第七节 动能和动能定理
【知能准备】
1．物体由于________而具有的能叫做动能，反之，凡是做__________的物体都具有动能，质量为m 的物体，以速度v 运动时的动能是E k =____________。
2．国际单位制中，动能的单位是____________。1970年我国发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg ，运动速度为7.2km/s，它的动能是______________。
3．动能是矢量还是标量？______________；动能是状态量还是过程量？_____________；动能可能小于零吗？____________；动能具有相对性，参考系的不同，速度就不同，动能就_________。一般取______为参考系。
4．动能是由物体的质量和速度的大小共同决定的，由于速度是矢量，因此，物体的速度变化，动能__________。
5．力在一个过程中对物体所做的功等于_________________________________。这个结论叫做_________，可用公式表述为W=___________，其中E k1表示____________， E k2表示____________，W 表示__________。 如果物体受到几个力的作用，则动能定理中的W 表示______________ 。
6．物体的动能增加，表示物体的动能增量是___________值，合外力对物体做的功为___________值；反之，物体的动能减少，表示物体的动能增量是___________值，合外力对物体做的功为___________值。 【同步导学】
1．理解动能定理
（1）力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这就是动能定理，其数学表达式为 W=Ek 2－E k 1。
通常，动能定理数学表达式中的W 有两种表述：一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物体所做的功。这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述：
① 外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。 ② 合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
例1 一架喷气式飞机，质量m =5×103kg ，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s =5.3×102m 时，达到起飞的速度v =60m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k =0.02），求飞机受到的牵引力。
解答：取飞机为研究对象，对起飞过程研究。飞机受到重力G 、支持力N 、牵引力F 和阻力f 作用，如图2-7-1所示
N
F G 2-7-1
各力做的功分别为W G =0，W N =0，W F =Fs，W f =-kmgs.
f
起飞过程的初动能为0，末动能为
据动能定理得： Fs -kmgs =
12
12
mv
2
mv
2
-0
2
v 4
代入数据得： F =kmg +m =1. 8⨯10N
2s
点评：上面的解法中是先求出各个力的功，再求出功的代数和。当几个力同时对物体做功时，也可以先求出物体所受的合力，再求出合力的功。然而，当几个力对物体做功有先后时，那就只能先求出各个力的功，再求出功的代数和。
例2 将质量m=2kg 的一块石头从离地面H=2m 高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm 深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g 取10m/s2）
解答 石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。
对石头在整个运动阶段应用动能定理，有
mg (H +h ) -F h =0-0。
所以，泥对石头的平均阻力
F =
H +h h
⋅mg =
2+0. 050. 05
⨯2⨯10N=820N。
2-7-2
（2）动能的变化是末动能减去初动能，称之为动能的“增量”。动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功。
例3 一质量为0.3㎏的弹性小球，在光滑的水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv 和碰撞过程中墙对小球做功的大小W 为（ ）
A .Δv=0 B. Δv =12m/s C. W=0 D. W=10.8J
解答 由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以Δv=vt -(-v0)=12m/s,根据动能定理
W =ΔE
K
=
1
2
mv t -
2
1
2
mv 0=0
2
答案：BC
若小球撞墙后速度大小变为3m/s，则碰撞前后小球速度变化量Δv ？碰撞过程中墙对小球做功的W ？ （3）．动能定理的计算式为标量式，V 为相对地面的速度。 （4）．动能定理的适用范围
动能定理是从牛顿第二定律F=ma和匀变速直线运动公式 v 22－v 12=2al 推导而得的，虽然它是在受恒力作用、物体做直线运动的特殊条件下得到的，但是，当物体受变力作用或做曲线运动时，我们可把过程分解成许多小段，认为物体在每小段受恒力作用、做直线运动。因此，无论作用在物体上的合力的大小和方向是否改变，物体是沿直线运动还是沿曲线运动，结论仍然成立。也就是说，动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功。力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。只要求出和确定各力做功的多少和正负即可。
值得注意的是，在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系。
例4 在h 高处，以初速度v 0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ）
A. v 0+
2gh B. v 0-
2gh C.
v 0+2gh D.
2
v 0-2gh
2
解答 小球下落为曲线运动，在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有
mgh =
解得小球着地时速度的大小为 v =正确选项为C 。
注意：应用动能定理只能求出小球着地时速度的大小，而无法求出速度的方向。若要求小球着地时速度的方向，还得应用平抛运动的相关规律。
例5 一质量为 m的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点。小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图2-7-3所示，则拉力F 所做的功为（ ）
2-7-3
12
mv
2
2
-
12
mv 0，
2
v 0+2gh 。
A. mgl cos θ B. mgl (1－cos θ) C. Fl cos θ D. Flsin θ
解答 将小球从位置P 很缓慢地拉到位置Q 的过程中，球在任一位置均可看作处于平衡状态。由平衡条件
可得F=mgtan θ，可见，随着θ角的增大，F 也在增大。而变力的功是不能用W= Fl cos θ求解的，应从功和能关系的角度来求解。
小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W ，小球克服重力做功mgl (1－cos θ) 。
小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得 W －mgl (1－cos θ)=0，
W = mgl(1－cos θ) 。
正确选项为B 。 2．应用动能定理
（1）动能定理应用的思路
动能定理中涉及的物理量有F 、l 、m 、v 、W 、E k 等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于功和动能都是标量，无方向性，无论是对直线运动或曲线运动，计算都会特别方便。当题给条件涉及力的位移效应，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。
（2）．应用动能定理解题的一般步骤：
① 确定研究对象和研究过程。
② 分析物理过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，画受力示意图，及过程状态草图，明确各力做功情况，即是否做功，是正功还是负功。
③ 找出研究过程中物体的初、末状态的动能（或动能的变化量）
④ 根据动能定理建立方程，代入数据求解，对结果进行分析、说明或讨论。
例6 如图2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v 0＝2m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m ＝l0kg 的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h ＝2m 的高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数μ=
32
，g 取10m/s2。
2-7-4
(1) 试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?
(2) 工件从传送带底端运动至h ＝2m 高处的过程中摩擦力对工件做了多少功? ． 解答 (1) 工件刚放上皮带时受滑动摩擦力
F =μmg cos θ，
工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律
F -mg sin θ=ma
可得 a =
F m
-g sin θ=g (μcos θ-sin θ) =10⨯(
32
cos 30
-sin 30) m/s=2.5m/s。
022
设工件经过位移x 与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律 可得 x =
2
v 0
2
2a
=
2
2
2⨯2. 5
m=0.8m＜4m 。
故工件先以2.5m/s的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m 与传送带达到共同速度2m/s后做匀速直线运动。
(2) 在工件从传送带底端运动至h ＝2m 高处的过程中，设摩擦力对工件做功W f ，由动能定理
W
f
-mgh =
1212
mv 0,
mv 0=10⨯10⨯2J +
2
2
可得 W f =mgh +
12
⨯10⨯2J=220J。
2
点评 本题第（2）问也可直接用功的计算式来求：
设工件在前0.8m 内滑动摩擦力做功为W f 1，此后静摩擦力做功为W f 2，则有
Wf 1=μmgco s θ ·x=
2
⨯10⨯10⨯cos 30⨯0. 8J=60J,
Wf 2=mg sin θ (s －x ) =10⨯10⨯sin 300⨯(4-0. 8) J=160J。
所以，摩擦力对工件做的功一共是
W f = Wf 1+ Wf 2=60J+160J=220J。 当然，采用动能定理求解要更为简捷些。 （3）应用动能定理求变力的功。
例7 如图2-7-5所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC 是水平轨道，长S=3m，BC 处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。
由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W 外=0， 所以mgR-umgS-W AB =0
即W AB =mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6(J)
点评：如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
例8 电动机通过一条绳子吊起质量为8kg 的物体。绳的拉力不能超过120N ，电动机的功率不能超过1 200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m （已知物体在被吊高90m 以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g 取10 m/s2）
解答 起吊最快的方式是：开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。
在匀加速运动过程中，加速度为
a =
F m -mg
m
P m F m
2-7-5
解答：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、BC 段的摩擦力共三个力做功，W G =mgR，f BC =umg，
=
120-8⨯10
8=1200120
m/s2=5 m/s2，
末速度 v t =
m/s=10m/s，
上升时间 t 1=
v t
2
v t a
=
105
2
s=2s，
上升高度 h 1=
2a
=
10
2⨯5
m=10m。
在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为
v m =
P m mg
=12008⨯10
m/s=15m/s，
由动能定理有 P m t 2-mg (h -h 1) =解得上升时间
mg (h -h 1) +t 2=
1m (v m -v t )
=
2
2
12
mv m -
2
12
mv t ，
2
8⨯10⨯(90-10) +
1
P m
1200
⨯8⨯(15
2
-10)
2
s=5.75s。
所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m ，所需时间为 t=t1+t2=2s+5.75s=7.75s。
（4）应用动能定理解多过程问题
例9一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S ，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．
2-7-6
解答 设该斜面倾角为α，斜坡长为l ，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为：
W G =mgl sin α
=mgh W f 1=-μmgl cos α
物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S 2，则
对物体在全过程中应用动能定理：ΣW=ΔEk ．
mglsin α－μmglcos α－μmgS 2=0 得 h－μS 1－μS 2=0． 式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故
点评 本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动．依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题．比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性．
例10 从离地面H 高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k （k
（1） 小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？ （2） 小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？
解答：(1) 设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h ，则由动能定理得：mg(H-h)-kmg(H+h)=0 解得 h =
1-k 1+k
H
(2)、设球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是S ，对全过程由动能定理得mgH-kmgS=0
解得 S =
H k
点评：物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。
3．对功能关系理解
① 做功的过程是能量转化的过程 能量有机械能、电能、内能、光能、化学能、核能等多种形式，各种形式的能可以相互转化，在转化过程中满足总能量守恒。在电灯通电时，电流做功，电能转化为内能和光能；当汽车发动机工作时，把化学能转化为机械能；在核反应过程中，核力做功，把核能转化为内能。要使能量的形式发生变化，必须通过做功过程才能实现。这一点和初中学过的热传递有着本质的区别。在热传递中过程，能量的形式并不发生变化。
② 功是能量转化的量度 在做功使能量的形式发生变化时，做了多少功，就有多少的能量从一种形式转化为另一种形式。例如，电阻丝通电时，若电流做了100J 的功，就有100J 的电能转化为内能。从这个意义上讲，功好像是一把尺子，可以用它来量度能量转化的大小。我们在推导重力势能、弹性势能和动能的表达式时，正是从这一原理入手的。
例11 某同学从高为h 处水平地投出一个质量为m 的铅球，测得成绩为s ，求该同学投球时所做的功． 解答 同学对铅球做的功等于铅球离手时获得的动能，即
2
铅球在空中运动的时间为
W =
1mv
2
-0
t =
2h g
s
铅球时离手时的速度
v =
t
解上三式得同学对铅球做的功 W =
mgs 4h
2
例12 新疆达坂城风口的风速约为v=20m/s，设该地空气的密度为ρ=1.4kg/m3，若把通过横截面积S=20m 2
的风能的50%转化为电能，利用上述已知量推导计算电功率的公式，并求出发电机电功率的大小。
解答 首先建立风的“柱体模型”，如图2-7-7所示，设经过时间t 通过截面S 的空气的质量为m ，则有
m=ρV=ρSl=ρSvt 。
这部分空气的动能为 ∆E =
12mv
2
=
12
⋅ρSvt ⋅v
2
=
12
ρSv t 。
3
2-7-7
因为风的动能只有50%转化为电能，所以其电功率的表达式为
1
P =
∆E t
⨯50%=2
14
ρSv t t
3
3
⨯50%=
14
4
ρSv 。
3
代入数据得 P =
⨯1. 4⨯20⨯20W=5.6×10W 。
【同步检测】
1．车作匀加速运动，速度从零增加到V 的过程中发动机做功W 1，从V 增加到2V 的过程中发动机做功W 2，设牵引力和阻力恒定，则有 （ ） A ．W 2=2W1 B ．W 2=3W1
C ．W 2=4W1
D ．仅能判断W 2＞W 1
（ ）
2. 用100N 的力将0.5千克的足球以8m/s的初速度沿水平方向踢出20米，则人对球做功为 A ．200J B ．16J C ．2000J D ．无法确定
3. 子弹以水平速度V 射入静止在光滑水平面上的木块M ，并留在其中，则 （ ） A ．子弹克服阻力做功与木块获得的动能相等
B ．阻力对子弹做功小于子弹动能的减少
C ．子弹克服阻力做功与子弹对木块做功相等
D ．子弹克阻力做功大于子弹对木块做功
4. (2000年全国高考试题) 如图2-7-8所示，DO 是水平面，AB 是斜面，初速度为v 0, 物体从D 点出发沿DBA
滑到顶点时速度恰好为零，如果斜面改为AC ，让该物体从D 点出发沿DCA 滑到A 点且速度刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面间的动摩擦系数处处相等且不为零）（ ） A. 大于v 0 B. 等于v 0
C. 小于v 0
D. 取决于斜面的倾角
B 2-7-8
5. 质量不等，但具有相同初动能的两个物体，在摩擦系数相同的水平地面上滑行，直到停止，则（ ） A ．质量大的物体滑行的距离大 B ．质量小的物体滑行的距离大 C ．它们滑行的距离一样大
D ．它们克服摩擦力所做的功一样多
6. 速度为ｖ的子弹，恰可穿透一块固定着的木板，如果子弹的速度为２ｖ，子弹穿透木板时阻力视为不变，则可穿透同样的木板：（ ） Ａ．１块； Ｂ．２块；
Ｃ．３块； Ｄ．４块。
7. 一物体在竖直弹簧的上方ｈ米处下落，然后又被弹簧弹回，如图2-7-9所示，则物体动能最大时是：（ ） Ａ．物体刚接触弹簧时；
Ｂ．物体将弹簧压缩至最短时；
h Ｃ．物体重力与弹力相等时；
Ｄ．弹簧等于原长时。
2-7-9
8. 一人从高处坠下，当人下落H 高度时安全带刚好绷紧，人又下落h 后人的速度减为零，设人的质量为M ，则绷紧过程中安全带对人的平均作用力为____________。
9. M=2千克的均匀木板长为L=40cm，放在水平面上，右端与桌面齐，板与桌面间的摩擦系数为μ=0.2,现用水平力将其推落，水平力至少做功为___________ 。
2-7-10
10. 如图2-7-11所示, 物体沿一曲面从A 点无初速度滑下, 滑至曲面最低点B 时, 下滑的高度为5m. 若物体的质量为1㎏, 到B 点的速度为6m/s,则在下滑过程中克服阻力所做的功是多少?
2-7-11 第七节 动能和动能定理知能准备答案 1．运动，机械运动，
12
mv 2．焦耳，4484160000J 3．标量，状态量，不，不一样，地面
2
4．不一定变化 5．物体在这个过程中动能的变化，动能定理， W=Ek 2－E k 1，初动能，末动能，力做的功，合力的功 6．正，正，负，负
第七节 动能和动能定理同步检测答案
Mg (H +h )
1.B 2.B 3.D 4.B 5.BD 6.D 7.C 8.
h
9.0.8J 10.32J
第七节 动能和动能定理练习题
1. 关于速度与动能，下列说法中正确的是( A. 一个物体速度越大时，动能越大
B. 速度相等的物体，如果质量相等，那么它们的动能也相等 C. 动能相等的物体，如果质量相等那么它们的速度也相同 D. 动能越大的物体，速度也越大
2. 对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是 (
)
)
A. 速度在改变，动能也在改变 B. 速度改变，动能不变 C. 速度不变，动能改变 D. 动能、速度都不变 3. 一质量为1.0kg 的滑块，以4m ／s 的初速度在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起一向右水平力作用于滑块，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m ／s ，则在这段时间内水平力所做的功为( )
A.0
B.8J
C.16J
D.32J
4. 两物体质量之比为1:3，它们距离地面高度之比也为1:3，让它们自由下落，它们落地时的动能之比为( ) A.1:3 B.3:1 C.1:9 D.9:1
5. 在距地面15m 高处，某人将一质量为4kg 的物体以5m ／s 的速度抛出，人对物体做的功是( ) A.20J B.50J C.588J D.638J 6. 一个物体由静止沿长为L 的光滑斜面下滑当物体的速度达到末速度一半时，物体沿斜面下滑了( A.
L 4
)
B.(2-1) L C.
L 2
D.
L 2
7. 质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能( ) A. 与它通过的位移成正比 C. 与它运动的时间成正比
B. 与它通过的位移的平方成正比 D. 与它的运动的时间的平方成正比
8. 两个材料相同的物体，甲的质量大于乙的质量，以相同的初动能在同一水平面上滑 动，最后都静止，它们滑行的距离是( )
A. 乙大 B. 甲大 C. 一样大 D. 无法比较
9. 两辆汽车在同一水平路面上行驶，它们的质量之比为m 1:m2=1:2，速度之比为v 1:v2=2:1当汽车急刹车后，甲、乙两辆汽车滑行的最大距离为s 1和s 2，若两车与路面的动摩擦因数相同，且不计空气阻力，则( )
A.s 1:s2=1:2 B.S 1:S2=1:1 C.S1:S2=2:1 D.s 1
:s2=4:1
10．如图2-7-12所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 0沿水平射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v 运动. 已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L ，子弹进入木块的深度为s . 若木块对子弹的阻力f 视为恒定，则下列关系式中正确的是
（ ）
2-7-12
A ．fL =C ．f s =
1212
Mv
2
B ．f s =
12
mv
12
2
mv 02－
12
（M ＋m ）v 2
D ．f （L ＋s ）=
mv 02－
12
mv 2
11. 两个物体的质量分别为m 1和m 2，且m 1=4m2，当它们以相同的动能在动摩擦因数相同的水平面上运行时，它们的滑行距离之比s 1:s2和滑行时间之比t 1:t2分别为(
A.1:2,2:1 B.4:1,1:2 C.2:1,4:1 D.1:4,1:2
)
（ ）
12．跳伞运动员在刚跳离飞机、其降落伞尚未打开的一段时间内，下列说法中正确的是 A ．空气阻力做正功 B ．重力势能增加
C ．动能增加 D ．空气阻力做负功
13. 以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力的大小恒为f ，则从抛出至回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为
(
)
A.0 B.-fh C.-2fh D.-4fh
14. 有两个物体其质量M 1>M2，它们初动能一样，若两物体受到不变的阻力F 1和F 2作用经过相同的时间停下，它们的位移分别为s 1和s 2，则( )
A.F 1>F2，且s 1F2，且s 1>s2
C.F 1s2
15. 质量为m 的物体从地面上方H 高处无初速释放，落在地面后出现一个深度为h 的坑，如图2-7-13所示，在此过程中( )
A. 重力对物体做功为mgH
B. 重力对物体做功为mg(H+h)
C. 外力对物体做的总功为零
D. 地面对物体的平均阻力为mg(H+h)／h
2-7-13 16. 物体与转台间的动摩擦因数为μ，与转轴间距离为R ，m 随转台由静止开始加速转动，当转速增加至某值时，m 即将在转台上相对滑动，此时起转台做匀速转动，此过程中摩擦力对m 做的功为( )
A.0 B.2πμmgR C.2μmgR D. μmgR ／2
17. 如图2-7-14所示，质量为m 的物体静放在水平光滑平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面以速度v 0向右匀速走动的人拉着，设人从地面上且从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处，在此过程中人所做的功为( )
A.mv 0／2
2-7-14
2
B.mv 0
2
C.2mv 0／3
2
D.3mv 0／8
2
18. 如图2-7-15所示，一小物块初速v 1，开始由A 点沿水平面滑至B 点时速度为v 2，若该物块仍以速度v 1
从A 点沿两斜面滑动至B 点时速度为v 2’，已知斜面和水平面与物块的动摩擦因数相同，则( )
A.v 2>v2' B.v 2
C.v 2=v2’
D. 沿水平面到B 点时间与沿斜面到达B 点时间相等
2-7-15
19. 木块受水平力F 作用在水平面上由静止开始运动，前进sm 后撤去F ，木块又沿原方向前进3sm 停止，则摩擦力f=________．木块最大动能为________.
20. 质量M=500t的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行驶了s=2.25km，速度达到了最大值v m =54km／h ，则机车的功率为________W，机车运动中受到的平均阻力为________N．
21. 如图2-7-16所示，光滑水平面上，一小球在穿过O 孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉力为F 时，圆周半径为R ，当绳的拉力增大到8F 时，小球恰可沿半径为R ／2的圆周匀速运动在上述增大拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为________.
2-7-16
22. 有一质量为0.2kg 的物块，从长为4m ，倾角为30°光滑斜面顶端处由静止开始沿斜面滑下，斜面底端和水平面的接触处为很短的圆弧形，如图2-7-17所示. 物块和水平面间的滑动摩擦因数为0.2求：
(1)物块在水平面能滑行的距离；
(2)物块克服摩擦力所做的功．(g取10m ／s )
2-7-17
23. 如图2-7-18所示，AB 和CD 是半径为R=1m的1／4圆弧形光滑轨道，BC 为一段长2m 的水平轨道质量为2kg 的物体从轨道A 端由静止释放，若物体与水平轨道BC 间的动摩擦因数为0.1．求：
(1)物体第1次沿CD 弧形轨道可上升的最大高度；
(2)物体最终停下来的位置与B 点的距离
2-7-18
24. 如图2-7-19所示的装置中，轻绳将A 、B 相连，B 置于光滑水平面上，拉力F 使B 以1m ／s 匀速的由P 运动到Q,P 、Q 处绳与竖直方向的夹角分别为α1=37°，α2=60°. 滑轮离光滑水平面高度h=2m，已知m A =10kg，m B =20kg，不计滑轮质量和摩擦，求在此过程中拉力F 做的功(取sin37°=0.6，g 取10m ／s 2)
2-7-19
25. 人骑自行车上坡，坡长200m ，坡高10m ，人和车的质量共100kg ，人蹬车的牵引力为100N ，若在坡底时自行车的速度为10m ／s ，到坡顶时速度为4m ／s.(g取10m/s2) 求：
(1)上坡过程中人克服阻力做多少功?
(2)人若不蹬车，以10m ／s 的初速度冲上坡，能在坡上行驶多远?
2
26. “水刀”是将普通的水加压，使其从口径为0.2mm 的喷嘴中以800m ／s-1000m ／s 的速度射出的水射流，
33它可以切割软质材料. 试求水射流的最大切割功率为多少瓦?(水的密度为1.0×10kg ／m , π取3.14)
27. 质量m ＝1kg 的物体，在水平拉力F 的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移4m 时，拉力F 停止作用，运动到位移是8m 时物体停止，运动过程中E k －S 的图线如图2-7-20所示。求：
（1）物体的初速度多大？
（2）物体和平面间的摩擦系数为多大？（g 取10m /s 2）
（3）拉力F 的大小。
2-7-20
28．(1999年广东高考题)(1)试在下列简化情况下，从牛顿定律出发，导出动能定理的表达式：物体为质点，作用力是恒力，运动轨迹为直线，要求写出每个符号及所得结果中每项的意义．(2)如图2-7-21所示，一弹簧振子，物块的质量为m ，它与水平桌面间的动摩擦因数为μ．起初，用手按住物块，物块的速度为零，弹簧的伸长量为x ．然后放手，当弹簧的长度回到原长时，物块的速度为v ．试用动能定理求此过程中弹力所做的功．
29 总质量为M 的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢的质量为m ，中途脱节。司机发现时，机车已行驶了距离l ，于是立即关闭油门，除去牵引力。设列车运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们间的距离是多少？
30． 质量为M 、长度为d 的木块，放在光滑的水平面上，在木块右边有一个销钉把木块挡住，使木块不能向右滑动。质量为m 的子弹以水平速度V 0射入木块，刚好能将木块射穿。现在拔去销钉，使木块能在水平面上自由滑动，而子弹仍以水平速度V 0射入静止的木块。设子弹在木块中受阻力恒定。
求：（1）子弹射入木块的深度
（2）从子弹开始进入木块到与木块相对静止的过程中，木块
的位移是多大？
2-7-22
11
2-7-21
第七节 动能和动能定理练习题答案
1．AB 2．B 3．A 4．C 5．B 6．A 7．AD 8．A 9．D 10．ACD 11．D 12．CD 13．C 14．A 15．BCD
16．D 17．D 18．C 19． 1
4F ; 3
4F s 20． 3.75×10;2.5×1054 21．FR 22．10m ，4J 23
23． (1)0.8m(2)离B2m 24．151.95J 25． (1)14200J(2)41.3m 26．15.7Kw 27．2m/s ,0.25 , 4.5N 28．W 弹=12mv 2+μmgx 29．∆s =s M -s m =M M -m （1） X ＝ Md/（M ＋m ） （2） S 2＝l 30．Mmd
(M +m ) 2
12
第七节 动能和动能定理
【知能准备】
1．物体由于________而具有的能叫做动能，反之，凡是做__________的物体都具有动能，质量为m 的物体，以速度v 运动时的动能是E k =____________。
2．国际单位制中，动能的单位是____________。1970年我国发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg ，运动速度为7.2km/s，它的动能是______________。
3．动能是矢量还是标量？______________；动能是状态量还是过程量？_____________；动能可能小于零吗？____________；动能具有相对性，参考系的不同，速度就不同，动能就_________。一般取______为参考系。
4．动能是由物体的质量和速度的大小共同决定的，由于速度是矢量，因此，物体的速度变化，动能__________。
5．力在一个过程中对物体所做的功等于_________________________________。这个结论叫做_________，可用公式表述为W=___________，其中E k1表示____________， E k2表示____________，W 表示__________。 如果物体受到几个力的作用，则动能定理中的W 表示______________ 。
6．物体的动能增加，表示物体的动能增量是___________值，合外力对物体做的功为___________值；反之，物体的动能减少，表示物体的动能增量是___________值，合外力对物体做的功为___________值。 【同步导学】
1．理解动能定理
（1）力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这就是动能定理，其数学表达式为 W=Ek 2－E k 1。
通常，动能定理数学表达式中的W 有两种表述：一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物体所做的功。这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述：
① 外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。 ② 合外力对物体所做的功等于物体动能的变化。
例1 一架喷气式飞机，质量m =5×103kg ，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s =5.3×102m 时，达到起飞的速度v =60m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k =0.02），求飞机受到的牵引力。
解答：取飞机为研究对象，对起飞过程研究。飞机受到重力G 、支持力N 、牵引力F 和阻力f 作用，如图2-7-1所示
N
F G 2-7-1
各力做的功分别为W G =0，W N =0，W F =Fs，W f =-kmgs.
f
起飞过程的初动能为0，末动能为
据动能定理得： Fs -kmgs =
12
12
mv
2
mv
2
-0
2
v 4
代入数据得： F =kmg +m =1. 8⨯10N
2s
点评：上面的解法中是先求出各个力的功，再求出功的代数和。当几个力同时对物体做功时，也可以先求出物体所受的合力，再求出合力的功。然而，当几个力对物体做功有先后时，那就只能先求出各个力的功，再求出功的代数和。
例2 将质量m=2kg 的一块石头从离地面H=2m 高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm 深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g 取10m/s2）
解答 石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。
对石头在整个运动阶段应用动能定理，有
mg (H +h ) -F h =0-0。
所以，泥对石头的平均阻力
F =
H +h h
⋅mg =
2+0. 050. 05
⨯2⨯10N=820N。
2-7-2
（2）动能的变化是末动能减去初动能，称之为动能的“增量”。动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力做功。
例3 一质量为0.3㎏的弹性小球，在光滑的水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小Δv 和碰撞过程中墙对小球做功的大小W 为（ ）
A .Δv=0 B. Δv =12m/s C. W=0 D. W=10.8J
解答 由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以Δv=vt -(-v0)=12m/s,根据动能定理
W =ΔE
K
=
1
2
mv t -
2
1
2
mv 0=0
2
答案：BC
若小球撞墙后速度大小变为3m/s，则碰撞前后小球速度变化量Δv ？碰撞过程中墙对小球做功的W ？ （3）．动能定理的计算式为标量式，V 为相对地面的速度。 （4）．动能定理的适用范围
动能定理是从牛顿第二定律F=ma和匀变速直线运动公式 v 22－v 12=2al 推导而得的，虽然它是在受恒力作用、物体做直线运动的特殊条件下得到的，但是，当物体受变力作用或做曲线运动时，我们可把过程分解成许多小段，认为物体在每小段受恒力作用、做直线运动。因此，无论作用在物体上的合力的大小和方向是否改变，物体是沿直线运动还是沿曲线运动，结论仍然成立。也就是说，动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功。力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。只要求出和确定各力做功的多少和正负即可。
值得注意的是，在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系。
例4 在h 高处，以初速度v 0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ）
A. v 0+
2gh B. v 0-
2gh C.
v 0+2gh D.
2
v 0-2gh
2
解答 小球下落为曲线运动，在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有
mgh =
解得小球着地时速度的大小为 v =正确选项为C 。
注意：应用动能定理只能求出小球着地时速度的大小，而无法求出速度的方向。若要求小球着地时速度的方向，还得应用平抛运动的相关规律。
例5 一质量为 m的小球，用长为l 的轻绳悬挂于O 点。小球在水平拉力F 作用下，从平衡位置P 点很缓慢地移动到Q 点，如图2-7-3所示，则拉力F 所做的功为（ ）
2-7-3
12
mv
2
2
-
12
mv 0，
2
v 0+2gh 。
A. mgl cos θ B. mgl (1－cos θ) C. Fl cos θ D. Flsin θ
解答 将小球从位置P 很缓慢地拉到位置Q 的过程中，球在任一位置均可看作处于平衡状态。由平衡条件
可得F=mgtan θ，可见，随着θ角的增大，F 也在增大。而变力的功是不能用W= Fl cos θ求解的，应从功和能关系的角度来求解。
小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W ，小球克服重力做功mgl (1－cos θ) 。
小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得 W －mgl (1－cos θ)=0，
W = mgl(1－cos θ) 。
正确选项为B 。 2．应用动能定理
（1）动能定理应用的思路
动能定理中涉及的物理量有F 、l 、m 、v 、W 、E k 等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑使用动能定理。由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于功和动能都是标量，无方向性，无论是对直线运动或曲线运动，计算都会特别方便。当题给条件涉及力的位移效应，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。
（2）．应用动能定理解题的一般步骤：
① 确定研究对象和研究过程。
② 分析物理过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，画受力示意图，及过程状态草图，明确各力做功情况，即是否做功，是正功还是负功。
③ 找出研究过程中物体的初、末状态的动能（或动能的变化量）
④ 根据动能定理建立方程，代入数据求解，对结果进行分析、说明或讨论。
例6 如图2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v 0＝2m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角θ＝30°，现把一质量m ＝l0kg 的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h ＝2m 的高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数μ=
32
，g 取10m/s2。
2-7-4
(1) 试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?
(2) 工件从传送带底端运动至h ＝2m 高处的过程中摩擦力对工件做了多少功? ． 解答 (1) 工件刚放上皮带时受滑动摩擦力
F =μmg cos θ，
工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律
F -mg sin θ=ma
可得 a =
F m
-g sin θ=g (μcos θ-sin θ) =10⨯(
32
cos 30
-sin 30) m/s=2.5m/s。
022
设工件经过位移x 与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律 可得 x =
2
v 0
2
2a
=
2
2
2⨯2. 5
m=0.8m＜4m 。
故工件先以2.5m/s的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m 与传送带达到共同速度2m/s后做匀速直线运动。
(2) 在工件从传送带底端运动至h ＝2m 高处的过程中，设摩擦力对工件做功W f ，由动能定理
W
f
-mgh =
1212
mv 0,
mv 0=10⨯10⨯2J +
2
2
可得 W f =mgh +
12
⨯10⨯2J=220J。
2
点评 本题第（2）问也可直接用功的计算式来求：
设工件在前0.8m 内滑动摩擦力做功为W f 1，此后静摩擦力做功为W f 2，则有
Wf 1=μmgco s θ ·x=
2
⨯10⨯10⨯cos 30⨯0. 8J=60J,
Wf 2=mg sin θ (s －x ) =10⨯10⨯sin 300⨯(4-0. 8) J=160J。
所以，摩擦力对工件做的功一共是
W f = Wf 1+ Wf 2=60J+160J=220J。 当然，采用动能定理求解要更为简捷些。 （3）应用动能定理求变力的功。
例7 如图2-7-5所示，AB 为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC 是水平轨道，长S=3m，BC 处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。
由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W 外=0， 所以mgR-umgS-W AB =0
即W AB =mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6(J)
点评：如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。
例8 电动机通过一条绳子吊起质量为8kg 的物体。绳的拉力不能超过120N ，电动机的功率不能超过1 200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m （已知物体在被吊高90m 以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g 取10 m/s2）
解答 起吊最快的方式是：开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。
在匀加速运动过程中，加速度为
a =
F m -mg
m
P m F m
2-7-5
解答：物体在从A 滑到C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、BC 段的摩擦力共三个力做功，W G =mgR，f BC =umg，
=
120-8⨯10
8=1200120
m/s2=5 m/s2，
末速度 v t =
m/s=10m/s，
上升时间 t 1=
v t
2
v t a
=
105
2
s=2s，
上升高度 h 1=
2a
=
10
2⨯5
m=10m。
在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为
v m =
P m mg
=12008⨯10
m/s=15m/s，
由动能定理有 P m t 2-mg (h -h 1) =解得上升时间
mg (h -h 1) +t 2=
1m (v m -v t )
=
2
2
12
mv m -
2
12
mv t ，
2
8⨯10⨯(90-10) +
1
P m
1200
⨯8⨯(15
2
-10)
2
s=5.75s。
所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m ，所需时间为 t=t1+t2=2s+5.75s=7.75s。
（4）应用动能定理解多过程问题
例9一个物体从斜面上高h 处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S ，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同．求动摩擦因数μ．
2-7-6
解答 设该斜面倾角为α，斜坡长为l ，则物体沿斜面下滑时，重力和摩擦力在斜面上的功分别为：
W G =mgl sin α
=mgh W f 1=-μmgl cos α
物体在平面上滑行时仅有摩擦力做功，设平面上滑行距离为S 2，则
对物体在全过程中应用动能定理：ΣW=ΔEk ．
mglsin α－μmglcos α－μmgS 2=0 得 h－μS 1－μS 2=0． 式中S1为斜面底端与物体初位置间的水平距离．故
点评 本题中物体的滑行明显地可分为斜面与平面两个阶段，而且运动性质也显然分别为匀加速运动和匀减速运动．依据各阶段中动力学和运动学关系也可求解本题．比较上述两种研究问题的方法，不难显现动能定理解题的优越性．
例10 从离地面H 高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k （k
（1） 小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？ （2） 小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？
解答：(1) 设小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h ，则由动能定理得：mg(H-h)-kmg(H+h)=0 解得 h =
1-k 1+k
H
(2)、设球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是S ，对全过程由动能定理得mgH-kmgS=0
解得 S =
H k
点评：物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。
3．对功能关系理解
① 做功的过程是能量转化的过程 能量有机械能、电能、内能、光能、化学能、核能等多种形式，各种形式的能可以相互转化，在转化过程中满足总能量守恒。在电灯通电时，电流做功，电能转化为内能和光能；当汽车发动机工作时，把化学能转化为机械能；在核反应过程中，核力做功，把核能转化为内能。要使能量的形式发生变化，必须通过做功过程才能实现。这一点和初中学过的热传递有着本质的区别。在热传递中过程，能量的形式并不发生变化。
② 功是能量转化的量度 在做功使能量的形式发生变化时，做了多少功，就有多少的能量从一种形式转化为另一种形式。例如，电阻丝通电时，若电流做了100J 的功，就有100J 的电能转化为内能。从这个意义上讲，功好像是一把尺子，可以用它来量度能量转化的大小。我们在推导重力势能、弹性势能和动能的表达式时，正是从这一原理入手的。
例11 某同学从高为h 处水平地投出一个质量为m 的铅球，测得成绩为s ，求该同学投球时所做的功． 解答 同学对铅球做的功等于铅球离手时获得的动能，即
2
铅球在空中运动的时间为
W =
1mv
2
-0
t =
2h g
s
铅球时离手时的速度
v =
t
解上三式得同学对铅球做的功 W =
mgs 4h
2
例12 新疆达坂城风口的风速约为v=20m/s，设该地空气的密度为ρ=1.4kg/m3，若把通过横截面积S=20m 2
的风能的50%转化为电能，利用上述已知量推导计算电功率的公式，并求出发电机电功率的大小。
解答 首先建立风的“柱体模型”，如图2-7-7所示，设经过时间t 通过截面S 的空气的质量为m ，则有
m=ρV=ρSl=ρSvt 。
这部分空气的动能为 ∆E =
12mv
2
=
12
⋅ρSvt ⋅v
2
=
12
ρSv t 。
3
2-7-7
因为风的动能只有50%转化为电能，所以其电功率的表达式为
1
P =
∆E t
⨯50%=2
14
ρSv t t
3
3
⨯50%=
14
4
ρSv 。
3
代入数据得 P =
⨯1. 4⨯20⨯20W=5.6×10W 。
【同步检测】
1．车作匀加速运动，速度从零增加到V 的过程中发动机做功W 1，从V 增加到2V 的过程中发动机做功W 2，设牵引力和阻力恒定，则有 （ ） A ．W 2=2W1 B ．W 2=3W1
C ．W 2=4W1
D ．仅能判断W 2＞W 1
（ ）
2. 用100N 的力将0.5千克的足球以8m/s的初速度沿水平方向踢出20米，则人对球做功为 A ．200J B ．16J C ．2000J D ．无法确定
3. 子弹以水平速度V 射入静止在光滑水平面上的木块M ，并留在其中，则 （ ） A ．子弹克服阻力做功与木块获得的动能相等
B ．阻力对子弹做功小于子弹动能的减少
C ．子弹克服阻力做功与子弹对木块做功相等
D ．子弹克阻力做功大于子弹对木块做功
4. (2000年全国高考试题) 如图2-7-8所示，DO 是水平面，AB 是斜面，初速度为v 0, 物体从D 点出发沿DBA
滑到顶点时速度恰好为零，如果斜面改为AC ，让该物体从D 点出发沿DCA 滑到A 点且速度刚好为零，则物体具有的初速度（已知物体与路面间的动摩擦系数处处相等且不为零）（ ） A. 大于v 0 B. 等于v 0
C. 小于v 0
D. 取决于斜面的倾角
B 2-7-8
5. 质量不等，但具有相同初动能的两个物体，在摩擦系数相同的水平地面上滑行，直到停止，则（ ） A ．质量大的物体滑行的距离大 B ．质量小的物体滑行的距离大 C ．它们滑行的距离一样大
D ．它们克服摩擦力所做的功一样多
6. 速度为ｖ的子弹，恰可穿透一块固定着的木板，如果子弹的速度为２ｖ，子弹穿透木板时阻力视为不变，则可穿透同样的木板：（ ） Ａ．１块； Ｂ．２块；
Ｃ．３块； Ｄ．４块。
7. 一物体在竖直弹簧的上方ｈ米处下落，然后又被弹簧弹回，如图2-7-9所示，则物体动能最大时是：（ ） Ａ．物体刚接触弹簧时；
Ｂ．物体将弹簧压缩至最短时；
h Ｃ．物体重力与弹力相等时；
Ｄ．弹簧等于原长时。
2-7-9
8. 一人从高处坠下，当人下落H 高度时安全带刚好绷紧，人又下落h 后人的速度减为零，设人的质量为M ，则绷紧过程中安全带对人的平均作用力为____________。
9. M=2千克的均匀木板长为L=40cm，放在水平面上，右端与桌面齐，板与桌面间的摩擦系数为μ=0.2,现用水平力将其推落，水平力至少做功为___________ 。
2-7-10
10. 如图2-7-11所示, 物体沿一曲面从A 点无初速度滑下, 滑至曲面最低点B 时, 下滑的高度为5m. 若物体的质量为1㎏, 到B 点的速度为6m/s,则在下滑过程中克服阻力所做的功是多少?
2-7-11 第七节 动能和动能定理知能准备答案 1．运动，机械运动，
12
mv 2．焦耳，4484160000J 3．标量，状态量，不，不一样，地面
2
4．不一定变化 5．物体在这个过程中动能的变化，动能定理， W=Ek 2－E k 1，初动能，末动能，力做的功，合力的功 6．正，正，负，负
第七节 动能和动能定理同步检测答案
Mg (H +h )
1.B 2.B 3.D 4.B 5.BD 6.D 7.C 8.
h
9.0.8J 10.32J
第七节 动能和动能定理练习题
1. 关于速度与动能，下列说法中正确的是( A. 一个物体速度越大时，动能越大
B. 速度相等的物体，如果质量相等，那么它们的动能也相等 C. 动能相等的物体，如果质量相等那么它们的速度也相同 D. 动能越大的物体，速度也越大
2. 对于做匀速圆周运动的物体，下面说法中正确的是 (
)
)
A. 速度在改变，动能也在改变 B. 速度改变，动能不变 C. 速度不变，动能改变 D. 动能、速度都不变 3. 一质量为1.0kg 的滑块，以4m ／s 的初速度在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起一向右水平力作用于滑块，经过一段时间，滑块的速度方向变为向右，大小为4m ／s ，则在这段时间内水平力所做的功为( )
A.0
B.8J
C.16J
D.32J
4. 两物体质量之比为1:3，它们距离地面高度之比也为1:3，让它们自由下落，它们落地时的动能之比为( ) A.1:3 B.3:1 C.1:9 D.9:1
5. 在距地面15m 高处，某人将一质量为4kg 的物体以5m ／s 的速度抛出，人对物体做的功是( ) A.20J B.50J C.588J D.638J 6. 一个物体由静止沿长为L 的光滑斜面下滑当物体的速度达到末速度一半时，物体沿斜面下滑了( A.
L 4
)
B.(2-1) L C.
L 2
D.
L 2
7. 质点在恒力作用下，从静止开始做直线运动，则质点的动能( ) A. 与它通过的位移成正比 C. 与它运动的时间成正比
B. 与它通过的位移的平方成正比 D. 与它的运动的时间的平方成正比
8. 两个材料相同的物体，甲的质量大于乙的质量，以相同的初动能在同一水平面上滑 动，最后都静止，它们滑行的距离是( )
A. 乙大 B. 甲大 C. 一样大 D. 无法比较
9. 两辆汽车在同一水平路面上行驶，它们的质量之比为m 1:m2=1:2，速度之比为v 1:v2=2:1当汽车急刹车后，甲、乙两辆汽车滑行的最大距离为s 1和s 2，若两车与路面的动摩擦因数相同，且不计空气阻力，则( )
A.s 1:s2=1:2 B.S 1:S2=1:1 C.S1:S2=2:1 D.s 1
:s2=4:1
10．如图2-7-12所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 0沿水平射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v 运动. 已知当子弹相对木块静止时，木块前进距离L ，子弹进入木块的深度为s . 若木块对子弹的阻力f 视为恒定，则下列关系式中正确的是
（ ）
2-7-12
A ．fL =C ．f s =
1212
Mv
2
B ．f s =
12
mv
12
2
mv 02－
12
（M ＋m ）v 2
D ．f （L ＋s ）=
mv 02－
12
mv 2
11. 两个物体的质量分别为m 1和m 2，且m 1=4m2，当它们以相同的动能在动摩擦因数相同的水平面上运行时，它们的滑行距离之比s 1:s2和滑行时间之比t 1:t2分别为(
A.1:2,2:1 B.4:1,1:2 C.2:1,4:1 D.1:4,1:2
)
（ ）
12．跳伞运动员在刚跳离飞机、其降落伞尚未打开的一段时间内，下列说法中正确的是 A ．空气阻力做正功 B ．重力势能增加
C ．动能增加 D ．空气阻力做负功
13. 以一定的初速度竖直向上抛出一个小球，小球上升的最大高度为h ，空气阻力的大小恒为f ，则从抛出至回到原出发点的过程中，空气阻力对小球做的功为
(
)
A.0 B.-fh C.-2fh D.-4fh
14. 有两个物体其质量M 1>M2，它们初动能一样，若两物体受到不变的阻力F 1和F 2作用经过相同的时间停下，它们的位移分别为s 1和s 2，则( )
A.F 1>F2，且s 1F2，且s 1>s2
C.F 1s2
15. 质量为m 的物体从地面上方H 高处无初速释放，落在地面后出现一个深度为h 的坑，如图2-7-13所示，在此过程中( )
A. 重力对物体做功为mgH
B. 重力对物体做功为mg(H+h)
C. 外力对物体做的总功为零
D. 地面对物体的平均阻力为mg(H+h)／h
2-7-13 16. 物体与转台间的动摩擦因数为μ，与转轴间距离为R ，m 随转台由静止开始加速转动，当转速增加至某值时，m 即将在转台上相对滑动，此时起转台做匀速转动，此过程中摩擦力对m 做的功为( )
A.0 B.2πμmgR C.2μmgR D. μmgR ／2
17. 如图2-7-14所示，质量为m 的物体静放在水平光滑平台上，系在物体上的绳子跨过光滑的定滑轮由地面以速度v 0向右匀速走动的人拉着，设人从地面上且从平台的边缘开始向右行至绳和水平方向成30°角处，在此过程中人所做的功为( )
A.mv 0／2
2-7-14
2
B.mv 0
2
C.2mv 0／3
2
D.3mv 0／8
2
18. 如图2-7-15所示，一小物块初速v 1，开始由A 点沿水平面滑至B 点时速度为v 2，若该物块仍以速度v 1
从A 点沿两斜面滑动至B 点时速度为v 2’，已知斜面和水平面与物块的动摩擦因数相同，则( )
A.v 2>v2' B.v 2
C.v 2=v2’
D. 沿水平面到B 点时间与沿斜面到达B 点时间相等
2-7-15
19. 木块受水平力F 作用在水平面上由静止开始运动，前进sm 后撤去F ，木块又沿原方向前进3sm 停止，则摩擦力f=________．木块最大动能为________.
20. 质量M=500t的机车，以恒定的功率从静止出发，经过时间t=5min在水平路面上行驶了s=2.25km，速度达到了最大值v m =54km／h ，则机车的功率为________W，机车运动中受到的平均阻力为________N．
21. 如图2-7-16所示，光滑水平面上，一小球在穿过O 孔的绳子的拉力作用下沿一圆周匀速运动，当绳的拉力为F 时，圆周半径为R ，当绳的拉力增大到8F 时，小球恰可沿半径为R ／2的圆周匀速运动在上述增大拉力的过程中，绳的拉力对球做的功为________.
2-7-16
22. 有一质量为0.2kg 的物块，从长为4m ，倾角为30°光滑斜面顶端处由静止开始沿斜面滑下，斜面底端和水平面的接触处为很短的圆弧形，如图2-7-17所示. 物块和水平面间的滑动摩擦因数为0.2求：
(1)物块在水平面能滑行的距离；
(2)物块克服摩擦力所做的功．(g取10m ／s )
2-7-17
23. 如图2-7-18所示，AB 和CD 是半径为R=1m的1／4圆弧形光滑轨道，BC 为一段长2m 的水平轨道质量为2kg 的物体从轨道A 端由静止释放，若物体与水平轨道BC 间的动摩擦因数为0.1．求：
(1)物体第1次沿CD 弧形轨道可上升的最大高度；
(2)物体最终停下来的位置与B 点的距离
2-7-18
24. 如图2-7-19所示的装置中，轻绳将A 、B 相连，B 置于光滑水平面上，拉力F 使B 以1m ／s 匀速的由P 运动到Q,P 、Q 处绳与竖直方向的夹角分别为α1=37°，α2=60°. 滑轮离光滑水平面高度h=2m，已知m A =10kg，m B =20kg，不计滑轮质量和摩擦，求在此过程中拉力F 做的功(取sin37°=0.6，g 取10m ／s 2)
2-7-19
25. 人骑自行车上坡，坡长200m ，坡高10m ，人和车的质量共100kg ，人蹬车的牵引力为100N ，若在坡底时自行车的速度为10m ／s ，到坡顶时速度为4m ／s.(g取10m/s2) 求：
(1)上坡过程中人克服阻力做多少功?
(2)人若不蹬车，以10m ／s 的初速度冲上坡，能在坡上行驶多远?
2
26. “水刀”是将普通的水加压，使其从口径为0.2mm 的喷嘴中以800m ／s-1000m ／s 的速度射出的水射流，
33它可以切割软质材料. 试求水射流的最大切割功率为多少瓦?(水的密度为1.0×10kg ／m , π取3.14)
27. 质量m ＝1kg 的物体，在水平拉力F 的作用下，沿粗糙水平面运动，经过位移4m 时，拉力F 停止作用，运动到位移是8m 时物体停止，运动过程中E k －S 的图线如图2-7-20所示。求：
（1）物体的初速度多大？
（2）物体和平面间的摩擦系数为多大？（g 取10m /s 2）
（3）拉力F 的大小。
2-7-20
28．(1999年广东高考题)(1)试在下列简化情况下，从牛顿定律出发，导出动能定理的表达式：物体为质点，作用力是恒力，运动轨迹为直线，要求写出每个符号及所得结果中每项的意义．(2)如图2-7-21所示，一弹簧振子，物块的质量为m ，它与水平桌面间的动摩擦因数为μ．起初，用手按住物块，物块的速度为零，弹簧的伸长量为x ．然后放手，当弹簧的长度回到原长时，物块的速度为v ．试用动能定理求此过程中弹力所做的功．
29 总质量为M 的列车沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢的质量为m ，中途脱节。司机发现时，机车已行驶了距离l ，于是立即关闭油门，除去牵引力。设列车运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们间的距离是多少？
30． 质量为M 、长度为d 的木块，放在光滑的水平面上，在木块右边有一个销钉把木块挡住，使木块不能向右滑动。质量为m 的子弹以水平速度V 0射入木块，刚好能将木块射穿。现在拔去销钉，使木块能在水平面上自由滑动，而子弹仍以水平速度V 0射入静止的木块。设子弹在木块中受阻力恒定。
求：（1）子弹射入木块的深度
（2）从子弹开始进入木块到与木块相对静止的过程中，木块
的位移是多大？
2-7-22
11
2-7-21
第七节 动能和动能定理练习题答案
1．AB 2．B 3．A 4．C 5．B 6．A 7．AD 8．A 9．D 10．ACD 11．D 12．CD 13．C 14．A 15．BCD
16．D 17．D 18．C 19． 1
4F ; 3
4F s 20． 3.75×10;2.5×1054 21．FR 22．10m ，4J 23
23． (1)0.8m(2)离B2m 24．151.95J 25． (1)14200J(2)41.3m 26．15.7Kw 27．2m/s ,0.25 , 4.5N 28．W 弹=12mv 2+μmgx 29．∆s =s M -s m =M M -m （1） X ＝ Md/（M ＋m ） （2） S 2＝l 30．Mmd
(M +m ) 2
12