这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。
这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的声音波形是时域表达，而他的钢琴谱则是频域表达。
三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的计算成本。
另外，在通信领域，没有信号的频域分析，将很难在时域理解一个信号。因为通信领域中经常需要用频率划分信道，所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。
具体三种变换的分析（应该是四种）是这样的：
傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。
但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。（主要用于计算微分方程）
而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。（主要用于计算差分方程）
从复平面来说，傅里叶分析直注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变为一个圆环。（不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。）
曾经和同学上课时深入探讨过此问题，占坑，有空再来回答！！
我来说些不一样的东西吧。
我假定楼主对这些变换已有一些了解，至少知道这些变换怎么算。好了，接下来我将从几个不同的角度来阐述这些变换。
一个信号，通常用一个时间的函数
来表示，这样简单直观，因为它的函数图像可以看做信号的波形，比如声波和水波等等。很多时候，对信号的处理是很特殊的，比如说线性电路会将输入的正弦信号处理后，输出仍然是正弦信号，只是幅度和相位有一个变化（实际上从数学上看是因为指数函数是线性微分方程的特征函数，就好像矩阵的特征向量一样，而这个复幅度对应特征值）。因此，如果我们将信号全部分解成正弦信号的线性组合（傅里叶变换）
，那么就可以用一个传递函数
来描述这个线性系统。倘若这个信号很特殊，例如
，傅里叶变换在数学上不存在，这个时候就引入拉普拉斯变换来解决这个问题
。这样一个线性系统都可以用一个传递函数
来表示。所以，从这里可以看到将信号分解为正弦函数（傅里叶变换）或者 复指数函数（拉普拉斯变换）对分析线性系统至关重要。
如果只关心信号本身，不关心系统，这几个变换的关系可以通过这样一个过程联系起来。
首先需要明确一个观点，不管使用时域还是频域（或s域）来表示一个信号，他们表示的都是同一个信号！关于这一点，你可以从线性空间的角度理解。同一个信号，如果采用不同的坐标框架（或者说基向量），那么他们的坐标就不同。例如，采用
作为坐标，那么信号就可以表示为
，而采用
则表示为傅里叶变换的形式
。线性代数里面讲过，两个不同坐标框架下，同一个向量的坐标可以通过一个线性变换联系起来，如果是有限维的空间，则可以表示为一个矩阵，在这里是无限维，这个线性变换就是傅里叶变换。
如果我们将拉普拉斯的
域画出来，他是一个复平面，拉普拉斯变换
是这个复平面上的一个复变函数。而这个函数沿虚轴
的值
就是傅里叶变换。到现在，对信号的形式还没有多少假定，如果信号是带宽受限信号，也就是说
只在一个小范围内（如
）不为0。
根据采样定理，可以对时域采样，只要采样的频率足够高，就可以无失真地将信号还原出来。那么采样对信号的影响是什么呢？从s平面来看，时域的采样将
沿虚轴方向作周期延拓！这个性质从数学上可以很容易验证。
z变换可以看做拉普拉斯变换的一种特殊形式，即做了一个代换
，T是采样的周期。这个变换将信号从s域变换到z域。请记住前面说的那个观点，s域和z域表示的是同一个信号，即采样完了之后的信号。只有采样才会改变信号本身！从复平面上来看，这个变换将与
轴平行的条带变换到z平面的一个单叶分支
。你会看到前面采样导致的周期延拓产生的条带重叠在一起了，因为具有周期性，所以z域不同的分支的函数值
是相同的。换句话说，如果没有采样，直接进行z变换，将会得到一个多值的复变函数！所以一般只对采样完了后的信号做z变换！
这里讲了时域的采样，时域采样后，信号只有
间的频谱，即最高频率只有采样频率一半，但是要记录这样一个信号，仍然需要无限大的存储空间，可以进一步对频域进行采样。如果时间有限（这与频率受限互相矛盾）的信号，那么通过频域采样（时域做周期扩展）可以不失真地从采样的信号中恢复原始信号。并且信号长度是有限的，这就是离散傅里叶变换(DFT)，它有著名的快速算法快速傅里叶变换(FFT)。为什么我要说DFT呢，因为计算机要有效地对一般的信号做傅里叶变换，都是用DFT来实现的。除非信号具有简单的解析表达式！
总结起来说，就是对于一个线性系统，输入输出是线性关系的，不论是线性电路还是光路，只要可以用一个线性方程或线性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）来描述的系统，都可以通过傅里叶分析从频域来分析这个系统的特性，比单纯从时域分析要强大得多！两个著名的应用例子就是线性电路和傅里叶光学（信息光学）。甚至非线性系统，也在很多情况里面使用线性系统的东西！所以傅里叶变换才这么重要！你看最早傅里叶最早也是为了求解热传导方程（那里其实也可以看做一个线性系统）！
傅里叶变换的思想还在不同领域有很多演变，比如在信号处理中的小波变换，它也是采用一组基函数来表达信号，只不过克服了傅里叶变换不能同时做时频分析的问题。
最后，我从纯数学的角度说一下傅里叶变化到底是什么。还记得线性代数中的代数方程
吗？如果A是对称方阵，可以找到矩阵A的所有互相正交的特征向量
和特征值
，然后将向量x和b表示成特征向量的组合
。由于特征向量的正交关系，矩阵的代数方程可以化为n个标量代数方程
，是不是很神奇！！你会问这跟傅里叶变换有毛关系啊？别急，再看非齐次线性常微分方程
，可以验证指数函数
是他的特征函数，如果把方程改写为算子表示
，那么有
，这是不是和线性方程的特征向量特征值很像。把y 和 z都表示为指数函数的线性组合，那么经过这种变换之后，常微分方程变为标量代数方程了！！而将y和z表示成指数函数的线性组合的过程就是傅里叶变换（或拉普拉斯变换）。在偏微分方程如波动方程中也有类似结论！这是我在上数理方程课程的时候体会到的。归纳起来，就是说傅里叶变换就是线性空间中的一个特殊的正交变换！他之所以特殊是因为指数函数是微分算子的特征函数！
编辑于 2015-01-0916 条评论感谢
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孤鸿影，To remember, to let go, to move on.
少年亚瑟、猫小冷、段晨
第一个问题，为什么要进行着三种变换。（理解这一点很关键）
三种变化均是将原先在时域表示的信号变换到频域进行表示，在频率域分析信号的特征。当信号变换到频域后，就会出现很多时域中无法直接观察到的现象。
（图片来源：时域频域_百度百科）
第二个问题：三种变化的关系
之前说了三种变换都是讲原先在时域中表示的信号，变换到频域中表示。但是根据傅里叶变化的定义，只能对能量有限的信号进行变换（也就是可以收敛的信号），无法对能量无限的信号进行变换（无法收敛的），所以就出现了拉氏变换，在原先的傅里叶变换公式中乘以一个衰减因子，使得能量无限的信号也能进行时频变换。
Z变换就是离散信号的拉氏变换。
第三个问题：研究的什么？
还是之前说的研究的就是信号的时频变换。拉氏变换和Z变换都是傅里叶变换的延伸。
一点都不夸张的说，没有傅里叶变换就没有现代通信技术，进一步说就没有现代文明！
作为一个通信专业的学生，这三种变换是基础的基础，建议题主不要想太多，先把基础理论学扎实。
编辑于 2016-03-184 条评论感谢
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卷毛，艺术与科学二者不可偏废
真正的赵小妖、段晨、李轩昊
一切的变换的意义，都是为了能在数学上面表达一个波的形状到底是什么。一开始我们可以用一个冲激函数以时间的顺序排成一排，再每个乘以各自的系数（线性组合），就能得到纸面上一个波的形状。后来，伟大的傅里叶同学发现，不仅使冲激函数，用复指数信号叠加之后乘上各自的系数，也可以表达几乎所有的波的波形。而且！用复指数信号表达的输出计算方式比卷积有规律很多，而这个规律可以从频域上面看出来。这个发现，使得信号的变换进步了一大步。
周期信号可以用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里叶变换表示。这个再展开讲就偏题了。奉上以前的傅里叶公式笔记一张(*^__^*)
拉普拉斯变换：傅里叶变换对信号的要求比较高，适应于本身衰减得快的信号。为了扩大傅里叶变换的应用范围，使其能用于更多不稳定系统的分析，人们在计算过程中人为的添上一个负指数函数作为系数，让一些不衰减的信号更快衰减，方便换算。这就是拉布拉斯变换的由来。拉普拉斯变换用于连续信号。
拉布拉斯变换：
其中
。
把
带回公式可得
跟傅里叶变换的公式对比起来看，是不是只差了个系数？
因为变换要收敛才有意义，所以收敛域讨论的是让
积分之后有意义。这个稍微涉及了一点微积分的知识。最后的答案在直角坐标系看，分界线平行于Y轴。
Z变换：和拉普拉斯变换的目的类似，把离散时间傅里叶变换公式的
替换成为z，再乘以一个加权系数表示z的模（通常等于1），就进化成了z变换。z变换用于离散信号。
z变换：
其中
带进去就可以还原了。
同样，Z变换的收敛域是要让算出的值有意义，通过等比公式展开之后可以看到，需要z小于或者大于某个值才可以，用极坐标来看，就是个圆域。
这个就是我以最通俗的方法理解的变换.
编辑于 2015-01-017 条评论感谢
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解文豪
赵汉卿、小小的寂寞、XDer
这是傅里叶变换的错过这篇文章，可能你这辈子不懂什么叫傅里叶变换了（一）
，如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧（二） - 与时间无关的故事 - 知乎专栏看完了再不懂，先把作者掐死再找块豆腐把自己撞死吧
编辑于 2014-05-297 条评论感谢
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Wang Xu，在北邮虚度几年光荫，曾就职于中国移动研…
知乎用户、dj是我的名字、Terry Zhang
补充一下，对于通信专业，傅里叶变换是最重要的变换，代表了时域和频域的转换，4G通信系统中使用的OFDM，甚至会直接将一组信息直接放到频率上一组正交的频点上，然后IFFT变换到时域，再发送出去，而不是单独把信号调制到每个频点上，接收时再FFT回到频域。
发布于 2013-11-224 条评论感谢
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Bei YangMan
何昊、许鹏、王守进
我从 历史 变换思想的出发点 以及用途 谈谈我的看法
首先，可以把 拉普拉斯变换和z 变换（生成函数）视为一体，两者都是拉普拉斯提出的。
拉普拉斯作为傅立叶的导师，并不认同复立叶提出的 复立叶变换，直到拉普拉斯去世，傅立叶才正式发表，直到柯西提出了关于极限的严格收敛条件，傅立叶才放心大胆使用它的理论。
从历史的角度来讲，傅立叶变换出现在拉普拉斯变换之后，从形式上说，他们是类似的，但是出发点是不相同的。
拉普拉斯变换：拉普拉斯变换的基本思想其实是源于函数的幂级数分解。
对于微分方程，或者线性系统的分析，拉普拉斯变换（z变换）都是单边的。
z变换（生成函数）一定程度上可以视为是函数幂级数展开的逆运算，也就是已知系数，求原函数，它是一个累加的形式。当把累加形式变成积分形式，就有了拉普拉斯变换。这是一个自然的过程， 这是也历史，当然最初的形式和信号分析中的形式也有区别。在信号处理中，则通常是先引入对信号的拉普拉斯变换，然后对此信号采样后再进行拉普拉斯变换，得到z变换。很多书本直接给出拉普拉斯变换的形式，其实应该有一些过渡。
傅立叶变换：傅立叶变换的基本思想源于正交分解。
傅立叶变换一生下来就是双边的。
如果说Laplace是从幂级数展开的思想发展出来的拉普拉斯变换，那么傅立叶更加有针对性地研究周期信号的三角级数展开（或者说是分解）。 从线性空间的角度来看，这是在使用不同基对信号进行分解。
应用：
拉普拉斯变换更多的是针对系统的分析和处理，主要是微分方程（差分方程），冲击响应，传递函数，零点极点和频率响应，稳定性分析。很多书，在讲解复立叶变换时，也把诸如微分方程，传递函数塞进去，包括奥本海姆的书，原则上说没什么问题，但是对于系统的分析，滤波器设计，SD modulator分析，开环闭环稳定性分析，通常还是使用拉普拉斯变换或z变换。
傅立叶变换更多的是针对信号的分析和处理，主要是频谱分析。
发布于 2015-05-241 条评论感谢
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刘牧之，在成为很厉害很厉害很厉害的路上～
知乎用户、杜渺、知乎用户
傅立叶级数：针对周期信号提出。本质在于一个周期信号可以表示成正弦信号的叠加。
傅立叶变换：推倒过程来源于傅立叶级数。
周期信号和非周期信号都存在傅立叶变换。
拉普拉斯变换：只谈物理意义，一个增幅信号可以表示成增幅正弦信号的叠加。一个减幅信号可以表示成减幅正弦信号的叠加。
Z变换：针对离散信号提出。物理意义同拉普拉斯变换。
编辑于 2014-10-314 条评论感谢
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Signalwolf，坐标圣地亚哥求玩耍
胡晓涛、小白、卡酷啦
简单来说，傅里叶变换是将时域的信号变成频域。但是为什么我们需要呢？而所谓的频域是什么呢？
其实，所谓的傅里叶变换无非是用一个固定频率的正弦波来表示任意一个波。相信你肯定了解时域，因为他就是我们看到的最简单的二维世界。一个不断舞动的波，就好像飘扬的旗子一样。我们很明显的看到了它的舞动的大小（振幅），那么其实它还有另一个性质，那就是频率，对于固定周期的波，那么我们可以肯定在下一个周期的同一点一定会重现在同一个位置。而这个时间就是它的频率，那么非周期性的波呢？我们发现任何非周期性的波都可以用不同周期性的波相加后来表示（除了矩形波和三角波），那么多少个波呢？每个波的周期又是多少呢？
傅里叶变换/级数就是数学上的对时域信号的展开，但是因为它是有限个周期波的展开，也就是有限个不同频率的波的叠加。有些人就称之为频域，这其实就是人创造的说法，其实是频域还是什么有什么关系，无非就是用一些信号的叠加罢了。
当然，一些天才随后又发明了码这种东西，又创造了码域成功的增加了吞吐量，试想在时域上加了一个频域我们就创造出了OFDM这种高容量的算法，那么进一步优化的CDMA创造出的三维容量将会增大多少呢？
发布于 2014-06-171 条评论感谢
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狗爷职业wan，..。。
帅气的小衔君赞同
前两个是在连续域内，Z变换是在离散域。
发布于 2014-04-26添加评论感谢
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知乎用户，高级电声工程师
空即是色、舒Sugar、新月
所有的变换，都是从一个鸟域，变换到另一个鸟域。变换的方式和意义都是人为定义的。
发布于 2014-07-233 条评论感谢
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童子天，Electrical engineering
何昊、王政、ddk confused
看了上面 各位的解释，我个人的观点是，好的解答一定要 短而且言简意赅，舍去一些具体的专业知识，即使是一个门外汉也能看懂你的描述。
对于别的两种变幻我的了解程度不够，对于laplace transformation我的经验以及知识，还是可以说道说道的。为森么这个很重要，首先这是一种工具，没有这个工具，可能很多复杂的电路都是没有办法解答的。简单电路我们用的解决方法就是结合基尔霍夫方程，用modified nodal anaglysis 去分析，简单来说，就是 每一个电路中的分叉口我们都可以假设 电压，然后分析电流在这个点的公式，那么一个简单的lr circuit 就可以 写成这个样子：?u + L＊i' + ri = 0，如果你学习过基础的微分方程，这个当然就有很多种解法，其中一种就是laplace transformation。当然，个人而言，如果代数学的不是很好，大部分人还是喜欢用variation of parameter 或者 Wrońskian determinant。因为后者只需要一个计算器，就可以了 并不需要复杂的代数变幻。
那么问题来了，为什么需要发明这个laplace呢？我找到了一段话很好的描述了这个问题：
The purpose of the Laplace Transform is to transform ordinary differential equations (ODEs) into algebraic equations, which makes it easier to solve ODEs.（来源于：What exactly is Laplace transform?）
同样的，当一个复杂的微分方程出现的时候，如果我们可以用基本代数一样的方法，就会轻松很多很多，这就是为什么电子工程需要学习和使用laplace的原因。
现在科学很多都不是建立在现象之上了，很多都是建立在对于定义的解剖和使用上，电路分析也是一样，我们需要摆脱这个传统的电路观念，用非微分方程的思维模式，比如说比拟的方式去思考，我们更应该从电学的效应本质去思考，不如说，i＝c（dv／dt），在我们想要运用电容的时候。
希望我的回答可以解决你的疑惑，也希望你能为你的专业感到一种责任，工程师的责任。
编辑于 2016-02-21添加评论感谢
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黑老猫，EE工程师，独立游戏人，做点小生意
loong wong、舒Sugar、知乎用户赞同
变换的本质是从另一个维度去刻画信号，从而更方便描述信号特性和进行工程实现。
发布于 2014-08-18添加评论感谢
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知乎用户
姚舒敏、[已重置]、Jeez赞同
傅立叶变换从频域（jω）去看信号，也就是把频率和振幅投射到不同ω正交正弦波上，这样就可以用不同ω正弦波求和，正弦余弦也可以转化成虚指数幂次再求和，这样就划到jω；
拉普拉斯变换可以把一些不能用傅立叶变换的连续信号来进行变换，用s=σ+jω作为复频，它的描述能力就比傅立叶变换强一些，值得说明的是，当收敛域包含jω虚轴时，在虚轴上令σ=0，则s=jω，此时拉氏变换就是傅立叶变换；
Z变换关注的是离散信号，引入时候与拉氏变换结合，在连续信号上取样，得到离散信号，令e^(sT)=z，这样就把信号虚轴投射到了一个圆环上面。
发布于 2014-04-24添加评论感谢
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桂能，刘涛粉
黄思行、知乎用户赞同
频域是用来度量不变的，本质上我们需要的是获取一些不变的东西，只有不变的才是信号
发布于 2015-10-13添加评论感谢
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王昌旭，学生
徐晖赞同
我是计科学生，图像处理经常用FFT或wavelet，音频处理基本就是FFT
发布于 2016-04-05添加评论感谢
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匿名用户
知乎用户赞同
将人的思维转化为机器思维的一个途径，时域变频域，倒是可以感觉成一分二，二分四，四到无穷，这些分好的小块要叠加到一起组成原来的函数或者物体当然要越多越好，最好不要漏，当然信号与系统和通原里面的都是由此思想变来的
这三种变换都非常重要！任何理工学科都不可避免需要这些变换。
这三种变换的本质是将信号从时域转换为频域。傅里叶变换的出现颠覆了人类对世界的认知：世界不仅可以看作虽时间的变化，也可以看做各种频率不同加权的组合。举个不太恰当的例子：一首钢琴曲的声音波形是时域表达，而他的钢琴谱则是频域表达。
三种变换由于可以将微分方程或者差分方程转化为多项式方程，所以大大降低了微分（差分）方程的计算成本。
另外，在通信领域，没有信号的频域分析，将很难在时域理解一个信号。因为通信领域中经常需要用频率划分信道，所以一个信号的频域特性要比时域特性重要的多。
具体三种变换的分析（应该是四种）是这样的：
傅里叶分析包含傅里叶级数与傅里叶变换。傅里叶级数用于对周期信号转换，傅里叶变换用于对非周期信号转换。
但是对于不收敛信号，傅里叶变换无能为力，只能借助拉普拉斯变换。（主要用于计算微分方程）
而z变换则可以算作离散的拉普拉斯变换。（主要用于计算差分方程）
从复平面来说，傅里叶分析直注意虚数部分，拉普拉斯变换则关注全部复平面，而z变换则是将拉普拉斯的复平面投影到z平面，将虚轴变为一个圆环。（不恰当的比方就是那种一幅画只能通过在固定位置放一个金属棒，从金属棒反光才能看清这幅画的人物那种感觉。）
曾经和同学上课时深入探讨过此问题，占坑，有空再来回答！！
我来说些不一样的东西吧。
我假定楼主对这些变换已有一些了解，至少知道这些变换怎么算。好了，接下来我将从几个不同的角度来阐述这些变换。
一个信号，通常用一个时间的函数
来表示，这样简单直观，因为它的函数图像可以看做信号的波形，比如声波和水波等等。很多时候，对信号的处理是很特殊的，比如说线性电路会将输入的正弦信号处理后，输出仍然是正弦信号，只是幅度和相位有一个变化（实际上从数学上看是因为指数函数是线性微分方程的特征函数，就好像矩阵的特征向量一样，而这个复幅度对应特征值）。因此，如果我们将信号全部分解成正弦信号的线性组合（傅里叶变换）
，那么就可以用一个传递函数
来描述这个线性系统。倘若这个信号很特殊，例如
，傅里叶变换在数学上不存在，这个时候就引入拉普拉斯变换来解决这个问题
。这样一个线性系统都可以用一个传递函数
来表示。所以，从这里可以看到将信号分解为正弦函数（傅里叶变换）或者 复指数函数（拉普拉斯变换）对分析线性系统至关重要。
如果只关心信号本身，不关心系统，这几个变换的关系可以通过这样一个过程联系起来。
首先需要明确一个观点，不管使用时域还是频域（或s域）来表示一个信号，他们表示的都是同一个信号！关于这一点，你可以从线性空间的角度理解。同一个信号，如果采用不同的坐标框架（或者说基向量），那么他们的坐标就不同。例如，采用
作为坐标，那么信号就可以表示为
，而采用
则表示为傅里叶变换的形式
。线性代数里面讲过，两个不同坐标框架下，同一个向量的坐标可以通过一个线性变换联系起来，如果是有限维的空间，则可以表示为一个矩阵，在这里是无限维，这个线性变换就是傅里叶变换。
如果我们将拉普拉斯的
域画出来，他是一个复平面，拉普拉斯变换
是这个复平面上的一个复变函数。而这个函数沿虚轴
的值
就是傅里叶变换。到现在，对信号的形式还没有多少假定，如果信号是带宽受限信号，也就是说
只在一个小范围内（如
）不为0。
根据采样定理，可以对时域采样，只要采样的频率足够高，就可以无失真地将信号还原出来。那么采样对信号的影响是什么呢？从s平面来看，时域的采样将
沿虚轴方向作周期延拓！这个性质从数学上可以很容易验证。
z变换可以看做拉普拉斯变换的一种特殊形式，即做了一个代换
，T是采样的周期。这个变换将信号从s域变换到z域。请记住前面说的那个观点，s域和z域表示的是同一个信号，即采样完了之后的信号。只有采样才会改变信号本身！从复平面上来看，这个变换将与
轴平行的条带变换到z平面的一个单叶分支
。你会看到前面采样导致的周期延拓产生的条带重叠在一起了，因为具有周期性，所以z域不同的分支的函数值
是相同的。换句话说，如果没有采样，直接进行z变换，将会得到一个多值的复变函数！所以一般只对采样完了后的信号做z变换！
这里讲了时域的采样，时域采样后，信号只有
间的频谱，即最高频率只有采样频率一半，但是要记录这样一个信号，仍然需要无限大的存储空间，可以进一步对频域进行采样。如果时间有限（这与频率受限互相矛盾）的信号，那么通过频域采样（时域做周期扩展）可以不失真地从采样的信号中恢复原始信号。并且信号长度是有限的，这就是离散傅里叶变换(DFT)，它有著名的快速算法快速傅里叶变换(FFT)。为什么我要说DFT呢，因为计算机要有效地对一般的信号做傅里叶变换，都是用DFT来实现的。除非信号具有简单的解析表达式！
总结起来说，就是对于一个线性系统，输入输出是线性关系的，不论是线性电路还是光路，只要可以用一个线性方程或线性微分方程（如拉普拉斯方程、泊松方程等）来描述的系统，都可以通过傅里叶分析从频域来分析这个系统的特性，比单纯从时域分析要强大得多！两个著名的应用例子就是线性电路和傅里叶光学（信息光学）。甚至非线性系统，也在很多情况里面使用线性系统的东西！所以傅里叶变换才这么重要！你看最早傅里叶最早也是为了求解热传导方程（那里其实也可以看做一个线性系统）！
傅里叶变换的思想还在不同领域有很多演变，比如在信号处理中的小波变换，它也是采用一组基函数来表达信号，只不过克服了傅里叶变换不能同时做时频分析的问题。
最后，我从纯数学的角度说一下傅里叶变化到底是什么。还记得线性代数中的代数方程
吗？如果A是对称方阵，可以找到矩阵A的所有互相正交的特征向量
和特征值
，然后将向量x和b表示成特征向量的组合
。由于特征向量的正交关系，矩阵的代数方程可以化为n个标量代数方程
，是不是很神奇！！你会问这跟傅里叶变换有毛关系啊？别急，再看非齐次线性常微分方程
，可以验证指数函数
是他的特征函数，如果把方程改写为算子表示
，那么有
，这是不是和线性方程的特征向量特征值很像。把y 和 z都表示为指数函数的线性组合，那么经过这种变换之后，常微分方程变为标量代数方程了！！而将y和z表示成指数函数的线性组合的过程就是傅里叶变换（或拉普拉斯变换）。在偏微分方程如波动方程中也有类似结论！这是我在上数理方程课程的时候体会到的。归纳起来，就是说傅里叶变换就是线性空间中的一个特殊的正交变换！他之所以特殊是因为指数函数是微分算子的特征函数！
编辑于 2015-01-0916 条评论感谢
收藏·没有帮助·举报· 作者保留权利
孤鸿影，To remember, to let go, to move on.
少年亚瑟、猫小冷、段晨
第一个问题，为什么要进行着三种变换。（理解这一点很关键）
三种变化均是将原先在时域表示的信号变换到频域进行表示，在频率域分析信号的特征。当信号变换到频域后，就会出现很多时域中无法直接观察到的现象。
（图片来源：时域频域_百度百科）
第二个问题：三种变化的关系
之前说了三种变换都是讲原先在时域中表示的信号，变换到频域中表示。但是根据傅里叶变化的定义，只能对能量有限的信号进行变换（也就是可以收敛的信号），无法对能量无限的信号进行变换（无法收敛的），所以就出现了拉氏变换，在原先的傅里叶变换公式中乘以一个衰减因子，使得能量无限的信号也能进行时频变换。
Z变换就是离散信号的拉氏变换。
第三个问题：研究的什么？
还是之前说的研究的就是信号的时频变换。拉氏变换和Z变换都是傅里叶变换的延伸。
一点都不夸张的说，没有傅里叶变换就没有现代通信技术，进一步说就没有现代文明！
作为一个通信专业的学生，这三种变换是基础的基础，建议题主不要想太多，先把基础理论学扎实。
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真正的赵小妖、段晨、李轩昊
一切的变换的意义，都是为了能在数学上面表达一个波的形状到底是什么。一开始我们可以用一个冲激函数以时间的顺序排成一排，再每个乘以各自的系数（线性组合），就能得到纸面上一个波的形状。后来，伟大的傅里叶同学发现，不仅使冲激函数，用复指数信号叠加之后乘上各自的系数，也可以表达几乎所有的波的波形。而且！用复指数信号表达的输出计算方式比卷积有规律很多，而这个规律可以从频域上面看出来。这个发现，使得信号的变换进步了一大步。
周期信号可以用傅里叶级数表示，非周期信号用傅里叶变换表示。这个再展开讲就偏题了。奉上以前的傅里叶公式笔记一张(*^__^*)
拉普拉斯变换：傅里叶变换对信号的要求比较高，适应于本身衰减得快的信号。为了扩大傅里叶变换的应用范围，使其能用于更多不稳定系统的分析，人们在计算过程中人为的添上一个负指数函数作为系数，让一些不衰减的信号更快衰减，方便换算。这就是拉布拉斯变换的由来。拉普拉斯变换用于连续信号。
拉布拉斯变换：
其中
。
把
带回公式可得
跟傅里叶变换的公式对比起来看，是不是只差了个系数？
因为变换要收敛才有意义，所以收敛域讨论的是让
积分之后有意义。这个稍微涉及了一点微积分的知识。最后的答案在直角坐标系看，分界线平行于Y轴。
Z变换：和拉普拉斯变换的目的类似，把离散时间傅里叶变换公式的
替换成为z，再乘以一个加权系数表示z的模（通常等于1），就进化成了z变换。z变换用于离散信号。
z变换：
其中
带进去就可以还原了。
同样，Z变换的收敛域是要让算出的值有意义，通过等比公式展开之后可以看到，需要z小于或者大于某个值才可以，用极坐标来看，就是个圆域。
这个就是我以最通俗的方法理解的变换.
编辑于 2015-01-017 条评论感谢
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解文豪
赵汉卿、小小的寂寞、XDer
这是傅里叶变换的错过这篇文章，可能你这辈子不懂什么叫傅里叶变换了（一）
，如果看了这篇文章你还不懂傅里叶变换，那就过来掐死我吧（二） - 与时间无关的故事 - 知乎专栏看完了再不懂，先把作者掐死再找块豆腐把自己撞死吧
编辑于 2014-05-297 条评论感谢
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Wang Xu，在北邮虚度几年光荫，曾就职于中国移动研…
知乎用户、dj是我的名字、Terry Zhang
补充一下，对于通信专业，傅里叶变换是最重要的变换，代表了时域和频域的转换，4G通信系统中使用的OFDM，甚至会直接将一组信息直接放到频率上一组正交的频点上，然后IFFT变换到时域，再发送出去，而不是单独把信号调制到每个频点上，接收时再FFT回到频域。
发布于 2013-11-224 条评论感谢
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Bei YangMan
何昊、许鹏、王守进
我从 历史 变换思想的出发点 以及用途 谈谈我的看法
首先，可以把 拉普拉斯变换和z 变换（生成函数）视为一体，两者都是拉普拉斯提出的。
拉普拉斯作为傅立叶的导师，并不认同复立叶提出的 复立叶变换，直到拉普拉斯去世，傅立叶才正式发表，直到柯西提出了关于极限的严格收敛条件，傅立叶才放心大胆使用它的理论。
从历史的角度来讲，傅立叶变换出现在拉普拉斯变换之后，从形式上说，他们是类似的，但是出发点是不相同的。
拉普拉斯变换：拉普拉斯变换的基本思想其实是源于函数的幂级数分解。
对于微分方程，或者线性系统的分析，拉普拉斯变换（z变换）都是单边的。
z变换（生成函数）一定程度上可以视为是函数幂级数展开的逆运算，也就是已知系数，求原函数，它是一个累加的形式。当把累加形式变成积分形式，就有了拉普拉斯变换。这是一个自然的过程， 这是也历史，当然最初的形式和信号分析中的形式也有区别。在信号处理中，则通常是先引入对信号的拉普拉斯变换，然后对此信号采样后再进行拉普拉斯变换，得到z变换。很多书本直接给出拉普拉斯变换的形式，其实应该有一些过渡。
傅立叶变换：傅立叶变换的基本思想源于正交分解。
傅立叶变换一生下来就是双边的。
如果说Laplace是从幂级数展开的思想发展出来的拉普拉斯变换，那么傅立叶更加有针对性地研究周期信号的三角级数展开（或者说是分解）。 从线性空间的角度来看，这是在使用不同基对信号进行分解。
应用：
拉普拉斯变换更多的是针对系统的分析和处理，主要是微分方程（差分方程），冲击响应，传递函数，零点极点和频率响应，稳定性分析。很多书，在讲解复立叶变换时，也把诸如微分方程，传递函数塞进去，包括奥本海姆的书，原则上说没什么问题，但是对于系统的分析，滤波器设计，SD modulator分析，开环闭环稳定性分析，通常还是使用拉普拉斯变换或z变换。
傅立叶变换更多的是针对信号的分析和处理，主要是频谱分析。
发布于 2015-05-241 条评论感谢
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刘牧之，在成为很厉害很厉害很厉害的路上～
知乎用户、杜渺、知乎用户
傅立叶级数：针对周期信号提出。本质在于一个周期信号可以表示成正弦信号的叠加。
傅立叶变换：推倒过程来源于傅立叶级数。
周期信号和非周期信号都存在傅立叶变换。
拉普拉斯变换：只谈物理意义，一个增幅信号可以表示成增幅正弦信号的叠加。一个减幅信号可以表示成减幅正弦信号的叠加。
Z变换：针对离散信号提出。物理意义同拉普拉斯变换。
编辑于 2014-10-314 条评论感谢
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Signalwolf，坐标圣地亚哥求玩耍
胡晓涛、小白、卡酷啦
简单来说，傅里叶变换是将时域的信号变成频域。但是为什么我们需要呢？而所谓的频域是什么呢？
其实，所谓的傅里叶变换无非是用一个固定频率的正弦波来表示任意一个波。相信你肯定了解时域，因为他就是我们看到的最简单的二维世界。一个不断舞动的波，就好像飘扬的旗子一样。我们很明显的看到了它的舞动的大小（振幅），那么其实它还有另一个性质，那就是频率，对于固定周期的波，那么我们可以肯定在下一个周期的同一点一定会重现在同一个位置。而这个时间就是它的频率，那么非周期性的波呢？我们发现任何非周期性的波都可以用不同周期性的波相加后来表示（除了矩形波和三角波），那么多少个波呢？每个波的周期又是多少呢？
傅里叶变换/级数就是数学上的对时域信号的展开，但是因为它是有限个周期波的展开，也就是有限个不同频率的波的叠加。有些人就称之为频域，这其实就是人创造的说法，其实是频域还是什么有什么关系，无非就是用一些信号的叠加罢了。
当然，一些天才随后又发明了码这种东西，又创造了码域成功的增加了吞吐量，试想在时域上加了一个频域我们就创造出了OFDM这种高容量的算法，那么进一步优化的CDMA创造出的三维容量将会增大多少呢？
发布于 2014-06-171 条评论感谢
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狗爷职业wan，..。。
帅气的小衔君赞同
前两个是在连续域内，Z变换是在离散域。
发布于 2014-04-26添加评论感谢
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知乎用户，高级电声工程师
空即是色、舒Sugar、新月
所有的变换，都是从一个鸟域，变换到另一个鸟域。变换的方式和意义都是人为定义的。
发布于 2014-07-233 条评论感谢
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童子天，Electrical engineering
何昊、王政、ddk confused
看了上面 各位的解释，我个人的观点是，好的解答一定要 短而且言简意赅，舍去一些具体的专业知识，即使是一个门外汉也能看懂你的描述。
对于别的两种变幻我的了解程度不够，对于laplace transformation我的经验以及知识，还是可以说道说道的。为森么这个很重要，首先这是一种工具，没有这个工具，可能很多复杂的电路都是没有办法解答的。简单电路我们用的解决方法就是结合基尔霍夫方程，用modified nodal anaglysis 去分析，简单来说，就是 每一个电路中的分叉口我们都可以假设 电压，然后分析电流在这个点的公式，那么一个简单的lr circuit 就可以 写成这个样子：?u + L＊i' + ri = 0，如果你学习过基础的微分方程，这个当然就有很多种解法，其中一种就是laplace transformation。当然，个人而言，如果代数学的不是很好，大部分人还是喜欢用variation of parameter 或者 Wrońskian determinant。因为后者只需要一个计算器，就可以了 并不需要复杂的代数变幻。
那么问题来了，为什么需要发明这个laplace呢？我找到了一段话很好的描述了这个问题：
The purpose of the Laplace Transform is to transform ordinary differential equations (ODEs) into algebraic equations, which makes it easier to solve ODEs.（来源于：What exactly is Laplace transform?）
同样的，当一个复杂的微分方程出现的时候，如果我们可以用基本代数一样的方法，就会轻松很多很多，这就是为什么电子工程需要学习和使用laplace的原因。
现在科学很多都不是建立在现象之上了，很多都是建立在对于定义的解剖和使用上，电路分析也是一样，我们需要摆脱这个传统的电路观念，用非微分方程的思维模式，比如说比拟的方式去思考，我们更应该从电学的效应本质去思考，不如说，i＝c（dv／dt），在我们想要运用电容的时候。
希望我的回答可以解决你的疑惑，也希望你能为你的专业感到一种责任，工程师的责任。
编辑于 2016-02-21添加评论感谢
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黑老猫，EE工程师，独立游戏人，做点小生意
loong wong、舒Sugar、知乎用户赞同
变换的本质是从另一个维度去刻画信号，从而更方便描述信号特性和进行工程实现。
发布于 2014-08-18添加评论感谢
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知乎用户
姚舒敏、[已重置]、Jeez赞同
傅立叶变换从频域（jω）去看信号，也就是把频率和振幅投射到不同ω正交正弦波上，这样就可以用不同ω正弦波求和，正弦余弦也可以转化成虚指数幂次再求和，这样就划到jω；
拉普拉斯变换可以把一些不能用傅立叶变换的连续信号来进行变换，用s=σ+jω作为复频，它的描述能力就比傅立叶变换强一些，值得说明的是，当收敛域包含jω虚轴时，在虚轴上令σ=0，则s=jω，此时拉氏变换就是傅立叶变换；
Z变换关注的是离散信号，引入时候与拉氏变换结合，在连续信号上取样，得到离散信号，令e^(sT)=z，这样就把信号虚轴投射到了一个圆环上面。
发布于 2014-04-24添加评论感谢
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桂能，刘涛粉
黄思行、知乎用户赞同
频域是用来度量不变的，本质上我们需要的是获取一些不变的东西，只有不变的才是信号
发布于 2015-10-13添加评论感谢
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王昌旭，学生
徐晖赞同
我是计科学生，图像处理经常用FFT或wavelet，音频处理基本就是FFT
发布于 2016-04-05添加评论感谢
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匿名用户
知乎用户赞同
将人的思维转化为机器思维的一个途径，时域变频域，倒是可以感觉成一分二，二分四，四到无穷，这些分好的小块要叠加到一起组成原来的函数或者物体当然要越多越好，最好不要漏，当然信号与系统和通原里面的都是由此思想变来的