复数相乘≠对应的向量相乘
甘志国(该文已发表 中学数学(高中)2011(7)：10-11)
高考题 (2010·浙江·理·5) 对任意复数z =x +yi (x , y ∈R ) ，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A. z -z =2y B. z 2=x 2+y 2 C. z -z ≥2x D. z ≤x +y 笔者在教学中，发现有不少学生是这样解答的：
B. 设点O 是坐标原点，在复平面上点Z 的坐标是(x , y ) ，则复数z 对应的平面向量是(以下说“复数z 与平面向量一一对应”时，对应法则就是这样的).
所以z ==22=(x 2+y 2) 2=x 2+y 2.
而正确答案是D(读者也容易理解该答案正确无疑). 那么，以上解法错在哪里呢？ 我们知道，复数z 与平面向量是一一对应的，且两个复数相加减就是把它们对应的平面向量相加减. 能否把此法则类比到复数的乘法中去呢？即能否有“因为复数z 与平面向量是一一对应的，所以两个复数相乘就是把它们对应的平面向量相乘”？
从这道高考题的解法来看，显然不能这样类比！即一一对应与互相代换还是两回事. 比如，复数z 与平面向量OZ 是一一对应的，在进行复数加减法时，可以把复数z 与平面向量互相代换；在进行复数乘法时，一般来说，不能把复数z 与平面向量互相代换；在进行复数除法时，一定不能把复数z 与平面向量互相代换，因为复数之间有除法而平面向量之间没有定义除法.
根据复数的三角形式的乘法法则，可以给出复数的乘法与这两个复数对应的向量之间的联系(即复数乘法的几何意义，见高级中学课本《代数·下册(必修) 》(人民教育出版社，1990)(下简称《代数(下册) 》) 第204页) ，但绝对不是“两个复数相乘就是把它们对应的复数相乘”这么简单.
普通高中课程标准实验教科书(俗称新课标教材) 《数学·选修1-2·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《选修1-2》) 第56-57页“3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义”一节中写道：
我们规定，复数的加法法则如下：
设z 1=a +bi , z 2=c +di 是任意两个复数，那么
(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.
„„
探究 复数与复平面内的向量有一一对应关系. 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 设OZ 1, OZ 2分别与复数a +bi , c +di 对应，则OZ 1=(a , b ), OZ 2=(c , d ) . 由平面向量的坐标运算，得
OZ 1+OZ 2=(a +c , b +d ) 这说明两个向量OZ 1与OZ 2的和就是与复数(a +c ) +(b +d ) i 对应的向量. 因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行(图1) ，这是复数加法的几何意义
.
图1
与《选修1-2》配套使用的《教师教学用书》第60页也写道：“复数加法的几何意义，就是复数的加法可以按照向量的加法来进行，在学习了平面向量的知识后，这是容易被学生接受的. 教学中应让学生把复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程作出探究. ”
《数学·选修2-2·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) 及与之配套使用的《教师教学用书》也有以上叙述.
笔者认为，以上叙述想阐明的观点就是：因为复数z 与平面向量是OZ 是一一对应的，所以两个复数相加减，就是把它们对应的平面向量相加减.
这也是不妥的，应当对“两个复数相加减=它们对应的平面向量相加减”予以严格证明. 早年的教科书《代数(下册) 》第188-189页就是这样证明的：
复数用向量来表示，如果与这些复数对应的向量不在同一直线上，那么这些复数的加法就可以按照向量加法的平行四边形法则来进行. 下面我们来证明这个事实
.
图2 设OZ 1, OZ 2分别与复数a +bi 及c +di 对应，且OZ 1, OZ 2不在同一直线上(图2) ，以OZ 1及OZ 2为两条邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，画x 轴的垂线PZ 1, QZ 2及RZ ，并且画
Z 1S ⊥RZ . 容易证明
∆ZZ 1S ≅Z 2OQ
并且四边形Z 1PRS 是矩形，因此
OR =OP +PR =OP +Z 1S =OP +OQ =a +c
RZ =RS +SZ =PZ 1+QZ 2=b +d
于是，点Z 的坐标是(a +c , b +d ) ，这说明就是与复数(a +c ) +(b +d ) i 对应的向量. 由此可知，求两个复数的和，可以先画出与这两个复数对应的向量OZ 1, OZ 2，如果OZ 1, OZ 2不在同一直线上，再以这两个向量为两条邻边画平行四边形，那么与这个平行四边形的对角线OZ 所表示的向量对应的复数，就是所求两个复数的和. 如果OZ 1, OZ 2在同一直线上，我们可以画出一个“压扁”了的平行四边形，并据此画出它的对角线来表示OZ 1, OZ 2的和.
总之，复数的加法可以按照向量的加法法则来进行，这是复数加法的几何意义. 虽然《代数(下册) 》对于“OZ 1, OZ 2不在同一直线上”的情形也只证明了a , b , c , d ∈R +的情形(其他情形均可类似证出) ，但是这种处理方法才是严谨的，而新课标教材对这部分的处理是有瑕疵的，容易产生“若一一对应，则可互相代换”的误导.
新课标教材《数学·必修4·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) 第12页、全日制普通高级中学教科书(必修)(俗称大纲教材) 《数学·第一册(下) 》(2006年人民教育出版社) 第17页及高级中学课本《代数·上册(必修) 》(人民教育出版社，1990) 第134页中均有这样的叙述：“由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数. ”笔者认为，这也犯了“若一一对应，则可互相代换”的错误. 笔者在《中学数学杂志》2010年第3期第13-17页发表的文章《对人教版教科书的几点建议》的第6节中就指出了这种错误：
因为sin 2是2弧度的正弦值，是一个实数；而cos(sin2) 要有意义的话, sin 2必须是角的大小. 所以，cos(sin2) 无意义！
笔者认为《必修4》第12页例1上方写的“由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数”也没道理：当α是实数时，sin α没有意义；只有当α表示角的大小时，sin α才有意义. 决不能说“由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数就可以看成以实数为自变量的函数”，只能求角的三角函数(角的单位是弧度时可以省略不写，形式上变成了一个实数，但仍然表示的是多少弧度，
绝不是实数) ，不能求实数的三角函数.
复数相乘≠对应的向量相乘
甘志国(该文已发表 中学数学(高中)2011(7)：10-11)
高考题 (2010·浙江·理·5) 对任意复数z =x +yi (x , y ∈R ) ，i 为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A. z -z =2y B. z 2=x 2+y 2 C. z -z ≥2x D. z ≤x +y 笔者在教学中，发现有不少学生是这样解答的：
B. 设点O 是坐标原点，在复平面上点Z 的坐标是(x , y ) ，则复数z 对应的平面向量是(以下说“复数z 与平面向量一一对应”时，对应法则就是这样的).
所以z ==22=(x 2+y 2) 2=x 2+y 2.
而正确答案是D(读者也容易理解该答案正确无疑). 那么，以上解法错在哪里呢？ 我们知道，复数z 与平面向量是一一对应的，且两个复数相加减就是把它们对应的平面向量相加减. 能否把此法则类比到复数的乘法中去呢？即能否有“因为复数z 与平面向量是一一对应的，所以两个复数相乘就是把它们对应的平面向量相乘”？
从这道高考题的解法来看，显然不能这样类比！即一一对应与互相代换还是两回事. 比如，复数z 与平面向量OZ 是一一对应的，在进行复数加减法时，可以把复数z 与平面向量互相代换；在进行复数乘法时，一般来说，不能把复数z 与平面向量互相代换；在进行复数除法时，一定不能把复数z 与平面向量互相代换，因为复数之间有除法而平面向量之间没有定义除法.
根据复数的三角形式的乘法法则，可以给出复数的乘法与这两个复数对应的向量之间的联系(即复数乘法的几何意义，见高级中学课本《代数·下册(必修) 》(人民教育出版社，1990)(下简称《代数(下册) 》) 第204页) ，但绝对不是“两个复数相乘就是把它们对应的复数相乘”这么简单.
普通高中课程标准实验教科书(俗称新课标教材) 《数学·选修1-2·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版)(下简称《选修1-2》) 第56-57页“3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义”一节中写道：
我们规定，复数的加法法则如下：
设z 1=a +bi , z 2=c +di 是任意两个复数，那么
(a +bi ) +(c +di ) =(a +c ) +(b +d ) i
很明显，两个复数的和仍然是一个确定的复数.
„„
探究 复数与复平面内的向量有一一对应关系. 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 设OZ 1, OZ 2分别与复数a +bi , c +di 对应，则OZ 1=(a , b ), OZ 2=(c , d ) . 由平面向量的坐标运算，得
OZ 1+OZ 2=(a +c , b +d ) 这说明两个向量OZ 1与OZ 2的和就是与复数(a +c ) +(b +d ) i 对应的向量. 因此，复数的加法可以按照向量的加法来进行(图1) ，这是复数加法的几何意义
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图1
与《选修1-2》配套使用的《教师教学用书》第60页也写道：“复数加法的几何意义，就是复数的加法可以按照向量的加法来进行，在学习了平面向量的知识后，这是容易被学生接受的. 教学中应让学生把复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程作出探究. ”
《数学·选修2-2·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) 及与之配套使用的《教师教学用书》也有以上叙述.
笔者认为，以上叙述想阐明的观点就是：因为复数z 与平面向量是OZ 是一一对应的，所以两个复数相加减，就是把它们对应的平面向量相加减.
这也是不妥的，应当对“两个复数相加减=它们对应的平面向量相加减”予以严格证明. 早年的教科书《代数(下册) 》第188-189页就是这样证明的：
复数用向量来表示，如果与这些复数对应的向量不在同一直线上，那么这些复数的加法就可以按照向量加法的平行四边形法则来进行. 下面我们来证明这个事实
.
图2 设OZ 1, OZ 2分别与复数a +bi 及c +di 对应，且OZ 1, OZ 2不在同一直线上(图2) ，以OZ 1及OZ 2为两条邻边画平行四边形OZ 1ZZ 2，画x 轴的垂线PZ 1, QZ 2及RZ ，并且画
Z 1S ⊥RZ . 容易证明
∆ZZ 1S ≅Z 2OQ
并且四边形Z 1PRS 是矩形，因此
OR =OP +PR =OP +Z 1S =OP +OQ =a +c
RZ =RS +SZ =PZ 1+QZ 2=b +d
于是，点Z 的坐标是(a +c , b +d ) ，这说明就是与复数(a +c ) +(b +d ) i 对应的向量. 由此可知，求两个复数的和，可以先画出与这两个复数对应的向量OZ 1, OZ 2，如果OZ 1, OZ 2不在同一直线上，再以这两个向量为两条邻边画平行四边形，那么与这个平行四边形的对角线OZ 所表示的向量对应的复数，就是所求两个复数的和. 如果OZ 1, OZ 2在同一直线上，我们可以画出一个“压扁”了的平行四边形，并据此画出它的对角线来表示OZ 1, OZ 2的和.
总之，复数的加法可以按照向量的加法法则来进行，这是复数加法的几何意义. 虽然《代数(下册) 》对于“OZ 1, OZ 2不在同一直线上”的情形也只证明了a , b , c , d ∈R +的情形(其他情形均可类似证出) ，但是这种处理方法才是严谨的，而新课标教材对这部分的处理是有瑕疵的，容易产生“若一一对应，则可互相代换”的误导.
新课标教材《数学·必修4·A 版》(人民教育出版社，2007年第2版) 第12页、全日制普通高级中学教科书(必修)(俗称大纲教材) 《数学·第一册(下) 》(2006年人民教育出版社) 第17页及高级中学课本《代数·上册(必修) 》(人民教育出版社，1990) 第134页中均有这样的叙述：“由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数. ”笔者认为，这也犯了“若一一对应，则可互相代换”的错误. 笔者在《中学数学杂志》2010年第3期第13-17页发表的文章《对人教版教科书的几点建议》的第6节中就指出了这种错误：
因为sin 2是2弧度的正弦值，是一个实数；而cos(sin2) 要有意义的话, sin 2必须是角的大小. 所以，cos(sin2) 无意义！
笔者认为《必修4》第12页例1上方写的“由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是自变量为实数的函数”也没道理：当α是实数时，sin α没有意义；只有当α表示角的大小时，sin α才有意义. 决不能说“由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，三角函数就可以看成以实数为自变量的函数”，只能求角的三角函数(角的单位是弧度时可以省略不写，形式上变成了一个实数，但仍然表示的是多少弧度，
绝不是实数) ，不能求实数的三角函数.