第一章
第六 节限极存在准则两 个重要限极
E（xstineecc rteiirn ofor imltsi T&w iopomtratnli imt）
一s极限存、的在个两则 准、两二个重要极限三 、容小内
20结09年月37星日期五1
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1
.调单界准有
则数
列
n : x调增单 加1 ≤x 2
单x调减少x ≥ x1
≤2 x n≤ x+1n≤ ≥ nx≥ xn+ ≥
,1,
准则 I单有界数调列必有极 限单调上有上界升列必数有限极 说明 :() 1收在敛数列性的中曾质证明收敛的数：列一定 有界但有界的，列不数定一敛． 收2)(利用准则Ⅰ来判定数列 敛收必须时同满 数足列单 和调界有两这个件条．200
年9月3日7星期 2五目录
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单回下调有下界数列降有极限
必(
)3准则 Ⅰ只能定数列极判限存的性，在而未出 给极求的限法方．n x
= ( −1) 虽，然界有不但调单；例如，数列 n
列 数n x n=， 然是虽单的，调其但无界， 易，这知两列数均发． 散4)(对 于则I准，函 极限数根据变自量不的同化过程变 − + x ( x→0, x→ 0x, x →−,∞x →∞,−x → ∞+ )有类也似 的则， 只是准则准形上式有不略.同例如， 准I′ 设函数 则 (f x )点在 x0 的个左邻某内域单 并且调有，界则 f x)( x0在 的极限 左f (x 0 −) 必存在 ．
0092年73日星月五期3
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回
作为准则
Ⅰ应的，我们讨论一个重用极要：
⎛ 1⎞ 限首先证，x n= 1 + ⎜ ⎟单是调． 的⎝n⎠ n ⎛n 1⎞⎛ 1 1⎞ ⎛ ⎞⎞ x1 =n 1 ⎜+ ＝⎟1 ⋅⎜ 1+ ⎟ =1 ⋅ ⎛ +1⎟ ⋅⎜ 1+ ⎟ ⎜n ⎝ ⎠ n⎝ ⎝ n⎠⎠ ⎝n⎠
n +1
⎛
1 ⎞lmi 1 ⎜+⎟ = ? n ∞ →⎝ n ⎠
nn
⎛1⎞⎜1 + ⎟ ⎝ n
⎠⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ +n n +11⎢ 1 +n ⎜1 +⎟ ⎥ 1 ⎞ n⎠⎛ ⎛n+2⎞ ⎝⎢ ⎥≤ ⎜== xn+1 ⎟ ＝ ⎜ +1⎟ n 1+ ⎥⎢ ⎝ n+1 ⎠ n ⎝1⎠ + ⎥ ⎢ ⎣ n ⎛ 1⎞ ⎦以所数列 xn ， ⎜1=+ ⎟ 是调单增加． 的⎝ ⎠n20
097年月日3期五星 4目录 上
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回
⎛
1 ⎞次，其证 nx = ⎜ 1 +⎟ 界有 ．显， xn ≥ x然 1 = ⎝2n⎠ n n 1 ⎛ 1 ⎞⎞ 类于似 nx =⎜1+ ⎟ 单调 的性证可明证数列 得y = ⎛ 1n − ⎟⎜ n ⎝ ⎠ ⎝n⎠ n +1
n
单是增调的加设．数
⎛列 1⎞⎛ +1⎞ znn ⎜ 1= +⎟ = ⎜ ⎟ n⎠ ⎝n⎠
n⎝ +
1n
+ 1
⎛
1 zn = ⎜ ⎞1 + ⎝⎟n ⎠
，则
=1
n +
1 ⎞ ⎛1⎜1 − ⎟⎝n 1⎠ 所+数以列z 是n调减少的单.由 数于列 n 是单y调增的加，
⎛1 ⎛⎞1⎞ 又x n = 1 + ⎜⎟
n n1+
1= n ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝ n +1⎠
n+1
1= y +n
1
= n z≤z1 = 4
则 ≤2 xn
20.90年月37星日期五 5目录
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通常
用字母e 来 示表这极限，即个
⎛
1 ⎞l i m⎜1+ ⎟ e =e =( 27.818 2) n →∞ ⎝n
也⎠可证明以
，当 取x数而趋于 实+ ∞−或 ∞时，函
数
n
1 ⎞ ⎛⎛1 ⎞ y=⎜ 1 +⎟的极限都存 在且都于等 e， li即 m1 ⎜+ = ⎟ex →∞ x⎠ ⎝ x⎠
利用变量代换，⎝可更一般的得形式
1α ( x)
x
x
α
（x )→0
lim [1 +α( x)]
6
=
e目录
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029年0月37日星期
五
1⎛⎞ 例 求 li1m 1 −⎜ ⎟ x →. ∞ x⎠⎝解:
1 ⎞ ⎛
原 式= lim⎜ 1 +⎟ x → ⎝∞ x ⎠−1 x
2x
− x
(⋅−2)
⎛ 1 ⎞ ⎡= lim ⎜⎢1 +⎟x → ∞− x⎠ ⎢ ⎝
⎣−x
⎤⎥ ⎥
⎦−2
=
e − .2
⎞ ⎛ 1x− ⎟例2 求l mi ⎜x → ⎝ 3⎠0
解:
x⎞
⎛ ⎛x− l⎞mi ⎜1 − ⎟=l im⎜ 1+⎟ x0→x 0→3 ⎠⎝ 3 ⎠
⎝⎡⎛ −x⎞ ⎢ li= ⎜1m + ⎟ x ⎢→0⎝ 3⎠ ⎣
3−x
1 x
⎛ 3⎞1 i ⎜ − ⎟− x⎝ ⎠3
⎤ ⎥ ⎦⎥
−
13
=e
目录
−
1 3
020年79月日3星五期
7
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2
.夹逼准则
准I则I(1) y n ≤ nx z ≤n (n = 1 ,2,
)
⎫
(2
l)imyn = lmi zn = a n
→∞ →∞
n⎬ ⎭
n→∞
lmi xn =
a
:证由 件条( 2), ∀ ε 0>, ∃ N1 N, 2 当 n,> 1 时N,y n a N时, 有a− ε
120907年3月日星期五
当
n N 2> 时, zn −a
a−
n→ ∞
8
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即
x − n a
.我
可将准们II推则到广数函情的： 形准则II 当 ′ x∈ ∪(x0 , δ)时, g x( ) f ≤(x) ≤ h( ) x,且 x ( > >X )0x
→0
x
limg ( x)= imlh( x =) A
x→x 0( x → )∞
(
→ ∞x
) →x x (0 →x∞)
lm fi( x )= A
准则
II和则准I′统I称为夹准则逼. 注:意利 夹用逼准则极限求关键构是造出 n y与 n z ,且 并n y zn的与极是限容求的 易.200
年9月3日7期星五
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页例
3求 ilm(n →
∞1
n + 21
+
1n +2 2+
1+
+
1 nn
+
2
12 +n
2n
)
,
. n1
又 lim 2 =l m in→ ∞n + n → n
∞nn 1+
1
n1+1 +2 n 1 11l im ( + +2+ )= 1 . 22 n→ ∞ n+ 1 n 2+n n+n
→∞ 2 n ∞
→lmi
n
=l i
m
1 1+1n
=
,
1
= ,
1
由夹准逼则
2得09年7月30星期五
日1
目0
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⎛1+ 1 + 考思： l题m i ⎜ 2n2 n →∞⎝ n+ πn+ 2π 解: 利夹逼准用 .则由
1
⎞= ？+ 2 n + nπ ⎠
n
2 11
n 2 1 +⎞2 ⎟
1
n2 = lmiπ = 1il m2 n→∞ + 1n →∞n +n π
1 nn 2= lmi= 1 ilm π2 n→∞1 + 2 n →∞ n π+n 11 1 ⎞ ⎛ lim∴n ⎜ 2 +2 + +2 ⎟ →∞ n⎝n + nπ+ 2π n + πn
2⎠090年7月日星期五3 11
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=
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s
ni x极限式：公l i m1 = x→ 0x)
: 证 x 当∈ 0 ( π,2 时
，夹准则逼不说明了仅极存在限而且给出，了极限的求 B 方D．法 面下用它证利另一个明重的要
x 1o C
A
圆扇形AOB的积＜△面OA的D面积 A△OB的 积面 1＜ sin x
0029年月73日星五 期21目
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返at nx .例 求4l m ix→ 0 taxn sin x x1 x⎞ s1i n ⎛:解l im =l im⎜ = lmi⋅ im l=1⎟ x → 0x x → 0⎝ x oscx ⎠ x0 x x→ → 0osc axrsincx . 课（例7本 ）5 例求l m xi → 0x解: 令 t= rcaisn x 则,x s=nit 因此, t 1式 原 =iml lim == 1 t→ 0 sn i t → 0 tis t
snniα ( x ): 注用变量代换，利得可更般一的式 形il m1=α (x )→ 0 α ( x
2)009年73月日期星五1
目录3上 页页下返
回t
s
i 3x 例6 n求 il m课（ 本例5 x） →0 sn 5ix s n ix 3 3sin 3 5 xx = ilm ⋅ : 解li m → 0xsin 5 5x x→0 3 sxi n5x 3ins x3 x5 3= im l⋅ lim= 5 x 0 3x→x →0 si n5 x51 − osc x.（ 充题） 例补 7 求iml 2 x0→x
2
x2 x x ⎛⎞2s nisi n sn i ⎜2 ⎟ 2 1 1 1 2 1 2 2解 :式 =原lim = lim li ⎜m ⋅1= = 2 2⎟ =x→0 0x →x→ 0 x x 2 2⎛ x ⎞2 ⎜ ⎟2 ⎟ ⎜⎝2 ⎠ ⎝ ⎠
2
200年7月93星期五日
1
4
目
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容小结内1
极限.存在两的个则 夹逼准准; 则调有界单则准 . . 2个重两极要限si (n)1l im= 1
→0
2()注:
lim
( 1+ →∞
1)
= e或lim ( 1+
→
0
) =e
1
代表
相的表达同
15式目
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200
97月年日星期五3
后练课习习
题 1 6 1-（ ）2（ ） 2 42（（4））（6）3（3
思）考与习
练.1 填空题 1(～ ) s4inx ; 10 l.mi= ____ x _→∞x 1 0 ;3 li. x smn i=__ __ x→0 x
200年9月7日星3五 期16
11; 2 l.m xi is = n___ _x→∞ x
1− 1 e 4n.l m(i 1− ) __=_ _ .n →∞n
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⎛
x5+ 2⎞ .求 il ⎜m x →⎟∞x − 5⎝ ⎠ xxx − 5+10 ⎞1 ⎞0 ⎛ ⎛解： 式原 =lm i ⎜ l=im⎜ +1 ⎟⎟ →x ∞x → x∞ −⎠5⎝ ⎝ x − ⎠510 ⎞
⎛ l=mi ⎜ 1 ⎟ x+ →∞x −5 ⎠⎝x 5− ×1 50 ⎤ ⎡0 110 ⎞10 ⎥⎞ ⎛ ⎛⎢= li m⎜ +1× 1 ⎜ +⎟ ⎟ ⎥x ∞→ ⎢5 5 − − x x ⎝⎠ ⎝ ⎣ ⎠ ⎦x− 5×1 50 01 01⎞ ⎛10⎞ ⎛ 0 1=lim ⎜ + 1⎟l i 1m + =× xe ∞ ⎟→ − 5x⎠ x →∞ ⎜ ⎝x −5 ⎠⎝
0092年月3日星期五 71
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xx−5 ×10 + 10
5
⎡1⎤
⎢x =1⎥3 证.明 im l + x0 ⎣→x
证明： 对⎦任 一 ∈x ，R x有− 1 ≤ [ x ] ≤ x 则当，x ≠0 1 ⎡1 ⎤ 时1，有− 1 ≤ ⎢ ⎥ .≤ 是, x于⎣ ⎦ xx1 1 ⎡ ⎤1（1） 当 >x 0 时 ，x(− ) ≤1 x⎢ ⎥ x ⋅≤ , x x⎣x ⎡⎦⎤1由 逼夹则得 li准m ⎢ x ⎥= 1x
→ 0 +
⎣⎦x
⎡1
同⎤有 样iml +x ⎢ = ⎥1. x 0→⎣ x
⎦020年9月7日星期3
五1
1 ⎡1 （2⎤当 x
81
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a 1) ,且 1x 0 ,>4 设 x.n+ 1= ( xn+ ) ( n 1 ,=2 , x 2na > 0 ,求 l m xn . i利极用限在准则存n ∞→ a1a ≥x 解： ∵xn + 1=( xn + ) = a ⋅ nxn2 xn a 1 xn +1 a1 =1( + 2) ≤ (1 + =)1 a 2 nx2 x
∴n列数调单递减有界下，设 l i xmn= A 故 限极存在，n → ∞ a 1=A a ±由递则公推式有A = A(+ ) 2 A ∵ x 1>0 , ∴ n x > 0 故,li xnm= a
n →
1∞920 0年793月日期星
五目 上录 页下页 回返
.5 设ai ≥ 0 ( i = , 12 , ) ,证下明述数有列限极.
a1 a2 nx 1=+ a+ ( +1 a()1+ a )+ 1 12an + ( +1 )(a1 a + ()+ a )11 2
证:n 然 xn显 ≤xn +1 , 即{xn 单}增调 又 n, k ) − a 11( + x1n= ∑ = − 1 + k= 11(+ a )1 ( +1a k) 1+ 1a
n
(
= 1, n2,
)1
1⎡⎤ + − k∑ 2=⎢ ⎣ ( 1 +a1) (1 +a k 1−) 1(+ a 1 )1 ( a+ ) k ⎥⎦1 1=−
∞“拆相消项 法
2”00年7月93星期日五 02目录
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第一章
第六 节限极存在准则两 个重要限极
E（xstineecc rteiirn ofor imltsi T&w iopomtratnli imt）
一s极限存、的在个两则 准、两二个重要极限三 、容小内
20结09年月37星日期五1
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1
.调单界准有
则数
列
n : x调增单 加1 ≤x 2
单x调减少x ≥ x1
≤2 x n≤ x+1n≤ ≥ nx≥ xn+ ≥
,1,
准则 I单有界数调列必有极 限单调上有上界升列必数有限极 说明 :() 1收在敛数列性的中曾质证明收敛的数：列一定 有界但有界的，列不数定一敛． 收2)(利用准则Ⅰ来判定数列 敛收必须时同满 数足列单 和调界有两这个件条．200
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单回下调有下界数列降有极限
必(
)3准则 Ⅰ只能定数列极判限存的性，在而未出 给极求的限法方．n x
= ( −1) 虽，然界有不但调单；例如，数列 n
列 数n x n=， 然是虽单的，调其但无界， 易，这知两列数均发． 散4)(对 于则I准，函 极限数根据变自量不的同化过程变 − + x ( x→0, x→ 0x, x →−,∞x →∞,−x → ∞+ )有类也似 的则， 只是准则准形上式有不略.同例如， 准I′ 设函数 则 (f x )点在 x0 的个左邻某内域单 并且调有，界则 f x)( x0在 的极限 左f (x 0 −) 必存在 ．
0092年73日星月五期3
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作为准则
Ⅰ应的，我们讨论一个重用极要：
⎛ 1⎞ 限首先证，x n= 1 + ⎜ ⎟单是调． 的⎝n⎠ n ⎛n 1⎞⎛ 1 1⎞ ⎛ ⎞⎞ x1 =n 1 ⎜+ ＝⎟1 ⋅⎜ 1+ ⎟ =1 ⋅ ⎛ +1⎟ ⋅⎜ 1+ ⎟ ⎜n ⎝ ⎠ n⎝ ⎝ n⎠⎠ ⎝n⎠
n +1
⎛
1 ⎞lmi 1 ⎜+⎟ = ? n ∞ →⎝ n ⎠
nn
⎛1⎞⎜1 + ⎟ ⎝ n
⎠⎡⎛ 1 ⎞ ⎤ +n n +11⎢ 1 +n ⎜1 +⎟ ⎥ 1 ⎞ n⎠⎛ ⎛n+2⎞ ⎝⎢ ⎥≤ ⎜== xn+1 ⎟ ＝ ⎜ +1⎟ n 1+ ⎥⎢ ⎝ n+1 ⎠ n ⎝1⎠ + ⎥ ⎢ ⎣ n ⎛ 1⎞ ⎦以所数列 xn ， ⎜1=+ ⎟ 是调单增加． 的⎝ ⎠n20
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⎛
1 ⎞次，其证 nx = ⎜ 1 +⎟ 界有 ．显， xn ≥ x然 1 = ⎝2n⎠ n n 1 ⎛ 1 ⎞⎞ 类于似 nx =⎜1+ ⎟ 单调 的性证可明证数列 得y = ⎛ 1n − ⎟⎜ n ⎝ ⎠ ⎝n⎠ n +1
n
单是增调的加设．数
⎛列 1⎞⎛ +1⎞ znn ⎜ 1= +⎟ = ⎜ ⎟ n⎠ ⎝n⎠
n⎝ +
1n
+ 1
⎛
1 zn = ⎜ ⎞1 + ⎝⎟n ⎠
，则
=1
n +
1 ⎞ ⎛1⎜1 − ⎟⎝n 1⎠ 所+数以列z 是n调减少的单.由 数于列 n 是单y调增的加，
⎛1 ⎛⎞1⎞ 又x n = 1 + ⎜⎟
n n1+
1= n ⎛⎞ ⎜⎟ ⎝ n +1⎠
n+1
1= y +n
1
= n z≤z1 = 4
则 ≤2 xn
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通常
用字母e 来 示表这极限，即个
⎛
1 ⎞l i m⎜1+ ⎟ e =e =( 27.818 2) n →∞ ⎝n
也⎠可证明以
，当 取x数而趋于 实+ ∞−或 ∞时，函
数
n
1 ⎞ ⎛⎛1 ⎞ y=⎜ 1 +⎟的极限都存 在且都于等 e， li即 m1 ⎜+ = ⎟ex →∞ x⎠ ⎝ x⎠
利用变量代换，⎝可更一般的得形式
1α ( x)
x
x
α
（x )→0
lim [1 +α( x)]
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=
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029年0月37日星期
五
1⎛⎞ 例 求 li1m 1 −⎜ ⎟ x →. ∞ x⎠⎝解:
1 ⎞ ⎛
原 式= lim⎜ 1 +⎟ x → ⎝∞ x ⎠−1 x
2x
− x
(⋅−2)
⎛ 1 ⎞ ⎡= lim ⎜⎢1 +⎟x → ∞− x⎠ ⎢ ⎝
⎣−x
⎤⎥ ⎥
⎦−2
=
e − .2
⎞ ⎛ 1x− ⎟例2 求l mi ⎜x → ⎝ 3⎠0
解:
x⎞
⎛ ⎛x− l⎞mi ⎜1 − ⎟=l im⎜ 1+⎟ x0→x 0→3 ⎠⎝ 3 ⎠
⎝⎡⎛ −x⎞ ⎢ li= ⎜1m + ⎟ x ⎢→0⎝ 3⎠ ⎣
3−x
1 x
⎛ 3⎞1 i ⎜ − ⎟− x⎝ ⎠3
⎤ ⎥ ⎦⎥
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=e
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2
.夹逼准则
准I则I(1) y n ≤ nx z ≤n (n = 1 ,2,
)
⎫
(2
l)imyn = lmi zn = a n
→∞ →∞
n⎬ ⎭
n→∞
lmi xn =
a
:证由 件条( 2), ∀ ε 0>, ∃ N1 N, 2 当 n,> 1 时N,y n a N时, 有a− ε
120907年3月日星期五
当
n N 2> 时, zn −a
a−
n→ ∞
8
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即
x − n a
.我
可将准们II推则到广数函情的： 形准则II 当 ′ x∈ ∪(x0 , δ)时, g x( ) f ≤(x) ≤ h( ) x,且 x ( > >X )0x
→0
x
limg ( x)= imlh( x =) A
x→x 0( x → )∞
(
→ ∞x
) →x x (0 →x∞)
lm fi( x )= A
准则
II和则准I′统I称为夹准则逼. 注:意利 夹用逼准则极限求关键构是造出 n y与 n z ,且 并n y zn的与极是限容求的 易.200
年9月3日7期星五
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页例
3求 ilm(n →
∞1
n + 21
+
1n +2 2+
1+
+
1 nn
+
2
12 +n
2n
)
,
. n1
又 lim 2 =l m in→ ∞n + n → n
∞nn 1+
1
n1+1 +2 n 1 11l im ( + +2+ )= 1 . 22 n→ ∞ n+ 1 n 2+n n+n
→∞ 2 n ∞
→lmi
n
=l i
m
1 1+1n
=
,
1
= ,
1
由夹准逼则
2得09年7月30星期五
日1
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⎛1+ 1 + 考思： l题m i ⎜ 2n2 n →∞⎝ n+ πn+ 2π 解: 利夹逼准用 .则由
1
⎞= ？+ 2 n + nπ ⎠
n
2 11
n 2 1 +⎞2 ⎟
1
n2 = lmiπ = 1il m2 n→∞ + 1n →∞n +n π
1 nn 2= lmi= 1 ilm π2 n→∞1 + 2 n →∞ n π+n 11 1 ⎞ ⎛ lim∴n ⎜ 2 +2 + +2 ⎟ →∞ n⎝n + nπ+ 2π n + πn
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ni x极限式：公l i m1 = x→ 0x)
: 证 x 当∈ 0 ( π,2 时
，夹准则逼不说明了仅极存在限而且给出，了极限的求 B 方D．法 面下用它证利另一个明重的要
x 1o C
A
圆扇形AOB的积＜△面OA的D面积 A△OB的 积面 1＜ sin x
0029年月73日星五 期21目
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返at nx .例 求4l m ix→ 0 taxn sin x x1 x⎞ s1i n ⎛:解l im =l im⎜ = lmi⋅ im l=1⎟ x → 0x x → 0⎝ x oscx ⎠ x0 x x→ → 0osc axrsincx . 课（例7本 ）5 例求l m xi → 0x解: 令 t= rcaisn x 则,x s=nit 因此, t 1式 原 =iml lim == 1 t→ 0 sn i t → 0 tis t
snniα ( x ): 注用变量代换，利得可更般一的式 形il m1=α (x )→ 0 α ( x
2)009年73月日期星五1
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回t
s
i 3x 例6 n求 il m课（ 本例5 x） →0 sn 5ix s n ix 3 3sin 3 5 xx = ilm ⋅ : 解li m → 0xsin 5 5x x→0 3 sxi n5x 3ins x3 x5 3= im l⋅ lim= 5 x 0 3x→x →0 si n5 x51 − osc x.（ 充题） 例补 7 求iml 2 x0→x
2
x2 x x ⎛⎞2s nisi n sn i ⎜2 ⎟ 2 1 1 1 2 1 2 2解 :式 =原lim = lim li ⎜m ⋅1= = 2 2⎟ =x→0 0x →x→ 0 x x 2 2⎛ x ⎞2 ⎜ ⎟2 ⎟ ⎜⎝2 ⎠ ⎝ ⎠
2
200年7月93星期五日
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容小结内1
极限.存在两的个则 夹逼准准; 则调有界单则准 . . 2个重两极要限si (n)1l im= 1
→0
2()注:
lim
( 1+ →∞
1)
= e或lim ( 1+
→
0
) =e
1
代表
相的表达同
15式目
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97月年日星期五3
后练课习习
题 1 6 1-（ ）2（ ） 2 42（（4））（6）3（3
思）考与习
练.1 填空题 1(～ ) s4inx ; 10 l.mi= ____ x _→∞x 1 0 ;3 li. x smn i=__ __ x→0 x
200年9月7日星3五 期16
11; 2 l.m xi is = n___ _x→∞ x
1− 1 e 4n.l m(i 1− ) __=_ _ .n →∞n
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⎛
x5+ 2⎞ .求 il ⎜m x →⎟∞x − 5⎝ ⎠ xxx − 5+10 ⎞1 ⎞0 ⎛ ⎛解： 式原 =lm i ⎜ l=im⎜ +1 ⎟⎟ →x ∞x → x∞ −⎠5⎝ ⎝ x − ⎠510 ⎞
⎛ l=mi ⎜ 1 ⎟ x+ →∞x −5 ⎠⎝x 5− ×1 50 ⎤ ⎡0 110 ⎞10 ⎥⎞ ⎛ ⎛⎢= li m⎜ +1× 1 ⎜ +⎟ ⎟ ⎥x ∞→ ⎢5 5 − − x x ⎝⎠ ⎝ ⎣ ⎠ ⎦x− 5×1 50 01 01⎞ ⎛10⎞ ⎛ 0 1=lim ⎜ + 1⎟l i 1m + =× xe ∞ ⎟→ − 5x⎠ x →∞ ⎜ ⎝x −5 ⎠⎝
0092年月3日星期五 71
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xx−5 ×10 + 10
5
⎡1⎤
⎢x =1⎥3 证.明 im l + x0 ⎣→x
证明： 对⎦任 一 ∈x ，R x有− 1 ≤ [ x ] ≤ x 则当，x ≠0 1 ⎡1 ⎤ 时1，有− 1 ≤ ⎢ ⎥ .≤ 是, x于⎣ ⎦ xx1 1 ⎡ ⎤1（1） 当 >x 0 时 ，x(− ) ≤1 x⎢ ⎥ x ⋅≤ , x x⎣x ⎡⎦⎤1由 逼夹则得 li准m ⎢ x ⎥= 1x
→ 0 +
⎣⎦x
⎡1
同⎤有 样iml +x ⎢ = ⎥1. x 0→⎣ x
⎦020年9月7日星期3
五1
1 ⎡1 （2⎤当 x
81
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a 1) ,且 1x 0 ,>4 设 x.n+ 1= ( xn+ ) ( n 1 ,=2 , x 2na > 0 ,求 l m xn . i利极用限在准则存n ∞→ a1a ≥x 解： ∵xn + 1=( xn + ) = a ⋅ nxn2 xn a 1 xn +1 a1 =1( + 2) ≤ (1 + =)1 a 2 nx2 x
∴n列数调单递减有界下，设 l i xmn= A 故 限极存在，n → ∞ a 1=A a ±由递则公推式有A = A(+ ) 2 A ∵ x 1>0 , ∴ n x > 0 故,li xnm= a
n →
1∞920 0年793月日期星
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.5 设ai ≥ 0 ( i = , 12 , ) ,证下明述数有列限极.
a1 a2 nx 1=+ a+ ( +1 a()1+ a )+ 1 12an + ( +1 )(a1 a + ()+ a )11 2
证:n 然 xn显 ≤xn +1 , 即{xn 单}增调 又 n, k ) − a 11( + x1n= ∑ = − 1 + k= 11(+ a )1 ( +1a k) 1+ 1a
n
(
= 1, n2,
)1
1⎡⎤ + − k∑ 2=⎢ ⎣ ( 1 +a1) (1 +a k 1−) 1(+ a 1 )1 ( a+ ) k ⎥⎦1 1=−
∞“拆相消项 法
2”00年7月93星期日五 02目录
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