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三角形面积公式在几何证明中的应用
作者：张琳
来源：《中学生导报·教学研究》2013年第27期
三角形的面积公式其本身并不复杂，而往往是这种看似简单明了的东西学生对它的理解并不深，觉得它的用处不大，如果在理解它的基础上，将它与几何的有关知识结合起来，在解决几何问题时，常常会收到事半功倍的效果。下面先介绍三角形面积公式的几种常见形式及其应用：
公式一：SΔABC=12ah，（其中a 为底，h 为底a 边上的高）
公式二：SΔABC=12absinC，（其中a 、b 为三角形的两条边，∠C 为两边夹角）。
公式三：（海伦公式）SΔABC=pp-ap-bp-c ，其中a 、b 、c 为三角形的三边，p=12a+b+c。 在以上提及的三个三角形面积公式中，第一个是基本公式，后两个都是在第一个的基础上通过推导得出的，三角形面积公式的形式多种，我们可以在具体问题中根据需要推导公式，比如在解析几何中，可以用顶点坐标表示三角形的面积、还有向量形式的三角面积公式等，下面我就三角形面积公式在几何证明中的应用谈谈我粗略的见解。
（1）利用三角形面积的不变性解题
三角形面积不变性的意思是用任意方法表示出来的三角形面积是不变的，就利用这个不变性，可以建立同一三角形不同面积表达式的等量关系，再根据对等式的分析运算解题。 例1 如图3ΔABC中BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，
AB>AC，求证：BE>CF.
图1
证明：由面积公式可得
SΔABC=12AB·CF
=12AC·BE
∴ BE=2SΔABCAC、CF=2SΔABCAB
∵ AB>AC
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三角形面积公式在几何证明中的应用
作者：张琳
来源：《中学生导报·教学研究》2013年第27期
三角形的面积公式其本身并不复杂，而往往是这种看似简单明了的东西学生对它的理解并不深，觉得它的用处不大，如果在理解它的基础上，将它与几何的有关知识结合起来，在解决几何问题时，常常会收到事半功倍的效果。下面先介绍三角形面积公式的几种常见形式及其应用：
公式一：SΔABC=12ah，（其中a 为底，h 为底a 边上的高）
公式二：SΔABC=12absinC，（其中a 、b 为三角形的两条边，∠C 为两边夹角）。
公式三：（海伦公式）SΔABC=pp-ap-bp-c ，其中a 、b 、c 为三角形的三边，p=12a+b+c。 在以上提及的三个三角形面积公式中，第一个是基本公式，后两个都是在第一个的基础上通过推导得出的，三角形面积公式的形式多种，我们可以在具体问题中根据需要推导公式，比如在解析几何中，可以用顶点坐标表示三角形的面积、还有向量形式的三角面积公式等，下面我就三角形面积公式在几何证明中的应用谈谈我粗略的见解。
（1）利用三角形面积的不变性解题
三角形面积不变性的意思是用任意方法表示出来的三角形面积是不变的，就利用这个不变性，可以建立同一三角形不同面积表达式的等量关系，再根据对等式的分析运算解题。 例1 如图3ΔABC中BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，
AB>AC，求证：BE>CF.
图1
证明：由面积公式可得
SΔABC=12AB·CF
=12AC·BE
∴ BE=2SΔABCAC、CF=2SΔABCAB
∵ AB>AC