二次函数压轴题解题思路
一、基本知识 1会求解析式
2. 会利用函数性质和图像
3. 相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。 二、典型例题： （一） 求解析式
2
（2014兰州）把抛物线y=﹣2x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达
2222
式为（ ）Ay=﹣2（x+1）+2 By=﹣2（x+1）﹣2 Cy=﹣2（x ﹣1）+2 Dy=﹣2（x ﹣1）﹣2 （二） 二次函数的相关应用 第一类：面积问题
1. （2014•兰州）如图，抛物线y=﹣x +mx+n与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标． k | B
2
1 . c |O |m
|
第二类：. 构造问题 （1）构造线段
2
2. （2013•莱芜）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1），交y 轴于点M ．（1）求抛物线的表达式；
（2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 垂直x 轴于点E ，交线段AM 于点F ，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D 的坐标；
解：（1）把A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1）代入
得，
．解得。
∴抛物线的表达式为。
（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M 的坐标为（0，1）。 设直线MA 的表达式为y=kx+b，
则，解得。
∴直线MA 的表达式为。
设点D 的坐标为，
则点F 的坐标为。
∴。
∴当时，DF 的最大值为。
此时，即点D 的坐标为。
（3）存在点P ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似。
设P ，
在Rt △MAO 中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P 不可能在第一象限。 ①设点P 在第二象限时，∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM。
∴
解得m=﹣3或m=﹣8。
，即，
∵此时﹣3＜m ＜0，∴此时满足条件的点不存在。 ②当点P 在第三象限时，
∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM。
∴，即，
解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8。
当m=﹣8时，，∴此时点P 的坐标为（﹣8，﹣15）。
③当点P 在第四象限时，
若AN=3PN时，则即m 2+m﹣6=0。
解得m=﹣3（舍去）或m=2。
，
当m=2时，，
∴此时点P 的坐标为（2，）。
若PN=3NA，则
解得m=﹣3（舍去）或m=10。
，即m 2﹣7m ﹣30=0。
当m=10时，，∴此时点P 的坐标为（10，﹣39）。
综上所述，满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣39）。
）、（10，
（2）构造相似三角形
2
3. （2013•莱芜）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1），交y 轴于点M ．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y=
．）（3）抛物线上是否存在一点P ，作PN
垂直x 轴于点N ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO
相似？若存
在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2013•莱芜）解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=．
（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M 的坐标为（0，1）．设直线MA 的表达式为y=kx+b，则
．解得
．∴直线MA 的表达式为y=x+1．设点D 的坐标为（），则点F 的坐标为
（当
）．DF=
时，DF 的最大值为．此时
=
，即点D 的坐标为（
）． ）．
．
（3）存在点P ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO相似．设P （m ，
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P 不可能在第一象限．①设点P 在第二象限时，∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM，∴﹣3＜m ＜0，故此时满足条件的点不存在．
②当点P 在第三象限时，∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM，∴m +11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P 的坐标为（﹣8，﹣15）． ③当点P 在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3m=2时，若PN=3NA，则﹣
．此时点P 的坐标为（2，﹣）．
，即m ﹣7m ﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P 的坐标
为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，
﹣39）．
2
2
，即m +11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又
2
，即
，即m +m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当
2
（3）构造平行四边形
4. （2014•莱芜）如图，过A （1，0）、B （3，0）作x 轴的垂线，分别交直线y=4
2
﹣x 于C 、D 两点．抛物线y=ax+bx+c经过O 、C 、D 三点．（1）求抛物线的表达式；
（2）点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；
（2014•莱芜）解：（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
∴，解得
，∴抛物线的表达式为：y=
﹣x 2
+
x ．
（2）存在．
设直线OD 解析式为y=kx，将D （3，1）代入求得k=，∴直线OD 解析式为
y=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，x ），N （x ，﹣x 2
+
x ），∴MN=|yM ﹣y N |=|x ﹣（﹣x 2+
x ）|=|x 2﹣4x|．由题意，
可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．∴|x 2﹣4x|=3．若x 2﹣4x=3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：
x=
；若x 2﹣4x=﹣3，整理得：4x 2﹣12x+9=0，解得：x=． 或
．
或x=
∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：或
得，解得。
∴该抛物线的解析式为。
（2）令y=0，即，解得x 1=－4，x 2=2。
∴A （﹣4，0），S △ABC =AB •OC=12。
设P 点坐标为（x ，0），则PB=2﹣x 。
∵PE ∥AC ，∴∠BPE=∠BAC ，∠BEP=∠BCA 。∴△PBE ∽△ABC 。
∴，即，化简得：。
∴
。
∴当x=﹣1时，S △PCE 的最大值为3。
（3）△OMD 为等腰三角形，可能有三种情形： ①当DM=DO时，如图①所示，
∵DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°。∴∠ADM=90°。
∴M 点的坐标为（－2，－2）。 ②当MD=MO时，如图②所示，
过点M 作MN ⊥OD 于点N ，则点N 为OD 的中点， ∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN 为等腰直角三角形，∴MN=AN=3。 ∴M 点的坐标为（－1，－3）。 ③当OD=OM时，
∵△OAC 为等腰直角三角形，
∴点O 到AC 的距离为∵
×4=，即AC 上的点与点O 之间的最小距离为。
＞2，∴OD=OM的情况不存在。
综上所述，点M 的坐标为（－2，－2）或（－1，－3）。
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）首先求出△PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值。 （3）△OMD 为等腰三角形，分DM=DO，MD=MO，OD=OM三种情况讨论即可。
（5）构造直角三角形
6. （2014•四川内江）如图，抛物线y=ax+bx+c经过A （﹣3.0）、C （0，4），点B 在抛物线上，CB ∥x 轴，且AB 平分∠CAO ．（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．
（2014•四川内江，第28题，12分）解：（1）如图1，∵A （﹣3，0），C （0，4），∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC ∥AO ，AB 平分∠CAO ，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB ．∴BC=AC．
∴BC=5．∵BC ∥AO ，BC=5，OC=4，∴点B 的坐标为（5，4）．∵A （﹣3.0）、C （0，4）、B （5，4）在抛物线y=ax2+bx+c2上，∴解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+x+4．
（2）如图2，设直线AB 的解析式为y=mx+n，∵A （﹣3.0）、B （5，4）在直线AB 上，∴
解得：∴直线AB 的解析式为y=x+．设点P 的横坐标为t （﹣3≤t ≤5），则点Q 的横坐标也为t ．
∴y P =t+，y Q =﹣t 2+t+4．∴PQ=yQ ﹣y P =﹣t 2+t+4﹣（t+）=﹣t 2+t+4﹣t ﹣=﹣t 2++=﹣（t 2﹣2t ﹣15）=﹣ [（t ﹣1）2﹣16]=﹣（t ﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ 取到最大值，最大值为．∴线段PQ 的最大值为．
（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．
抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴x H =xG =xM =．∴y G =×
+=．∴GH=．
∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM ．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM ，
∴△AHG ∽△MHA ．∴．∴=．解：MH=11．∴点M 的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣
=
=．同理：
AG==，∴
BG= ．∵∠AGH=∠MGB ，∠AHG=∠MBG=90°，
∴△AGH ∽△MGB
．∴=．∴=．解得：
MG=．∴MH=MG+GH=
+=9．
∴点M 的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M 的坐标为（，9）和（，﹣11）．
7.. （常德）已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延 长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF
（1） 求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD
的长。
证明：（1）连接FO 易证OF ∥AB ∵AC ⊙O 的直径 ∴CE ⊥AE ∵OF ∥AB ∴OF ⊥CE ∴OF 所在直线垂直平分CE ∴FC ＝FE ，OE ＝OC
∴∠FEC ＝∠FCE ，∠0EC ＝∠0CE ∵Rt △ABC ∴∠ACB ＝90°
即：∠0CE ＋∠FCE ＝90° ∴∠0EC ＋∠FEC ＝90° 即：∠FEO ＝90° ∴FE 为⊙O 的切线
（2）
∵⊙O 的半径为3 ∴AO ＝CO ＝EO ＝3
∵∠EAC ＝60°，OA ＝OE ∴∠EOA ＝60°
∴∠COD ＝∠EOA ＝60°
∵在Rt △OCD 中，∠COD ＝60°，OC ＝3 ∴CD ＝33
∵在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°， CD＝33，AC ＝6 ∴AD ＝37
8. （呼和浩特）) 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，P 是⊙O 外的一点，AM 是⊙O 的直径，∠PAC=∠ABC
(1) 求证：PA 是⊙O 的切线；
(2) 连接PB 与AC 交于点D ，与⊙O 交于点E ，F 为BD 上的一点，若M 为弧BC 的中点，且∠DCF=∠P ，求证：
BD/PD = FD/ED = CD/AD
.
二次函数压轴题解题思路
一、基本知识 1会求解析式
2. 会利用函数性质和图像
3. 相关知识：如一次函数、反比例函数、点的坐标、方程。图形中的三角形、四边形、圆及平行线、垂直。一些方法：如相似、三角函数、解方程。一些转换：如轴对称、平移、旋转。 二、典型例题： （一） 求解析式
2
（2014兰州）把抛物线y=﹣2x 先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达
2222
式为（ ）Ay=﹣2（x+1）+2 By=﹣2（x+1）﹣2 Cy=﹣2（x ﹣1）+2 Dy=﹣2（x ﹣1）﹣2 （二） 二次函数的相关应用 第一类：面积问题
1. （2014•兰州）如图，抛物线y=﹣x +mx+n与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，已知A （﹣1，0），C （0，2）．（1）求抛物线的表达式；（3）点E 时线段BC 上的一个动点，过点E 作x 轴的垂线与抛物线相交于点F ，当点E 运动到什么位置时，四边形CDBF 的面积最大？求出四边形CDBF 的最大面积及此时E 点的坐标． k | B
2
1 . c |O |m
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第二类：. 构造问题 （1）构造线段
2
2. （2013•莱芜）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1），交y 轴于点M ．（1）求抛物线的表达式；
（2）D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 垂直x 轴于点E ，交线段AM 于点F ，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D 的坐标；
解：（1）把A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1）代入
得，
．解得。
∴抛物线的表达式为。
（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M 的坐标为（0，1）。 设直线MA 的表达式为y=kx+b，
则，解得。
∴直线MA 的表达式为。
设点D 的坐标为，
则点F 的坐标为。
∴。
∴当时，DF 的最大值为。
此时，即点D 的坐标为。
（3）存在点P ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO 相似。
设P ，
在Rt △MAO 中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P 不可能在第一象限。 ①设点P 在第二象限时，∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM。
∴
解得m=﹣3或m=﹣8。
，即，
∵此时﹣3＜m ＜0，∴此时满足条件的点不存在。 ②当点P 在第三象限时，
∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM。
∴，即，
解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8。
当m=﹣8时，，∴此时点P 的坐标为（﹣8，﹣15）。
③当点P 在第四象限时，
若AN=3PN时，则即m 2+m﹣6=0。
解得m=﹣3（舍去）或m=2。
，
当m=2时，，
∴此时点P 的坐标为（2，）。
若PN=3NA，则
解得m=﹣3（舍去）或m=10。
，即m 2﹣7m ﹣30=0。
当m=10时，，∴此时点P 的坐标为（10，﹣39）。
综上所述，满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣39）。
）、（10，
（2）构造相似三角形
2
3. （2013•莱芜）如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）经过点A （﹣3，0）、B （1，0）、C （﹣2，1），交y 轴于点M ．（1）求抛物线的表达式；（抛物线的表达式为y=
．）（3）抛物线上是否存在一点P ，作PN
垂直x 轴于点N ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO
相似？若存
在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（2013•莱芜）解：由题意可知．解得．∴抛物线的表达式为y=．
（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M 的坐标为（0，1）．设直线MA 的表达式为y=kx+b，则
．解得
．∴直线MA 的表达式为y=x+1．设点D 的坐标为（），则点F 的坐标为
（当
）．DF=
时，DF 的最大值为．此时
=
，即点D 的坐标为（
）． ）．
．
（3）存在点P ，使得以点P 、A 、N 为顶点的三角形与△MAO相似．设P （m ，
在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P 不可能在第一象限．①设点P 在第二象限时，∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM，∴﹣3＜m ＜0，故此时满足条件的点不存在．
②当点P 在第三象限时，∵点P 不可能在直线MN 上，∴只能PN=3NM，∴m +11m+24=0．解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P 的坐标为（﹣8，﹣15）． ③当点P 在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3m=2时，若PN=3NA，则﹣
．此时点P 的坐标为（2，﹣）．
，即m ﹣7m ﹣30=0．解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P 的坐标
为（10，﹣39）．综上所述，满足条件的点P 的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，
﹣39）．
2
2
，即m +11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又
2
，即
，即m +m﹣6=0．解得m=﹣3（舍去）或m=2．当
2
（3）构造平行四边形
4. （2014•莱芜）如图，过A （1，0）、B （3，0）作x 轴的垂线，分别交直线y=4
2
﹣x 于C 、D 两点．抛物线y=ax+bx+c经过O 、C 、D 三点．（1）求抛物线的表达式；
（2）点M 为直线OD 上的一个动点，过M 作x 轴的垂线交抛物线于点N ，问是否存在这样的点M ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M 的横坐标；若不存在，请说明理由；
（2014•莱芜）解：（1）由题意，可得C （1，3），D （3，1）．∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx．
∴，解得
，∴抛物线的表达式为：y=
﹣x 2
+
x ．
（2）存在．
设直线OD 解析式为y=kx，将D （3，1）代入求得k=，∴直线OD 解析式为
y=x ． 设点M 的横坐标为x ，则M （x ，x ），N （x ，﹣x 2
+
x ），∴MN=|yM ﹣y N |=|x ﹣（﹣x 2+
x ）|=|x 2﹣4x|．由题意，
可知MN ∥AC ，因为以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3．∴|x 2﹣4x|=3．若x 2﹣4x=3，整理得：4x 2﹣12x ﹣9=0，解得：
x=
；若x 2﹣4x=﹣3，整理得：4x 2﹣12x+9=0，解得：x=． 或
．
或x=
∴存在满足条件的点M ，点M 的横坐标为：或
得，解得。
∴该抛物线的解析式为。
（2）令y=0，即，解得x 1=－4，x 2=2。
∴A （﹣4，0），S △ABC =AB •OC=12。
设P 点坐标为（x ，0），则PB=2﹣x 。
∵PE ∥AC ，∴∠BPE=∠BAC ，∠BEP=∠BCA 。∴△PBE ∽△ABC 。
∴，即，化简得：。
∴
。
∴当x=﹣1时，S △PCE 的最大值为3。
（3）△OMD 为等腰三角形，可能有三种情形： ①当DM=DO时，如图①所示，
∵DO=DM=DA=2，
∴∠OAC=∠AMD=45°。∴∠ADM=90°。
∴M 点的坐标为（－2，－2）。 ②当MD=MO时，如图②所示，
过点M 作MN ⊥OD 于点N ，则点N 为OD 的中点， ∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，
又△AMN 为等腰直角三角形，∴MN=AN=3。 ∴M 点的坐标为（－1，－3）。 ③当OD=OM时，
∵△OAC 为等腰直角三角形，
∴点O 到AC 的距离为∵
×4=，即AC 上的点与点O 之间的最小距离为。
＞2，∴OD=OM的情况不存在。
综上所述，点M 的坐标为（－2，－2）或（－1，－3）。
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式。
（2）首先求出△PCE 面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值。 （3）△OMD 为等腰三角形，分DM=DO，MD=MO，OD=OM三种情况讨论即可。
（5）构造直角三角形
6. （2014•四川内江）如图，抛物线y=ax+bx+c经过A （﹣3.0）、C （0，4），点B 在抛物线上，CB ∥x 轴，且AB 平分∠CAO ．（1）求抛物线的解析式；
（2）线段AB 上有一动点P ，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q ，求线段PQ 的最大值；
（3）抛物线的对称轴上是否存在点M ，使△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M 的坐标；如果不存在，说明理由．
（2014•四川内江，第28题，12分）解：（1）如图1，∵A （﹣3，0），C （0，4），∴OA=3，OC=4．
∵∠AOC=90°，∴AC=5．∵BC ∥AO ，AB 平分∠CAO ，∴∠CBA=∠BAO=∠CAB ．∴BC=AC．
∴BC=5．∵BC ∥AO ，BC=5，OC=4，∴点B 的坐标为（5，4）．∵A （﹣3.0）、C （0，4）、B （5，4）在抛物线y=ax2+bx+c2上，∴解得：∴抛物线的解析式为y=﹣x 2+x+4．
（2）如图2，设直线AB 的解析式为y=mx+n，∵A （﹣3.0）、B （5，4）在直线AB 上，∴
解得：∴直线AB 的解析式为y=x+．设点P 的横坐标为t （﹣3≤t ≤5），则点Q 的横坐标也为t ．
∴y P =t+，y Q =﹣t 2+t+4．∴PQ=yQ ﹣y P =﹣t 2+t+4﹣（t+）=﹣t 2+t+4﹣t ﹣=﹣t 2++=﹣（t 2﹣2t ﹣15）=﹣ [（t ﹣1）2﹣16]=﹣（t ﹣1）2+．∵﹣＜0，﹣3≤1≤5，∴当t=1时，PQ 取到最大值，最大值为．∴线段PQ 的最大值为．
（3）①当∠BAM=90°时，如图3所示．
抛物线的对称轴为x=﹣=﹣=．∴x H =xG =xM =．∴y G =×
+=．∴GH=．
∵∠GHA=∠GAM=90°，∴∠MAH=90°﹣∠GAH=∠AGM ．∵∠AHG=∠MHA=90°，∠MAH=∠AGM ，
∴△AHG ∽△MHA ．∴．∴=．解：MH=11．∴点M 的坐标为（，﹣11）．②当∠ABM=90°时，如图4所示．∵∠BDG=90°，BD=5﹣=，DG=4﹣
=
=．同理：
AG==，∴
BG= ．∵∠AGH=∠MGB ，∠AHG=∠MBG=90°，
∴△AGH ∽△MGB
．∴=．∴=．解得：
MG=．∴MH=MG+GH=
+=9．
∴点M 的坐标为（，9）．综上所述：符合要求的点M 的坐标为（，9）和（，﹣11）．
7.. （常德）已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延 长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF
（1） 求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD
的长。
证明：（1）连接FO 易证OF ∥AB ∵AC ⊙O 的直径 ∴CE ⊥AE ∵OF ∥AB ∴OF ⊥CE ∴OF 所在直线垂直平分CE ∴FC ＝FE ，OE ＝OC
∴∠FEC ＝∠FCE ，∠0EC ＝∠0CE ∵Rt △ABC ∴∠ACB ＝90°
即：∠0CE ＋∠FCE ＝90° ∴∠0EC ＋∠FEC ＝90° 即：∠FEO ＝90° ∴FE 为⊙O 的切线
（2）
∵⊙O 的半径为3 ∴AO ＝CO ＝EO ＝3
∵∠EAC ＝60°，OA ＝OE ∴∠EOA ＝60°
∴∠COD ＝∠EOA ＝60°
∵在Rt △OCD 中，∠COD ＝60°，OC ＝3 ∴CD ＝33
∵在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°， CD＝33，AC ＝6 ∴AD ＝37
8. （呼和浩特）) 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，P 是⊙O 外的一点，AM 是⊙O 的直径，∠PAC=∠ABC
(1) 求证：PA 是⊙O 的切线；
(2) 连接PB 与AC 交于点D ，与⊙O 交于点E ，F 为BD 上的一点，若M 为弧BC 的中点，且∠DCF=∠P ，求证：
BD/PD = FD/ED = CD/AD
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