四边形,第②个图形
C
B 一共有5个平行四边形,第③个图形一共有11个平行四边形, 第5题
……,则第⑥个图形中平行四边形的个数为( )
……
C
B
第7题
图① 图② 图③ 图④
12A A .55 B .42 C.41 D .29
7、如图,□ABCD 中,在CA ⊥AB ,∠B =60°,则∠CAD 138、如图,四边形ABCD 是平行四边形,BD ⊥AD ,则OB 的长
B
为 第8题 9、已知□ABCD 的对角线AC,BD 交于点O ,△AOB 的面积为2, 那么□ABCD 的面积为
E A
F
D
10、如图,在□ABCD 中,AB =4cm,AD =7cm,∠ABC 的平分线BF 交AD 于点E ,交CD 的延长线于点F ,则DF = cm. 11、如图,D 是等腰三角形ABC 底边BC 上的一点,DE ∥AC , 第10题
DF ∥AB .
A
求证:DE+DF=AB E
F
B C D 第11题 12、如图,在□ABCD 中,E 、F 分别是BC 、AD 上的点,且BE=DF.求证:AE=CF
F A D
B E C
第12题
A 13、已知,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线,DE ∥BC 交AB 于E ,
EF ∥AC 交BC 于F ,求证:BE=FC
D E
C B F
第13题
14、如图,在□ABCD 中,M 、N 分别是OA 、OC 的中点.
D 求证:(1)BM=DN (2) BM ∥DN C
N
A B
第14题
第10讲 平行四边形的判定
一、平行四边形的判定定理: 边:1、 2、 3、 角: 线:
二、三角形的中位线定理:
几何语言:
达标练习:
1.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,问四边形ABCD 是不是平行四边形.
4. 如图,在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上,分别取点K 、L 、M 、N ,使AK =CM 、BL =DN ,则四边形KLMN 为平行四边形吗?说明理由.
5.已知如图19-1-55所示,在□ABCD 中,E ,F 分别是AB ,CD 的中点. 求证:(1) △AFD≌△CEB.(2)四边形AECF 是平行四边形.
2、如图所示,已知□ABCD 中,AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的平分线,求证:四边形AFCE 是平行四边形。D E C
3. 如图,平行四边形ABCD 中,AF =CH ,DE =BG 。
求证:EG 和HF 互相平分。
D E
G
A
F
图20.1.3-1
B H
C
12
34
A F 图3
B
6. 如图所示,在四边形ABCD 中,M 是BC 中点,AM
、
BD 互相平分于点O ,那么请说明
AM=DC 且AM ∥DC
21
用心,才能铸就成功!加油,来补习数学的同学!我不会辜负你的信任,也请你不要辜负了我还有你父母
的期望!
7. 如图,在平行四边形ABCD 中,∠ABC的平分线交CD 于点E,∠ADC的平分线交AB 于点F. 试证明四边形DFBE 为平行四边形.
.
8. 如图, 已知:E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点,并且AE=CF。求证:四边形BFDE 是平行四边形
9. 如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC ,DE ∥BC 交AB 于点E ,EF ∥AC 交BC 于点F ,那么
.
10.如图所示,在四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,AD 的中点,•则四边形EFGH 是平行四边形吗?为什么?
11.如图所示,在△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,求△DEF的面积.
12.如图所示,A ,B 两点被池塘隔开,在A ,
B 外选一点C ,连接AC 和BC ,•并分别找出AC 和BC 的中点M ,N ,如果测得
MN=20m
,
那
么A ,B 两点间的距离是多少?
C
22
用心,才能铸就成功!加油,来补习数学的同学!我不会辜负你的信任,也请你不要辜负了我还有你父母
的期望!
第11讲 矩形的性质及判定
一、矩形的性质: 边: 角: 线:
二、矩形的判定: 边: 角: 线:
三、直角三角形斜边上的中线:
达标练习:
1. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分,则该矩形的周长是___________. 2. 矩形的两条对角线的夹角是60°,一条对角线与矩形短边的和为15,那么矩形对角线的长为_______,短边长为_______.
3. 若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12, 则斜边上的中线等于 .
4. 如图,E 为矩形ABCD 对角线AC 上一点,
DE ⊥AC 于E ,∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE 为_________.
5. 矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝,则其对角线为 ㎝,矩形面积为 cm. 6. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是___________.
7. 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )
A. 对边相互平行 B. 对角线相等 C. 对角线相互平分 D. 对角相等 8. 矩形具备而平行四边形不具有的性质是( )
A .对角线互相平分 B.邻角互补 C.对角相等 D.对角线相等 9. 在下列图形性质中,矩形不一定具有的是( )
A .对角线互相平分且相等 B.四个角相等 C .是轴对称图形 D.对角线互相垂直平分
10. 如图,四边形ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90°,M 、N 分别是AC 、BD•的中点,那么MN ⊥BD 成立吗?试说明理由.
11. 如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,如果将该矩形沿对角线BD 重叠,求图中阴影部分的面积.
A
C D
2
23
B
的期望!
12. 如图,已知在四边形ABCD 中,AC ⊥DB 交于O ,E 、F 、G 、H 分别是四边的中点, 求证:四边形EFGH 是矩形.
13. 如图,平行四边形ABCD 中,AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线,AQ 与BN 交于P ,CN 与DQ 交于M ,
A
F
B E
O
H
C
求证:四边形PQMN 是矩形.
★14. 如图矩形ABCD 中,延长CB 到E ,使CE =AC ,F 是AE 中点. 求证:BF ⊥DF .
B
A
N
C
D
A
D
F
E B
C
★15. 如图,矩形ABCD 中,CE ⊥BD 于E ,AF 平分∠BAD 交EC 于F , 求证:CF =BD .
A
D
B
C
F
24
用心,才能铸就成功!加油,来补习数学的同学!我不会辜负你的信任,也请你不要辜负了我还有你父母
的期望!
第一讲 二次根式的概念及有意义的条件
一、二次根式的概念
a ≥0) 的式子叫做二次根式。a 被称为被开方数(式),
笔记:
例1:判断下列式子哪些是二次根式。
1
变式训练:
1、下列各式中是二次根式的是。
1
○2-
3
4
5
6
2
3
4
5
6
2m 、n 应满足的条件是 二、二次根式有意义的条件 笔记:
例2:当x 为何值时,下列各式有意义? (
1
(2)
变式训练:
3
(3)
x 的取值范围是 。
P(a , b ) 所在象限为。 5, 求x 2-2xy +y 2的值。
4
5、已知实数x 、
y
满足等式:y =
当堂检测 1
有意义的x 的取值范围是( ) A. x ≥0 B. x ≠
11
C. x ≥0且x ≠ D. 一切实数 22
2
m 的值为 3、下列各式中不一定是二次根式的是( )
A.
B.
C.
D.
4
、y =x 的取值范围为。
5
x 的值为。 6
=y +4, 求x y 的平方根。
学习心得:
第二讲
2
2=a
例1:(1
(2
变式:已知实数x 、y
|2x -3y -5|=0,
例2:(1
)计算:
(3)在实数范围内分解因式:x 4-4
x -+2
2
=0, 求x 、y 的值。
2x+3y-1的值。
2
-(-2 (2)
若2=2-x , 求x 。
变式:在实数范围内分解因式:4x 4-25
例3:在∆ABC 中,a,b,c
2|c -a -b |
变式1
2、化简求值:2a -其中a = 当堂检测
1
2、在实数范围内分解因式:2x 2-4
学习心得:
a
b
小试牛刀
一、选择题(每题5分,共35分) 1有意义的x 的取值范围是( ) A. x ≥
0 B. x ≠
11
C. x ≥0且x ≠ D. 一切实数 22
2、实数a,b 在数轴上的位置如图所示,且
) A.2a+b B.-2a+b C.b D.2a-b
3、若实数a,b 满足|a +1|=0, 则(A.0 B.1 C.-1
D. ±1 4、使式子
x 的取值范围是【 】
A .x≥-1 B .-1≤x≤2 C .x≤2 D .-1<x <2
5、已知实数x ,y 满足x -4,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是【 】 A .20或16 B . 20 C .16 D .以上答案均不对
6、下列各式正确的是( )
A. (-2)2=2 B . (-2)=-4 C. (-2)=2 D. (-x )=-x 7、如果a 是非零实数,则下列各式中一定有意义的是(
)
A 、a B
、2-a C 、-a 2
D 、二、填空题(每题5分,共30分)
8
有意义的x 的取值范围是 . 9|x﹣y ﹣3|互为相反数,则x+y= 10、当x=﹣4 . 11、1a
2
1
有意义,则m 的取值范围是 m +1
2
12、若a -2(c -4)=0,则a -b +c =
13、若1<x <4, 则化简 =
三、解答题(40分)
14、在实数范围内分解因式:(1)2x 2-4 (2) 2 2 (20分) x -
15
、计算:2-
学习心得:
(15分)
第三讲 二次根式的乘除
=
)
例1:计算:(1
)(-
(2)
变式:计算:(1
例2
:将a
变式:把(1-x a>b>0)
(3) (- (2
)
。
= )
例3、计算(1
变式:计算:(1
(2
)(- (2
)
第四讲 最简二次根式
一、判断二次根式是否为最简二次根式的三条黄金法则:
二、两个公式
= )
=( ) 例1 化简:(1
(2
(3
变式:化简:(1
(2
(3)
例2:化简:(1
提升一下:计算:(1
再提升一下:先化简再求值:
x ≥0, y ≥0)
(2
(3
(4
(-
(2) 1+x 2x
÷(x -) ,
其中,x =. 1-x 1-x
最简二次根式巩固练习
一、填空题:
1.把下列二次根式化成最简二次根式.
(1)=________;(2)27=________;(3)=________;(4)2________;
(5=________;(6250=________;(724=________;(8=________; (9)=________; (10)4. 5=________.
1
81=4
2.设x <0,则
-8
=_________. x
3.下列二次根式45a 2 二、选择题
12
40b 54中的最简二次根式有________. 2
1.在二次根式,5a ,,,
3
x
中,最简二次根式的个数是( ). 2
A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.下列各式中是最简二次根式的是( ). A .4 B .
1
C .a D . 2
3.下列各式中,不是最简二次根式的是( ).
A . B .x +x C .x +1 D . 4.下列计算中正确的是( ). A .
2
13-42
== B .6-93
12
= 2 C .+=22+32 D .
5.如果|x -2|+y -9=0,则y (x +1) =( ).
A .33 B .±3 C .-33 D .32 6.下列二次根式中,最简二次根式是( ). A .
a +122
B .a +1 C .4ab D .a b 2
7.下列二次根式中,最简二次根式是( ). A .
m 32
B .8m C .2m D .m +16 2
8.下列根式中,是最简二次根式的是( ).
233
A .. 5x B .2xy C .x -y D .x +9y
三、 下列根式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?若不是,请说明理由. 1. 2.x +9 3.
2
38
4.45a 8
5.2
1222
6.4ab 7.(a +b ) 8. 2
四、把下列各式化成最简二次根式. 1.
6.. 48 7.a b 8.
五、求下列各式的值:
22
1.x -2xy +y (其中x =4-2,y =4+2)
7
2.2
3
3 3.211
228 4.8
3
5.-362 83
2
1
+1 2
-b +b 2-4ac 2.(其中a =4,b =16,c =9)
2a
学习心得:
第五讲 二次根式的加减
同类二次根式:
根式的加减实际上是合并同类二次根式的过程。
例1 计算:(1
)
变式:计算:
练习:计算:(1
)
2
(3) (
(4) (4+-
- (2
)(1
62m 2÷
(2) -1) 2
学习心得:
第六讲 勾股定理
一、勾股定理的证明
二、勾股定理及其应用 定理:
几何语言:
例1 在Rt ∆ABC 中,∠C=90o 。(1)已知a=b=6,求c. (2)已知c=3,b=2,求a 。
(3)已知a:b=2:1,c=5,求a,b.
例2 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4,求第三边的长。
例3:如图,在∆ABC 中,AB=AC,∠C=30o ,DA ⊥AB 于点A ,若BC 等于6cm ,求AB 。
A
B
D
C
变式:1、若直角三角形的两直角边长分别为3和4,则斜边上的高为( ) A.5 B.2.4 C.3.6 D. 以上答案都不对 2、填空:(1)在Rt ∆ABC 中,∠C=90o ,a=5,b=12,则。 (2)在Rt ∆ABC 中,∠B=90o , a=5,b=12,则。
(3)在Rt ∆ABC 中,∠C=90o , ∠A=45o ,则BC:AC:AB= . (4)在Rt ∆ABC 中,∠C=90o , ∠A=30o ,则BC:AC:AB= .
例4有两棵树,一棵高10米,一棵高4米,两树相距8米,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,求小鸟飞行的最短距离。
D
变式:3、如图四边形ABCD ,求AD 长。
A
B
C
A
4、如图,在∆ABC 中,∠A=60o ,AB=15 cm,AC=24 cm,求BC 的长。 B
5
6、如图,正方形A,B,C 的面积有着怎么样的关系?能说说理由吗?
7、如图,Rt ∆ABC 中,∠C=90o ,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB 于点E ,若AC=6,BC=8,CD=3.
A (1)求DE 长。(2)求∆ADB 的面积。
E
B C D
C
二次根式的加减巩固练习
计算:
2-+
11+,12+18-832 25
40-5
25a 2
2a 2a -8a +6
3
1
10+10 , 1x x +4y -2y 1
y 27–4520+75
21, 712-348, 218–50+45, a 3
a -a b +54a -2b
(48+20) +(-) , x
a b ,12
27318–43111
-(-) 2327
21x 1x 1
-6x ) +4y -+y , x 9x -(x 2
3x 4x 2y
学习心得:
第七讲 勾股定理的逆定理
知识点:勾股定理: 逆定理: 几何语言:
勾股数:
常见的勾股数: 引申出来的概念 命题: 逆命题: 定理: 逆定理:
典题训练:
1、判断下列命题的真假,并写出它们的逆命题,判断逆命题的真假。 (1)等腰三角形是轴对称图形。 (2)两直线平行,同位角相等。
(3)如果两个数互为相反数,那么它们的和为零。 (4)如果AB>0,那么a>0,b>0。
2.在下列长度的各组线段中,能组成直角三角形的是( ).
A .12,15,17 B.9,16,25 C.5a ,12a ,13a (a>0) D.2,3,4
3.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为______________
A 56 B 48 C 40 D 321
4. 在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ,AB =8,BC =15,CA =17,则下列结论不正确的是( ).
A .△ABC 是直角三角形,且AC 为斜边 B.△ABC 是直角三角形,且∠ABC =90° C .△ABC 的面积是60 D.△ABC 是直角三角形,且∠A =60°
5.在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c. 则满足下列条件但不是直角三角形的是( ).
A .∠A =∠B -∠C B.∠A :∠B :∠C =1:1:2
222
C .a :b :c =4:5:6 D.a -c =b
6.写出一组全是偶数的勾股数是 .
7.若一三角形铁皮余料的三边长为12cm ,16cm ,20cm ,则这块三角形铁皮余料的面积为
2
cm.
8.如图1,一根电线杆高8m. 为了安全起见,在电线杆顶部到与电线杆底部水平距离6m 处加一拉线. 拉线工人发现所用线长为10.2m (不计捆缚部分),则电线杆与地面 (填“垂直”或“不垂直”).
9.一透明的玻璃杯,从内部测得底部半径为6cm ,杯深16cm. 今有一根长为22cm 的吸管如图2放入杯中,露在杯口外的长度为2cm .
10.若一三角形三边长分别为5、12、13,则这个三角形长是13的边上的高是 . 11、已知x -6+y -8+(z -10) =0 ,则由此x , y , z 为三边的三角形是 三角形. 12、欲登12米高的建筑物,为安全需要,需使梯子底端离建筑物5米,梯子至少需要 米.
22
在△ABC 中,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c. a =n -16,b =8n ,c =n +16(n>4). 求证: ∠C=90°.
13.如图3,AD=7,AB =25,BC =10,DC =26,DB =24,求四边形ABCD 的面积. A D
B C
图13 14.如图4,已知在△ABC 中,CD ⊥AB 于D ,AC =20,BC =15,DB =9.
(1)求DC 的长.
C
(2)求AB 的长.
(3)求证: △ABC 是直角三角形.
A D B
图14
15. 已知:如图,∠ABD=∠C=90°,AD=12,AC=BC,∠DAB=30°,求BC 的长.
2
16. 已知:如图,AB=4,BC=12,CD=13,DA=3,AB ⊥AD ,求证:BC ⊥BD .
第8讲 勾股定理巩固与提升
复习:
(1)勾股定理的内容: (2)勾股定理的应用: ①已知两边求第三边;
②已知一边和一锐角(30°、60°、45°的特殊角),求其余边长; ③已知一边和另外两边的数量关系,用方程.
例1、已知:在Rt △ABC 中,∠C=90°,CD ⊥AB 于D ,∠A=60°,CD=
, 求线段AB 的长.
变式训练: △ABC
中,AB=10,AC=17,BC 边上的高线AD=8,求线段BC 的长和△ABC 的面积.
2. 有一块菜地, 形状如下, 试求它的面积.
例2、在△ABC 中,∠C=30°,AC=4cm,AB=3cm,求BC 的长.
变式1、在△ABC 中,∠B=120°,BC=4cm,AB=6cm,求AC 的长.
已知直角三角形的两边长分别是3和4, 则第三边长为 .
直角三角形中,斜边与一直角边相差8,另一直角边为12,求斜边的长.
1.把直角三角形两直角边同时扩大到原来的5倍,则斜边扩大为原来的 ( ) A.2倍; B. 5倍; C. 2.5倍; D. 3倍;
2.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m ,当他把绳子的下端拉开5m 后发现下端刚好接触到地面, 则旗杆的高为 ( ) A 8m B 10m C 12m D 14m .
3. 有一个圆桶,底面直径为24cm, 高为32cm, 则桶内能容下的最长的木棒为( ) A. 20cm B. 50cm C. 40cm D. 45cm
已知:如图,△ABC 中,AC=4,∠A=45°,∠B=60°,求AB.
受台风麦莎影响,一棵树在离地面4米断裂,树的顶部落在离树跟底部3米处,这棵树折断前有多高?
拓展:有一个圆柱, 它的高等于12厘米, 底面半径等于3厘米, 在圆柱下底面上的A 点有一只
蚂蚁, 它想从点A 爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (π的值取3)
第9讲 平行四边形的性质
一、平行四边形的定义:
几何语言:
二、平行四边形的性质: 1、边: 2、角: 3、线: 4、面积:
三、平行线间的距离:
基础训练:
1、平行四边形具有,而一般四边形不一定具有的性质是
A 内角和等于360° B 外角和是360° C 不稳定性 D 对角线互相平分
2、在□ABCD 中,∠A: ∠B: ∠C: ∠D 的值可以是( ) N A 1:2:3:4 B 1:2:2:1 C 1:1:2:2 D 2:1:2:1 3、在□ABCD 中,∠A 比∠B 大20°,则∠C 的度数是
C A 60° B 80° C 100° D 120°
4、如图,在△MBN 中,BM =6,点A 、C 、D 分别在MB 、NB 、MN 上,
M 四边 形ABCD 为平行四边形,∠NDC =∠MDA , □ABCD 的周长是( ) A
第4题 A 24 B 18 C 16 D 12
5、如图,在□ABCD 中,AC 、BD 为对角线,BC =6,BC 边上的高为4,则阴影部分的面积为 D A A 3 B 4 C 12 D 24
6、下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组 成,其中,第①个图形一共有1个平行四边形,第②个图形
C
B 一共有5个平行四边形,第③个图形一共有11个平行四边形, 第5题
……,则第⑥个图形中平行四边形的个数为( )
……
C
B
第7题
图① 图② 图③ 图④
12A A .55 B .42 C.41 D .29
7、如图,□ABCD 中,在CA ⊥AB ,∠B =60°,则∠CAD 138、如图,四边形ABCD 是平行四边形,BD ⊥AD ,则OB 的长
B
为 第8题 9、已知□ABCD 的对角线AC,BD 交于点O ,△AOB 的面积为2, 那么□ABCD 的面积为
E A
F
D
10、如图,在□ABCD 中,AB =4cm,AD =7cm,∠ABC 的平分线BF 交AD 于点E ,交CD 的延长线于点F ,则DF = cm. 11、如图,D 是等腰三角形ABC 底边BC 上的一点,DE ∥AC , 第10题
DF ∥AB .
A
求证:DE+DF=AB E
F
B C D 第11题 12、如图,在□ABCD 中,E 、F 分别是BC 、AD 上的点,且BE=DF.求证:AE=CF
F A D
B E C
第12题
A 13、已知,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线,DE ∥BC 交AB 于E ,
EF ∥AC 交BC 于F ,求证:BE=FC
D E
C B F
第13题
14、如图,在□ABCD 中,M 、N 分别是OA 、OC 的中点.
D 求证:(1)BM=DN (2) BM ∥DN C
N
A B
第14题
第10讲 平行四边形的判定
一、平行四边形的判定定理: 边:1、 2、 3、 角: 线:
二、三角形的中位线定理:
几何语言:
达标练习:
1.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,问四边形ABCD 是不是平行四边形.
4. 如图,在ABCD 的各边AB 、BC 、CD 、DA 上,分别取点K 、L 、M 、N ,使AK =CM 、BL =DN ,则四边形KLMN 为平行四边形吗?说明理由.
5.已知如图19-1-55所示,在□ABCD 中,E ,F 分别是AB ,CD 的中点. 求证:(1) △AFD≌△CEB.(2)四边形AECF 是平行四边形.
2、如图所示,已知□ABCD 中,AE 、CF 分别是∠DAB 、∠BCD 的平分线,求证:四边形AFCE 是平行四边形。D E C
3. 如图,平行四边形ABCD 中,AF =CH ,DE =BG 。
求证:EG 和HF 互相平分。
D E
G
A
F
图20.1.3-1
B H
C
12
34
A F 图3
B
6. 如图所示,在四边形ABCD 中,M 是BC 中点,AM
、
BD 互相平分于点O ,那么请说明
AM=DC 且AM ∥DC
21
用心,才能铸就成功!加油,来补习数学的同学!我不会辜负你的信任,也请你不要辜负了我还有你父母
的期望!
7. 如图,在平行四边形ABCD 中,∠ABC的平分线交CD 于点E,∠ADC的平分线交AB 于点F. 试证明四边形DFBE 为平行四边形.
.
8. 如图, 已知:E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上的两点,并且AE=CF。求证:四边形BFDE 是平行四边形
9. 如图,在△ABC 中,BD 平分∠ABC ,DE ∥BC 交AB 于点E ,EF ∥AC 交BC 于点F ,那么
.
10.如图所示,在四边形ABCD 中,E ,F ,G ,H 分别是AB ,BC ,CD ,AD 的中点,•则四边形EFGH 是平行四边形吗?为什么?
11.如图所示,在△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D ,E ,F 分别是AB ,BC ,CA 的中点,求△DEF的面积.
12.如图所示,A ,B 两点被池塘隔开,在A ,
B 外选一点C ,连接AC 和BC ,•并分别找出AC 和BC 的中点M ,N ,如果测得
MN=20m
,
那
么A ,B 两点间的距离是多少?
C
22
用心,才能铸就成功!加油,来补习数学的同学!我不会辜负你的信任,也请你不要辜负了我还有你父母
的期望!
第11讲 矩形的性质及判定
一、矩形的性质: 边: 角: 线:
二、矩形的判定: 边: 角: 线:
三、直角三角形斜边上的中线:
达标练习:
1. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分,则该矩形的周长是___________. 2. 矩形的两条对角线的夹角是60°,一条对角线与矩形短边的和为15,那么矩形对角线的长为_______,短边长为_______.
3. 若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12, 则斜边上的中线等于 .
4. 如图,E 为矩形ABCD 对角线AC 上一点,
DE ⊥AC 于E ,∠ADE: ∠EDC=2:3,则∠BDE 为_________.
5. 矩形的两邻边分别为4㎝和3㎝,则其对角线为 ㎝,矩形面积为 cm. 6. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°,则两条对角线相交所成的锐角是___________.
7. 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( )
A. 对边相互平行 B. 对角线相等 C. 对角线相互平分 D. 对角相等 8. 矩形具备而平行四边形不具有的性质是( )
A .对角线互相平分 B.邻角互补 C.对角相等 D.对角线相等 9. 在下列图形性质中,矩形不一定具有的是( )
A .对角线互相平分且相等 B.四个角相等 C .是轴对称图形 D.对角线互相垂直平分
10. 如图,四边形ABCD 中,∠ABC=∠ADC=90°,M 、N 分别是AC 、BD•的中点,那么MN ⊥BD 成立吗?试说明理由.
11. 如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,如果将该矩形沿对角线BD 重叠,求图中阴影部分的面积.
A
C D
2
23
B
的期望!
12. 如图,已知在四边形ABCD 中,AC ⊥DB 交于O ,E 、F 、G 、H 分别是四边的中点, 求证:四边形EFGH 是矩形.
13. 如图,平行四边形ABCD 中,AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线,AQ 与BN 交于P ,CN 与DQ 交于M ,
A
F
B E
O
H
C
求证:四边形PQMN 是矩形.
★14. 如图矩形ABCD 中,延长CB 到E ,使CE =AC ,F 是AE 中点. 求证:BF ⊥DF .
B
A
N
C
D
A
D
F
E B
C
★15. 如图,矩形ABCD 中,CE ⊥BD 于E ,AF 平分∠BAD 交EC 于F , 求证:CF =BD .
A
D
B
C
F
24
用心,才能铸就成功!加油,来补习数学的同学!我不会辜负你的信任,也请你不要辜负了我还有你父母
的期望!