《弹塑性断裂力学》
一、断裂力学研究现状与进展
断裂力学是近几十年才发展起来的一支新兴学科，也是固体力学的新分支，是二十世纪六十年代发展起来的一门边缘学科。它从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播和止裂规律。断裂力学应用力学成就研究含缺陷材料和结构的破坏问题，由于它与材料或结构的安全问题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了广泛应用。它不仅是材料力学的发展与充实，而且它还涉及金属物理学、冶金学、材料科学、计算数学等等学科内容。断裂力学的创立对航天航空、军工等现代科学技术部门都产生了重大影响。随着科学技术的发展，断裂力学这门新的学科在生产实践中得到越来越广泛的应用。
断裂力学包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、刚塑性断裂力学、粘弹性断裂力学、断裂动力学、复合材料断裂力学等分支。断裂力学的发展主要是线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学这三种经典断裂力学的发展。
1921年,Griffith 用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则。1955年，Irwin 用弹性力学理论分析了裂纹尖端应力应变场后提出了对于三种类型裂纹尖端领域的应力场与位移场公式。弹塑性断裂与脆性断裂不同，在裂纹开裂以后出现明显的亚临界裂纹扩展(稳态扩展),
达到一定的长度后才发生失稳扩展而破坏. 而脆性断裂无明显的临界裂纹扩展，裂纹开裂与扩展几乎同时发生。弹塑性断裂准则分为两类，第一类准则以裂纹开裂为根据，如COD 准则，J 积分准则；第二类准则以裂纹失效为根据，如R 阻力曲线法，非线性断裂韧度G 法。1965年Wells 在大量实验的基础上，提出以裂纹尖端的张开位移描述其应力、应变场。1968年,Rice 提出了J 积分理论. 以J 积分为参数并建立断裂准则。弹塑性断裂力学的重要成就是HRR 解。硬化材料I 型裂纹尖端应力应变场的弹塑性分析是由Hutchinson ，Rice 与Rosengren(1968)解决的, 故称为HRR 理论。断裂动力学问题可分为两大类，其一是裂纹稳定而外力随时间迅速变化，其二是外力恒定而裂纹处于快速运动状态。在这种情形下，必须考虑材料的惯性效应。70年代初,Sih 与Loeber 导出了外载随时间变化而裂纹是稳定的情况的渐近应力场与位移场，Rice 等多人先后导出了裂纹以等速传播情况的渐近应力场与位移场，并提出了裂纹稳定而外载随时间迅速变化情况下的裂纹开裂准则。对于很多工程材料，如聚合物、复合材料、混凝土等新型粘弹性材料，在常温下明显表现出时间相依性，这些材料的裂纹体可抽象为粘弹性体，与此相应的理论就是粘弹性断裂力学。对于缓慢亚临界裂纹扩展很明显的工程实际问题，必须考虑裂纹尖端塑性区或微裂区，按考虑裂尖衰坏区非线性效应的粘弹性断裂力学计算。对应力和位移场的求解，可采用弹性-粘弹性对应原理和Volterra 原理两类。裂纹模型，大多采用Dugdale-Barenblatt 模型及其推广。
断裂力学的理论不仅产生于社会生产实践。而且它现在已经又作
为理论来指导人们的社会生产实践。由于断裂力学能对材料和结构的安全性进行预测与估算，因而愈来愈受到重视。目前线弹性断裂力学发展较为成熟，在生产中已经得到应用。弹塑性断裂力学虽取得了一些进展，但仍有许多尚待深入研究的问题，它是当前断裂力学的主要研究方向之一。断裂动力学，对于线性材料还有待完善；对于非线性材料，尚处于研究初期，是断裂力学的又一主要研究方向。随着对断裂问题的深入研究及数学工具的方便使用，断裂力学理论会日益成熟, 断裂力学应用会日渐广泛。
二、简要内容
在张老师的悉心讲解下，我对断裂力学也有了更多的了解和更新的认识。
（1）裂纹问题的三种基本类型
a. 第一种称为张开型或拉伸型，简称I 型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹面法线方向(y方向) 。许多工程上常见的都是I 型裂纹的断裂，这也是最危险的裂纹类型。
b. 第二种裂纹型称为同平面剪切型或者滑移型，简称II 型。裂纹上下表面的位移方向刚好相反，一个向正x 方向，另一个向负x 方向。
c. 第三种裂纹型称为反平面剪切型，简称III 型，裂纹面一个向正z 方向，另一个向负z 方向，属弹性力学空间问题。
图一：裂纹的三种基本类型
（2）应力强度因子
我们发现三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应力场有一个共同的特点，即r
0时，即在裂纹端点，应力分量均趋于无
限大。这种特性称为应力奇异性。在工程实践中，应力总是有界的不可能达到无限大。受力物体中的应力达到一定的大小，材料就会屈服，再增大就会断裂。由于应力的奇异性这一明显的矛盾，使我们不能运用裂纹尖端处的应力数值来判断材料是否具有足够的强度。对于处于不稳定的扩展阶段，我们从上面二维I 型裂纹裂端区应力场和应变场公式可得，其强度完全由K I 值的大小来决定，因此我们定义K I 为I
型裂纹的应力强度因子。同样我们也可以得到II 型和III 型裂纹的应力强度因子K II 和K III 。由于有这一特点，应力强度因子可以作为表
征裂端应力应变场强度的参量。
（3）断裂准则
实验表明当应力强度因子K 达到一个临界值时，裂纹就会失稳扩展，而后就会导致物体的断裂。这个临界值我们称之为断裂韧度，用符号K C 表示。在材料力学中我们可以用产生的应力小于许用应力
σ≤[σ]来判断物体受力是否安全，而在断裂力学中则利用：
K =K C
这就是线弹性断裂力学的断裂判据，也就是带裂纹体失稳扩展的临界条件。
当 K >K C 时 裂纹即失稳扩展；
当 K
当 K =K C 时 裂纹处于临界状态。
对于I 型裂纹，断裂判据可以写成： K I =K IC
通过实验可知 K IC 是K C 中的最低值，故一般都测出材料的K IC 数值。
K IC 被称为材料的平面应变断裂韧度。目前，材料的K IC 已经成为破损
安全、裂纹体断裂控制和发展选用新型材料的重要参数，在工程实践中得到广泛的应用。
（4）能量变化率
英国著名的科学家Griffith ，提出了能量释放的观点，以及根据这个观点而建立的断裂判据。
能量释放率：指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长度时，平板每单位厚度所释放出来的能量。用符号G 表示。
表面自由能：材料每形成单位裂纹面积所需的能量，其量纲与能量释放率相同。用符号γs 表示。
由此Griffith 提出了著名的Griffith 断裂判据：G =2γs ，Griffith 假定γs 为一材料常数，若此G 值大于或等于2γs ，就会发生断裂；若小
于2γs ，则不发生断裂，此时G 值仅代表裂纹是否会发生扩展的一种
倾向能力，裂端并没有真的释放出能量。
在Griffith 弹性能释放理论的基础上，Irwin 和Orowan 按照热力学的能量守恒定律提出在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的改变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能的改变量。 Irwin-Orowan断裂判据和Griffith 断裂判据在本质上等价的。
（5）J 积分
J 积分是衡量有塑性变形时裂端区应力应变场强度的力学参量。这个参量在理论上易于计算，又能通过实验来测定，使之能作为弹塑
性条件下的断裂判据！这也是J 积分对断裂力学的重大贡献。
J 积分代表一种能量积分，对于二维问题Rice 提出的J 积分是如下定义的线积分：
∂u ⎛⎫J =⎰ W 1dy -T i i ds ⎪ ∂x ⎭c ⎝
这里C 是由裂纹下表面某点到裂纹上表面某点的简单的积分线路。W 1是弹性应变能密度，Ti 和u i 分别为线路上作用于d s 积分单元上
i 方向的面力分量和位移分量。
在弹塑性断裂分析中我们可以用J 积分当作一种参量建立起相应的断裂判据：
J ≥J IC
这里J IC 是I 型裂纹在启裂时平面应变断裂韧度。
当材料处于不同的受力状态时（弹性、弹塑性），J -积分的物理意义有所不同。
①线弹性材料J -积分的物理意义
无论是线弹性体或是非线弹性体都可以在一定的条件下证明J -积分的数值就等于能量释放率G 。J -积分的断裂判据不但存在，而且与K I =K IC , G I =G IC 这些断裂判据等效。
②弹塑性材料J -积分的物理意义
对于弹塑性材料，当裂纹扩展时，必然造成卸载，因而存储在材料中的应变能不会全部释放，这就是J -积分的物理意义不同于弹性材料。经分析可知，对于一般弹塑性材料，J -积分代表两个相同尺寸的裂纹体，具有相同的边界约束和相同的边界载荷，但裂纹长度相
差∆a ，当∆a →0时的单位厚度势能的差率。可用下式表示： J =-1∂π B ∂a
式中： B →试件厚度；π→总势能；a →裂纹长度。
三、作业题（徐振兴. 断裂力学[M].1987）
1. 3 试说明断裂力学中断裂准则和经典强度理论中的强度条件的主要区别和联系。
答：(1) 断裂力学中的断裂准则是判断裂纹体失稳条件的，例如在线弹性情况下利用应力强度因子和断裂韧度判断裂纹体的稳定情况，即K ＜K C 时，裂纹不会发生失稳扩展，判断失稳的临界条件为K=KC 。
(2) 经典强度理论的基本思想是工作应力许用应力，许用应力[σ]=[σ]max
n ，（n ≥1）用危险应力比上一个安全系数。
(3) 两者从形式上看都是工作强度小于等于安全临界强度：和K ≤K C 。然而，对于断裂判据中的K 是在分析裂纹尖端应力场强度程度的基础上提出的，因此也叫做应力强度因子准则，裂纹体的失稳破坏判据是由应力场强度因子K 决定的。
σ
0=1780MPa ，K Ic =52
，1. 5 某一合金构件，在275℃回火时，
600℃回火时，σ0=1500MPa ，K Ic =100，应力强度因子的表达式为K I =1.1，裂纹长度a=2mm ，工作应力为σ=0.5σ0。试按断裂力学的观点评价两种情况下构件的安全性。
解：由断裂失稳判据K
，K I =1.1得
在275℃回火时，K Ic 1=52
K I 1=1.1⨯1780⨯0.5=77.6>K Ic 1 ，临界条件K=且a=2mm ，工作应力
在600℃回火时，
K Ic 2=100
K I 2=1.1⨯1500⨯0.5=65.4K Ic 2
由断裂准则可知，在275℃时K ＞
回火时K
2. 5 无限大板在裂纹面上作用着对称的集中力P ，如图所示，求应力强度因子。提示Z Ⅰ(z ) =
解：以新坐标表示：
Z Ⅰ(ξ) =⇒K Ⅰ=Z (ξ) = 题2. 5图
2. 6 裂纹中央作用着一对集中力P ，见图示，求应力强度因子。提示Z Ⅰ(z ) =
Z Ⅰ(ξ) =题 2. 6图 解：以新坐标表示：⇒K Ⅰ=Z (ξ) =→
2. 13 压力容器所用材料的强度极限σb =2100MPa ，断裂韧度K Ⅰc =38，厚度与平均直径之比t/D=1/15，设有2a=3. 8mm 的纵向穿透裂纹，如图所示。试求破坏时的临界压力。
解：因为t/D=1/15远远小于1，按照断裂准则：
PD
σ1= 2t K IC =σ1PD 1
σ1 =2t P ==2⨯15⨯65. 6MPa 按照材料力学中的第四强度理论：
σ1
=
PD 15P PD 15P
===2 ， σ24 ，σ3=0
2t 4t
σr 4
=
=
=2100
P=323. 3MPa
3. 2 设有无限长板条，高为2h ，在无应力状态下，是上下边界产生位移υ=0，然后予以固定，有一半无限长裂纹，假设为平面应变情况，在y =+h 处，u=0。试计算能量释放率和强度因子。
解：对于平面应变问题，有
εz =
1
σz -v (σx +σy )=0，则σz =v σy E
[]
11-v 2E εy =σy -v (σx +σz )=σy ，则σy =εy
E E 1-v 2
[]
11E 1E ⎛υ0⎫2
ε=应变能密度为：W =σy εy = ⎪ y 22
221-v 21-v ⎝h ⎭
2
裂纹扩展时，在裂纹尖端后方足够远处，应力近似为零。释放的应变能为：∆U =∆A ⋅W ⋅2h 。 能量释放率为：G I =lim
2
∆U E υ0
=W ⋅2h = 2∆A 1-v h
∆A →0
由于，G I =
E υ012⎡E ⎤
K I ，强度因子为：K I =⎢G = I ⎥22E 1-v h ⎣1-v ⎦
1
2
3. 3 在例3. 2中用楔子强制给出位移δ，并保持固定，试球能量释放率。
pa 38pa 3
=解：图示情况产生的位移为：δ=2。相当于作用一3EJ Eh 3B ∆δ8a 3c ===3
δEh 3B p p Eh B 。 对力：p =，则柔度为：38a
因此能量释放率为：
12dc 1δEh 3B 224a 23δ2Eh 3
G I =
p =() =33
2B da 2B 8a Eh B 16a 4。
4. 2 某发电机转子在动平衡时发生断裂。断裂后发现垂直于最大拉应力方向有一个圆形片状缺陷。直径约为2. 5-3. 8cm 之间。缺陷处的最大拉应力为350MPa 。试估算转子的临界裂纹尺寸。经测定，转子材料的断裂韧度
解：由公式
K Im ax =
K I c =
(34-59) 。
E (k ) =
π
2
当K I =34
时，a=0. 74cm 当K I =
59时，a=2. 2cm.
5. 1 某高强度钢随热处理条件不同，断裂韧度随屈服极限的
提高而下降。 900℉,3小时淬火，σ0
=1961MPa ，
K Ic =56850℉,3小时淬火，σ0=1967MPa ，K Ic =93。设有表面浅裂纹，深度a=1mm ，深长比a/2c=
0. 3，工作应力σ=1373MPa 。试比较两种热处理条件下构件的安全性。考虑塑性区修正，
假设为理想塑性材料。
解：已知工作应力σ=1373Mpa ，K c =σ
按照Irwin 塑性区修正，由a/2c=0. 3＜1得E(k)=1
2⎛σ⎫11.12
K c =Y σ[1Y ==1.1⎪]
σE (k ) 0⎭, 修正公式：
2
σc =
=
Y σ2⎛σ⎫1
2
[1⎪]
σ0⎭
2
∴
σc =
1.1⨯1373⎡1373⎫2⎤
⎢1⎪⎥
1961⎭⎥⎢⎣⎦
1
2
=1137MPa
当在900℉淬火时，会发生失稳，但
n =
，即
σ0
=1.4σ。
σc =1781MPa >σ=1373MPa ，同理，在850℉淬火时，即不会发生失稳，
但
n =
σ0
=1.2σ。
6. 4 某低合金钢汽包在水压试验时发生脆断，后查明在筒身上有一初始表明裂纹，深90mm ，长360mm ，钢材的断裂韧度δc =0.43mm ，
e 0=0.0022。设以消除焊后残余应力，试作断裂分析。
⎛K ⎫δ
≈ IC ⎪a c =K C
e 0
解：对于表明裂纹，由Dugdale 模型得出e 0⎝σ0⎭，代入
δc
2
⎛K ⎫a c =K IC ⎪
⎝σ0⎭，由97页各种情况下的K 值表得在消除焊后残余应力得
2
情况下K=0. 25 ∴
a c =K
δC
e 0
=0.25⨯
0.43
≈48.86mm
0.0022
即表明破坏为裂纹失稳扩展所致。
《弹塑性断裂力学》
一、断裂力学研究现状与进展
断裂力学是近几十年才发展起来的一支新兴学科，也是固体力学的新分支，是二十世纪六十年代发展起来的一门边缘学科。它从宏观的连续介质力学角度出发，研究含缺陷或裂纹的物体在外界条件作用下宏观裂纹的扩展、失稳开裂、传播和止裂规律。断裂力学应用力学成就研究含缺陷材料和结构的破坏问题，由于它与材料或结构的安全问题直接相关，因此它虽然起步晚，但实验与理论均发展迅速，并在工程上得到了广泛应用。它不仅是材料力学的发展与充实，而且它还涉及金属物理学、冶金学、材料科学、计算数学等等学科内容。断裂力学的创立对航天航空、军工等现代科学技术部门都产生了重大影响。随着科学技术的发展，断裂力学这门新的学科在生产实践中得到越来越广泛的应用。
断裂力学包括线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、刚塑性断裂力学、粘弹性断裂力学、断裂动力学、复合材料断裂力学等分支。断裂力学的发展主要是线弹性断裂力学、弹塑性断裂力学、断裂动力学这三种经典断裂力学的发展。
1921年,Griffith 用弹性体能量平衡的观点研究了玻璃、陶瓷等脆性材料中的裂纹扩展问题，提出了脆性材料裂纹扩展的能量准则。1955年，Irwin 用弹性力学理论分析了裂纹尖端应力应变场后提出了对于三种类型裂纹尖端领域的应力场与位移场公式。弹塑性断裂与脆性断裂不同，在裂纹开裂以后出现明显的亚临界裂纹扩展(稳态扩展),
达到一定的长度后才发生失稳扩展而破坏. 而脆性断裂无明显的临界裂纹扩展，裂纹开裂与扩展几乎同时发生。弹塑性断裂准则分为两类，第一类准则以裂纹开裂为根据，如COD 准则，J 积分准则；第二类准则以裂纹失效为根据，如R 阻力曲线法，非线性断裂韧度G 法。1965年Wells 在大量实验的基础上，提出以裂纹尖端的张开位移描述其应力、应变场。1968年,Rice 提出了J 积分理论. 以J 积分为参数并建立断裂准则。弹塑性断裂力学的重要成就是HRR 解。硬化材料I 型裂纹尖端应力应变场的弹塑性分析是由Hutchinson ，Rice 与Rosengren(1968)解决的, 故称为HRR 理论。断裂动力学问题可分为两大类，其一是裂纹稳定而外力随时间迅速变化，其二是外力恒定而裂纹处于快速运动状态。在这种情形下，必须考虑材料的惯性效应。70年代初,Sih 与Loeber 导出了外载随时间变化而裂纹是稳定的情况的渐近应力场与位移场，Rice 等多人先后导出了裂纹以等速传播情况的渐近应力场与位移场，并提出了裂纹稳定而外载随时间迅速变化情况下的裂纹开裂准则。对于很多工程材料，如聚合物、复合材料、混凝土等新型粘弹性材料，在常温下明显表现出时间相依性，这些材料的裂纹体可抽象为粘弹性体，与此相应的理论就是粘弹性断裂力学。对于缓慢亚临界裂纹扩展很明显的工程实际问题，必须考虑裂纹尖端塑性区或微裂区，按考虑裂尖衰坏区非线性效应的粘弹性断裂力学计算。对应力和位移场的求解，可采用弹性-粘弹性对应原理和Volterra 原理两类。裂纹模型，大多采用Dugdale-Barenblatt 模型及其推广。
断裂力学的理论不仅产生于社会生产实践。而且它现在已经又作
为理论来指导人们的社会生产实践。由于断裂力学能对材料和结构的安全性进行预测与估算，因而愈来愈受到重视。目前线弹性断裂力学发展较为成熟，在生产中已经得到应用。弹塑性断裂力学虽取得了一些进展，但仍有许多尚待深入研究的问题，它是当前断裂力学的主要研究方向之一。断裂动力学，对于线性材料还有待完善；对于非线性材料，尚处于研究初期，是断裂力学的又一主要研究方向。随着对断裂问题的深入研究及数学工具的方便使用，断裂力学理论会日益成熟, 断裂力学应用会日渐广泛。
二、简要内容
在张老师的悉心讲解下，我对断裂力学也有了更多的了解和更新的认识。
（1）裂纹问题的三种基本类型
a. 第一种称为张开型或拉伸型，简称I 型。其裂纹面的位移方向是在使裂纹张开的裂纹面法线方向(y方向) 。许多工程上常见的都是I 型裂纹的断裂，这也是最危险的裂纹类型。
b. 第二种裂纹型称为同平面剪切型或者滑移型，简称II 型。裂纹上下表面的位移方向刚好相反，一个向正x 方向，另一个向负x 方向。
c. 第三种裂纹型称为反平面剪切型，简称III 型，裂纹面一个向正z 方向，另一个向负z 方向，属弹性力学空间问题。
图一：裂纹的三种基本类型
（2）应力强度因子
我们发现三种基本裂纹型的裂端区应力场给出的裂端区应力场有一个共同的特点，即r
0时，即在裂纹端点，应力分量均趋于无
限大。这种特性称为应力奇异性。在工程实践中，应力总是有界的不可能达到无限大。受力物体中的应力达到一定的大小，材料就会屈服，再增大就会断裂。由于应力的奇异性这一明显的矛盾，使我们不能运用裂纹尖端处的应力数值来判断材料是否具有足够的强度。对于处于不稳定的扩展阶段，我们从上面二维I 型裂纹裂端区应力场和应变场公式可得，其强度完全由K I 值的大小来决定，因此我们定义K I 为I
型裂纹的应力强度因子。同样我们也可以得到II 型和III 型裂纹的应力强度因子K II 和K III 。由于有这一特点，应力强度因子可以作为表
征裂端应力应变场强度的参量。
（3）断裂准则
实验表明当应力强度因子K 达到一个临界值时，裂纹就会失稳扩展，而后就会导致物体的断裂。这个临界值我们称之为断裂韧度，用符号K C 表示。在材料力学中我们可以用产生的应力小于许用应力
σ≤[σ]来判断物体受力是否安全，而在断裂力学中则利用：
K =K C
这就是线弹性断裂力学的断裂判据，也就是带裂纹体失稳扩展的临界条件。
当 K >K C 时 裂纹即失稳扩展；
当 K
当 K =K C 时 裂纹处于临界状态。
对于I 型裂纹，断裂判据可以写成： K I =K IC
通过实验可知 K IC 是K C 中的最低值，故一般都测出材料的K IC 数值。
K IC 被称为材料的平面应变断裂韧度。目前，材料的K IC 已经成为破损
安全、裂纹体断裂控制和发展选用新型材料的重要参数，在工程实践中得到广泛的应用。
（4）能量变化率
英国著名的科学家Griffith ，提出了能量释放的观点，以及根据这个观点而建立的断裂判据。
能量释放率：指裂纹由某一端点向前扩展一个单位长度时，平板每单位厚度所释放出来的能量。用符号G 表示。
表面自由能：材料每形成单位裂纹面积所需的能量，其量纲与能量释放率相同。用符号γs 表示。
由此Griffith 提出了著名的Griffith 断裂判据：G =2γs ，Griffith 假定γs 为一材料常数，若此G 值大于或等于2γs ，就会发生断裂；若小
于2γs ，则不发生断裂，此时G 值仅代表裂纹是否会发生扩展的一种
倾向能力，裂端并没有真的释放出能量。
在Griffith 弹性能释放理论的基础上，Irwin 和Orowan 按照热力学的能量守恒定律提出在单位时间内，外界对于系统所做功的改变量，应等于系统储存应变能的改变量，加上动能的改变量，再加上不可恢复消耗能的改变量。 Irwin-Orowan断裂判据和Griffith 断裂判据在本质上等价的。
（5）J 积分
J 积分是衡量有塑性变形时裂端区应力应变场强度的力学参量。这个参量在理论上易于计算，又能通过实验来测定，使之能作为弹塑
性条件下的断裂判据！这也是J 积分对断裂力学的重大贡献。
J 积分代表一种能量积分，对于二维问题Rice 提出的J 积分是如下定义的线积分：
∂u ⎛⎫J =⎰ W 1dy -T i i ds ⎪ ∂x ⎭c ⎝
这里C 是由裂纹下表面某点到裂纹上表面某点的简单的积分线路。W 1是弹性应变能密度，Ti 和u i 分别为线路上作用于d s 积分单元上
i 方向的面力分量和位移分量。
在弹塑性断裂分析中我们可以用J 积分当作一种参量建立起相应的断裂判据：
J ≥J IC
这里J IC 是I 型裂纹在启裂时平面应变断裂韧度。
当材料处于不同的受力状态时（弹性、弹塑性），J -积分的物理意义有所不同。
①线弹性材料J -积分的物理意义
无论是线弹性体或是非线弹性体都可以在一定的条件下证明J -积分的数值就等于能量释放率G 。J -积分的断裂判据不但存在，而且与K I =K IC , G I =G IC 这些断裂判据等效。
②弹塑性材料J -积分的物理意义
对于弹塑性材料，当裂纹扩展时，必然造成卸载，因而存储在材料中的应变能不会全部释放，这就是J -积分的物理意义不同于弹性材料。经分析可知，对于一般弹塑性材料，J -积分代表两个相同尺寸的裂纹体，具有相同的边界约束和相同的边界载荷，但裂纹长度相
差∆a ，当∆a →0时的单位厚度势能的差率。可用下式表示： J =-1∂π B ∂a
式中： B →试件厚度；π→总势能；a →裂纹长度。
三、作业题（徐振兴. 断裂力学[M].1987）
1. 3 试说明断裂力学中断裂准则和经典强度理论中的强度条件的主要区别和联系。
答：(1) 断裂力学中的断裂准则是判断裂纹体失稳条件的，例如在线弹性情况下利用应力强度因子和断裂韧度判断裂纹体的稳定情况，即K ＜K C 时，裂纹不会发生失稳扩展，判断失稳的临界条件为K=KC 。
(2) 经典强度理论的基本思想是工作应力许用应力，许用应力[σ]=[σ]max
n ，（n ≥1）用危险应力比上一个安全系数。
(3) 两者从形式上看都是工作强度小于等于安全临界强度：和K ≤K C 。然而，对于断裂判据中的K 是在分析裂纹尖端应力场强度程度的基础上提出的，因此也叫做应力强度因子准则，裂纹体的失稳破坏判据是由应力场强度因子K 决定的。
σ
0=1780MPa ，K Ic =52
，1. 5 某一合金构件，在275℃回火时，
600℃回火时，σ0=1500MPa ，K Ic =100，应力强度因子的表达式为K I =1.1，裂纹长度a=2mm ，工作应力为σ=0.5σ0。试按断裂力学的观点评价两种情况下构件的安全性。
解：由断裂失稳判据K
，K I =1.1得
在275℃回火时，K Ic 1=52
K I 1=1.1⨯1780⨯0.5=77.6>K Ic 1 ，临界条件K=且a=2mm ，工作应力
在600℃回火时，
K Ic 2=100
K I 2=1.1⨯1500⨯0.5=65.4K Ic 2
由断裂准则可知，在275℃时K ＞
回火时K
2. 5 无限大板在裂纹面上作用着对称的集中力P ，如图所示，求应力强度因子。提示Z Ⅰ(z ) =
解：以新坐标表示：
Z Ⅰ(ξ) =⇒K Ⅰ=Z (ξ) = 题2. 5图
2. 6 裂纹中央作用着一对集中力P ，见图示，求应力强度因子。提示Z Ⅰ(z ) =
Z Ⅰ(ξ) =题 2. 6图 解：以新坐标表示：⇒K Ⅰ=Z (ξ) =→
2. 13 压力容器所用材料的强度极限σb =2100MPa ，断裂韧度K Ⅰc =38，厚度与平均直径之比t/D=1/15，设有2a=3. 8mm 的纵向穿透裂纹，如图所示。试求破坏时的临界压力。
解：因为t/D=1/15远远小于1，按照断裂准则：
PD
σ1= 2t K IC =σ1PD 1
σ1 =2t P ==2⨯15⨯65. 6MPa 按照材料力学中的第四强度理论：
σ1
=
PD 15P PD 15P
===2 ， σ24 ，σ3=0
2t 4t
σr 4
=
=
=2100
P=323. 3MPa
3. 2 设有无限长板条，高为2h ，在无应力状态下，是上下边界产生位移υ=0，然后予以固定，有一半无限长裂纹，假设为平面应变情况，在y =+h 处，u=0。试计算能量释放率和强度因子。
解：对于平面应变问题，有
εz =
1
σz -v (σx +σy )=0，则σz =v σy E
[]
11-v 2E εy =σy -v (σx +σz )=σy ，则σy =εy
E E 1-v 2
[]
11E 1E ⎛υ0⎫2
ε=应变能密度为：W =σy εy = ⎪ y 22
221-v 21-v ⎝h ⎭
2
裂纹扩展时，在裂纹尖端后方足够远处，应力近似为零。释放的应变能为：∆U =∆A ⋅W ⋅2h 。 能量释放率为：G I =lim
2
∆U E υ0
=W ⋅2h = 2∆A 1-v h
∆A →0
由于，G I =
E υ012⎡E ⎤
K I ，强度因子为：K I =⎢G = I ⎥22E 1-v h ⎣1-v ⎦
1
2
3. 3 在例3. 2中用楔子强制给出位移δ，并保持固定，试球能量释放率。
pa 38pa 3
=解：图示情况产生的位移为：δ=2。相当于作用一3EJ Eh 3B ∆δ8a 3c ===3
δEh 3B p p Eh B 。 对力：p =，则柔度为：38a
因此能量释放率为：
12dc 1δEh 3B 224a 23δ2Eh 3
G I =
p =() =33
2B da 2B 8a Eh B 16a 4。
4. 2 某发电机转子在动平衡时发生断裂。断裂后发现垂直于最大拉应力方向有一个圆形片状缺陷。直径约为2. 5-3. 8cm 之间。缺陷处的最大拉应力为350MPa 。试估算转子的临界裂纹尺寸。经测定，转子材料的断裂韧度
解：由公式
K Im ax =
K I c =
(34-59) 。
E (k ) =
π
2
当K I =34
时，a=0. 74cm 当K I =
59时，a=2. 2cm.
5. 1 某高强度钢随热处理条件不同，断裂韧度随屈服极限的
提高而下降。 900℉,3小时淬火，σ0
=1961MPa ，
K Ic =56850℉,3小时淬火，σ0=1967MPa ，K Ic =93。设有表面浅裂纹，深度a=1mm ，深长比a/2c=
0. 3，工作应力σ=1373MPa 。试比较两种热处理条件下构件的安全性。考虑塑性区修正，
假设为理想塑性材料。
解：已知工作应力σ=1373Mpa ，K c =σ
按照Irwin 塑性区修正，由a/2c=0. 3＜1得E(k)=1
2⎛σ⎫11.12
K c =Y σ[1Y ==1.1⎪]
σE (k ) 0⎭, 修正公式：
2
σc =
=
Y σ2⎛σ⎫1
2
[1⎪]
σ0⎭
2
∴
σc =
1.1⨯1373⎡1373⎫2⎤
⎢1⎪⎥
1961⎭⎥⎢⎣⎦
1
2
=1137MPa
当在900℉淬火时，会发生失稳，但
n =
，即
σ0
=1.4σ。
σc =1781MPa >σ=1373MPa ，同理，在850℉淬火时，即不会发生失稳，
但
n =
σ0
=1.2σ。
6. 4 某低合金钢汽包在水压试验时发生脆断，后查明在筒身上有一初始表明裂纹，深90mm ，长360mm ，钢材的断裂韧度δc =0.43mm ，
e 0=0.0022。设以消除焊后残余应力，试作断裂分析。
⎛K ⎫δ
≈ IC ⎪a c =K C
e 0
解：对于表明裂纹，由Dugdale 模型得出e 0⎝σ0⎭，代入
δc
2
⎛K ⎫a c =K IC ⎪
⎝σ0⎭，由97页各种情况下的K 值表得在消除焊后残余应力得
2
情况下K=0. 25 ∴
a c =K
δC
e 0
=0.25⨯
0.43
≈48.86mm
0.0022
即表明破坏为裂纹失稳扩展所致。